人教版高中数学高一-A版必修4学业测评8 正切函数的性质与图象

学业分层测评(八)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．f (x )＝－tan ⎝

⎛⎭⎪⎫

x ＋π4的单调区间是( )

A ．⎝ ⎛

⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z

B ．()k π，（k ＋1）π，k ∈Z

C ．⎝

⎛

⎭⎪⎫k π－

3π4，k π＋π4，k ∈Z D ．⎝

⎛

⎭⎪⎫k π－π4，k π＋

3π4，k ∈Z 【解析】 令－π2＋k π

4＋k π，k ∈Z .

所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫

k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z .

【答案】 C

2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得的线段长为π

4，则ω的值是( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

【解析】 由题意可得f (x )的周期为π4，则πω＝π

4，∴ω＝4.

【答案】 C

3．函数y ＝tan ⎝

⎛

⎭⎪⎫3x ＋π6图象的对称中心为( )

A ．(0，0)

B ．⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2，0

C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π18，0，k ∈Z

D ．⎝ ⎛⎭

⎪⎫

k π6－π18，0，k ∈Z

【解析】 由函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

k π2，0，k ∈Z ，

令3x ＋π6＝k π2，k ∈Z ，则x ＝k π6－π18(k ∈Z )，∴y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫

3x ＋π6对称中心为

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

k π6－π18，0，k ∈Z .故选D ． 【答案】 D

4．(2016·鹤岗一中期末)若直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π4的

图象不相交，则k ＝( ) 【导学号：00680023】

A ．1

4 B ．－34 C ．14或－34

D ．－14或34

【解析】 由题意得2×k π2＋π4＝π

2＋m π，m ∈Z . k ＝1

4＋m ，m ∈Z .

由于－1≤k ≤1，所以k ＝14或－3

4.故选C ． 【答案】 C

5．(2016·遵义四中期末)在下列给出的函数中，以π为周期且在⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，π2内是

增函数的是( )

A ．y ＝sin x

2 B ．y ＝cos 2x C ．y ＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π4

D ．y ＝tan ⎝

⎛⎭⎪⎫

x －π4

【解析】 由函数周期为π可排除A ．x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，π2时，2x ∈(0，π)，2x ＋π4∈

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π4，54π，此时B 、C 中函数均不是增函数．故选D ． 【答案】 C 二、填空题

6．(2016·南通高一检测)f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，满足f (5)＝7，则f (－5)＝________．

【解析】 ∵f (5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7， ∴a sin 5＋b tan 5＝6，

∴f (－5)＝a sin(－5)＋b tan(－5)＋1 ＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1 ＝－6＋1＝－5. 【答案】 －5

7．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为

__________．

【解析】 由题意可知ω<0，又π|ω|

≥π，

故－1≤ω<0. 【答案】 －1≤ω<0 三、解答题

8．求函数y ＝tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫3x －π3的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性、单

调性．

【解】 由3x －π3≠k π＋π

2，k ∈Z ， 得x ≠k π3＋5π

18，k ∈Z ，

∴所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠k π3＋5π

18，k ∈Z .

值域为R ，周期T ＝π

3，是非奇非偶函数． 在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫

k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z )上是增函数．

9．已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－π3，π4，f (x )＝tan 2 x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最大值和最小值，

并求出相应的x 值．

【解】 f (x )＝tan 2 x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－π3，π4，∴tan x ∈[－3，1]，

∴当tan x ＝－1，即x ＝－π

4时，y 有最小值，y min ＝1； 当tan x ＝1，即x ＝π

4时，y 有最大值，y max ＝5.

[能力提升]

1．(2016·九江高一检测)函数f (x )＝lg(tan x ＋1＋tan 2 x )为( ) A ．奇函数

B ．既是奇函数又是偶函数

C ．偶函数

D ．既不是奇函数又不是偶函数 【解析】 ∵

1＋tan 2 x >|tan x |≥－tan x ，

∴其定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π

2，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＋f (x )＝lg(－tan

x ＋

1＋tan 2 x )＋lg(tan x ＋

1＋tan 2 x )

2．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2，3π2内的图象是图1－4－

3中的________．

图1－4－3

【解析】 函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |