高中数学必修一《函数的单调性》优秀教学设计

函数的单调性

课题2.3.1函数的单调性

授课类型新授课

课时安排1课时

教具多媒体、实物投影仪

教学目标

（1）了解单调函数、单调区间的概念；理解增函数、减函数的概念；掌握利用函数的单调性定义证明简单函数的单调性的基本方法

（2）能用自已的语言表述概念；能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间；能把文字描述、图像特征、数学语言结合起来准确地表述、判断、证明函数的单调性；学

会利用函数的单调性解决诸如不等式、函数最值（值域）的问题（本节课只设置引导目标）（3）通过数形互助培养学生直观判断与严格证明相结合、形象与抽象相结合的思维习惯；渗透联系与变化的认识观

教学重点函数的单调性（增函数、减函数）的概念

教学难点对函数单调的定义中数学语言的准确理解和灵活运用

教材开发点对函数的单调性的应用引导

教材与学情

函数的单调性是函数重要性质之一，也是今后研究函数时涉及最多的性质之一，如函数值域与最值、比较大小与解不等式、函数图像等问题均与函数的单调性相关；同时函数的单调性也是高考考查的重点内容。

学生在初中学过一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数，已有一些具体函数的知识，在学生的现有认知结构中，一方面能用描点法画出简单函数的图像，另一面可以根据函数的图象观察出“图像上升（或下降）”、“随着自变量的增大函数值增大”等

变化趋势，同时在此之前，刚刚学习抽象的函数概念，所以对函数的单调性的认识首先依赖于函数图象的直观性，然后才能逐步过渡抽象的数学语言理解层面。

本节课的教学应以函数的单调性的概念为主线设计材料、设计问题、设计活动，一方面设计几个比较性、思辨性好的问题，另一面要充分利用证明函数单调性的例题加深学生对单调性概念的准确（严谨性）理解。考虑到学生将来还要学习导数的知识，函数单调性的判断会变得比较容易，因此，在教学中，应该适当减少用定义判断证明单调性的问题，注意引导学生主动地应用函数的单调性去解决问题。

教学过程

一、复习引入:

1.复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法，也学习了一次函数、二次函数和反比例函数。为了研

究函数的性质，我们先分组画出下列函数的图像

1

第一组：一次函数①y = X 1，②y - _ — X亠1

2

第二组：二次函数③y = X2，④y - -X2• 4x T

第三组：反比例函数⑤y=3，⑥y二-§

X X

(学生快速画图，教师指导画图要点，挑选画得较成功的图像用实物投影仪展示，并用几何画板校正、确认。引导学生观察图像上升或下降的特征)

此外根据情况，可用几何画板作出更多的函数图象:

女口y 二x3，y _ -x3 4x，

2.弓I入：从函数y=x2的图象看到:

图象在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间［0, +二)上取值时，随着x的增大, 相应的y值也随着增大，即自变量值大的对应的函数值大(自变量值小的对应的函数值小)

这时我们就说函数 f (x) = x2在［0,+ ::)上是增函数图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x在区间-：：,0上取值时，随着x的增大,

相应的y值反而随着减小，即即自变量值大的对应的函数值小(自变量值小的对应的函数

值大)这时我们就说函数 f (x) = x2在(-：：,0)上是减函数

那么这样的变化特征在数学上是如何描述的呢？我们来看增函数、减函数的定义:

二、讲解新课：

1增函数与减函数

般地，设函数f(x)的定义域为I :

定义：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x—,x2，⑴若当x—

f(X1)>f(X2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数(图2-9(2)).

Q

说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的

2.单调性与单调区间

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数f(x)在这一区间具有(严格

的)单调性，这一区间叫做函数 f (x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的

说明：除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将

上述定义中的“f(X i) < f(X2)或f (xj > f(X2 ), ” 改为“ f(X i)乞f(X2)或f(X i)-

f(X2),” 即可；

急转弯：(教师引导提问，学生抢答、纠正、辩论)

1对开始画出的图像分别直观地指出其单调性

2定义辨析：已知函数f X在区间1.0,51上有意义，下列命题中真命题有

(1)如果f 1 < f 2，那么函数f X在区间0,51上是增函数；

⑵如果函数f X在区间1-0,51上是增函数，那么 f 1 ：：：f 2 ;

⑶如果函数f X在区间1.0,51上是增函数，那么 f 1 ：：：f 8 ；

⑷如果f 5 < f 4 ::: f 3 ::: f 2 ：：：f 1 ：：：f 0 ，那么函数f X在区间1.0,51 上是减函数；

⑸如果函数f x在区间1.0,51上是单调函数且f 3 ：：：f 2，那么函数f x在区间0,5 1上是减函数；

⑹如果函数f x在区间〔0,5〕上是增函数，那么当x 1-0,5 1时，函数f x的最大

值是f 5，最小值是f 0 ;

三、讲解例题：

例1如图6是定义在闭区间［-5 , 5］上的函数y二f(x)的图象，根据图象说出y二f(X)

的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y = f (x)是增函数还是减函数.

XJ/ - -2

©£-10

解：函数y 二f(x)的单调区间有［-5，-2)，［-2，1)，［1，3)，［3，5］，其中y 二f (x)在区间［-5，-2)，［1，3)上是减函数，在区间［-2，1)，［3，5］上是增函数.

说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确

定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；本例中的区间可开可闭，以后涉及定义域或者端点取值的问题时可根据情况有意地选择开闭

例2证明函数f (x) =3x 2在R上是增函数.(略讲或不讲)

证明：设X1,X2是R上的任意两个实数，且X1

f(X1)—f(X2)=(3 X1 +2)-(3 X2 +2)=3( x - X2),

由X1 < X2 X,得X1 —X2 <0 ,于是f(xj —f (X2)<0,即f (xj < f (X2).

••• f(x) =3x 2在R上是增函数.

1

例3证明函数f(x) 在(0,+ ：：)上是减函数.

x

证明：设X1, X2是(0,+二)上的任意两个实数，且X1

1 1 X

2 X1

贝y f (x1) —f (x2)= —= ,

X1X2X1X2

由X1,X2 € (0,+ ::),得X1 X2 >0,