实数考点及题型

实数

知识网络结构图

一、知识性专题

专题1 无理数与有理数的有关问题 例1 在－2，0，2，1，

4

3

，－0.4中，正数有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个

例2 请写出两个你喜欢的无理数，使它们的和为有理数，你写的两个无理数是 ．

专题2 平方根、立方根的概念

例3 要到玻璃店配一块面积为1．21 m 2的正方形玻璃，那么该玻璃的边长为 m ．

例4 计算1

21)32010(8-⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+．

例5 已知b ＝a 3＋2c ，其中b 的算术平方根为19，c 的平方根是±3，求a 的值．

专题3 实数的有关概念及计算

例6 把下列各数分别填入相应的集合里：38，3，－3.14159，

3

π，722，32-，

8

7

-，0，－0.∙

∙02，1.414，7-，1.2112111211112…(每两个相邻的2中间依次多1个1)． (1)正有理数集合：{ …}； (2)有理数集合：{ …}； (3)无理数集合：{ …}； (4)实数集合：{ …}．

例7 如图13－13所示，在数轴上点A 和B 之间的整数点有 __个．

例8 已知a ，b 为数轴上的点，如图13－14所示，求b

a b

a ++的值．

专题4 非负数的性质及其应用

例9 若2)3(a -与1-b 互为相反数，则b

a -2

的值为 ．

例10 已知a ，b ，c 都是实数，且满足(2－a )2＋82

++++c c b a ＝0，且ax ２

＋bx

＋c ＝0，求代数式3x 2＋6x ＋1的值．

例11 已知实数x ，y 满足022132=+-+--y x y x ，求y x 5

4

2-的平方根．

例12 若a ，b 为实数，且1

1122++-+-=a a a a b ，求3

-+-b a 的值．

二、规律方法专题

专题5 实数比较大小的方法 1．平方法

当a ＞0，b ＞0时，a ＞b b a ＞⇔． 例13 比较32和23的大小．

2．移动因数法

利用a ＝2

a (a ≥0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小． 例14 比较34和25的大小．

3．作差法

当a －b ＝0时，可知a ＝b ；当a －b ＞0时，可知a ＞b ；当a －b ＜0时，可知a ＜b ． 例15 比较34与63的大小．

4．作商法

若

1=B A ，则A ＝B ；若B A ＞1．则A ＞B ；若B

A

＜1．则A ＜B ．(A ，B ＞0且B ≠0) 例16 比较

3

5

4和11的大小．

三、思想方法专题 专题6 分类讨论思想

【专题解读】 当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，应按所有可能的情况分别讨论．实数的分类是这一思想的具体体现．要学会运用分类讨论思想对可能存在的情况进行分类讨论．要不重不漏．本章在研究平方根、立方根及算术平方根的性质以及化简绝对值时均用到了分类讨论思想．

例17 已知数轴上有A ，B 两点，且这两点之间的距离为24，若点A 在数轴上表示的数为23，则点B 在数轴上表示的数为 ．

专题7 数形结合思想 【专题解读】 实数与数轴上的点是一一对应的，实数在数轴上的表示是数形结合思想的具体表现，通过把实数在数轴上直观地表示出来，可以形象、直观地感受实数的客观存在．为理解实数的概念及其相关性质提供了有力的帮助．

例18 a ，b 在数轴上的位置如图13－15所示，那么化简2

a b a --的结果是 ( )

A ．2a －b

B ．b

C ．－b

D ．－2a ＋b

专题8 类比思想

【专题解读】 本章在学习实数的有关概念及性质、运算时，可以类比已学过的有理数加以理解和运用．

例19 已知四个命题：①如果一个数的相反数等于它本身，那么这个数是0；②若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1；③若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1或0；④如果一个数的绝对值等于它本身．那么这个数是正数．其中真命题有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

例20 设a 为实数，则a a -的值 ( )

A ．可以是负数

B ．不可能是负数

C ．必是正数

D ．正数、负数均可

中考题精选

2.（2011•宁夏，10，3分）数轴上A 、B 两点对应的实数分别是2和2，若点A 关于点B 的对称点为点C ，则点C 所对应的实数为

3.（2011山西，13，3分）计算： 126sin 45______.--︒=

4.（2011贵州毕节，18，5分）对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，

)0(*>+-+=b a b a b a b a ，如：52

32

32*3=-+=， 那么)

4*5(*6＝ 。

5.（2010重庆，17，6分）计算：|－3|＋(－1)2011×(π－3)02

12-⎛⎫

⎪⎝⎭

6. 已知a b 、为有理数，

m n 、分别表示5的整数部分和小数部分，且

21amn bn +=，则2a b += .

作业

一、选择题(每小题3分，共30分) 1． 9-的平方根是 ( )

A ．81

B ．±3

C ．3

D ．－3 2．计算2)3(的结果是 ( )

A ．9

B ．－9

C ．3

D ．－3 3．与10最接近的两个整数是 ( )

A ．1和2

B ．2和3

C ．3和4

D ．4和5

4．如图13－16所示，数轴上的点P 表示的数可能是 ( )

A ．5

B ．－5

C ．－3.8

D ．－10 5．下列实数中，是无理数的为 ( ) A ．3.14 B ．3

1

C ．3

D ．9 6．8

1

-

的平方的立方根的相反数为 ( ) A ．4 B ．81 C ．4

1

- D ．41

7．64的算术平方根是 ( )

A ．8

B ．±8

C ．22±

D ．22

8．如图13－17所示，数轴上A ，B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为( ) A ．－2－3 B ．－1－3 C ．－2＋3 D ．1＋3

9．已知a ，b 为实数，则下列命题中，正确的是 ( ) A ．若a ＞b ，则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则a 2＞b 2 C ．若a ＜b ，则a 2＞b 2 D ．若a 3＞3，则a 2＜b 2 10．下列说法中，正确的是 ( )

A ．两个无理数的和是无理数

B ．一个有理数与一个无理数的和是无理数

C ．两个无理数的积还是无理数