江苏省南通市2015届高三上学期期末考试数学试题

，曲线与直线
相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长。
D．选修 4－5：不等式选讲 （本小题满分 10 分）已知 a，b，c 均为正数，求证：
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请．选．定．其．中．两．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．
答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修 4-１：几何证明选讲 （本小题满分 10 分）如图，已知 AB 是圆 O 的直径，CD 是圆 O 的弦，分别延长 AB，
e
20.
设数列{an} 的前 n 项和为
Sn .若
1 2
an1 an
2
n N*
，则称{an} 是“紧密数列”.
1
若数列{an} 的前
n
项和为
Sn
1 4
n2 3n
wenku.baidu.com
n N * ，证明：{an} 是“紧密数列”；
2 设数列{an} 是公比为 q 的等比数列.若数列{an} 与{Sn} 都是“紧密数列”，求. q
现采用分层抽样
的方法，抽取 280 人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为
.
4. 函数 f (x) lg(x2 2x 3) 的定义域为
.
5. 有图是一个算法流程图，则输出的 x 的值是
.
6. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子 ( 一种各面上分别标有1, 2, 3, 4, 5, 6
个点的正方体玩具 ) ，观察向上的点数，则两个点数之积不小于 4 的
概率为
.
7. 底 面 边 长 为 2 ， 高 为 1 的 正 四 棱 锥 的 侧 面 积
为
.
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，以直线 y 2x 为渐近线，且经过抛物
线 y2 4x 焦点的双曲线的方程是
9. 在平面直角坐标系 xOy 中，记曲线 y 2x m (x R, m 2) x 1 处的切线为直线 l . x
CD 相交于点 M，N 为圆 O 上一点，AN＝AC，证明：∠MDN＝2∠OCA
B．选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分）已知矩阵
的逆矩阵
，求实数 m,n
C．选修 4-4：坐标系与参数方程 （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 xoy 中 ， 已 知 曲 线 C 的 参 数 方 程 为
中， F1, F2 分别是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的左、右
焦点，顶点 B 的坐标为 0, b ，且∆ BF1F2 是边长为 2 的等边三角形.
1 求椭圆的方程；
2 过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆交于 A,C 两点，记∆ ABF2 ，∆ BCF2 的面积分别为
S1, S2 .若 S1 2S2 ，求直线 l 的斜率.
( 注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的实现的夹角. )
19.若函数 y f (x) 在 x x0 处取得极大值或极小值，则称 x0 为函数 y f (x) 的极值点. 已知函数 f (x) ax3 3x ln x 1(a R).
1 当 a 0 时，求 f (x) 的极值； 2 若 f (x) 在区间 (e, 1) 上有且只有一个极值点，求实数 a 的取值范围.
南通市 2015 届高三第一次调研测试
数学 I
一、填空题
1. 已知集合 A {2, 1}, B {1, 2,3} ，则 A B
.
2. 已知复数 z 满足 3 4i z 1(i 为虚数单位 ) ，则 z 的模为
.
3. 某中学共有学生 2800 人，其中高一年级 970 人，高二年级 930 人，高三年级 900 人，
的取值范围.
数学Ⅱ 附加题部分
注意事项
1．本试卷共 2 页，均为解答题（第 21 题～第 23 题，共 4 题）．本卷满分为 40 分，考试时 间为 30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置 作答一律无效．
1 求角 A 的大小；
2 若 AB AC 3, ，求∆ ABC 的面积.
16. 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC BC,CC1 4, M 是棱 CC1 上的一点.
1 求证： BC AM ； 2 若 N 是 AB 的中点，且 CN ∥平面 AB1M .求
CM 的长
17．如图，在平面直角坐标系 xOy
.
12. 已知函数 y a x b(b 0) 的图像经过点 P(1, 3) ，如下图所示，则 4 1 的最小值 a 1 b
为
.
13. 如 上 图 ， 圆 O 内 接 ∆ ABC 中 ， M 是 BC 的 中 点 ， AC 3 . 若 AO AM 4 ， 则
AB
.
14.
已知函数
f
(x) 是定义在 1, 上的函数，且
f
(x)
1 1 2
| f
2x (1 2
3 |,1 x 2 x), x
, 2
则函数
y 2xf (x) 3
在区间 1，2015 上的零点个数为
.
二、解答题
15. 在∆ ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c. 已知 b cos C c cos B 2a cos A.
18. 在长为 20 m，宽为16 m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台 ( 圆心为点 C) ，展厅入口 位于长方形的长边的中间，在展厅一角 B 点处安装监控摄像头，使点 B 与圆 C 在同一 水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内 ( 如图阴影所示 ) .
1 若圆盘半径为 2 5 m，求监控摄像头最小水平视角的正切值； 2 过监控摄像头最大水平视角为 60 ，求圆盘半径的最大值.
若直线 l 在
两坐标轴上的截距之和为12 ，则 m 的值为
.
10. 已 知 函 数
f
(x)
sin
2x
6
.若
y f (x )(0 ) 2
是偶函数，则
.
11. 在等差数列 {an} 中，已知首项 a1 0 ，公差 d 0 .若 a1 a2 60, a2 a3 100 ，则
5a1 a5 的最大值为