高中数学必修2直线与圆的位置关系2

到台风的影响． y
B
0
A
x
归纳小结：直线与圆的位置关系的判断方法有两种：
①代数法：通过直线
方程与圆的方程所组成的 方程组成的方程组，根据 解的个数来研究，若有两 组不同的实数解，即⊿＞ ０，则相交；若有两组相 同的实数解，即⊿＝０， 则相切；若无实数解，即 ⊿＜０，则相离．
②几何法：由圆心
到直线的距离d与半径r 的大小来判断：当d<r时， 直线与圆相交；当d=r时， 直线与圆相切；当d>r时， 直线与圆相离．
5
因为d=r，所以直线３x＋４y＋２＝０与圆相切．
③已知直线L：y＝x+6,圆Ｃ: x2y2－ 2y40试判断直线L与圆
Ｃ有无公共点，有几个公共点．
解：圆Ｃ的圆心坐标是（０，１），半径长r=
直线y＝x+6的距离 d 5 2 5 2
所以直线L与圆Ｃ无公共点．
5 ，圆心到
④试解本节引言中的问题．
解：以台风中心为原点，东西方向为x 轴，建立如图所示
直线与圆的位置关系
判断直线与圆的位置关系的方法2 (代数法): 将直线方程与圆的方程联立成方程组, 利用消元法消去一个元后,得到关于另一 个元的一元二次方程,求出其Δ的值，然后 比较判别式Δ与0的大小关系,
若Δ<0 则直线与圆相离 若Δ=0 则直线与圆相切 若Δ>0 则直线与圆相交
反之成立
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依据圆心到直线的距离 与半径长的关系，判断 直线与圆的位置关系。
yL B
C● 0
A x
图4.2-2
解法一：由直线L与圆的方程，得
{ 3xy60
①
x2y22y40
②
消去y ，得 x23x20
因为
⊿= (3)241210
所以，直线L与圆相交，有两个公共点。
解法二：圆 x2y22y40可化为 x2(y1)2 5，其
＝０；
y 2 ＝３．
所以，直线L圆相交，它们的坐标分别是Ａ（２，０），Ｂ （１，３）．
巩固练习：
①判断直线４x－３y=50与圆 x2 y2 100的位置关系．如
果相交，求出交点坐标．
解：因为圆心O（0，0）到直线４x－３y=50
| 0050|
的距离d=
5
= 10
而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。 圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0
开放性问题: 在（x+1）2+(y-1)2＝R2的圆上是否存在四 个点到直线AB：3x-4y-3=0的距离等于１。
r2d22( 7)2 b1
故所求圆的方程是(x-3)2+(y-1)2=9
或(x+3)2+(y+1)2=9。
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例1：过点P（1，-1）的直线L与圆M:
(x-3)2+(y-4)2=4
（1）当直线和圆相切时，求切线方程和
切线长;
y1 21(x1) 20
或 x=1
（2）若直线的斜率为2，求直线被圆截
得的弦AB的长;
2 95
（ 3 ） 若 圆 的 方 程5 加 上 条 件 x≥3 ， 直 线 与
圆有且只有一个交点，求直线的斜率的取值
范围.
23k72或k2201优培化养解学题生程用序数，形用结运合动的变思化想的观 点分析解决问题的能力。
演示
例2: 在圆（x+1）2+(y+2)2＝8上到直线ｘ+ｙ +１=０的距离为 2 的点有__2___个.
相切y,求直2 线3l的(x方程2).或 x2 4
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直线与圆的位置关系
例2:一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，
在y=x上截得弦长为2 7 ，求此圆的方
程。
解：设该圆的方程是(x-3b)2+(y-b)2=9b2， 圆 心 (3b,b) 到 直 线 x-y=0 的 距 离 是d|3bb| 2|b| r=|3b|
解方程组
4x 3x
3y 4y
50 0
，
得
x y
8 6
切点坐标是（８，－６）
②判断直线３x＋４y＋２＝０与圆 x2y2－2x0的位置关
系．
解：方程 x2y2－ 2x0经过配方，得 (x1)2y2 1
圆心坐标是（１，０），半径长r=`1． 圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离是
d|302|
1
直线与圆的位置关系
问题1：你知道直 线和圆的位置关系
有几种？
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例1 如图4.2-2，已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆
x2y22y40，判断直线L与圆的位置关系；如 果相交，求它们交点的坐标。
分析：方法一，判
断直线L与圆的位置关 系，就是看由它们的方 程组成的方程有无实数
解；方法二，可以
的直角坐标系，其中，取１０km为单位长度，这样，受
台风影响的圆形区域所对应的圆Ｏ方程为 x2 y2 9
轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0
问题归结为圆Ｏ与直线L有无公共点。
点Ｏ到直线L的距离 圆Ｏ的半径长r=3
d|0028 |283.5 65 65
因为３.５＞３，所以，这艘轮船不必改变航线，不会受
圆心C的坐标为（0，1），半径长为 5 ，点C（0，1）到直 线L的距离
| 3016| 5 d＝ 32 12 ＝ 10
25
= 10 =
2.5 ＜
5
所以，直线L与圆相交，有两个公共点．
由 x23x20，解得
x x 1 =2 ， 2 ＝１．
把 把
x 1 =2代入方程①，得 y 1
x 2＝１代入方程①，得
问题：你还能用什么方法求解呢?
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直线与圆的位置关系
一只小老鼠在圆(x-5)2+(y-3)2=9上环
行，它走到哪个位置时与直线l ：
3x+4y-2=0的距离最短，请你帮小老鼠 找
到这个点并计算这个点到直线l的距离。
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直线与圆的位置关系
例1：直线l过点(2,2)且与圆x2+y22x=0
把直线方程与圆的方程联立成方程组
利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程
求出其Δ的值
比较Δ与0的大小: 当Δ<0时,直线与圆相离；当Δ=0时, 直线与圆相 切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。
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直线与圆的位置关系
已知直线l：kx-y+3=0和圆C: x2+y2=1,试问：k为何值时，直线l与 圆C相交？
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系判断方法：
一、几何方法。主要步骤： 把直线方程Байду номын сангаас为一般式,利用圆的方程求出圆 心和半径
利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d=r时， 直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交
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直线与圆的位置关系
二、代数方法。主要步骤：