回归分析预测法
回归分析预测法
工资
850 840 830 820 810 800 795 790 785
某车间工人的基本情况
生活 支出 600 590
590
食用支出 比例%
20.0 22.0
22.5
年龄
30 29 45
观察可见工时量大， 工资数额大，同时 又影响着生活支 出……。
587
23.0 26
此表中，工资与工时，
585
23.5 22 工资（收入）与生活
r＜0，表明现象呈负直线相关。
相关关系的分析 1.｜r｜＜ 0.3，视为无相关； 2.0.3≤｜r｜＜0.5，为低度相关； 3.0.5 ≤ ｜r｜＜ 0.8，为显著相关； 4.｜r｜≥0,8，一般称为高度相关。
（二）自变量的预测值必须比因变量的预测值 精确或容易求得。
（三）要正确的选择回归方程的形式。
函数关系：现象之间存在的完全对应的依存关
现 系。 象 间
Y=f（x）
的 关
如： c 2R
M PQ
系 相关关系：数量上存在依存关系，但依存关
系不确定。
（一）相关关系的特点 1.现象间确实存在数量上的相互依存关系。
【例】人的身高与体重之间；农作物的产量与施肥 量之间的关系。
2.现象间数量上的不确定、不严格的依存关系。
简化法：rn xy x ynx2x2
n
y2
y
2
相关系数的取值 (1)r的取值范围为－１≤r≤1。 (2)｜r｜越接近于1，表明关系越密切；
｜r｜越接近于0，表明关系越不密切。 (3)r=+1或r=-1，表明两现象完全相关。 (4)r=0，表明两变量无直线相关关系。 (5)r＞0，表明现象呈正直线相关；
利用多元线性回归分析进行预测
利用多元线性回归分析进行预测多元线性回归是一种重要的统计分析方法，它可以使用多个自变量来预测一个连续的因变量。
在实际生活中，多元线性回归分析广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、医学研究等等。
本文将介绍多元线性回归分析的基本原理、应用场景以及注意事项，并通过实例来展示如何进行预测。
首先，我们来了解一下多元线性回归的基本原理。
多元线性回归建立了一个线性模型，它通过多个自变量来预测一个因变量的值。
假设我们有p个自变量（x1, x2, ..., xp）和一个因变量（y），那么多元线性回归模型可以表示为：y = β0 + β1*x1 + β2*x2 + ... + βp*xp + ε其中，y是我们要预测的因变量值，β0是截距，β1, β2, ..., βp是自变量的系数，ε是误差项。
多元线性回归分析中，我们的目标就是求解最优的系数估计值β0, β1, β2, ..., βp，使得预测值y与实际观测值尽可能接近。
为了达到这个目标，我们需要借助最小二乘法来最小化残差平方和，即通过最小化误差平方和来找到最佳的系数估计值。
最小二乘法可以通过求解正规方程组来得到系数估计值的闭式解，也可以通过梯度下降等迭代方法来逼近最优解。
多元线性回归分析的应用场景非常广泛。
在经济学中，它可以用来研究经济增长、消费行为、价格变动等问题。
在金融学中，它可以用来预测股票价格、利率变动等。
在医学研究中，它可以用来研究疾病的风险因素、药物的疗效等。
除了以上领域外，多元线性回归分析还可以应用于市场营销、社会科学等各个领域。
然而，在进行多元线性回归分析时，我们需要注意一些问题。
首先，我们需要确保自变量之间不存在多重共线性。
多重共线性可能会导致模型结果不准确，甚至无法得出可靠的回归系数估计。
其次，我们需要检验误差项的独立性和常态性。
如果误差项不满足这些假设，那么回归结果可能是不可靠的。
此外，还需要注意样本的选取方式和样本量的大小，以及是否满足线性回归的基本假设。
回归分析预测方法
（3）
i 1
i 1
i 1
即对（3）求极值，有：
Q
n
a
2 ( yi
i 1
a bxi ) 0
（4）
Q
b
2
n i 1
( yi
a
bxi )xi
0
（5）
n
n
n
由（4）得： yi a bxi 0 yi na b xi
i 1
i 1
i 1
（6）
n
n
n
由（5）得： xi yi axi xibxi 0 xi yi a xi b xi2 （7）
有数值对应关系的确定依存关系。换句话说，当 自变量的确定值为x，与其对应值为y。这是回归 分析法预测的前提。 ②确定变量之间的相关密切程度，这是相关分析的主 要目的和主要内容。 3、建立回归预测模型
就是依据变量之间的相关关系，用恰当的数 学表达式表示出来。
4、回归方程模型检验 建立回归方程的目的是预测，但方程用于预测
第一节 回归分析预测法概述
回归分析预测法是在分析因变量与自变量之间的相互关 系，建立变量间的数量关系近似表达的函数方程，并进行参 数估计和显著性检验以后，应用回归方程式预测因变量变化 的方法。回归分析预测法是市场预测的基本方法，目前，这 种方法发展的很成熟了，回归预测方法种类繁多，按回归方 程的变量分，有一元、多元回归方程；按回归性质分有线性、 非线性回归等。本章专门讨论一元和二元线性回归问题。
回归分析起源于生物学的研究。英国的著名生物学 家达尔文在19世纪末，发现了一个非常有趣的现象，父 亲身材高大的，其子也比较高大，父亲矮小的，其子也 比较矮小。即父亲的身高与儿子的身高之间有密切的关 系。在大量的研究资料中，又发现身高有一种向平均身 高回归的倾向，这种身高倾向平均数的现象称为回归 （Regression）。经济学家经研究发现，生物界的这种 现象，在经济领域中也存在这种现象，例如，证券市场 的任何一支股票，无论是牛市或熊市股票的价格都向着 平均价格回归。也正因为如此，回归分析在许多领域中 都得到了广泛的应用，并且取得了很好的效果。
回归预测法的基本步骤
回归预测法的基本步骤
1.确定预测目标：明确预测的具体目标，也就是确定因变
量。
例如，如果预测目标是下一年度的销售量，那么销售量Y就是因变量。
2.收集数据：收集与预测目标相关的影响因素的数据，这些
因素是自变量。
例如，可以收集市场调查和查阅资料来寻找与预测目标（销售量）的相关影响因素，并从中选出主要的影响因素。
3.进行相关分析：回归分析需要对具有因果关系的自变量
（影响因素）和因变量（预测对象）所进行的数理统计分析处理。
只有当变量与因变量确实存在某种关系时，建立的回归方程才有意义。
进行相关分析，一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变量和因变量的相关的程度。
4.建立回归预测模型：依据自变量和因变量的历史统计资料
进行计算，在此基础上建立回归分析方程，即回归分析预测模型。
5.回归预测模型的检验：对回归预测模型进行检验，包括相
关性检验、F检验、t检验等，以确保模型的预测误差较小。
6.预测：利用回归预测模型计算预测值，并对预测值进行综
合分析，确定最后的预测值。
03第三章 回归分析预测法
ˆ ˆ x )2 ˆi ) 2 ( yi Q ei2 ( yi y 0 1 i
第三章>>第一节
二、一元线性回归模型参数的估计
根据微分学求极值的原理，对上式求偏导，并令其为 零 得方程组:
yi n 0 1 xi 2 xi yi 0 xi 1 xi
即哪个或哪些是被解释变量哪个或哪些是解释变量将影响研究对象的最主要的定量的经常发生作用的有数据支持的因素作为解释变量纳入模型之中并确定解释变量和被解释变量之间的变动方向解释变量之间相关性研究建模用于经济结构分析时选用恰当的统计指标慎重使用虚拟变量4确定模型的数学形式依据数理经济理论由散点图相关图趋势图观察样本数据变动模式
随机误差项的影响因素
人们的随机行为 回归模型中 省略的变量
2
1
随机误差项 建立的数学模型 的形式不够完善
3
的影响因素
测量误差
5 4
经济变量之间的 合并误差
第三章>>第一节
一、一元线性回归模型的建立
• （二）随机误差项的意义和标准假定
– 随机误差项u是无法直接观测的，为了进行回归分析， 通常设其满足以下标准假定： – 古典线性回归模型（classical linear regression model,CLRM）基本假定： 1. 零均值假定：u i 的期望为0，即：
• 一致性：随着样本量的增大，估计量的 • 值越来越接近被估计的总体参数
ˆ) P(
较大的样本量
B A
较小的样本量
ˆ
最小方差性证明略。
第三章>>第一节
三、一元线性回归模型的检验
• （一）经济检验
第三章回归分析预测方法
1984
539
7136
1992
769
8683
1985
577
7658
1993
801
9317
1986
613
7784
1994
855
9675
1987
644
8108
2019
842
8542
1988
670
7583
2019
860
8584
1989
695
8002
2019
890
9612
1990
713
8442
2019
920
x
相关但无
线性关系
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
2、回归分析与相关分析
研究和测度两个或两个以上变量之间关系的方 法有回归分析和相关分析。
相关分析。研究两个或两个以上随机变量之 间线性依存关系的紧密程度。通常用相关系 数表示，多元相关时用复相关系数表示。
回归分析。研究某一随机变量（因变量）与 其他一个或几个普通变量（自变量）之间的 数量变动的关系。
回本章目录
一、一元线性回归模型
一元线性回归（Linear regression），只研究一个 自变量与一个因变量之间的统计关系。
对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表
示为： yb0b1xe
其中，b0和b1称为模型的参数；e是随机误差项，
又称随机干扰项，有 e N0,2
在线性回归模型中加入随机误差项是基于 以下原因：
第一节 引言
本章学习目的与要求：
通过本章的学习，了解回归分析预测法 的概念，掌握回归分析中各系数的计算方法 及回归预测方法，能够运用Excel工具来进行 预测。
三种回归分析预测法
回归分析预测法回归分析预测法是通过研究分析一个应变量对一个或多个自变量的依赖关系，从而通过自变量的已知或设定值来估计和预测应变量均值的一种预测方法。
回归分析预测法又可分成线性回归分析法、非线性回归分析法、虚拟变量回归预测法三种。
(一)线性回归分析法的运用线性回归预测法是指一个或一个以上自变量和应变量之间具有线性关系(一个自变量时为一元线性回归，一个以上自变量时为多元线性回归)，配合线性回归模型，根据自变量的变动来预测应变量平均发展趋势的方法。
散点圈分析: 自变量和因变量具备线性关系最小二乘法来估计模型的回归系数回归系数的估计值：(相关系数R可根据最小二乘原理及平均数的数学性质得到：估计标准差：预测区间：a为显著水平，n-2为自由度，为y在x o的估计值。
2.预测计算根据上面介绍的预测模型，下面就先计算第一季度的预测销售量。
(X为时间，Y为销售量)。
n=16；；；；；根据公式(5)、(6)、(7)、(8)、(9)有：(x i = 17)i0.025(14) = 2.145(二)非线性回归预测法的运用非线性回归预测法是指自变量与因变量之间的关系不是线性的，而是某种非线性关系时的回归预测法。
非线性回归预测法的回归模型常见的有以下几种：双曲线模型、二次曲线模型、对数模型、三角函数模型、指数模型、幂函数模型、罗吉斯曲线模型、修正指数增长模型。
散点图分析发现，抛物线形状，可用非线性回归的二次曲线模型来预测。
1.预测模型非线性回归二次曲线模型为：(10)令,则模型变化为：(11)上式的矩阵形式为：Y = XB + ε(12)用最小二乘法作参数估计，可设观察值与模型估计值的残差为E，则，根据小二乘法要求有：=最小值，(13)即：=最小值由极值原理，根据矩阵求导法，对B求导，并令其等于零，得：整理得回归系数向量B的估计值为：(14)二次曲线回归中最常用的检验是R检验和F检验，公式如下：(15)(16)在实际工作中，R的计算可用以下简捷公式：(17) 估计标准误差为：(18)预测区间为：·S (n<30)(19)·S (n>30)(20)2.预测计算根据上面介绍的预测模型，下面就先进行XT100-W的预测计算。
回归分析预测法
一元线性回归样本函数
ˆ b ˆX ˆ b Y i 0 1 i ˆ 为E（Y ）的估计式； 式中 , Y
i i
ˆ 为b 的估计式； b 0 0 ˆ 为b 的估计式。 b
1 1
回归模型
对于样本中每一个与Xi相对的观测值Yi与由样 本回归函数得到的估计值有一随机偏差，这个 偏差称为随机误差，记为ei。
如此以来，高的伸进了天，低的缩入了地。他百思 不得其解，同时又发现某人种的平均身高是相当稳 定的。最后得到结论：儿子们的身高回复于全体男 子的平均身高，即“回归”——见1889年F.Gallton 的论文《普用回归定律》。 后人将此种方法普遍用于寻找变量之间的规律
二、回归分析与相关分析
相关分析：是研究两个或两个以上随机
2 2222R ＝1 2
n2
(1 R ）
2
3、变量的显著性检验（t检验）
主要对多元线性回归模型而言，在方程的总体 线性关系呈显著性时，并不能说明每个解释变 量对被解释变量的影响是显著的，必须对每个 解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解 释变量保留在模型中。其检验的思路与方程显 著性检验相似，用以检验的方法主要有三种： F检验、t检验、z检验。它们区别于方程显著性 检验在于构造统计量不同，其中应用最为普遍 的为t检验。
意义：拟合优度越大，自变量对因变量的解释程度越 高，自变量引起的变动占总变动的百分比高。观察点 在回归直线附近越密集。 取值范围：0-1
修正的
R ，记为R
2
2
在应用过程中，如果在模型中增加一个解释变 量，模型的解释功能增强了，回归平方和增大 R ，记为R R R 2 也增大了。从而给人一个错觉：要使得模 了， 型拟合得好，就必须增加解释变量，但是在样 本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得 自由度减少，于是实际应用中引进修正的决定 2 R 系数 ,具体表达式为（其中 n是样本容量，n-k n 1 R ＝1 (1 R ） n2 ＝n-2为残差平方和的自由度， n-1为总体平方和 的自由度）： n 1
回归分析预测方法
.
回归分析预测法
一、回归预测的一般步骤 （一）回归分析预测法的具体步骤 1、确定预测目标和影响因素 2、进行相关分析
r (x x )( y y) (x x)2 (y y)2
2
.
相关系数的取值范围为：，-1≤r≤1即 ≤r 1。当变量与呈线性相关时， 越r接近l， 表明变量间的线性相关程度愈高； 越r 接近0，表明变量间的线性相关程度愈 低。r>0表明为正相关，r<0表明为负相 关。
5
.
5、进行实际预测 运用通过检验的回归方程，将需要预测的自变量x代入方程并计 算，即可取得所求的预测值。 预测通常有两种情况，一是点预测，就是所求的预测值为一个 数值；另一是区间预测，所求的预测值有一个数值范围。通常 用正态分布的原理测算其估计标准误差，求得预测值的置信区 间。
6
.
二、一元线性回归预测方法 （一）一元线性回归预测的含义 （二）一元线性回归预测的实例
3
.
3、建立回归预测模型 线性回归方程的一般表达式为：
y a b1x1 b2 x2 bn xn
当线性回归只有一个自变量与一个因变量间的回归，称为 一元线性回归或简单线性回归、直线回归，可简写为：
y a bx
4
.
4、回归预测模型的检验 建立回归方程的根本目的在于预测，将方程用于预测之 前需要检验回归方程的拟合优度和回归参数的显著性， 只有通过了有关的检验后，回归方程方可用于经济预测， 常用的检验方法有相关系数检验、F检验、t检验和D—w 检验等。
回归分析预测法
变量回归模型。
2020/12/14
回归分析预测法
（二）应用回归分析预测法的条件
▪ 回归预测法是一种实用价值很高的预测方法，但必须在一定的条件下应用。应用 回归预测法要满足以下几方面的条件：
▪ 1.经济现象之间关系密切 ▪ 2.自变量的预测值必须比因变量的预测值精确或容易求得 ▪ 3.要正确地选择回归方程的形式
2020/12/14回Fra bibliotek分析预测法▪ 2.回归分析预测法的种类
▪ 应用回归模型进行市场预测，有很多种类，根据不同的条件可进行不同的分类。 主要的分类有：
▪ (1)按包含自变量个数的多少划分，回归分析预测法分为一元回归分析预测法和 多元回归分析预测法。
▪ (2)按自变量和因变量之间是否存在线性关系划分，回归分析预测法分为线性回 归分析预测法和非线性回归分析预测法。
市场调查与预测
回归分析预测法
2020/12/14
回归分析预测法
一、回归分析预测法概述
▪ 回归分析预测法的含义与种类 ▪ 应用回归分析预测法的条件 ▪ 回归分析预测法的程序
2020/12/14
回归分析预测法
（一）回归分析预测法的含义与种类
▪ 1.回归分析预测法的含义
▪ 回归分析预测法就是从各种经济现象之间的相互关系出发，通过对与预测对象有 联系的现象变动趋势的分析，推算预测对象未来状态数量表现的一种预测法。所 谓回归分析，就是研究某一个随机变量(因变量)与其他一个或几个变量(自变量)之 间的数量变动关系，由回归分析求出的关系式通常称为回归模型(或回归方程)。
2020/12/14
2020/12/14
回归分析预测法介绍
回归分析预测法回归分析预测法就是从各种经济现象之间的相互关系出发，通过对与预测对象有联系的现象变动趋势的分析，推算预测对象未来状态数量表现的一种预测法。
所谓回归分析就是研究某一个随机变量（因变量）与其他一或几个变量（自变量）之间的数量变动关系，由回归分析分析求出的关系式通常称为回归模型。
1、回归模型的分类（1）根据自变量个数的多少，回归模型可以分为一元回归模型和多元回归模型。
（2）根据回归模型是否线性，回归模型可以分为线性回归模型和非线性回归模型。
所谓线性回归模型就是指因变量和自变量之间的关系是直线型的。
（3）根据回归模型是否带虚拟变量，回归模型可以分为普通回归模型和虚拟变量回归模型。
普通回归模型的自变量都是数量变量，而虚拟变量回归模型的自变量既有数量变量也有品质变量。
在运用回归模型进行预测时，正确判断两个变量之间的相互关系，选择预测目标的主要影响因素做模型的自变量是只关重要的。
2、一元线性回归模型一元线性回归模型形式：┄，。
其中，称为因变量，为自变量，代表对因变量的主要影响因素，代表各种随机因素对因变量的影响总和。
在实际应用中，通常假定服从正态分布，即。
称为回归系数。
回归系数的估计：在用一元线性回归模型进行预测时，首先必须对模型回归系数进行估计。
一般说来，估计的方法有多种，其中使用最广泛的是最小平方法（OLS估计法）。
估计结果是：和（┄，）均是我们已有的历史数据。
这里，模型的显著性检验：建立的一元线性回归模型是否符合实际，所选的变量之间是否具有显著的线性相关关系？这就需要对建立的回归模型进行显著性检验，通常用的检验法是相关系数检验法。
相关系数是一元回归模型中用来衡量两个变量之间相关程度的一个指标，其计算公式是：其中，一般说，相关系数愈大说明所选的两个变量之间的相关程度愈高。
模型预测值：在回归模型通过显著性检验性后，就可以用模型来进行预测，代入回归模型，就可以求得一个对应的了。
对于自变量的每一个给定值回归预测值，称为模型的点估计值。
回归分析预测方法
回归分析预测方法回归分析是一种统计学方法，用于研究自变量和因变量之间的关系，并使用这种关系来预测未来的观测数据。
在回归分析中，自变量被用来解释因变量的变化，并且可以使用回归方程来预测因变量的值。
回归分析有多种类型，例如简单线性回归、多元线性回归、多项式回归以及非线性回归等。
其中，简单线性回归是最简单且最常用的回归模型之一、它假设自变量和因变量之间存在线性关系，可以用一条直线来拟合数据。
回归方程的形式可以表示为：Y=β0+β1X+ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
多元线性回归是简单线性回归的扩展，它允许多个自变量来预测因变量。
回归方程的形式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中n是自变量的数量。
多项式回归适用于自变量和因变量之间的关系非线性的情况。
通过将自变量的幂次添加到回归方程中，可以通过拟合曲线来逼近数据。
非线性回归适用于因变量和自变量之间的关系不能通过简单的线性模型来解释的情况。
这种情况下，可以使用其他函数来拟合数据，例如指数函数、对数函数、幂函数等。
在进行回归分析之前，需要满足一些假设。
首先，自变量和因变量之间需要存在一定的关系。
其次，误差项需要满足正态分布和独立性的假设。
最后，自变量之间应该有一定的独立性，避免多重共线性的问题。
回归分析的步骤通常包括数据收集、数据预处理、模型建立、模型评估和模型使用等。
在数据收集和预处理阶段，需要收集并整理自变量和因变量的数据，并对数据进行处理，如缺失值处理和异常值处理等。
在模型建立阶段，需要根据问题的背景和数据的特点选择适当的回归模型，并使用统计软件进行参数估计。
在模型评估阶段，需要对模型进行检验，如检验回归系数的显著性、残差分析和模型的拟合程度等。
最后，在模型使用阶段，可以使用回归方程来预测未来的观测数据，或者进行因素分析和结果解释等。
回归分析预测方法的应用广泛，并且被广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、社会科学以及医学等。
回归分析预测法
回归分析预测法(Regression Analysis Prediction Method)回归分析预测法，是在分析市场现象自变量和因变量之间相关关系的基础上，成立变量之间的回归方程，并将回归方程作为预测模型，依照自变量在预测期的数量转变来预测因变对市场现象以后进展状况和水平进行预测时，若是能将阻碍市场预测对象的要紧因素找到，而且能够取得其数量资料，就能够够采纳回归分析预测法进行预测。
它是一种具体的、行之有效的、有效价值很高的经常使用市场预测方式。
[编辑]1．依照预测目标，确信自变量和因变量明确预测的具体目标，也就确信了因变量。
如预测具体目标是下一年度的销售量，那么销售量Y确实是因变量。
通过市场调查和查阅资料，寻觅与预测目标的相关阻碍因素，即自变量，并从当选出要紧的阻碍因素。
2．成立回归预测模型依据自变量和因变量的历史统计资料进行计算，在此基础上成立回归分析方程，即回归分析预测模型。
3．进行相关分析回归分析是对具有因果关系的阻碍因素（自变量）和预测对象（因变量）所进行的数理统计分析处置。
只有当变量与因变量确实存在某种关系时，成立的回归方程才成心义。
因此，作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是不是有关，相关程度如何，和判定这种相关程度的把握性多大，就成为进行回归分析必需要解决的问题。
进行相关分析，一样要求出相关关系，以相关系数的大小来判定自变量和因变量的相关的程度。
4．查验回归预测模型，计算预测误差回归预测模型是不是可用于实际预测，取决于对回归预测模型的查验和对预测误差的计算。
回归方程只有通过各类查验，且预测误差较小，才能将回归方程作为预测模型进行预测。
5．计算并确信预测值利用回归预测模型计算预测值，并对预测值进行综合分析，确信最后的预测值。
[编辑]应用回归预测法时应第一确信变量之间是不是存在相关关系。
若是变量之间不存在相关关系，对这些变量应用回归预测法就会得犯错误的结果。
正确应用回归分析预测时应注意：①用定性分析判定现象之间的依存关系；②幸免回归预测的任意外推；③应用适合的数据资料；[编辑][编辑]案例一:回归分析预测法预测新田公司销售[1]一、新田公司的进展现状新田公司全称为新田摩托车制造，成立于1992年3月，那时的锡山市(那时还叫无锡县)有两个生产摩托车的乡镇企业：查桥镇的捷达摩托车厂和洛社镇的雅西摩托车厂。
第三章 回归分析预测法 《统计预测与决策》PPT课件
残差分析; 异方差及自相关检验(DW)
24
拟合优度
• 拟合优度是指样本回归直线对观测数据 拟合的优劣程度。
• 如果全部观测值都在回归直线上，我们 就获得“完全的”拟合，但这是罕见的 情况，通常都存在一些正ei或负ei。我们 所希望的就是围绕回归直线的剩余尽可 能的小。
(基本假定)
1) 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即 E(ε)=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值
为E ( y ) =b 0+ b 1 x
2) 对于所有的 x 值，ε的方差σ2 都相同
3) 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且 相互独立。即ε~N( 0 ,σ2 )
a. 独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应 的ε与其他 x 值所对应的ε不相关
y
(xn ,yn)
yˆ bˆ0 + bˆ1x
(x2 ,y2)
｝
ei = yi＾-yi
(x1 ,y1) (xi , yi)
17
x
最小二乘估计式
• 根据最小二乘准则建立样本回归函数的 过程为最小二乘估计，简记OLS估计。
• 由此得到的估计值得计算式称为最小二 乘估计式。
18
双变量线性回归模型的最小二乘估计
36
▪ 包含在y里面但不能被p个自变量的线性关系
所解释的变异性
多元回归模型
(基本假定)
1. 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即
E()=0 2. 对于自变量x1，x2，…，xp的所有值，的
方差2都相同 3. 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，
即ε~N(0,2)，且相互独立
37
多元回归方程
第十二章 回归分析预测法
全面分析影响预测对象的相关因素， 全面分析影响预测对象的相关因素，确定自变量 1、首先对所有影响因素进行分析 2、比较相关因素，找出最主要的影响因素 比较相关因素， 选择回归预测模型， 选择回归预测模型，确定模型参数 实际预测 检验预测模型和预测结果的可靠性程度
三、随机误差项的影响因素
人们的随机行为 回归模型中 省略的变量
回归分析预测法 从各种经济现象之间的相关关系出发， 从各种经济现象之间的相关关系出发， 通过对与预测对象有联系的现象变动趋势的 分析， 分析，推算预测对象未来状态数量表现的一 种预测法。 种预测法。
回归分析预测法的基本步骤 （一）根据预测的目的，选择确定自变量和 根据预测的目的， 因变量 (二)收集历史统计资料 分析.计算并建立回归 (二)收集历史统计资料,分析.计算并建立回归 收集历史统计资料,分析 预测模型 （三）进行相关分析 （四）检验回归预测模型 计算预测误差 检验回归预测模型,计算预测误差 回归预测模型 （五）计算并确定预测值
回归模型 定义：
回归分析是对具有相关关系的变量之间的 数量变化规律进行测定， 数量变化规律进行测定，研究某一随机变量 因变量）与其他一个或几个普通变量（ （因变量）与其他一个或几个普通变量（自变 之间的数量变动关系， 量）之间的数量变动关系，并据此对因变量进 行估计和预测的分析方法。 行估计和预测的分析方法。由回归分析求出的 关系式， 关系式，称为回归模型
P( − t α < t < t α ) = 1 − α
2 2
即
P( −t α <
2
ɵ βi − βi sβɵ
i
i
< tα ) = 1− α
2
ɵ ɵ P ( βi − t α × sβɵ < βi < βi + t α × sβɵ ) = 1 − α
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深：BIAS(5) = -7.02↓，BIAS(10) = -12.37↓
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第四节 非线性回归预测
两个变量之间的关系并非全是线性关 系，非线性关系也比较多。我们在作图 上估计趋势时，可利用标准曲线与之比 较，哪种曲线最合实际情况，若不是线 性关系，通常有几种典型的常用模型。
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四、精度：即是在确定的置信度条件下，求出 相应的置信区间：(n>>0)
当 a = 4.6% 时（yi –2s,yi+2s）
a = 0.27% 时（yi –3s,yi+3s）
其中 S = Q/（n—2),称为剩余标准差。 2004/10/11
损的百分比，即大多数投资者所据有的盈利或亏损空 间。
投资策略：
短线BIAS(5)
-3 ～ -5 +3 ～ +5
为买入时机 为卖出时机
-15～ -20 为最好时机
BIAS(10) -10 ～ -15 为较好时机
-5 ～ -10 可买入
+15 ～ +40 选点卖出
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压力线
卖出
买入
卖出
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其中: lij = ∑(xki － xi)(xkj － x j) liy = ∑(xki － xi)(yk － y )
i,j = 1,2, ‥ ‥ ,m; k=1,2…n;
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判断y与某一自变量xj的相关显著程度采用t检验.
构造统计量 tj = bj/[S Cjj] 其中 S = Q/(n－m－1)
回归分析预测法
从本章起将讨论定量预测技术
第三章的基本思路来源于数学分析 中数理统计的回归分析方法，将因素之 间的规律（利用已知统计资料）设为按 一定数学模型变化的运动轨迹，并假定：
未来的变化仍然是在已知的条件下 进行，运动轨迹将不会发生畸变。
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第一节 回归分析的基本概念
一.基本概念
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二.方法分类 线性
一元 非线性
பைடு நூலகம்多元
线性 非线性
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第二节 一元线性回归预测
一.回归方程的建立
假定需预测的目标为 y，与之对应的因素 x，随 机抽样，子样数为 n ，通过图上打点作粗略估计已知 的一组对应数据，初步定为线性关系，同时再考虑到 随机因素，应有:
yi = a + b xi + ei i = 1,2,……n
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按照一元线性回归方法,利用最小二乘法,求各系数:
Q(bo,b1‥‥bm) = ∑(yk－bo－b1xk1－‥－bmxkm)2
为最小,求各系数的偏导数.
则 Q’b0 = -2 ∑(yk－bo－b1xk1－‥－bmxkm) = 0
:
Q’bj = -2 ∑(yk－bo－b1xk1－‥－bmxkm)xj=0
有bo = y－(b1 x1 +b2 x2 +……+bm xm ) 其余m个方程，可表示为矩阵解：
l11 l12 …… l1j l1m l21 l22 …… l2j l2m
b1 = l1y
b2
l2y
li1 li2 …… lij lim
bi
liy
lm1 lm2 ……lmj lmm bm
lmy
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非线性回归均可转化为线性回归，所以我们研究 多元线性回归就有突出重要性。
设y 与 xj 线性相关，j = 1,2,3,……m,即m元。那么有 y 与 xj 构成的线性关系：
y = bo + b1x1+ ‥‥‥ + bmxm +e
其中bo,b1,‥‥bm为常数，e为随机项, 则对应之回归方
程应为（不考虑随机因素）
1、 .n
∑ei = 0 , 即残差和为0
i=1
2 、 回归直线过点yˆ （x,y） 即过数据重心。
∵ y = a + bx
3 、 回归平均值等于离散平均值，即 yˆ = y
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三. 相关检验
相关检验解决两大问题： x与y是否线性相关及相关强弱如何？ 它们之间相关显著性如何？ 1、y的离差平方和
lyy = ∑(yi—y) 2 对于任意给定的xi，都有yi的波动，波动的大小可
用yi—y来评价，n次结果的总波动大小为lyy,……数据 分散程度。
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ˆyi
2、回归平方和
U = ∑( —y) 2
对于任意给定的xi，yyˆ i i与xi是人为给定的线性变化
而得到，它与实际的均值 y 必产生偏差，这种偏差是 由回归而产生的，是回归偏yˆi 差平方和U……回归分散程 度制定。
(1)
不考虑随机因素，应有:
∧ yi = a + b xi
i = 1,2,n
(2)
代（2）入（1），求得随机项 ∧ ei = yi – yi = yi – ( a + bxi ) （3） ei 称为残
差
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ˆy
这表示，真值与模拟直线y = a + bx之间存
在实际误差 ei，累积平方误差为 Q = ∑ei 2,称
3.残差平方和 ∧ Q = ∑(yi—y) 2 实际值与模拟值产生的误差，由于y∧i 随xi变化的随机 特性引起，模拟的好则残差平方和应尽可能小
lyy = Q+U
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这个公式中：离差平方和lyy是不可变更的客观存 在，且残差平方和Q尽可能小，故有U→ lyy效果好，即
yi与xi之间存在强的线性关系。
y = f (x1,x2, ‥‥‥xn)
显然，有一些问题必须解决
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①因素分析
现代社会中，任何一件事物与多个因素相关，如 何选取主要因素，忽略次要因素，使建立的数学模型 不因变量太多而复杂，又能较好的抓住主要矛盾。
解决方法是求相关系数R
②运动轨迹的模型
主要利用已知统计数据在图上打点进行观察分析， 寻求一条最佳线路。采用最小二乘法，即在满足该条
相关程度的显著与不显著（即使相关性强，但某 因素对另一因素的影响不大，即不显著，那么这种因 素也是不重要的）有一个具体界限，这是R检验。
由于抽样误差的影响，R达到的显著值与样本个数 n有关，且取决于不同的显著性水平（或置信度），配 成相关系数检验表，它们给出了在不同的n,a时，相关 系数达到的最小值。
j = 1,2, ‥‥ ,m.k=1,2,…n; 由此,共得m + 1个方程,
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求bo: ∑yk－nbo－b1 ∑xk1－ ‥ ‥ － bm ∑xkm=0
∴ bo = (1/n) ∑yk－(b1 1/n ∑xk1+ ‥ ‥ +bm 1/n ∑xkm)
令：y = (1/n) ∑yk, xj = y(1/n) ∑ykj
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则b可简记为
b = lxy/lxx , a = y– (lxy/lxx) x a,b称回归系数 y = a + bx 称线性回归方程。 这种方法称为最小二乘法，又叫最小 平方法OLS（Ordinary Least Square)
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二. 一元线性回归方程的代表特性
1.回归分析的来由： 20世纪初，英统计学家 F.Golden 研究父子身高的 遗传统计，高个子父母下一代比父亲更高的概率小于 比他矮的概率，而矮个子父亲下一代比父亲高的概率 大于比他矮的概率；且这两种高度父辈的后代，高度 有向两种父辈平均身高靠拢的趋势，这种现象称为 “回归”——是一种自然界现象规律的提取。
1.若当日股价剧烈上升或下跌，将使BIAS的绝对值加 大，回归愿望强烈。----------------应出货或补仓。
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2.若当日股价沿移动平均值前进，则BIAS在0值附近， 股价运行轨道不变，---------考虑继续持仓或减仓操作，
3.BIAS的数值表明了股价与市场平均成本的盈利或亏
残差平方和，又称剩余平方和。
反之，我们已知的是实际数据（xi，yi），
从可能的无穷条模拟直线中选取某一条直线，
使之模拟得最好，标准为Q = ∑e2i最小。 由（3） Q（a,b）= ∑ei2 = ∑(yi –a--bxi)2
求极值点，应有：[Q(a,b)]’a = 0 及 [Q(a,b)]’b = 0
买入
买入 支撑线
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96.12,因政策和升幅过大下调至97.1月开始上升，至5.12日深成指 从2792至6103，升幅过3311点，因技术要求及97发行额度影响， 暴发性下跌，至5.14日收盘5505，跌598点，BIAS(5) = -4.66， BIAS(10) =-2.54,5.15日以5416开盘，探底5279引发反弹，收至 5622点，5.16 (周五)以2163点开盘，收至5125点，比前日降497点， BIAS(5) = -8.98，BIAS(10) = -9.92，5.19，5.20略有反弹，5.21日 因利空谣传再次下跌，5.22日国务院证券委，中行等出台禁止国 企和上市公司买卖股票的几点规定出台，导致股市暴跌，
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2.回归分析 研究变量之间的互相关系，把其中一些因素作为 控制的变量，而把另一些随机变量作为因变量，利用 适当的数学模型尽可能趋向于趋势变化的均值描述它 们的关系的分析，称为回归分析。 即假定 y 与 x 相关，应有 y = f ( x )