分布列、期望与方差(答案)

第十三章 第一节 排列与组合

执笔：李建军 审核：理数学备考小组

【目标与要求】（1）了解排列与组合的定义；

（2）理解排列与组合数的性质，计算简单的排列与组合数； （3）解决与排列与组合有关的应用题。 【回顾与思考】

1．两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则可以用随机变量0η=，1来描述这个随机试验的结果。如果发生的概率为p ，则不发生的概率为p -1，这时，称η服从两点分布，其中p 称为__________。其分布列为： 期望=ηE _______；方差=ηD ________。

2．超几何分布：()k n k M N M

n

N

C C P X k C --==，0,1,,k m =，其中=m ___________。

3．二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数X 服从二项分布，记为_________。

()(1,0,1,2k k n k

n P X k C p q q p k -===-=，…)n ，表示______________________，二项

分布的分布列为：

期望为______________；方差为_________________。 4．正态分布：

（1）正态曲线：如果总体密度曲线（当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频

率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线，即为总体密度曲线）是或近似地是以下函数

2

22)(,21)(σμσμσ

πϕ--

=

x e

x ，),(+∞-∞∈x 的图象，式中的实数σμ,)0(>σ是参数，分

别是总体的平均数与标准差。正态曲线具有以下性质：

① 曲线在____轴的上方，与____轴不相交；② 曲线关于直线______ 对称；

③ 曲线在的最高点的横坐标______；④ 当μx 时，曲线_____，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以_____轴为渐近线，向它无限靠近。 ⑤ 当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示

总体的分布越集中。 （2）若随机变量X 在),[b a 内取值的概率等于该区间上正态曲线与____轴、直线_____、______

所围成曲边梯形的面积（即dx x b X a P b

a )()(,σμϕ⎰

=

≤<）

，则称随机变量X 服从正态分布。记为__________________。

记住：①=+≤<-)(σμσμX P _________；② =+≤<-)22(σμσμX P ________；③

=+≤<-)33(σμσμX P _________.

从理论上讲，服从正态分布的随机变量X 的取值范围是R ，但实际上X 的取值在区间)3,3(σμσμ+-外的可能性微乎其微，在实际问题中常常认为它是不会发生的。因此， 往往认为服从正态分布的随机变量X 的取值范围是)3,3(σμσμ+- ，这就是σ3原则。在企业管理中，经常应用这个规则进行产品质量检查和工艺生产过程控制。 说明：“小概率事件”通常指发生的概率小于______的事件。 5．性质：=+)(b aX E _________；=+)(b aX D __________。 6．提示：（1）在实际中经常用期望来比较平均水平，当平均水平相近时，再用方差比较稳定程度；（2）注意离散型随机变量的期望、方差与样本数据的平均数、方差的联系。

【考点剖析】 一. 基本公式

例1（1）若ξ~),(p n B ，且12E ξ=，4D ξ=，则=≥)1(ξP __________。18

11()3

- （2）若~(,4)X N μ，且)53()13(≤<=-≤<-X P X P ，则μ=______.1 （3）已知随机变量ξ的分布列如下，则x =_

12；E ξ=__1_；D ξ=___1

2

__。

二. 基本分布列

例2．设在15个零件中有两个次品，从中任取三个，随机变量X 表示取出次品的个数。 （1）指出X 服从什么分布列？并求其分布列。 （2）求EX 、DX 。

（1）超几何分布；（2）

25，52

175

变式：设在15个零件中有两个次品，从中取一个，记录后放回，连取三次，随机变量X 表示取出次品的个数。

（1）指出X 服从什么分布列？并求其分布列。 （2）求EX 、DX 。

堂上练习：（1）《备考指南》112例2 （2）《备考指南》114例1 思考：（1）练习（1）、（2）有何共同之处？是什么分布列？

（2）若把练习（2）《备考指南》114例1“不放回”改成“放回”，是是什么分布列？ 例3.某射手每次射击击中目标的概率是

2

3

，且各次射击的结果互不影响。 （Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率

（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率； （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，

记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列。

（1）解：设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ~25,3B ⎛⎫

⎪⎝⎭

.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率

22

252240(2)133243P X C ⎛⎫⎛⎫

==⨯⨯-=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（Ⅱ）解：设“第i 次射击击中目标”为事件(1,2,3,4,5)i A i =；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ,则

123451234512345()()()()P A P A A A A A P A A A A A P A A A A A =++

=32323

21121123333333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

=

881

（Ⅲ）解：由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6

3

12311(0)()327

P P A A A ζ⎛⎫

==== ⎪⎝⎭

123123123(1)()()()P P A A A P A A A P A A A ζ==++

=2

2

21121122

33333339

⎛⎫⎛⎫⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

1232124

(2)()33327

P P A A A ζ===⨯⨯=

123123(3)()()P P A A A P A A A ζ==+=22

21118333327⎛⎫⎛⎫

⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

123(6)()P P A A A ζ===3

28327⎛⎫

= ⎪⎝⎭

所以ξ的分布列是