几种常见的二次曲面ppt课件
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九节二次曲面-PPT课件
单叶双曲面图形
z
o x
y
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
双叶双曲面
o x
y
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z轴相合.
与平面 y y y b )的交线为双曲线. 1( 1
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y a c 轴上. y y 1
2 2 实轴与 x 轴平行, ( 1 ) y b , 1
虚轴与 z 轴平行.
x2 y2 2 1 2 a 2 b 2 2 2 ( c k ) 2 (c k ) 2 c c z k | k |c 当k由0变到c时,椭圆由大变小, 最后缩成一点。
同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
虚轴与 x 轴平行.
2 2 ( 2 ) y b , 实轴与 z 轴平行, 1
,b ,0 ) 的直线. ( 3 ) y b , 截痕为一对相交于点 (0 1
x z 0 , a c y b ( 4 ) y b , 1
x z 0 . a c y b
( x 0 ) （3）用坐标面 yoz ，x=k 与曲面相截
均可得抛物线. 同理当 p 时可类似讨论. 0 ,q 0
椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p 0 , q 0
p 0 , q 0
q 特殊地：当 p 时，方程变为
x y z 2p 2p
旋转而成的）
第九节 二次曲面 一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面. 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
z
o x
y
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
双叶双曲面
o x
y
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z轴相合.
与平面 y y y b )的交线为双曲线. 1( 1
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y a c 轴上. y y 1
2 2 实轴与 x 轴平行, ( 1 ) y b , 1
虚轴与 z 轴平行.
x2 y2 2 1 2 a 2 b 2 2 2 ( c k ) 2 (c k ) 2 c c z k | k |c 当k由0变到c时,椭圆由大变小, 最后缩成一点。
同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
虚轴与 x 轴平行.
2 2 ( 2 ) y b , 实轴与 z 轴平行, 1
,b ,0 ) 的直线. ( 3 ) y b , 截痕为一对相交于点 (0 1
x z 0 , a c y b ( 4 ) y b , 1
x z 0 . a c y b
( x 0 ) （3）用坐标面 yoz ，x=k 与曲面相截
均可得抛物线. 同理当 p 时可类似讨论. 0 ,q 0
椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p 0 , q 0
p 0 , q 0
q 特殊地：当 p 时，方程变为
x y z 2p 2p
旋转而成的）
第九节 二次曲面 一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面. 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
高等数学常用二次曲面图形.ppt
围成的图形如下：
y 0,
y2
12024/9/27
图30：由 z x2 y2 , z x2 y2 围成的图形如下：
z x2 y2 , z x2 y2
22024/9/27
图31：由 z x2 y2 , x2 y2 1, z 0
围成的图形：
图32： 32024/9/27
图14：函数 函
z
1 ey
cos x yey
有无穷多个
极大值，但无极小值。
z 1 ey cos x yey
图15： 62024/9/27
抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1
截成一椭圆。
图16： 72024/9/27
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 在
点
3 a, 3
x2 y2 2x
02024/9/27
图39：由曲面 z x2 y2 和平面
z 0, x 1, y 1 围成图形如下：
z 0, x 1, y 1
12024/9/27
图40：双曲抛物面 z xy 被柱面 x2 y2 1
所截得的图形如下：
x2 y2 1
图41： 22024/9/27
62024/9/27
图1（2）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形在第一卦限部分如下：
x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
图2： 72024/9/27
（2）、曲线
xyz 1
y
21
处的切线
图3： 82024/9/27
（3） 曲线
2x2 y2 z2 16
图46：曲线 x2 y2 z2 1 y z 0
的图形如下：
《I二次曲面介绍》PPT课件_OK
z' 1 (x'2- 2x') 1 y'2-2
2
2
O' =O
= 1 (x' - 2)2 1 y'2 -3.
2
2
这仍不是标准方程，它在新的坐标系中
所表示的曲面仍不显然.
e1
e2'
e2
e1'
18
z' = 1 (x' - 2)2 1 y'2 -3. 这是从[O', e1' , e2' , e3' ]到[O'', e1'', e2'' , e3'' ]
x 0.
椭圆抛物面可以看成是一个顶点x在两条抛物线上的
椭圆运动产生。
y
13
5 双曲抛物面（马鞍面）
z
x2 a2
y2 b2
所表示的曲面.
对称性：对称于 xz, yz
平面和 z轴.
z
用z = h截曲面得
到
x2 a2
y2 b2
h,
z h.
用y = 0截曲面得到
x2 a2z,
y 0.
用x = k截曲面得到
y
2
b2 (z
k2 a2
)
x k
x
0
y
双曲抛物面可以看成是顶点在 14 一条抛物线上的抛物线运动产生。
椭圆抛物面，双曲抛物面没有对称中心，所以叫做
无心二次曲面
z z
x y
0
0
.
y
x
椭圆抛物面
双曲抛物面 15
§3 二次方程的化简
二次曲面：三元二次方程所表示的曲面.
几种常见的二次曲面共36页文档
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
几种常见的ห้องสมุดไป่ตู้次曲面
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
2019年六节常见二次曲面.ppt
第六节 常见的二次曲面
一、椭球面
二、单叶双曲面
三、双叶双曲面 四、二次锥面
五、椭圆抛物面 六、双曲抛物面
称二次方程表示的曲面为二次曲面.
截痕法 用三组平行于坐标面的平面截割所给曲面，然 后由截痕曲线的几何特性分析曲面的几何特性的方法 称为截痕法.
一、椭球面
方程
x2 a2
y2 b2
Байду номын сангаас
z2 c2
1
(2)
a2 b2 c2
所确定的曲面称为单叶双曲面.
三、椭圆抛物面
方程 x2 y 2 z ( p, q同号)
(5)
2 p 2q
所确定的曲面为椭圆抛物面.
若p>0，q>0.利用截痕法可作出其图形.
0，即截痕缩为一
点.当|h|>c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面
z=|h|(|h|>c)不相交.
因此椭球面介于 c z c 的范围内.
同理，用Oxz面截所给曲面的截痕为椭圆
x2 a2
z2 c2
1,
y 0.
用平行于Oxz面的平
面y=h截所给曲面，截痕
为椭圆
x2 a2
(1)
所确定的曲面称为椭球面.
用Oxy坐标平面(即z=0)截所给曲面，截痕为椭圆
x2 a2
y2 b2
1,
z 0.
用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截
痕为椭圆
x2 a2
y2 b2
1
h2 c2 ,
z h.
当h=±c时，截痕为
x2 a2
y2 b2
一、椭球面
二、单叶双曲面
三、双叶双曲面 四、二次锥面
五、椭圆抛物面 六、双曲抛物面
称二次方程表示的曲面为二次曲面.
截痕法 用三组平行于坐标面的平面截割所给曲面，然 后由截痕曲线的几何特性分析曲面的几何特性的方法 称为截痕法.
一、椭球面
方程
x2 a2
y2 b2
Байду номын сангаас
z2 c2
1
(2)
a2 b2 c2
所确定的曲面称为单叶双曲面.
三、椭圆抛物面
方程 x2 y 2 z ( p, q同号)
(5)
2 p 2q
所确定的曲面为椭圆抛物面.
若p>0，q>0.利用截痕法可作出其图形.
0，即截痕缩为一
点.当|h|>c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面
z=|h|(|h|>c)不相交.
因此椭球面介于 c z c 的范围内.
同理，用Oxz面截所给曲面的截痕为椭圆
x2 a2
z2 c2
1,
y 0.
用平行于Oxz面的平
面y=h截所给曲面，截痕
为椭圆
x2 a2
(1)
所确定的曲面称为椭球面.
用Oxy坐标平面(即z=0)截所给曲面，截痕为椭圆
x2 a2
y2 b2
1,
z 0.
用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截
痕为椭圆
x2 a2
y2 b2
1
h2 c2 ,
z h.
当h=±c时，截痕为
x2 a2
y2 b2
几种常见的二次曲面
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
o x
y
1 单叶双曲面 x2 y2 z2 2 2 2 a b c 1 双叶双曲面
图形
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M ( x , y , z ) 的坐标也满足方程
x
M
C
o
y
M1
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面,所以为 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间 表示柱面
zl 2
方程 G ( y , z ) 0 表示 柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
二、柱面
定义. 平行定方向的动直线 l沿定曲线C 移动的 产生的曲面叫做柱面, C 叫做准线, l 叫做母线. 一般地,在三维空间 方程 F ( x , y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
z
y
C
l1
x
z
在 xoy 面上， 表示曲线C, 在C上任取一点 M1 ( x , y ,0) , 过此点作
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
z
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
2 2 2
( a 0) 表示的图形称为二次曲面.
i 1 2 i
6
以下给出几例常用的二次曲面.
o x
y
1 单叶双曲面 x2 y2 z2 2 2 2 a b c 1 双叶双曲面
图形
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M ( x , y , z ) 的坐标也满足方程
x
M
C
o
y
M1
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面,所以为 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间 表示柱面
zl 2
方程 G ( y , z ) 0 表示 柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
二、柱面
定义. 平行定方向的动直线 l沿定曲线C 移动的 产生的曲面叫做柱面, C 叫做准线, l 叫做母线. 一般地,在三维空间 方程 F ( x , y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
z
y
C
l1
x
z
在 xoy 面上， 表示曲线C, 在C上任取一点 M1 ( x , y ,0) , 过此点作
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
z
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
2 2 2
( a 0) 表示的图形称为二次曲面.
i 1 2 i
6
以下给出几例常用的二次曲面.
二次曲面【高等数学PPT课件】
（一）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1(
x
a,
y
b,
z
c)
椭球面与三个坐标面的交线：
x
2
a
2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
y
0
z2 c2
1,
z
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
z
o
o
y
y
y
x
x
x
（二）双曲面
第八节 二 次 曲 面
二次曲面的定义：
a11 x2 a22 y2 a33 z2 2a12 xy 2a23 yz
2a13 xz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌．
z
z
z
o
y
o
x oy x
y x
z x2 y2 y x2 z2
x y2 z2
(2)
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2
z（ p 与 q 同号）
pq
z
o x
z o x
y
z x>0x<0
o y
y x
x2 y2 z
pq
y>0
y<0
x2 y2 z
曲面及其方程、二次曲面-PPT
8
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
21
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
11
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
13
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
播放
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
21
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
11
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
13
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
播放
BB6_5几种常用的二次曲面与空间曲线PPT课件
x2 a2
z2 c2
1
分别绕
x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z2 c2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
21
二、柱面
z
引例. 分析方程 x2 y2 R2
表示怎样的曲面 .
开口向下的旋转抛物面. 例3. 旋转椭球面
0
y
特点:母线C为椭圆,轴为椭圆的
x
对称轴. 例如:yoz面上的椭圆:
y2 a2
z2 b2
1
z
绕z轴旋转得旋转曲面方程:
x2 y2 a2
z2 b2
1
绕y轴旋转得旋转曲面方程:
x
y2 a2
x2 z2 b2
1
y
注:旋转曲面的重要特征是其两个变量的平方项系数相等. 19
例4. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
z y cot
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
z x2 y2 cot
令 a cot
两边平方
x
M (0, y, z)
y
z2 a2( x2 y2 )
20
例5.
求坐标面
xoz
上的双曲线
M
解:在 xoy 面上， x2 y2 R2 表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0) , 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
《I二次曲面介绍》课件
二次曲面的切线和法平面
1
切线
切线方程式是确定点切线方向的关键工具，可以帮助我们理解二次曲面的基本特 征。
2
法平面
法平面相切于曲面上的点，并垂直于该点的切线，是描述曲面矢量值和方向的基 本方法。
3
应用
对于计算两个表面之间的夹角和反射光线，有着应用上的力量，也是了解曲面空 间特征的重要手段。
二次曲面的焦点和准线
《二次曲面介绍》PPT课 件
欢迎来到《二次曲面介绍》课程！二次曲面是数学中一个重要的概念，也具 有广泛应用。在此课程中，我们将深入了解二次曲面的分类、性质、公式和 应用，希望你享受这次学习！
什么是二次曲面？
定义
由二元二次方程$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$所确定的曲面称为一般二次曲面。
工程领域
2
对于数学知识结构的完备和优化起着重 要的推进作用。
在多种物理和工程应用中，二次曲面有
着广泛的实际用途。谷歌、苹果等大型IT
公司也在开发利用二次曲面技术的产品。
3
学术研究
二次曲面仍然是数学与物理学研究领域 的重要研究对象，对未来科学教育的贡 献巨大。
二次曲面的实践应用案例分析
医学成像
二次曲面在体绘制和定义了新 的医学成像方法。它可以为医 师提供三维数据，从而进行更 高质量的检查和诊断。
二次曲面的思考与总结
1 对数学的重要性
了解二次曲面的形式，有助于人们理解和应用数学知识，可以使数学这一抽象的学科更 加形象化、通透化。
2 对科学的启示
二次曲面的理论和应用研究有助于开拓科学领域的新思路，推动科学的不断发展和进步。
3 对未来的期许
线性代数之二次曲面PPT课件
的方向为z 轴的正向.取t 为参数,
t 0时, 点M位于A(a,0,0)处. 经过
时间t, 动点运动到Mt(x,y,z).
设M '为 M t在xoy面上的投影
M'(x, y,0)， AOM't
于是xyaacsoins((tt))
.
A
O。 M t
M'
x
y
27
xacos(t) 该曲线参数方程为:yasin(t)
8.4 空间中的曲面与曲线
曲面(曲线)方程: 1. 曲面(曲线)上的任一点的坐标都满足该
方程. 2. 坐标满足方程的点都在该曲面(曲线)上.
.
1
这一节我们主要研究： 1. 球面 2. 柱面 3. 旋转曲面
一 、 空 间 曲 线 的 一 般 方 程 4.空 间 曲 线 二 、 空 间 曲 线 的 参 数 方 程
zvt
称 此 曲 线 为 螺 旋 线
.
28
三、空间曲线在坐标面上的投影
投 影 曲 线设 C 是 一 条 空 间 曲 线 , 是 一 个 平 面 , 以 C 为 准 线 ,作 母 线 垂 直 与 的 柱 面 ,称 该 柱 面 与 平 面 的 交 线 为 C 在 平 面 上 的 投 影 曲 线 ,简 称 投 影 .
解：z不动，用 x2y2替代zky中的y得
z
zk x2 y2
即
x2 y2
z2 k2
0
o
圆锥面：直线L绕另一条与L相交的直
y
半 顶 角 ： 两 线直 旋线 转的 夹 一角 周 所（ 得0 的 旋转 面） x 2
.
16
.
17
例 求 双 曲 线 a x2 2b z2 2 1绕 x轴 旋 转 一 周 所 得 曲 面 的 方 程 y0
二次曲面的直径面、对称面.ppt
或
1( X ,Y , Z )x 2 ( X ,Y , Z ) y 3( X ,Y , Z )z 4( X ,Y , Z ) 0.
定义 5.2 二次曲面的沿非渐近方向X :Y : Z的平行弦中 点所在的平面称为二次曲面共轭与方向X :Y : Z的直径面.
推论 5.1 假如二次曲面S的中心存在，那么S的任何直 径面一定通过S的中心.进一步，线心曲面的 任何直径面通过它的中心直线，面心曲面的 直径面就是它的中心平面.
二二次曲面的对称面二次曲线的直径对称轴定义56平面称为二次曲面的对称面如果对于任意点它关于的对称点定义57与共轭方向垂直的直径面称为二次曲面的某一组平行弦的中点经过此平面且这组平行弦与垂直因而主径面是一直径面且与它所共轭的方向垂直于是因为不全为所以由齐次线性方程组有111213212223313233111213212223313233定义二次曲面的主径面的法向称为的主方向由2和3式知二次曲面的主方向为矩的特征方向因此给出求解的主方向的方法
定义 5.8 二次曲面S的奇向及S的主径面的法向称为 S的主方向.
由（2）和（3）式知，二次曲面S的主方向为矩 阵A的特征方向，因此给出求解S的主方向的方法：
1、先求出A的特征根，
2、再将特征根代入(2)式.
由（2）式知， 0对应的主方向是S的奇向，
非零特征根对应的主方向为S的非渐近方向，因为 ( X ,Y , Z ) X 1( X ,Y , Z ) Y2( X ,Y , Z ) Z3(X ,Y ,Z )
写成矩阵形式有
a21
a22
a31 a32
a11- a12
或
a21
a22 -
a31
a32
a13 X X
a23
Y
1( X ,Y , Z )x 2 ( X ,Y , Z ) y 3( X ,Y , Z )z 4( X ,Y , Z ) 0.
定义 5.2 二次曲面的沿非渐近方向X :Y : Z的平行弦中 点所在的平面称为二次曲面共轭与方向X :Y : Z的直径面.
推论 5.1 假如二次曲面S的中心存在，那么S的任何直 径面一定通过S的中心.进一步，线心曲面的 任何直径面通过它的中心直线，面心曲面的 直径面就是它的中心平面.
二二次曲面的对称面二次曲线的直径对称轴定义56平面称为二次曲面的对称面如果对于任意点它关于的对称点定义57与共轭方向垂直的直径面称为二次曲面的某一组平行弦的中点经过此平面且这组平行弦与垂直因而主径面是一直径面且与它所共轭的方向垂直于是因为不全为所以由齐次线性方程组有111213212223313233111213212223313233定义二次曲面的主径面的法向称为的主方向由2和3式知二次曲面的主方向为矩的特征方向因此给出求解的主方向的方法
定义 5.8 二次曲面S的奇向及S的主径面的法向称为 S的主方向.
由（2）和（3）式知，二次曲面S的主方向为矩 阵A的特征方向，因此给出求解S的主方向的方法：
1、先求出A的特征根，
2、再将特征根代入(2)式.
由（2）式知， 0对应的主方向是S的奇向，
非零特征根对应的主方向为S的非渐近方向，因为 ( X ,Y , Z ) X 1( X ,Y , Z ) Y2( X ,Y , Z ) Z3(X ,Y ,Z )
写成矩阵形式有
a21
a22
a31 a32
a11- a12
或
a21
a22 -
a31
a32
a13 X X
a23
Y
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第四节 几种常见的二次曲面
一、问题的提出 二、柱面 三、锥面 四、旋转曲面 五、椭球面 六、双曲面 七、抛物面 八、一般的二次曲面 九、小结与思考判断题
04.03.2020
《高等数学》第九章
1
一、问题的提出 (Introduction)
三元二次方程表示的曲面，称为二次曲面。 如球面 (x 1 )2 (y 2 )2 (z 3 )2 4
例2、 x z 表示怎样的曲面？
z
解：母线平行于 y 轴，准线为
xoz 面上的曲线（抛物线）
x z 的抛物柱面。
xo
x z
y
04.03.2020
《高等数学》第九章
5
3）一般地，只含 y, z 而缺 x 的方程 H(y, z)=0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的柱 面，其准线为 yoz 面上的曲线 H(y,z) 2、练习题:
04.03.2020
《高等数学》第九章
8
2、 旋转曲面方程的求法 ：
1）设在 yoz 坐标平面上有一已知曲线C，
方 程为fx(y,0z)0
把该曲线绕 z 轴旋 转一周，得一个以 z 轴 为轴的旋转曲面。
设 M (,y,z)为曲线C上的任意一点，则有
f(y,z)
04.03.2020
y o x
曲面与平面 z = t 相交，得截痕为不同高度、
不同大小的椭圆：
x2 a2
y2 b2
t2 c2
特殊情形：当 a = b 时，此时为圆锥面。
04.03.2020
《高等数学》第九章
7
四、旋转曲面
1 、定义：以一条平面 曲线绕该平面上的一条 直线旋转一周所成的曲 面叫做旋转曲面。这条 直线叫做旋转曲面的轴。 旋转的曲线称为母线。
《高等数学》第九章
9
当曲线C绕 z 轴旋转时，点 M 也绕 z 轴转动到
另一 M(点 x,y,z), 此时z，z1保持不变，
点M到 z 轴的距离 d xy y, 将zz1,
y xy 代f入 (y,z) 得f( xy,z)
z
d M1(0,y1,z1)
下列方程在平面、空间直角坐标系中各表 示什么图形，并画出其草图。
)x )y x
z
z
o y
x
x2
04.03.2020
o
x
y
yx1
《高等数学》第九章
)x z
z
x2 y2 4
o y
x
6
三、锥面
z
椭圆锥面： x2 y2 z2 a2 b2 c2 0
x
特殊情形：① 当 a=b=c 时，此时为球面 xyza
04.03.2020
《高等数学》第九章
动的直线L形成的轨迹叫做柱面。
04.03.2020
L C
动直线L叫做柱 面的母线，定曲线C 叫做柱面的准线。
《高等数学》第九章
3
1）一般地，只含 x, y 而缺 z 的方程 F(x, y)=0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上的曲线 F(x,y)
例1、 xy R 表示怎样的曲面？
f(y, xz)
04.03.2020
《高等数学》第九章
11
2）xoy
面上的曲线C
：
f z
( x, y) 0
0
绕 x 轴 f(x, yz)
绕 y 轴 f( xz,y)
3）zox
面上的曲线C
：
f y
( x,z) 0
0
绕 x 轴 f(x, yz)
二次曲面的研究方法：(不能用描点法，而用截痕法) 用平行于坐标面的平面去截曲面，由所得
截痕来勾画曲面的大体形状及如下一些特性。 1）对称性：关于坐标面，坐标轴 2）存在范围 3）曲面与坐标轴、坐标面的关系
04.03.2020
《高等数学》第九章
2
二、柱面
1、柱面的定义： 一般地，平行于定直线并沿定曲线C移
z
zycot (0)
2
旋转面为 z xycot
0
x
即 z(xy)cot
直线L
y
04.03.2020
《高等数学》第九章
13
x2 y2
例4 xoy 面上的椭圆 a2 b2 1
绕 x 轴转得曲面： 绕 y 轴转得曲面：
x2 y2 z2 a2 b2 1
4 94
解：是由
x xo:y
y
绕y轴 转 成
或
z2 y2 yo:z 1
绕y轴 转 成
49
z
思考：方程 x2y2 R2 z 表示怎样的曲面？
1、怎样形成？ 2、什么曲面？
0
y
x
04.03.2020
《高等数学》第九章
15
五、椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z y
旋转椭球面
x2 z2 a2
y2 b2
1
旋转椭球面
zox 面上的双曲线
x2 a2
z2 b2
1
绕
z
轴转得曲面：
x y a
z b
旋转单叶双曲面
绕
x
轴转得曲面：
x2 a2
y2 z2 b2
1
旋转双叶双曲面
04.03.2020
《高等数学》第九章
14
例5 x2 y2 z2 1 是怎样形成的？
解：母线平行于 z 轴，准线为 xoy 面上的
曲线（圆） xy R 的圆柱面。
z
x2(ya)2a2也是圆柱面。
yx 是平面，也是柱面。
o x
y
yx
04.03.2020
《高等数学》 y 的方程 G(x, z)=0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 y 轴的柱 面，其准线为 xoz 面上的曲线 G(x,z)
M f(y,z)0
此即为所求旋转曲面的方程。
o x
y
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《高等数学》第九章
10
注：求旋转曲面的方程的技巧：
在曲线C
的方程
f ( y, z) x0
0
的第一个方程
中，只要将 y 改成 x2 y2, z 不变，便得曲
线C绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程。
同理，曲线C绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的 方程为：
绕 z 轴 f( xy,z)
04.03.2020
《高等数学》第九章
12
例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一
周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫
圆锥面的顶点，两直线的夹角()叫圆 锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转
轴为z轴，半顶角为 的圆锥面方程．
解：yo面 z 上的直 L的 线方程:为
一、问题的提出 二、柱面 三、锥面 四、旋转曲面 五、椭球面 六、双曲面 七、抛物面 八、一般的二次曲面 九、小结与思考判断题
04.03.2020
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1
一、问题的提出 (Introduction)
三元二次方程表示的曲面，称为二次曲面。 如球面 (x 1 )2 (y 2 )2 (z 3 )2 4
例2、 x z 表示怎样的曲面？
z
解：母线平行于 y 轴，准线为
xoz 面上的曲线（抛物线）
x z 的抛物柱面。
xo
x z
y
04.03.2020
《高等数学》第九章
5
3）一般地，只含 y, z 而缺 x 的方程 H(y, z)=0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的柱 面，其准线为 yoz 面上的曲线 H(y,z) 2、练习题:
04.03.2020
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8
2、 旋转曲面方程的求法 ：
1）设在 yoz 坐标平面上有一已知曲线C，
方 程为fx(y,0z)0
把该曲线绕 z 轴旋 转一周，得一个以 z 轴 为轴的旋转曲面。
设 M (,y,z)为曲线C上的任意一点，则有
f(y,z)
04.03.2020
y o x
曲面与平面 z = t 相交，得截痕为不同高度、
不同大小的椭圆：
x2 a2
y2 b2
t2 c2
特殊情形：当 a = b 时，此时为圆锥面。
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7
四、旋转曲面
1 、定义：以一条平面 曲线绕该平面上的一条 直线旋转一周所成的曲 面叫做旋转曲面。这条 直线叫做旋转曲面的轴。 旋转的曲线称为母线。
《高等数学》第九章
9
当曲线C绕 z 轴旋转时，点 M 也绕 z 轴转动到
另一 M(点 x,y,z), 此时z，z1保持不变，
点M到 z 轴的距离 d xy y, 将zz1,
y xy 代f入 (y,z) 得f( xy,z)
z
d M1(0,y1,z1)
下列方程在平面、空间直角坐标系中各表 示什么图形，并画出其草图。
)x )y x
z
z
o y
x
x2
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o
x
y
yx1
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)x z
z
x2 y2 4
o y
x
6
三、锥面
z
椭圆锥面： x2 y2 z2 a2 b2 c2 0
x
特殊情形：① 当 a=b=c 时，此时为球面 xyza
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动的直线L形成的轨迹叫做柱面。
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L C
动直线L叫做柱 面的母线，定曲线C 叫做柱面的准线。
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3
1）一般地，只含 x, y 而缺 z 的方程 F(x, y)=0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上的曲线 F(x,y)
例1、 xy R 表示怎样的曲面？
f(y, xz)
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11
2）xoy
面上的曲线C
：
f z
( x, y) 0
0
绕 x 轴 f(x, yz)
绕 y 轴 f( xz,y)
3）zox
面上的曲线C
：
f y
( x,z) 0
0
绕 x 轴 f(x, yz)
二次曲面的研究方法：(不能用描点法，而用截痕法) 用平行于坐标面的平面去截曲面，由所得
截痕来勾画曲面的大体形状及如下一些特性。 1）对称性：关于坐标面，坐标轴 2）存在范围 3）曲面与坐标轴、坐标面的关系
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2
二、柱面
1、柱面的定义： 一般地，平行于定直线并沿定曲线C移
z
zycot (0)
2
旋转面为 z xycot
0
x
即 z(xy)cot
直线L
y
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x2 y2
例4 xoy 面上的椭圆 a2 b2 1
绕 x 轴转得曲面： 绕 y 轴转得曲面：
x2 y2 z2 a2 b2 1
4 94
解：是由
x xo:y
y
绕y轴 转 成
或
z2 y2 yo:z 1
绕y轴 转 成
49
z
思考：方程 x2y2 R2 z 表示怎样的曲面？
1、怎样形成？ 2、什么曲面？
0
y
x
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15
五、椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z y
旋转椭球面
x2 z2 a2
y2 b2
1
旋转椭球面
zox 面上的双曲线
x2 a2
z2 b2
1
绕
z
轴转得曲面：
x y a
z b
旋转单叶双曲面
绕
x
轴转得曲面：
x2 a2
y2 z2 b2
1
旋转双叶双曲面
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14
例5 x2 y2 z2 1 是怎样形成的？
解：母线平行于 z 轴，准线为 xoy 面上的
曲线（圆） xy R 的圆柱面。
z
x2(ya)2a2也是圆柱面。
yx 是平面，也是柱面。
o x
y
yx
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《高等数学》 y 的方程 G(x, z)=0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 y 轴的柱 面，其准线为 xoz 面上的曲线 G(x,z)
M f(y,z)0
此即为所求旋转曲面的方程。
o x
y
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10
注：求旋转曲面的方程的技巧：
在曲线C
的方程
f ( y, z) x0
0
的第一个方程
中，只要将 y 改成 x2 y2, z 不变，便得曲
线C绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程。
同理，曲线C绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的 方程为：
绕 z 轴 f( xy,z)
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《高等数学》第九章
12
例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一
周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫
圆锥面的顶点，两直线的夹角()叫圆 锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转
轴为z轴，半顶角为 的圆锥面方程．
解：yo面 z 上的直 L的 线方程:为