等比数列的前n项和_优秀课件

① 由②，得q4＝2.
∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝a111－－qq20－a111－－qq16 ＝a1q116－1－q q4＝1·q16＝24＝16.
方法二：设S4＝a，S8－S4＝b，S12－S8＝c，S16－S12＝ d，
S20－S16＝e， 则a，b，c，d，e又成等比数列．
则a＝1，b＝3－1＝2， ∴此数列的公比为2. ∴e＝a·24＝1·24＝16. ∴a17＋a18＋a19＋a20＝16.
数列{an}是等比数列，项数是偶数，各项 均为正，它所有项的和等于偶数项和的4倍， 且第二项与第四项的积是第三项与第四项和的 9倍，则数列{lgan}的前多少项和最大？
所以q＝－2.
方法二：a3，a2，a1成等比数列且公比为1q. 所以S3＝a3＋a2＋a1＝a311－－1q1q3 ＝－q122qq－3－11＝－9. 所以q2＋4q＋4＝0，即(q＋2)2＝0. 所以q＝－2.
(4)∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66， ∴aa1n＝＝264 或aa1n＝＝624 . ∵Sn＝a11－－aqnq＝126，an＝a1qn－1，
[题后感悟] (1)与等差数列类似．在等比数列 中，利用通项公式和前n项和公式同样可以在 五 个 基 本 量 a1 、 q 、 an 、 Sn 、 和 n 中 “ 知 三 求 二”．
(2)运用等比数列的前n项和公式时，必须注意 公比q是否为1，并且常用到等式两边约分或两 式相除的办法进行化简或消元.
∴qn＝ ＝26
或q＝12 n＝6
.
已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10， 前20项和S20＝30，求S30.
方法一：
根据条件 设公比为q ―→ 列方程组 ―→ 解出q ―→ 代入求S30
方法二：
根据题意S10；S20－S10， S30－S20成等比数列
―→
S10＝10， S20＝30
3．已知实数列{an}是 等比数列，其中a7＝1， 且a4，a5＋1，a6成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式； (2) 数 列 {an} 的 前 n 项 和 记 为 Sn ， 证 明 ： Sn ＜
128(n＝1,2,3，…)．
解析： (1)设等比数列{an}的公比为q(q∈R)， 由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6， 从而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2， a6＝a1q5＝q－1. 因为a4，a5＋1，a6成等差数列， 所以a4＋a6＝2(a5＋1)， 即q－3＋q－1＝2(q－2＋1)， q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)．
又S10＝10，S20＝30，
∴S30－S20＝S30－30＝30－10102，
即S30＝70.
[题后感悟] 通过两种解法比较可看出，利用 等比数列的性质解题，思路清晰，过程较为简 捷．
2．等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋ a18＋a19＋a20的值．
解析： 方法一：设首项为a1，公比为q， ∵S4＝a111－－qq4＝1，① S8＝a111－－qq8＝3，②
等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比
na1q＝1
na1q＝1
求和公式 Sn＝ a111－－qqnq≠1 Sn＝ a11－－aqnqq≠1
1．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝
1 8
，则该数列的
前10项和为( )
A．2－218
B．2－219
C．2－2110
D．2－2111
(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件为
q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1，由于非常
数列的等比数列的前n项和Sn＝
a11－qn 1－q
＝－
a1 1－q
qn＋
a1 1－q
，可以看出，式子的组成是由一个指数式与一个常数
的和构成的，而指数 式的系数与常数项互为相反数，由此
可以根据前n项和公式判断等比数列，即非常数列为等比数
(3)方法一：设首项为a1， ∵q＝2，S4＝1，∴a111－－224＝1，即a1＝115， ∴S8＝a111－－qq8＝11511－－228＝17. 方法二：∵S4＝a111－－qq4＝1，且q＝2， ∴S8＝a111－－qq8＝a111－－qq4(1＋q4)＝S4·(1＋q4) ＝1×(1＋24)＝17.
(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求a4和S5；
(3)若q＝2，S4＝1，求S8.
(1) Sn＝a111－－qqn，an＝a1.qn－1 ―代―入――已―知―量→
列方程组 ―→ 求解
(2) 据an＝a1qn－1 ―代――换→ 列方程组 ―→ 求a1，q ―→ 求a4和S5
若{an}是等差数列，则数列{aan}(a＞0且a≠1) 是等比数列
(2)数列中与最值相关的问题，往往从单调性 考虑；求单调数列前n项和的最值的常用方法：
若{an}递增，且a1＜0，则Sn有最小值，且满足aann≤＋10≥，0
时Sn最小；
若{an}递减，且a1＞0，则Sn有最大值，且满足aann≥－10≤，0 时， Sn最大．
解析： 因为a4＝a1q3＝q3＝18，
答所以案q＝：12，所B以S10＝1－1－121210＝2－219.故选B.
2．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44， 则a1的值为
( )
A．4
B．－4
C．2
解析：
S5＝a111－－qq5
D．－2
∴44＝a1[11－－－－225]
∴a1＝4，故选A.
[策略点睛]
[规范作答] 由题意知q≠1，且a111－－qqn＝4a1q[11－－q2q2n2] 即14＋qq＝1，∴q＝13. ∵a2·a4＝9(a3＋a4)， ∴a1q·a1q3＝9(a1q2＋a1q3)， ∴a1·q2＝9(1＋q)， 即a1·132＝91＋13.
∴a1＝108，∴an＝108·13n－1＝3n4－4， ∴lgan＝2lg2－(n－4)lg3. ∴当n≥2时， lgan－lgan－1＝2lg2－(n－4)lg3－[2lg2－(n－5)lg3] ＝－lg3＜0. ∴数列{lgan}是 递减的等差数列，且lga1＝lg(22×33)＞ 0. 设数列{lgan}的前n项和最大，则llggaann≥ ＋1＜0，0，
等比数列的前n项和
等比数列的前n项和
1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过 程．
2.能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题．
3.进一步提高解方程(组)的能力，以及整体代换思 想的应用能力.
1.对等比数列前n项和公式的考查是本课时的热点．
2.本课时常与函数、不等式、方程结合命题．
所以q＝12.
故an＝a1qn－1＝q－6·qn－1＝6412n－1.
(2)证明：Sn＝a111－－qqn ＝6411－－1212n ＝1281－12n＜128.
1．在运用等比数列前n面和公式进行运算时应 注意以下几点：
(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共 有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三 个量，都可求出其余两个量．
解析： 当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件； 当q≠1时，a111－－qq3＝3a1q2， 因为a1≠0，所以1－q3＝3q2(1－q)， 因为q≠1， 所以1－q≠0，化简得1＋q＋q2＝3q2，
解得q＝－12或q＝1(舍) 故q的值为1或－12.
等比数列中的基本运算 在等比数列{an}中，
(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得
a1＋a1q2＝10， a1q3＋a1q5＝54，
a11＋q2＝10， ① 即a1q31＋q2＝54. ②
∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝
1 8
，即q＝
1 2
，∴a1
＝8.
∴a4＝a1q3＝8×123＝1，
S5＝a111－－qq5＝8×11－－12125＝321.
―→
S30
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ [解题过程] 方法一：设公比为q，
则aa111111－－－ －qqqq1200＝＝1300
① ②
② ①得1＋q10＝3，∴q10＝2，
∴S30＝a111－－qq30 ＝a111－－qq10(1＋q10＋q20)
＝10×(1＋2＋4)＝70.
方法二：∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，
(3) 据Sn＝a111－－qqn ―代―入―数―据→ 求出a1 ―再―用―公―式→ 求S8
[解题过程]
(1)由Sn＝
a11－qn 1－q
，an＝a1qn－1以及已知条
件得189＝a111－－22n， 96＝a1·2n－1，
∴a1·2n＝192，∴2n＝1a912. ∴189＝a1(2n－1)＝a11a912－1，∴a1＝3. 又∵2n－1＝936＝32，∴n＝6.
答案： A
3．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1， a5＝16，则数列{an}前7项的和为________．
解析： ∵公比q4＝aa15＝16， 且q＞0，∴q＝2， ∴S7＝11－－227＝127.
答案： 127
4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝ 2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于________．
3.多以选择题、填空题的形式考查，有时也在解答题中 考查.
1．如何用数学语言表述等比数列的定义？
若
an＋1 an
＝q，其中n∈N＋，q是非零常数，则称数列{an}
为等比数列．
2．等比数列的通项公式是：an＝a1·qn－1(n∈N＋)． 3．还记得等差数列的前n项和公式吗？
若{an}是等差数列，则Sn＝na12＋an＝na1＋nn－ 2 1d.
即22llgg22－－nn－－43llgg33≥＜00，， ∴nn≤ ＞43＋ ＋lloogg3344. ⇔3＋log34＜n≤4＋log34. 又∵1＜log34＜2，n∈N＋，∴n＝5， ∴数列{lg an}的前5项和最大．
[题后感悟] (1)若{an}是等比数列，且an＞0， 则数列{logaan}(a＞0且a≠1)是等差数列；
1．在等比数列{an}中， (1)已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，求n； (2)已知S3＝72，S6＝623，求an； (3)a3＝－12，前3项和S3＝－9，求公比q. (4)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求n和q.
解析： (1)由Sn＝a11－－aqnq＝3－ 1－96qq＝189，解得q＝2. 又an＝a1qn－1， ∴96＝3·2n－1，即2n－1＝32， ∴n－1＝5，即n＝6. (2)已知S6≠2S3，则q≠1， 又∵S3＝72，S6＝623，
4．一天，小明和小林做贷款游戏，二人从签定 合同之日起，在整整一个月(30天)中，小明第一 天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以 后每天比前一天多贷给小林1万元．而小林按这 样的方式还贷：小林第一天只需还1分钱，第二 天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱 数是前一天的两倍．
同学们算一算，在这个游戏中谁赔谁赚？
列是Sn＝aqn－a(a≠0，q≠0，n∈N＋)的充分必要条件．
(3)在公比为字母参数的等比数列求和时，应分q＝1与 q≠1两种情况进行讨论．
2．等比数列前n项和的性质
(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项 和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍构成等比数列．
(2)在等比数列的前n项和公式中，如果令A＝
a111－－qq3＝72
①
即a111－－qq6＝623
②
②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.
将q＝2代入①，可求得a1＝12， 因此an＝a1qn－1＝2n－2. (3)方法一：由已知可得方程组
a3＝a1·q2＝－12
①
S3＝a11＋q＋q2＝－9 ②
②÷①得1＋qq＋ 2 q2＝34，即q2＋4q＋4＝0.
解析： 设等比数列{an}的前n项和为Sn， 则Sn＝2n－1. 易知等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝1， ∴an＝2n－1，于是an2＝4n－1，
∴a12＋a22＋…＋an2＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝13(4n－1)
答案： 13(4n－1)
5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn， 且S3＝3a3，求公比q的值．
a1 q－1
，那