专题16 图形变换之平移与对称(解析版)

专题16图形变换之平移与对称
考纲要求:
1．理解轴对称、轴对称图形、中心对称、中心对称图形、平移的概念. 2．运用图形的轴对称、平移进行图案设计.
3．利用平移、对称的图形变换性质解决有关问题.
基础知识回顾:
知识点一：图形变换
1.图形的轴对称（1）定义：①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．
②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. （2）性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
2.图形的平移（1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
（2）性质：①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；②平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同；
③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等．
3.图形的中心对称（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心．（2）①关于中心对称的两个图形全等；②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.
知识点二：网格作图
坐标与图形的位置及运动图形的
平移变
换
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加
上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或
向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或
减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)
平移a个单位长度．
图形关
于坐标
轴成对
称变换
在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这
两个图形上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；
在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这
两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．
图形关
于原点
成中心
对称
在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，
那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互
为相反数．
应用举例:
招数一、变换图形的形状问题
【例1】下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；这样的图形叫轴对称图形.
故选C.
招数二、平面坐标系中的图形变换问题
【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）请写出A1.A2的坐标．
【答案】（1）△A1B1C1即为所求；（2）△A2B2C2即为所求；（3）A1（2，3），A2（-2，-1）．【解析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用所画图象得出对应点坐标．
招数三、函数中的图形变换问题
【例3】已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．
＜﹣3．【答案】（1）﹣m﹣3;（2）y＝﹣x﹣2（x＞1）;（3）﹣4＜y
P
【解析】（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点，
∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3.
（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，
∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3，
顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3），
∴抛物线G
1
∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3，∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2.
即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2，
∵m＞0，m＝x﹣1，∴x﹣1＞0，
∴x＞1，∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）.
（3）如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线
x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4，∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4），
∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，
x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3，
∴抛物线G恒过点A（2，﹣3），
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y
B ＜y
P
＜y
A
，
∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜y
P
＜﹣3，
招数四、三角形、四边形中图形变换问题
【例4】将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（）
A．B．﹣1 C．D．
【答案】A
【解析】连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：
由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH＝MF，
设正方形ABCD的边长为2a，则正方形ABCD的面积为4a2，
∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等
∴由折叠可知正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积＝，
∴正方形EFGH的边长GF＝＝
[
∴HF＝GF＝
∴MF＝PH＝＝a
∴＝a÷＝
故选：A．
【例5】如图，在中，，，，点M为边AC的中点，点N为边BC 上任意一点，若点C关于直线MN的对称点恰好落在的中位线上，则CN的长为______．
【答案】或
【解析】取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．
如图1中，当点落在MH上时，设，
由题意可知：，，，，
在中，，
，解得；
如图2中，当点落在GH上时，设，
在中，，，，
∽，∴，，；
综上所述，满足条件的线段CN的长为或．
故答案为为或．
招数五、图案设计方案问题
【例6】在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
【答案】见解析．
【解析】如图所示
方法、规律归纳:
1．识别某图形是轴对称图形还是中心对称图形的关键在于对定义的准确把握，抓住轴对称图形、中心对称图形的特征，看能否找出其对称轴或对称中心，再作出判断.
2．在平面直角坐标系中，将点P(x，y)向右(或左)平移a个单位长度后，其对应点的坐标变为(x＋a，y)〔或(x－a，y)〕；将点P(x，y)向上(或下)平移b个单位长度后，其对应点的坐标变为(x，y＋b)〔或(x，y－b)〕．
3．要画出一个图形的平移、对称后的图形，关键是先确定一些关键点，根据相应顶点的平移方向、平移距离、对称不变的性质作出关键点的对应点，这种以“局部代整体”的作图方法是平移、对称中最常用的方法．
4．利用平移、对称的性质解题时，要抓住平移规律及对称中不变的特点来解决问题.
实战演练:
1.如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（）
A．10 B．6 C．3 D．2
【答案】C
【解答】如图所示，n的最小值为3，
2. 如图，抛物线y
1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y
2
，则图中阴影部分的面积是（）
A．2 B．3 C．4 D．无法计算【答案】A
【解析】如下图所示，
∵抛物线y
1=-x2+2向右平移1个单位得到抛物线y
2
，
∴两个顶点的连线平行x轴，
∴图中阴影部分和图中红色部分是等底等高的，
∴图中阴影部分等于红色部分的面积，
而红色部分的是一个矩形，长、宽分别为2，1，
∴图中阴影部分的面积S=2．
故选A．
3. 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2 【答案】D
【解析】y＝x2－6x＋5＝ (x－3) 2－4，
把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得
y＝ (x－3－1) 2－4＋2，即y＝(x－4)2－2．
4.将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，
∴E，G分别为AD，CD的中点，
设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，
∵∠C＝90°，∴Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，
即a2+（2b）2＝（3a）2，∴b2＝2a2，即b＝a，
∴，∴的值为，
故选：B．
5. 如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是 .
【答案】.
【解析】试题解析：如图１，当点P为BC的中点时，MN最短．
此时E、F分别为AB、AC的中点，
∴PE=AC，PF=AB，EF=BC，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；
如图2，当点P和点B（或点C）重合时，此时BN（或CM）最长．
此时G（H）为AB（AC）的中点，
∴CG=2（BH=2），
CM=4（BN=4）．
故线段MN长的取值范围是6≤MN≤4．
6. 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H．判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由．
【解析】DE⊥FG．
理由：由题知：Rt△ABC≌Rt△BDE≌Rt△FEG
∴∠A=∠BDE=∠GFE
∵∠BDE＋∠BED=90°
∴∠GFE＋∠BED=90°，即DE⊥FG．
7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B 的左侧）
（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．
（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m
＞0，n ＞0，求m ，n 的值．
【答案】（1）26x -；（2）72，1．
【解析】（1）令0y =，则212602
x x -++=，解得，12x =-，26x =，
(2,0)A ∴-，(6,0)B ， 由函数图象得，当0y 时，26x -；
（2）由题意得，1(6,)B n m -，2(,)B n m -， 函数图象的对称轴为直线2622
x -+==， 点1B ，2B 在二次函数图象上且纵坐标相同， ∴6()22
n n -+-=，1n ∴=， ∴217(1)2(1)622
m =-⨯-+⨯-+=， m ∴，n 的值分别为72
，1． 8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（m ＞0，n ＞0）．得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A 、B 的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F′与点F 重合，求点F 的坐标．
由B 到B ′，可得方程组：⎩⎨⎧=+⨯=+2
023n a m a ，解得：a =12，m =12，n =2． 设
F 点的坐标为（x ，y ），点F ′点F 重合得到方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+y y x x 22
12121 ，解得：⎩⎨⎧==41y x ，即F
（1，4）．
9. 如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上．点B 的坐标为（8，4），将该长方形沿OB 翻折，点A 的对应点为点D ，OD 与BC 交于点E ． （I ）证明：EO=EB ；
（Ⅱ）点P 是直线OB 上的任意一点，且△OPC 是等腰三角形，求满足条件的点P 的坐标； （Ⅲ）点M 是OB 上任意一点，点N 是OA 上任意一点，若存在这样的点M 、N ，使得AM+MN 最小，请直接写出这个最小值．
【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）P 的坐标为（4，2）或（
，）或P （﹣，﹣）或（，）；（Ⅲ）．
【解析】（Ⅰ）∵将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E，
∴∠DOB=∠AOB，
∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB，
∴∠OBC=∠DOB，∴EO=EB；
（Ⅱ）∵点B的坐标为（8，4），
∴直线OB解析式为y=x，
∵点P是直线OB上的任意一点，∴设P（a，a）．
∵O（0，0），C（0，4），
∴OC=4，PO2=a2+（a）2=a2，PC2=a2+（4-a）2．
当△OPC是等腰三角形时，可分三种情况进行讨论：
①如果PO=PC，那么PO2=PC2，
则a2=a2+（4-a）2，解得a=4，即P（4，2）；
②如果PO=OC，那么PO2=OC2，
则a2=16，解得a=±，即P（，）或P（-，-）；
③如果PC=OC时，那么PC2=OC2，
则a2+（4-a）2=16，解得a=0（舍），或a=，即P（，）；
故满足条件的点P的坐标为（4，2）或（，）或P（-，-）或（，）；（Ⅲ）如图，过点D作OA的垂线交OB于M，交OA于N，
此时的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值．
由（1）有，EO=EB，
∵长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），
设OE=x，则DE=8-x，
在Rt△BDE中，BD=4，根据勾股定理得，DB2+DE2=BE2，
∴16+（8-x）2=x2，∴x=5，∴BE=5，∴CE=3，
∴DE=3，BE=5，BD=4，
∵S
△BDE
=DE×BD=BE×DG，
∴DG=，
由题意有，GN=OC=4，
∴DN=DG+GN=+4=．
即：AM+MN的最小值为．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直线l
1
经过点F和点E，直线l
1与直线l
2
、y=x相交于点P．
（1）求直线l
1
的表达式和点P的坐标；
（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．已知矩形ABCD以每秒个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t ＞0）．
①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l
1或l
2
上，请直接写
出此时t的值；
②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l
1于点N，交直线l
2
于点M．当△PMN的面积
等于18时，请直接写出此时t的值．
【答案】（1）直线l
1
的表达式为y=﹣x+10，点P坐标为（8，6）；（2）①t值为或；②当t=时，△PMN的面积等于18.
【解析】（1）设直线l
1
的表达式为y=kx+b，
∵直线l
1
过点F（0，10），E（20，0），
∴，解得：，
直线l
1
的表达式为y=﹣x+10，
解方程组得，
∴点P坐标为（8，6）；
（2）①如图，当点D在直线上l
2
时，
∵AD=9∴点D与点A的横坐标之差为9，
∴将直线l
1与直线l
2
的解析式变形为x=20﹣2y，x=y，
∴y﹣（20﹣2y）=9，解得：y=，∴x=20﹣2y=，则点A的坐标为：（，），
则AF=，
∵点A速度为每秒个单位，∴t=；
如图，当点B在l
2
直线上时，
∵AB=6，
∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位，
∴直线l
1的解析式减去直线l
2
的解析式得，﹣x+10﹣x=6，
解得x=，y=﹣x+10=，
则点A坐标为（，）
则AF=，
∵点A速度为每秒个单位，∴t=，
故t值为或；
②如图，
设直线AB交l
2
于点H，
设点A横坐标为a，则点D横坐标为a+9，由①中方法可知：MN=，
此时点P到MN距离为：a+9﹣8=a+1，
∵△PMN的面积等于18，
∴=18，
解得a
1=-1，a
2
=﹣-1（舍去），
∴AF=6﹣，
则此时t为，
当t=时，△PMN的面积等于18.。