专题16 图形变换之平移与对称(解析版)

专题16图形变换之平移与对称

考纲要求:

1．理解轴对称、轴对称图形、中心对称、中心对称图形、平移的概念. 2．运用图形的轴对称、平移进行图案设计.

3．利用平移、对称的图形变换性质解决有关问题.

基础知识回顾:

知识点一：图形变换

1.图形的轴对称（1）定义：①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．

②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. （2）性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.

2.图形的平移（1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．

（2）性质：①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；②平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同；

③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等．

3.图形的中心对称（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心．（2）①关于中心对称的两个图形全等；②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.

知识点二：网格作图

坐标与图形的位置及运动图形的

平移变

换

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加

上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或

向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或

减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)

平移a个单位长度．

图形关

于坐标

轴成对

称变换

在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这

两个图形上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；

在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这

两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．

图形关

于原点

成中心

对称

在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，

那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互

为相反数．

应用举例:

招数一、变换图形的形状问题

【例1】下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】将一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；这样的图形叫轴对称图形.

故选C.

招数二、平面坐标系中的图形变换问题

【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）

（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；

（3）请写出A1.A2的坐标．

【答案】（1）△A1B1C1即为所求；（2）△A2B2C2即为所求；（3）A1（2，3），A2（-2，-1）．【解析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；

（3）利用所画图象得出对应点坐标．

招数三、函数中的图形变换问题

【例3】已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．

（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；

（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．

＜﹣3．【答案】（1）﹣m﹣3;（2）y＝﹣x﹣2（x＞1）;（3）﹣4＜y

P

【解析】（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点，

∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3.

（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，

∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3，

顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3），

∴抛物线G

1

∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3，∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2.

即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2，

∵m＞0，m＝x﹣1，∴x﹣1＞0，

∴x＞1，∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）.

（3）如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线

x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4，∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4），

∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，

x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3，

∴抛物线G恒过点A（2，﹣3），

由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y

B ＜y

P

＜y

A

，

∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜y

P

＜﹣3，

招数四、三角形、四边形中图形变换问题

【例4】将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（）

A．B．﹣1 C．D．

【答案】A

【解析】连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：