经济学之数学基础运算

x y xy yx xy x y xy yx xy
分式的乘法
分子与分子相乘； 分母与分母相乘
【例】2 ∙ 5
xy
25 x∙y
10 xy
分式的除法
除以一个分式等于乘以这
个分式的倒数
【例】2 ÷ 5 2 ∙ y 2y
x y x 5 5x
计算：
（1）xx−22
−
4 x−2
（2） 1
x+3
+
6 x2−9
（3）85ba22
把 x1 看成是常数，x2 看作未知量，可
以记作 ∂y ，
2
2 '；
原式 =Y
（
1
1
L3）
2
K3
2
∂Y ∂K
11 2 L3
2 3
2
K3
t1
11 2 L3
2 3
Kt
1 3
2 3
×
1 2
1
L3
Kt
1 3
11 3 L3
Kt
1 3
求偏导： （1）z x2 + 3xy + y2
（2）U=5
2
x2
y2
11
（3）Q=16L4K2
步骤二 步骤三
将 变 形 后 的 方 程 带 入 到 另 一 个 方 程 将①式代入到②式中得
中，消元后求解未知数的值
3 t （2x − 1） 5 ③
解第二步得到的一元一次方程，求得
其中这个未知数的值
解③式得 x=4
步骤四
将已求得的未知数的值代入到原方程 之一，求出另一个未知数的值
将 x=4 代入到① 或② ，得 y
一、分式的运算法则
经济学——数学基础运算
运算法则
公式+例题
同分母分式加减法 异分母分式加减法
分母不变，分子相加减 【例】2+5=2+5=7 ； 2 − 5=2−5=−3
xx x x x x x x
先通分（把异分母分式化
成同分母分式），再加减 【例】2+5=2y+5x=2y+5x；2 − 5=2y − 5x=2y−5x
把 x2 看成是常数，x1 看作未知量，可
百度文库
以记作 ∂y ，
x1
x1 '；
【例】Y=1
12
L3K3（函数中有两个变量
L
和
K）
2
原式 =Y
（
1
2
K3）
1
L3
2
∂Y ∂L
（
1
2
K3）
1
1
L3
t1
，
2
3
（
1 2
2
K3）
1 3
Lt
2 3
1 3
×
1 2
2
K3
Lt
2 3
1 6
K23Lt
2 3
对函数 y 中的 x2 求导时，称 为 y 对的 x2 求 偏导
解方程： （1）x2 t 4x + 3 0 （4） x − 1 2 5
（2）4x2 + 4x + 1 0
（5）1 3x + 1 2
4
64
（3）4x2 t 1 0 （6）x2 t x 0
五、二元一次方程组
代入消元法
【例】 y 2x − 1 ① 3x t y 5 ②
将方程组里的一个方程变形，用含有
步骤一 一个未知数的一次式表示另一个未知 ①式中 y 表示为 2x − 1，可以直接选取①式， 数
计算：
2
（1）（ − 8）3
（4）（x4）3
11
（7）x2 ∙ x4
2
（2） 83
（5）x−2
∙
1 x2
（8）（x12y2）2
（10）16（t a3）2 （ t a2）3 （11）6 × 34 + 7 × 35
（3）
（
4
）−
3 2
9
（6）
1
−4
×
23
10
10
（9）（ t 1 m2n）3
3
三、一元一次方程
35
（4）Y=L8K8
零指数幂 负整数指数幂 幂的乘方 积的乘方
任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1
쳌（
）
【例】x0 1
任何不等于 0 的数的− n（n 是正整数） 쳌 t （
）
次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数
【例】1
x
x−1
底数不变，指数相乘
【例】 22 3=22×3=26
1
22 2
22×
1 2
21
2
把积的每一个因式分别乘方，再把所 得的幂相乘
则方程组的解为
x y
4 7
2 × 4 − 1=7
加减消元法
【例】 4 + 2y − 5 ① 5 t 3y − 9 ②
把一个方程或者两个方程的两边乘以适
① × 3，得 12x + 6y − 15
③
步骤一 当的数，使方程组的两个方程中一个未
知数的系数互为相反数或者相等
② × 2，得 10x − 6y − 18
【例】 x2，那么f' x 2x2−1 2x
常用求导法则
f x ± g x ' f '(x)± g' x 【例】（x2 + x）' x2 ' +（x）' 2x+1 c f x ' =c f'(x) 【例】（2 x3-1）' 2 x3 ' t（1）' （3 × 2） x3−1 t 0 6 x2
求导：
（1）y （5）y （7）y
（） 【例】（3x）2=（3）2 ∙ x2 9x2 （x12y）2 （x12）2 ∙ y2= xy2
分数（分式）的乘方 分数（分式）的分子分母分别乘方
【例】（
y x
）2
=yx22
正分数指数幂
1
【例】42
2 41
2
t
쳌
쳌
负分数指数幂
【例】4−
1 2
1
1
42
1 2 41
1 2
【说明】 负数的奇次幂（即奇数个相同的负数相乘）为负数；如 − 1 3=− 1 负数的偶次幂（即偶数个相同的负数相乘）为正数；如： − 1 2=1
14x 42
步骤五 化简归一 【说明】
x=4124 3
当分式方程的两边满足b=d（a≠0，b≠0）的形式时可用交叉相乘，即分式方程可以化为 bc=ad
ac
【例】 1 3
x−1 x
解：1 ∙ x 3 ∙ （x − 1），即 x 3x − 3 移项得 3x − x 3
合并同类项得 2x 3
解得 x
3 2
解题步骤
【例题】2
3
x
−
12
2（1 − 2x）
步骤一
去分母
等式两边同时乘以 3，
（方程两边同时乘以方程中各个分母的最小公倍数） 2xt 36=6（1 − 2x）
步骤二 去括号（先去小括号，再去中括号，再去大括号） 2xt 36=6t 12x
步骤三 移项（移项要变号）
2x+ 12x=6+36
步骤四 合并同类项
3代入①式，解得
2
y=1（也可将 x 代入②）
2
则方程组解为
x
t
3 2
y
1 2
解方程组：
（1）
x+ 2x +
y 3y
4 7
（4）
y y
1250 − 30r 750 + 20r
（2）
3x + 2y 5x − y
1 3
（5）
y y
2000 + 2P 2640 + P
（3）
y y
60 + 0.8 y − 100 + 250 1000 + 50r
④
把两个方程的两边分别相加或相减，消
步骤二
③+④得 22x=t33，
去一个未知数，得到一个一元一次方程
解第二步得到的一元一次方程，求得其
步骤三 中这个未知数的值
解得未知数
x
的值，即
x=t
3 2
步骤四
把第三步求得的一个未知数的值代入原 方程，便可求出另一个未知数的值。可 得到二元一次方程组的解
将
x=t
步骤二 得的 x 的值便为方程的解公式如下：
t ± 2t4 t
x
2
【说明】
x
t5± 52t4×2×（t3）=t5± 49=t5±7
2×2
4
4
解得 x1=12；x2=t3
一元二次方程的一般形式为：ax2 + bx + c 0（a ≠ 0） （即方程的右边为 0，方程的左边降幂排列，从左往右依次是二次项，一次项和常数项，其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项）
x3
（2） y
1 x
x
+
1 x
（2x − 1）（3x + 2）
7
（3）y x3
（4）Q 10 − 2P
（6）y x2 + 2x − 2
（8）C=0.1Q3 t 2Q2 + 15Q + 15
（二）偏导
当函数 y 中有两个变量 x1 和 x2 时
对函数 y 中的 x1 求导时，称 为 y 对 x1 求偏 导
3a 4b3
（4）a−1
a
÷
a−1 a2
二、幂的运算法则
同底数幂的乘法 同底数幂的除法
运算法则
公式+例题
+
同底数幂相乘，底数不变，指数相加 【例】23 × 24 23+4；
2
1
26 × 22
2
26
+
1 2
2
26
+
3 6
5
26
t
同底数幂相除，底数不变，指数相减 【例】a6 ÷ a2 a6−2 a4； − a 6 ÷ − a 2 − a 6−2 − a 4 a4
解下列方程： （1）2 x − 1 4
（2）x
+
3 7
x
18
（3）2x−1=x−3
23
（4）3x+3=2x+7
四、一元二次方程
公式法
【例】2 2+5x+1=4
移项，合并同类项，将一元二次方程化成一般形
步骤一 式 a 2 + bx + c 0 的形式
化为一般式 2x2+5x-3=0
将一般形式中的系数代入到公式中进行计算，求 由公式得：
（6）
300 − 100r 0.4y − 50r
− 200 + 0.2y 250
六、导数
（一）导数
1、导数的实质：函数增量与自变量增量的比的极限。
2、函数 y=f(x)
在某点
X0
的导数记作
y'、f'(x)、dy
dx
或
df(x) dx
。
（c）'=0
常用求导公式
【例】 x =9，那么f' x 0 （xn）' nxn−1（指数为分数的也适用）