第五章(劳斯和赫尔维茨稳定性判据)
机械工程控制基础第五章系统稳定性分析
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
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同时，如果劳斯阵列中第一 列所有项均为正号，则系统 一定稳定。
劳斯阵列为
sn a0 a2 a4 a6 s n1 a1 a3 a5 a7 s n2 b1 b2 b3 b4 s n3 c1 c2 c3 c4
由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正
值，所以控制系统稳定。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
例2 设控制系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 3 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳
阵列
s4 1 3 3
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5.1 系统稳定性的基本概念
d
o
F
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b
c
M
o
稳定性的定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的 作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于 零，具有恢复到原来状态的性能，则该系统是稳定的， 否则，该系统为不稳定。
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5.2 系统稳定的充要条件
N(s)
X i s
+
G1 s
➢ 劳斯判据还说明：实部为正的特征 根数，等于劳斯阵列中第一列的系 数符号改变的次数。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
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劳斯判据的表述：
1.系统闭环传递函数特征方程式的系数没有为0的， 同时都是正数。（必要条件，要想系统稳定必 须满足这个条件）
2.劳斯阵列的第一列全部为正。（充分条件）
机械工程控制基础 第五章
第五章简介：本章介绍了单输入单输出控制系统稳定性的定义及其判定依据。
对于不同的系统，稳定性的定义不同。
系统的稳定性指标是控制系统设计过程中需要考虑的众多性能指标中最重要的指标,不稳定的系统是无法使用的。
主要包括赫尔维茨判据、劳斯判据、幅角原理、奈奎斯特稳定性判据等概念.重点是赫尔维茨稳定性判据和劳斯稳定性判据及其在系统分析中的应用.难点是应用复变函数的幅角原理推导奈奎斯特稳定性判据和对稳定裕度的理解。
随堂测试：一、知识点名称1：控制系统稳定性的基本概念1。
是保证控制系统正常工作的先决条件。
（）A．稳定性B．快速性C．准确性D．连续性正确答案：A解析：不稳定的系统是无法使用的。
2。
是控制系统最重要的性能指标。
（）A．稳定性B．快速性C．准确性D．连续性正确答案:A解析：稳定性是控制系统最重要的性能指标知识点名称2：单输入单输出控制系统稳定的条件1.单输入单输出控制系统稳定的条件为(）A 特征方程根具有副实部B特征方程根具有副实部C极点位于复平面的右半部D极点位于虚轴上正确答案:A解析：单输入单输出控制系统稳定的充分必要条件为特征方程根全部具有副实部2。
某单位反馈系统的开环传递函数为,则该系统稳定的K值范围为（) A.K〉0 B。
K>1 C。
0〈K<10 D K〉-1正确答案:A解析:其特征方程为,根据二阶螺丝准则和朱里准则，该系统稳定条件为;所以的K的取值范围为K〉0知识点名称3：赫尔维茨稳定性判据1。
赫尔维茨矩阵的各项主子式行列式的值全部为正,是线性系统稳定的条件。
(）A.充分 B 必要C充要 D 即不充分也不必要正确答案:C解析：线性系统稳定的充要条件赫尔维茨矩阵的各项主子式行列式的值全部为正。
2。
如果满足主子式前提下，若所有次顺序赫尔维茨矩阵的主子式为正，则所有次顺序赫尔维茨矩阵的主子式为正。
（）A BC D正确答案：B解析：如果满足条件,若所有奇次顺序赫尔维茨矩阵的主子式为正，则所有偶次顺序赫尔维茨矩阵的主子式必为正；反之亦然。
劳斯判据的证明(2024版)
可编辑修改精选全文完整版1、劳斯判据证明思路：（1）将给定的描述系统运动的高阶齐次微分方程变换为齐次状态方程．（2）给定对称正定（或非负定）矩阵Ｑ，根据式Ax x= ,Q PA P A T -=+求出相应的矩阵Ｐ（3）由要求矩阵Ｐ为正定的条件证明赫尔维茨稳定判据2、赫尔维茨稳定性判据证明．Ax x= （1） Q PA P A T -=+ （2）设在输入信号为零的情况下，系统的齐次微分方程为01111=++⋅⋅⋅++---x a dtdx a dt x d a dt x d n n n n n n （3） 式（3）的系数行列式为：n n n a a a a a a a a a a a 0000000000000000010000011123451231-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∆ 赫尔维茨判据为：系数行列式n ∆的各阶顺序主子式大于0.证明：首先将系统的高阶微分方程写成状态方程的形式．选择系统的状态变量为 []T n x x x x 21=令x x =1，则式（2）等价于下列状态方程：Ax x= ，其中1210000010000000001000000100000010b b b b A n n----=-(4) 该矩阵特点是：主对角线上除最后一个元素外，其余元素均为0；主对角线以上各元素为1；主对角线以下各元素从第二行开始依次为-bn 到-b1。
其次，应给定矩阵Ｑ，并根据式（2）去求矩阵P设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21200000000b Q (5) 这是一个对称非负定矩阵，由此可知李雅普诺夫函数的导数为 2212nT x b Qx x V -=-= 。
只要x1，x2，…，xn 不全都为零，则0≠n x ，于是()x V 不可能恒为零．所以按式（4）选定的矩阵Ｑ是合理的．再假设矩阵Ｐ是对角线矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-121000000000000p p p p P n n (6) 将式（４）、式（5）、式（6）代人式（２），即可得 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-11212112000000000000b b b b b b b b b P n n最后检验矩阵Ｐ的正定性．如欲系统的半衡点是大范围渐近稳定的，则矩阵Ｐ应是正定的，亦即矩阵Ｐ主对角线上各元素均应大于零，即有 0,0,012121>>>b b b b b b n 。
劳斯判据判定稳定性
劳斯判据即Routh-Hurwitz判据一、系统稳定的必要条件判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
于是表的计算无法继续。
为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。
若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。
此时，系统为临界稳定系统。
2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。
此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。
这样，表中的其余各元就可以计算下去。
出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。
这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。
三、相对稳定性的检验对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法：1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。
自动控制原理—第五章(4)
可以看出,当由-变到+时, G(j)矢量逆时针围绕(-1,j0)点 转一圈,即N=-1。 由于Z = N + P = 0，,故由奈氏 稳定判据知闭环系统是稳定的。 另外，可知K＜1时N=0，Z = N + P = 1，闭环系统不稳定； K=1时， G(j)轨迹过(-1,j0)点， 为临界稳定。奈氏判据与代数判 据结论相同.
一、奈氏图与波德图的对应关系
1.开环系统幅相频率特性与对数频率特性之间存在如下对应关系: 在G(j)平面上, |G(j)|=1的单位圆,对应于对数幅频特性的0 分贝线; 单位圆外部如 (-,-1)区段，对应L（ω）>0dB，单位 圆内部对应L（ω）<0dB。 2.从对数相频特性来看, G(j)平面上的负实轴,对应于对数相频特 性上的()=-180°。 3. (-1,j0)点的向量表达式为1∠-180°，对应于波德图上穿过0 分贝线，并同时穿过()=-180°的点。
3 G (s) H (s) s 1
根据系统的开环传递函数，并考虑到系统为0型系统，可知 图5-53所绘曲线即为该系统的开环奈氏曲线。由于曲线始于（-3， j0）点，故顺时针包围（-1，j0）点的次数为1/2，N’-=1/2。由于 开环右极点数为P=0，故 Z = 2N’-+ P=1 闭环系统有一个右极点，闭环不稳定。
例5-5 经实验测得某最小相位系统的开 环奈氏图如图所示，判断闭环稳定性。
由于为最小相位系统，开环 右极点数P=0，且为0型系统，故 直接利用开环频率特性G(j)的轨 迹判断稳定性。 由图可以看出,当由0变到+时 , G(j) 矢 量 在 (-1,j0) 点 以 左 负 实轴上正负穿越次数各一次。 Nˊ= N- - N+=1-1=0 Z = 2（ N- - N+ ）+ P=0
劳思-赫尔维茨稳定判据内容
劳斯-赫尔维茨稳定判据内容劳斯–赫尔维茨稳定性判据（英语：Routh–Hurwitz stability criterion）是控制理论中的一个数学测试，是线性时不变系统（LTI）稳定的充分必要条件。
劳斯测试是由英国数学家爱德华·劳斯在1876年提出的快速算法，可以判断一线性系统其特征多项式的根是否都有负的实部。
德国数学家阿道夫·赫维兹在1895年独立的提出将多项式的系数放到一个方阵中（此方阵称为赫维兹矩阵），证明多项式稳定当且仅当赫维兹矩阵的主要子矩阵其行列式形成的数列均为正值。
二个程序是等价的，而劳斯测试提供一个有效计算赫维兹行列式的方法。
满足劳斯–赫尔维茨稳定性判据的多项式称为赫尔维茨多项式。
详解：此稳定性判据之所以重要，是因为若线性系统之特征方程式的根p均有负的实部，表示其解e为稳定的（BIBO稳定）。
因此稳定性判据提供了方式，可以在不求解线性系统的运动方程的情形下，判断其是否只有稳定解。
对于离散系统，对应稳定性的测试可以由Schur–Cohn判据、Jury稳定性判据及Bistritz稳定性判据来判断。
随着电脑的进步，此稳定性判据变的较少使用，另一种判断的方式则是用数值方法直接求解多项式，得到其解的近似值。
劳斯测试可以由辗转相除法以及在计算柯西指标时用施图姆定理来推导。
赫尔维茨利用另一种方式来推导其稳定性判据。
利用辗转相除法求解：劳斯–赫尔维茨稳定性判据和劳斯–赫尔维茨定理有关。
由定理的陈述，可得其中：1）p为多项式ƒ(z)的根中实部为负值的个数。
2）q为多项式ƒ(z)的根中实部为正值的个数。
（此假设ƒ(z)的根都不在虚轴上）3）w(x)为由施图姆定理得到的变号数（中间利用连续的辗转相除法），其中，y为实数。
根据代数基本定理，每个n次的多项式在复数平面上会有n个根（也就是，对于根都不在虚轴上的ƒ，p+q=n）。
因此可得到ƒ为（稳定的）赫尔维茨多项式当且仅当p−q=n。
劳思判据和郝尔薇茨稳定判据
s5 + 2s4 +14s3 + 88s2 + 200s + 800 = 0
上式各项系数均为正。 上式各项系数均为正。 列写劳思计算表并计算得
s5 s4 1 2 14 88 200 800
例6.1
设某控制系统如图所示，试确定 为何值时系统稳定 为何值时系统稳定。 设某控制系统如图所示，试确定K为何值时系统稳定。
解：系统的闭环传递函数为
K Xo (s) K s(s + 5)(s +1) = = 3 K Xi (s) 1+ s + 6s2 + 5s + K s(s + 5)(s +1)
6.2.1 劳思判据
劳思判稳准则特殊情况
劳思计算表第一列出现零的情况 因为不能用零作为除数，故第一列出现零时，计算表不能继续排下去。 因为不能用零作为除数，故第一列出现零时，计算表不能继续排下去。为解决该 问题，其办法是用一个小的正数ε代替 进行计算，再令ε→0求极限来判别第一列 代替0进行计算 问题，其办法是用一个小的正数 代替 进行计算，再令 求极限来判别第一列 系数的符号。 系数的符号。 劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况 此时，劳思表将在全为零的一行处中断， 此时，劳思表将在全为零的一行处中断，其解决办法是将不为零的最后一行的各 项组成一个“辅助方程式” 将该方程式对s求导数 求导数， 项组成一个“辅助方程式”，将该方程式对 求导数，用求得的各项系数代替原来 为零的各项，然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项， 为零的各项，然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项，对称根可由辅助方程 求得。 求得。
第五章劳斯稳定性判据
如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程 式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的 次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应 的系统为不稳定。
C(s)
bmsm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
xi
s
n1
aj
n2 i (s ii ) i i
1
2 i
j1 s p j i1
s2 2ii s i2
06-7-20
控制系统的稳定性分析
S4
2
12Biblioteka 16明该方程在S右半平面S3
0
0
0
8
24
上没有特征根。令 F(s)=0，求得两对大 小相等、符号相反的
S2
6
16
根 j 2 , j2
S1
8
0
3
，显然这个系统处于临界稳定状态。
06-7-20 S 0
16
控制系统的稳定性分析
23
劳斯判据特殊情况之三 特征方程在虚轴上有重根
如果特征方程在虚轴上仅有单根，则系统的响应是持续 的正弦振荡，此时系统既不是稳定的，也不是不稳定的，因 而称之为临界稳定；如果虚根是重根，则系统响应是不稳定
1.稳定性是控制系统自身的固有性质，这稳定性取决于系 统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关；
A：对线性系统，系统是大范围稳定的（与输入偏差无 关）；
教案--控制工程基础(第5章)
²第5章 控制系统的稳定性分析控制系统能在实际中应用中的首要条件是系统必须稳定，分析系统的稳定性是控制理论的重要组成部分。
控制理论对于判断一个线性定常系统是否稳定提供了多种方法。
本章首先介绍系统稳定性的基本概念，然后，介绍几种系统稳定的判定方法，主要有代数稳定判据和顿域稳定判据。
并用频域指标来说明系统的相对稳定性。
§5-1系统稳定性的基本概念1）稳定的概念Ig1：力学模型 图5-1Ig2：力学模型 图5-22）自动控制的稳定性与上述力学系统相似，一般的自动控制系统中也存在平衡位量。
平衡位置的稳定性取决于信号为零时，系统在非零初始条件作用下是否能自行返回到原平衡位置。
如系统受到脉冲扰动后，被控量c （t ）发生偏差△c （t ），这种偏差随时间逐渐减少．系统又逐渐恢复到原来的平衡状态，即则系统是稳定的，如图5-3a 所示；若这种偏差随时同不断扩大，即使扰动消失，系统也不能回到平衡状态，则系统就是不稳定的，如图5-3b 所示。
3）控制系统稳定的定义：若一个处于平衡状态的系统，在扰动的作用下，会偏离原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够逐渐地恢复到第15讲封原来平衡状态，称该系统是稳定的；否则，称该系统不具有稳定性。
稳定性是系统去掉外力作用后，自身的一种恢复能力，所以是系统的一种固有特性，它只取决于系统的结构和参数而与初始条件和外作用无关。
系统稳定性的概念分绝对稳定性和相对稳定性。
系统的绝对稳定性是指系统稳定或不稳定那个的条件。
系统的相对稳定性是指稳定系统的稳定程度，可以用超调量或稳定裕量表示。
§5-2系统的稳定条件线性闭环系统是否稳定，是系统本身的一种特性，与系统输入量无关。
因此，假设线性系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲δ(t)．若系统输出的脉冲响应c(t)在t→∞时为零，即，则线性系统是稳定的。
这相当于系统在扰动信号的作用下，输出信号偏离平衡状态后，又能够逐渐地恢复到原来的平衡状态。
自动控制原理3第五节稳定性和代数稳定判据
当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。
20
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
2
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的定义和定理
定义1：对于线性定常系统，在任何一组初始条件下，若输入
x(t)=0，当t→∞时，系统的输出及其各阶导数为零，即
lim y(t) lim y(t) ... lim y(n1)(t) 0
t
t
t
则称该系统为渐近稳定的。
定义2：对于线性定常系统在零初始条件下，加入一个有界的输
4
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的充要条件和属性
前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
系数取决于初始条件的多项式 系数取决于初始条件的多项式
Y2(s)
sn an1sn1 ... a1s a0
n1
n2
(s p j ) (s2 2 kk k2 )
❖且 a1a2 a3a0 0
15
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
劳斯判据特殊情况
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统 不稳定。表示s右半平面上有极点，右极点个数等于劳斯阵列 第一列系数符号改变的次数。
an an2 an4 an6 ... 0 0
0
赫尔维茨行列式： 0
an1 an3 an5 ... 0 0 an an2 an4 ... 0 0
代数稳定判据汇总
s 6 1 8 20 16 s5 2 12 16 0 s 4 2 12 16 0
s3 s2 s1 s0
s 6 1 8 20 16
s5 1 6 8 0
s4 1 6 8 0
s 3 10 03 00 0
s2 3 8 0 0
1 s1 3
0
0
0
s0 8 0 0 0
辅助方程为：s4 6s2 8 0 ， 求导得：4s3 12s 0 ， 或 s3 3s 0 ，用1，3，0代
义，当时间趋于无穷大时，若脉冲响应收敛于原来的工作状态
，即：lim t
y
(t
)
0
则线性控制系统是稳定的。
m
kg (s zi )
Y (s) n1
i 1 n2
(s p j ) (s2 2 l nls nl2 )
j 1
l 1
线性控制系统稳定的充分必要条件
下面讨论系统稳定性与系统极点之间的关系: 由于系统的输入为单位脉冲信号R(s) 1，则系统的输出为：
第五章 系统的稳定性
一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件
稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的 首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内 部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变 化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小 的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。 因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。
线性控制系统稳定的充分必要条件
两种稳定性定义虽然表述不同，但在本质上是一致的。
由于系统的稳定性与外界条件无关，因此，可设线性系统的初
始条件为零，输入作用为单位脉冲信号 (t)，这时系统的输出便
第五章 控制系统的稳定性分析
第五章 控制系统的稳定性分析
5-2 控制系统稳定性判据 例 已知一调速系统的特征方程式为
试用劳斯判据判别系统的稳定性：S 3 + 41.5S 2 + 517 S + 2.3 × 10 4 = 0 解：列劳斯表
S3 S2 S1 S0 1 41.5 − 38.5 2.3 × 10 4 517 2.3 × 10 4 0 0
a n s n + a n −1 s n −1 + ⋯ + a 0 = 0 通过因式分解，总 对于特征方程： 通过因式分解， 对于特征方程：
第五章 控制系统的稳定性分析
5-2 控制系统稳定性判据
1) 列写罗斯计算表：任意一行的各项同时乘以一个正数，结果不变 列写罗斯计算表：任意一行的各项同时乘以一个正数， 。
第五章 控制系统的稳定性分析
5-2 控制系统稳定性判据 一．代数稳定判据
不必求解系统的特征方程， 不必求解系统的特征方程 ，通过对特征方程的系数进行分析来判 断系统的稳定性的方法。 断系统的稳定性的方法。
可 以 分 解 为 一 次 因 子 和 二 次 因 子 的 乘 积 的 形 式 ， 即 ： (s+a) 和 (s2+bs+c)相乘的形式。只有 、b、c都是非零的正值时，才能得到负 相乘的形式。 都是非零的正值时， 相乘的形式 只有a、 、 都是非零的正值时 实根或具有负实部的共轭复根。所以ai>0是判定系统稳定的必要条 实根或具有负实部的共轭复根 。 所以 是判定系统稳定的必要条 但非充分条件。罗斯-赫尔维茨稳定判据即是检验系统稳定的充 件，但非充分条件。罗斯 赫尔维茨稳定判据即是检验系统稳定的充 要条件。 要条件。 1、罗斯（Routh）稳定判据： 、罗斯（ ）稳定判据：
劳斯-赫尔维茨定理：描述稳定性的性质和判断方法
劳斯-赫尔维茨定理：描述稳定性的性质和判断方法第一章：引言劳斯-赫尔维茨定理是控制理论中的重要定理之一，它描述了线性时不变系统的稳定性的性质和判断方法。
稳定性是系统控制中一个非常重要的概念，它涉及到系统在输入变化时的响应能力。
本章将介绍劳斯-赫尔维茨定理的背景和重要性，为后续章节的讨论奠定基础。
第二章：劳斯-赫尔维茨定理的基本概念2.1 动力系统在开始介绍劳斯-赫尔维茨定理之前，我们首先需要了解动力系统的基本概念。
动力系统是指由动态方程和初始条件所描述的一种数学模型，在控制理论中被广泛应用。
动力系统可以是线性的或非线性的，可以是时不变的或时变的。
理解动力系统的特性对于理解劳斯-赫尔维茨定理至关重要。
2.2 稳定性的定义稳定性是对系统响应的一种性质描述。
一个稳定的系统在输入变化时，其响应不会无限增长或震荡，而是趋于有限的范围内。
稳定性可以分为渐进稳定和有界稳定两种形式。
渐进稳定是指系统的响应趋于零或某个有限的值，而有界稳定是指系统的响应保持在有限的范围内。
第三章：劳斯准则3.1 劳斯定理的基本原理劳斯定理是劳斯-赫尔维茨定理的基本原理，它是通过对系统特征方程的根进行判断来确定系统的稳定性。
具体而言，劳斯定理使用代数方法来判断系统特征方程的根的位置，从而得出系统的稳定性判据。
3.2 劳斯准则的推导劳斯准则的推导是建立在特征方程的根与稳定性之间的关系上。
通过对特征方程进行变换和整理，可以得到劳斯准则的具体表达式。
劳斯准则的推导过程是相对复杂的，但是它为后续的稳定性判断提供了重要的理论基础。
第四章：劳斯-赫尔维茨定理的应用4.1 劳斯-赫尔维茨定理的基本应用劳斯-赫尔维茨定理的基本应用是判断系统的稳定性。
通过计算特征方程的根，并根据劳斯准则进行判断，可以得出系统的稳定性结论。
这在系统控制和工程实践中具有重要的意义，可以帮助工程师们设计和优化控制系统，提高系统的稳定性和性能。
4.2 劳斯-赫尔维茨定理的拓展应用除了稳定性的判断，劳斯-赫尔维茨定理还可以应用于其他领域。
第五章稳定性分析
第五章稳定性分析第五章：控制系统的稳定性分析3.3.5 控制系统的稳定性分析稳定性的概念线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的必要条件代数判据（⼀般情况，特殊情况，劳斯，赫尔维茨）劳斯判据的应⽤（确定稳定域判断稳定性，求系统的极点，设计系统中的参数3.3.5.1 稳定性的概念分析⼩球平衡点的稳定性定义：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称稳定。
反之，若在初始扰动的影响下，系统的过渡过程随时间的推移⽽发散，则称该系统不稳定。
3.3.5.2线性系统稳定性的充要条件设系统的微分⽅程模型为：分析系统的稳定性是分析在扰动的作⽤下，当扰动消失后系统是否能回到原来的平衡状态的性能，亦系统在作⽤下的性能，亦与系统的输⼊信号⽆关，只与系统的内部结构有关。
对上述微分⽅程描述的系统亦只与等式的左端有关，⽽与右端⽆关，亦：系统的稳定性是由下列齐次⽅程所决定：其稳定性可转化为上述齐次⽅程的解c(t)若则系统稳定，则系统不稳定。
分析齐次⽅程的解的特征。
由微分⽅程解的知识，上述⽅程对应的特征多项式为：设该⽅程有k个实根（i＝1，2，…k）r对复根（i＝1，2，…r）k＋2r＝n 且各根互异（具有相同的根时分析⽅法相同，推导稍繁琐）则上述齐次⽅程的⼀般解为：其中为常数，由式中的决定，分析可见：只有当时，否则。
注：只能是⼩于零，等于或⼤于均不⾏。
等于零的情况为临界稳定，属不稳定。
综:线性系统稳定的充要条件（iff）是：其特征⽅程式的所有根均为负实数或具有负的实部。
亦：特征⽅程的根均在根平⾯（复平⾯、s平⾯）的左半部。
亦：系统的极点位于根平⾯（复平⾯、s平⾯）的左半部。
从上⾯的充要条件可以看出：系统稳定性的判断只需计算上系统的极点，看其在s平⾯上的位置，勿需去计算齐次⽅程的解（当系统复杂时的计算可能很繁），勿需去计算系统的脉冲响应。
3.3.5.3 线性系统稳定的必要条件设系统特征⽅程式中所有系数均为实数，并设（若，对特征⽅程两端乘（－1）），可以证明上述特征⽅程中所有系数均⼤于零（即）是该特征⽅程所有根在s平⾯的左半平⾯的必要条件。
第五章(劳斯和赫尔维茨稳定性判据)
劳斯稳定性判据
学习要点： 2.能用劳斯判据判断系统的稳定性。 (4)劳斯判据的特殊情况
劳斯稳定性判据
学习要点： 2、能用劳斯判据判断系统的稳定性。 (4)劳斯判据的特殊情况
劳斯稳定性判据
学习要点：
பைடு நூலகம்2、能用劳斯判据判断系统的稳定性。 (4)劳斯判据的特殊情况
劳斯稳定性判据
学习要点： 3.能用劳斯判据判断系统的相对稳定性。
用s=z-α代入原特征多项式， 再用劳斯判据判断其z多项式的 特征根情况。 s3+4s2+6s+4=0 a1a2＞a0a3 系统是稳定的，全部特征根 在S左半平， 检查是否有α=1的裕量。 s=z-α原s特征式得： z3+1z2+1z+1=0 a1a2=a0a3 系统临界稳
劳斯稳定性判据
学习要点： 2.能用劳斯判据判断系统的稳定性。 （1）一、二阶系统稳定性判别
结论：一、二阶系统稳定的充要条件是： 特征方程各项系数均为正。
劳斯稳定性判据
学习要点： 2.能用劳斯判据判断系统的稳定性。 （2）三阶系统稳定性判别
结论：三阶系统稳定的充要条件是： 特征方程各项系数均为正，且a1a2＞a0a4。 (3)高阶系统稳定性判别——列劳斯表判断
第一列的系数中如果出现负号则劳斯阵列表中第一列的系数符号改变的次数等于特征方程的实部为正的实根数目也就是特征根在根平面右半部分的数目
劳斯稳定性判据
学习要点： 1.理解和运用线性系统稳定的充分必要条件 系统微分方程的特征根的全部根都是负实数或实部 为负的复数，即系统闭环传递函数的极点均位于S平面 10 左半面。 (s) s 5s 10 某系统闭环传递函数为 系统闭环传递函数的分母等于零所得方程式称为系 统的特征方程式。 系统的特征方程式为s2+5s+10=0 特征方程的根（闭环传递函数的极点）为： -2.5000 + 1.9365i -2.5000 - 1.9365i 以上是特征方程的四个特征根， 实部全为负，则系统是稳定的。
第五章-1-劳斯稳定性判据[1]自动控制原理_浙江大学考研资料.doc
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第五章-1-劳斯稳定性判据[1]自动控制原理_浙江大学考研资料自动控制理论浙江大学控制科学与工程学系芳周立芳徐正国第五章控制系统特性1? 输入变量、输出变量? 方程的阶独立储能元件? 输入输出模型及其一般形式微分方程传递函数方块图? 状态空间模型? 线性化第二章回顾2第二章列写系统方第三章回顾? 稳态响应? 暂态响应? 系统暂态（动态）? 时间响应性能指标? 状态方程的全解3第三章微分方程的4第四章回顾? 系统整体传递函数? 仿真图? 信号流图? 从传递函数到状态空间模型的转换第四章系统表示方5第五章关键词? 系统稳定性? 劳斯稳定性判据? 相对稳定性? 系统型别? 稳态误差? 稳态误差系数6第五章要点? 引言? 劳斯稳定性判据? 数学量与物理量? 反馈系统型别? 稳态误差系数? 稳态误差系数的应用? 非单位反馈系统? 小结控制科学与工程学系引言? 引言? 系统稳定性8? 开环及闭环传递函数具有某些基本性质，这些性质为反馈控制系统的暂态及稳态分析提供了帮助。
开环及闭环传递函数具有某些基本性质，这些性质为反馈控制系统的暂态及稳态分析提供了帮助。
? 衡量反馈控制系统性能的五个重要指标? 稳定性? 稳态误差的存在性及量级? 可控性? 可观性? 参数灵敏性引言引言基于状态空间模型取决于系统的特征方程，有多种分析方法。
取决于系统的特征方程，有多种分析方法。
9? 劳斯稳定性判据为判别系统稳定性提供了途径，并且不需要直接计算系统特征方程的根。
为判别系统稳定性提供了途径，并且不需要直接计算系统特征方程的根。
? 稳态误差可以根据单位反馈系统（或等价的单位反馈系统）的（或等价的单位反馈系统）的开环传递函数获得，其作为一种性能指标，为系统分类提供了依据。
获得，其作为一种性能指标，为系统分类提供了依据。
引言引言10? 我们将介绍一种评价系统稳定性的有力工具劳斯- 赫尔维茨方法，该方法能够使我们在不计算特征方程根的确切值的情况下，推断位于复平面，该方法能够使我们在不计算特征方程根的确切值的情况下，推断位于复平面右半平面的特征根个数。
第五章 控制系统的稳定性分析(含习题答案)
f1 g1
劳斯阵列
注意：如果劳斯阵列第一列元素的符号不全 相同，则该列元素符号变化的次数，就是特 征方程所含实部为正的根的数目。
劳斯判据使用说明： （ 1）用一个正数去乘或除劳斯阵的某一整行，不会改变稳定性的结论。
4 3 2 例5-1 设控制系统的特征方程式为：D s s 8s 17 s 16s 5 0
Bl e
l 1
sin l t l Dr t r e r t sin r t r
r 0
n4 1
n2重实根
s pk
n3对不同的共轭复数根 s l jl
结论：控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程式的根全部具 有负实部。
5. 2 系统稳定的充要条件
s3, 4 2 j
系统特征方程具有两对共轭虚根，系统处于临界稳定。（不稳定，对应的 暂态分量为等幅振荡。)
劳斯判据使用说明：
例 5-3 ： 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为：G s 试应用劳斯判据判断预使系统稳定的K的取值范围。 解：根据题意，可得系统的闭环传递函数为：
K s s 2 s 1 s 2
大范围稳定：系统稳定与否，与初始偏差的大小无关。 小偏差稳定：初始偏差不超过一定范围的情况下，系统是稳定的。
5. 2 系统稳定的充要条件
一、系统稳定条件分析
系统扰动输入到输出之间的传递函数：
Xo s G2 s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm M s N s 1 G1 s G2 s H s a0 s n a1s n 1 an 1s an D s
C s D s
闭环传递函数的特征方程：D(s)=0，特征方程的根即系统传递函数的极点。
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学习要点： 1.理解和运用线性系统稳定的充分必要条件 系统微分方程的特征根的全部根都是负实数或实部 为负的复数，即系统闭环传递函数的极点均位于S平面 10 左半面。 (s) s 5s 10 某系统闭环传递函数为 系统闭环传递函数的分母等于零所得方程式称为系 统的特征方程式。 系统的特征方程式为s2+5s+10=0 特征方程的根（闭环传递函数的极点）为： -2.5000 + 1.9365i -2.5000 - 1.9365i 以上是特征方程的四个特征根， 实部全为负，则系统是稳定的。
劳斯稳定性判据
学习要点： 2.能用劳斯判据判断系统的稳定性。 (4)劳斯判据的特殊情况
劳斯稳定性判据
学习要点： 2、能用劳斯判据判断系统的稳定性。 (4)劳斯判据的特殊情况
劳斯稳定性判据
学习要点：
2、能用劳斯判据判断系统的稳定性。 (4)劳斯判据的特殊情况
劳斯稳定性判据
学习要点： 3.能用劳斯判据判断系统的相对稳定性。
用s=z-α代入原特征多项式， 再用劳斯判据判断其z多项式的 特征根情况。 s3+4s2+6s+4=0 a1a2＞a0a3 系统是稳定的，全部特征根 在S左半平， 检查是否有α=1的裕量。 s=z-α原s特征式得： z3+1z2+1z+1=0 a1a2=a0a3 系统临界稳
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劳斯稳定性判据
学习要点： 2.能用劳斯判据判断系统的稳定性。 设系统的特征方程式为： 劳斯表：
劳斯稳定性ห้องสมุดไป่ตู้据
学习要点： 2.能用劳斯判据判断系统的稳定性。 设系统的特征方程式为：
劳斯判据：系统稳定的充分必要条件是系统闭环特 征方程各项系数均为正(必要条件)，且劳斯表的第一列 各元素均为正(充分条件)。 第一列的系数中如果出现负号，则劳斯阵列 表中第一列的系数符号改变的次数等于特征方程 的实部为正的实根数目，也就是特征根在根平面 右半部分的数目。
劳斯稳定性判据
学习要点： 2.能用劳斯判据判断系统的稳定性。 （1）一、二阶系统稳定性判别
结论：一、二阶系统稳定的充要条件是： 特征方程各项系数均为正。
劳斯稳定性判据
学习要点： 2.能用劳斯判据判断系统的稳定性。 （2）三阶系统稳定性判别
结论：三阶系统稳定的充要条件是： 特征方程各项系数均为正，且a1a2＞a0a4。 (3)高阶系统稳定性判别——列劳斯表判断