考研数学微分中值讲义(卓越资料

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第三章 微分中值定理与导数的应用

§3.1 微分中值定理

A 基本内容

一、罗尔定理 设函数()x f 满足

（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导； （3）()()b f a f =

则存在()b a ,∈ξ，使得()0='ξf

几何意义：

条件（1）说明曲线()x f y =在()()a f a A ,和()()b f b B ,之间是连续曲线；

条件（2）说明曲线()x f y =在B A ,之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线 条件（3）说明曲线()x f y =在端点A 和B 处纵坐标相等。

结论说明曲线()x f y =在A 点和B 点之间[不包括点A 和点B ]至少有一点，它的切线平行于x 轴。

二、拉格朗日中值定理 设函数()x f 满足

（1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导；

则存在()b a ,∈ξ，使得

()()()ξf a

b a f b f '=-- 或写成()()()()a b f a f b f -'=-ξ ()b a <<ξ

有时也写成()()()x x x f x f x x f ∆⋅∆+'=-∆+θ000 ()10<<θ 这里0x 相当a 或b 都可以，x ∆可正可负。

几何意义：

条件（1）说明曲线()x f y =在点()()a f a A ,和点()()b f b B ,之间是连续曲线； 条件（2）说明曲线()x f y =是光滑曲线。

结论说明曲线()x f y =在B A ,之间至少有一点，它的切线与割线AB 是平行的。 推论1．若()x f 在()b a ,内可导，且()0≡'x f ，则()x f 在()b a ,内为常数。

推论2．若()x f ，()x g 在()b a ,内皆可导，且()()x g x f '≡'，则在()b a ,内

()()c x g x f +=，其中c 为一个常数。

三、柯西中值定理

设函数()x f 和()x g 满足： （1）在闭区间],[b a 上皆连续；

（2）在开区间()b a ,内皆可导；且()0≠'x g 则存在()b a ,∈ξ使得

()()()()()()

ξξg f a g b g a f b f ''=-- ()b a <<ξ

几何意义：考虑曲线AB ⋂

的参数方程()()

⎩⎨

⎧==t f y t g x ()b a t ,∈点()()()a f a g A ,，点()()()b f b g B ,曲线在AB ⋂

上是连续曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，

它的切线平行于割线AB 。

值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。 四、泰勒定理（泰勒公式） 定理1．（皮亚诺余项的n 阶泰勒公式） 设()x f 在含0x 的开区间(,)a b 内有n 阶导数，则有公式

()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=002

00000!

!2!1 其中()()[]

n

n x x x R 00-= ()0x x →称为皮亚诺余项。()()⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-→0lim

00n n x x x x x R

对常用的初等函数如()x x x e x

+1ln ,cos ,sin ,和()α

x +1（α为实常数）的n 阶泰勒公式

都要熟记。

定理2（拉格朗日余项的n 阶泰勒公式）

设()x f 在包含0x 的区间()b a ,内有1+n 阶导数，则有公式

()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=002

00000!

!2!1 其中()()

()()()10

1!

1++-+=

n n n x x n f

x R ξ，

（ξ在0x 与x 之间） 称为拉格朗日余项。

上面展开式称为以0x 为中心的n 阶泰勒公式。当00=x 时，也称为n

阶麦克劳林公式。

如果()0lim =∞

→x R n n ，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。

B 典型例题

一、用罗尔定理的有关方法

1、证明：(,),()0a b st f ξξ'∃∈=或()0f ξ''=

方法：对()f x 或()f x '使用罗尔定理 2、证明：(,),[,(),()]0a b st G f f ξξξξ'∃∈=

方法：构造辅助函数(,())F x f x ，且(,())[,(),()]F x f x G x f x f x ''=，再用罗尔定理。

(1)积分法(原函数法)通过观察得(,())F x f x 。 ①将ξ换成x 得[,(),()]0G x f x f x '= ②恒等变形，便于积分

③积分，分离变量得(,())F x f x C =

(2)公式法：若欲证等式可变形为：'()()'()0P x P x Q x +=，则应取辅助函数为

()()()Q x F x P x e =

(3) 经验法：条件中有定积分，则辅助函数为被积函数

例1、设1

002

1

n

a a a n +++

=+，证明多项式01()n n f x a a x a x =+++在(0,1)内至少有

一个零点。

例2、设()x f 在[]3,0上连续，在()3,0内可导，且()()()3210=++f f f ，()13=f ， 试证：必存在()3,0∈ξ，使()0='ξf