投资的收益和风险

投资的收益和风险的优化模型

摘要

对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。

本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型

目标函数：

约束条件：

通过“最大化策略”，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三

目标函数：

约束条件：

然后分别使用Matlab对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。针对模型一，我们通过曲线拟合的方法得出风险水平和收益之间的函数关系：，并通过讨论函数导数和曲率求出一个对于风险中性偏好者的最优投资组合。

对风险中性偏好者，模型一、二、三的求解结果完全一致。

对问题一，结果为：

对问题二，结果为：

而对于其他类别的风险偏好者，模型三对

题一的求解结果详见表3。

我们使用计算机随机模拟的方法进行检验，利用随机投点法描出有效投资组合前沿，前沿由直线段组成，通过分析所有取值点的实际经济意义，得出了与我们建立模型求出的解相近的结果。

关键词：组合投资，多目标优化模型，风险偏好系数，曲线拟合，随机模

拟检验

投资的收益和风险的优化模型

一、问题重述

投资，是现代人从事最多的经济活动。一般的投资项目较之银行的储蓄有较高的汇报率，但是相应也有风险。理性的投资者在追求高利润的同时，往往充分考虑投资的风险。组合投资，即“不把鸡蛋放在一个篮子里”的投资策略，可以有效规避风险。

在进行多种资产投资时，人们常常想知道一笔资金该向哪一种资产投资，投资比例是多少，才能使我们的收益达到最大，并且不用承担太大的风险。为了能够做到这一点，我们在投资之前必须对各种资产进行分析、估价，并且始终坚持多样化的原则以减小风限。

公司财务人员经过对资产评估后，得到了一些基本的数据。即，在这一时期内购买的平均收益率为，购买的风险损失率为，以及购买要付的交易费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（）

本题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。并给出对应的盈亏数据，以及一般情况的讨论。

二、问题分析

这是一个优化问题，要决策的是向每种资产的投资额，即所谓投资组合，要达到的目标有二，净收益最大和整体风险最小。一般来说这两个目标是矛盾的，收益大，风险必然也大；反之亦然．所以不可能给出这两个目标同时达到最优的所谓的完美决策，我们追求的只能是满足投资者本身要求

的投资组合，即在一定风险下收益最大的决策，或在一定收益下风险最小的决策，或收益和风险按一定比例组合最优的决策。冒险型投资者会从中选择高风险下收益最大的决策，保守型投资者则可从低风险下的决策中选取。

建立优化问题的模型最主要的是用数学符号和式子表述决策变量、构造目标函数和确定约束条件。对于本题决策变量是明确的，即对()的投资份额（表示存入银行），目标函数之一是总收益最大，

目标函数之二是总风险最小。而总风险用投资资产中的最大的一个风险衡量。约束条件应为总资金的限制。

三、基本假设

1、投资越分散，总的风险越小；

2、总体风险用投资项目中最大的一个风险来度量；

3、种资产之间是相互独立的；

4、在投资这一个时期内，，，，为定值，不受意外因素影响；

5、净收益和总体风险只受，，影响，不受其他因素干扰。

四、符号说明

：第种资产投资资金；

：的平均收益率；

：的风险损失率；

：的交易费率；

：的交易定额；

：同期银行利率；

：投资的资金占全部资金的比重即/i

i s x M ；

五、模型建立

(1)总体风险用所投资的中的最大一个风险来衡量，即

风险损失率是在一定时间内一定数目的危险单位中可能受到损失的程度。 一般情况下，我们认为组合投资可以降低风险损失。因为多项投资都发生风险的概率比较小，我们可以认为风险损失率即为实际损失额与发生事故件数的比值。可以证明，两种不同的组合投资A 和B ，若满足组合A 中单项投资的最大风险大于组合B 中单项投资的最大风险，则A 的总体风险大于B 的总体风险，即我们可以用组合投资的中单项投资最大风险来衡量。

(2)购买所付交易费是一个分段函数，即

此变量出现在目标函数中，使目标函数成为非线性函数，给求解带来不便，因此根据题意进行简化。

我们假设

>

，求出满足此假设的最小投资总额'M ，此时

''i i i i s M s M p u ⋅-⋅≥恒成立，故有n

i i=1

M'=u ∑。以第一问为例，求得M'为393元，

与相当大的M 比较很小， 更小，可以忽略不计。也就是，一旦投资到

资产，投资额都超过。这样购买的净收益为

。

3、双目标优化模型

要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个两目标规划模型，可表为

目标函数：

约束条件：

具体计算时设，这时将看作投资第i的比例。通常把它化为单目标规划模型求解。

4、单目标优化模型

在实际投资中，投资者承受风险的程度不同，若给定一个界限，使最大的一个风险，可找到相应的投资方案。这样把两目标规划变成单目标线形规划。

模型1：固定风险水平，优化收益

目标函数：

约束条件：

若投资者希望总盈利至少达到水平以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。

模型2：固定盈利水平，极小化风险

目标函数：

约束条件：

投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合，因此对风险收益赋予权重，称为风险偏好系数。

模型3：引进权重