高等数学第12章：无穷级数
高等数学无穷级数知识点总结
高等数学无穷级数知识点总结
无穷级数是高等数学中的一个重要内容，它涉及到很多重要的概念和定理。
以下是一些高等数学无穷级数的知识点总结:
1. 无穷级数的基本概念：无穷级数是指一个数列的项按一定规律相加而成的数列。
其中，无穷级数的定义域可以是实数集或复数集。
2. 无穷级数的分类：无穷级数可以分为数项级数和函数项级数两大类。
数项级数是指以常数项级数的形式表示的无穷级数，而函数项级数则是以函数项的形式表示的无穷级数。
3. 无穷级数的敛散性：无穷级数的敛散性是指级数是否收敛或发散。
如果一个无穷级数收敛，则称其为收敛级数，反之则称为发散级数。
4. 无穷级数的判别法：无穷级数的判别法是指判断一个无穷级数是否收敛的方法。
常用的判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和莱布尼兹判别法等。
5. 无穷级数的和应用：无穷级数在数学中有着广泛的应用，例如求和、积分、微积分等。
在实际应用中，无穷级数往往被用来求解各种问题。
6. 无穷级数的和函数：无穷级数的和函数是指级数的每一项相加得到的总和。
无穷级数的和函数具有很多重要的性质，例如连续性、可导性等。
7. 无穷级数的广义性质：无穷级数的广义性质是指关于无穷级数的一些扩展概念和定理。
例如，无穷级数的前 n 项和的广义性质、
无穷级数的广义收敛性等。
以上是高等数学无穷级数的一些重要知识点总结。
希望能对读者有所帮助。
高等数学-第十二章-无穷级数
1
1 (1 p1
1 n p1
)
1 1 p1
即sn有界, 则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 uk1 uk2 ukn
n uk1 uk2 ukn
snk sk ,
则
lim
n
n
lim
n
sn
k
lim
n
sk
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明 (u1 u2 ) (u3 u4 u5 )
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项un趋于零, 即
级数收敛
lim
n
un
0.
证明 s un 则 un sn sn1,
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如
1 2 3 234
(1)n1 n n1
无穷级数
从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的 一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同 时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性 质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域 有着广泛的应用
本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函 数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问 题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知 函数表示成级数问题，③级数求和问题。
高等数学无穷级数
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
序列 Sn ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
n
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
cS
这说明 c un 收敛 , 其和为 c S .
n1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2. 设有两个收敛级数
S un, vn
n1
n1
则级数 ( un vn )也收敛, 其和为 S .
n1
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
k 1
k 1
n
n ( uk vk )
S ( n )
k 1
这说明级数 ( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
n1
说明:
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧: 利用 “拆项相消” 求和
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数
收敛于 S , 即 S un , 则各项
n1
乘以常数 c 所得级数
高等数学-无穷级数ppt
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
高等数学下册第十二章 无穷级数
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
DMU
第一节 常数项级数
定义 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称为无穷级数， 其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和.
xx0
f
(x)
A
xnk
x0
(xnk
x0 )
(k )
f (xnk ) A
例如 lim n2 ((1 1)2n e2 )
n
n
(1 lim
x0
1
)
2 x
x
x2
e2
2 ln(1 1 )
ex x
lim
x0
x2
e2
e (e 2
2 ln(1 1 )2 xx
1)
lim
x0
x2
DMU
第一节 常数项级数
5)两边夹法则
n1
莱布尼茨定理： 如果交错级数 （-1）n-1un满足条件 ：
n1
（1）un un1(n 1, 2,3, );
（2）lim n
un
0,
则级数收敛，且其和s u1 ,
其余项rn的绝对值 rn un1.
DMU
第三节 一般常数项级数的收敛判别法
用莱布尼茨 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或写作 x 1.
又如, 级数
所以级数的收敛域仅为
DMU
级数发散 ;
高等数学(复旦大学版)第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节 常数项级数的概念和性质教学目的：1、理解无穷级数的概念；2、理解级数的收敛或发散的概念；3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；4、了解无穷级数的基本性质。
教学重点：级数收敛或发散的判定 教学难点：级数收敛或发散的判定 教学内容：一、常数项级数的概念定义1 给定数列{}n u ，则称12n u u u ++++L L为常数项无穷级数，简称级数，记做1n n u ¥=å，即121n n n u u u u ¥==++++åL L式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。
级数1n n u ¥=å的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即12n n s u u u =+++L级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数1n n u ¥=å的部分和数列。
定义2 若级数1n n u ¥=å的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1n n u ¥=å收敛，或称1nn u ¥=å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作121n n n s u u u u ¥==++++=åL L而12n n n n r s s u u ++=-=++L称为级数的余项，显然有lim lim()0n n nnr s s =-=若{}n s 是发散数列，则称级数1n n u ¥=å发散，此时这个级数没有和。
高数无穷级数知识点总结
高数无穷级数知识点总结一、引言无穷级数是数学中一个重要的概念，它在数学和其他学科的研究中有着广泛的应用。
在高等数学中，无穷级数是一个重要的知识点。
本文将从无穷级数的基本概念、收敛性与发散性、常见的收敛判别法和应用等方面，对高数无穷级数进行总结。
二、无穷级数的基本概念无穷级数是指由一个数列的项求和而得到的数值。
具体地说，对于一个实数数列{an}，其无穷级数可以表示为∑an。
其中，an表示数列的第n项，∑表示对数列的所有项进行求和。
三、收敛性与发散性1. 收敛性当无穷级数的部分和Sn在n趋于无穷大时存在有限极限L，即lim (n→∞) Sn = L时，称该无穷级数收敛，L称为该无穷级数的和。
2. 发散性当无穷级数的部分和Sn在n趋于无穷大时不存在有限极限，即lim (n→∞) Sn不存在或为无穷大时，称该无穷级数发散。
四、常见的收敛判别法1. 正项级数判别法对于无穷级数∑an，若该级数的每一项an都是非负数，并且该级数的部分和Sn有上界，则该级数收敛；若Sn没有上界，则该级数发散。
2. 比值判别法对于无穷级数∑an，若lim (n→∞) |an+1/an| = L，其中L为常数，若L<1，则该级数收敛；若L>1，则该级数发散；若L=1，则判别不出。
3. 根值判别法对于无穷级数∑an，若lim (n→∞) |an|^1/n = L，其中L为常数，若L<1，则该级数收敛；若L>1，则该级数发散；若L=1，则判别不出。
4. 整项判别法对于无穷级数∑an，若存在另一个级数∑bn，使得|an|≤bn，且∑bn 收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。
五、应用无穷级数在数学和其他学科中有广泛的应用，下面举几个例子进行说明。
1. 泰勒级数泰勒级数是一种用无穷级数表示函数的方法。
根据泰勒级数，我们可以将一个函数在某个点的邻域内展开为无穷级数的形式，从而可以近似计算函数的值。
2. 统计学中的无穷级数在统计学中，无穷级数经常用于描述随机变量的分布。
《高等数学》第12章无穷级数12_6一致收敛
若函数项级数 un (x) 在区间 I 上满足:
n1
1) un (x) an (n 1, 2,);
2) 正项级数 an 收敛 ,
n1
则函数项级数 un (x) 在区间 I 上一致收敛 .
n1
简介 目录 上页 下页 返回 结束
证: 由条件2), 根据柯西审敛原理, 0, N , 当
1 2
,
因此级数在
[0,
1]
上不
一致收敛 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
Sn (x) xn S(x) 0,
1,
0 x 1 x 1
说明: 对任意正数 r < 1,
级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
y
(1,1)
n 1
n2
n4
n 10
n 30
o
S(x) 1 x
事实上, 因为在 [ 0, r ] 上 rn (x) r n , 任给 > 0, 欲使
(0 x )
因此, 任给
> 0, 取自然数
N
1
1
,
则当n > N 时有
rn (x) (0 x )
这说明级数在
[0,
+∞)
上一致收敛于
S(x)
x
1
. 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 证明级数 x (x2 x) (x3 x2 ) (xn xn1)
在 [0,1] 上不一致收敛 .
un (x) 一致收敛于和函数S(x)
n1
部分和序列 Sn (x) 一致收敛于S(x)
余项 rn (x) 一致收敛于 0
无穷级数知识点总结
无穷级数知识点总结一、无穷级数的定义无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。
一般地，我们用数列 {a_n} 来表示无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。
无穷级数通常可以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。
如果数列 {S_n} 的部分和数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：S = lim (n->∞) S_n = L这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。
二、无穷级数的性质无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法以及应用等方面都有着重要的作用。
下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。
1. 无穷级数的有限项相加结果相同如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。
即如果无穷级数S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。
2. 无穷级数的倒序相加结果相同如果无穷级数的倒序相加的结果与原来的无穷级数相同，那么这个无穷级数的和同样相同，即如果无穷级数 S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的倒序相加的结果也等于 S，那么这个无穷级数的和就等于 S。
3. 无穷级数的部分和数列的有界性如果无穷级数的部分和数列 {S_n} 是有界的，即存在一个正数 M，使得对于所有的正整数n，都有 |S_n| <= M，那么这个无穷级数是收敛的。
大一高数无穷级数知识点
大一高数无穷级数知识点在大一高等数学课程中，无穷级数是一个重要的内容，具有广泛的应用。
了解无穷级数的概念、性质和收敛条件等知识点对于学好这门课程是至关重要的。
本文将介绍大一高数无穷级数的基本知识点，并对其应用进行简要探讨。
一、无穷级数的概念无穷级数是由一系列数的和构成的数列。
设a₁、a₂、a₃、⋯、aₙ、⋯是一列实数，将它们相加所得的数列称为无穷级数，表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ⋯ + aₙ + ⋯二、无穷级数的收敛和发散1. 收敛的定义：若一个无穷级数的部分和数列{Sₙ}收敛于某个实数S，即lim(n→∞)Sₙ = S，则称该无穷级数收敛，否则称为发散。
2. 收敛的必要条件：无穷级数收敛的必要条件是它的通项数列趋于零，即lim(n→∞)aₙ = 0。
3. 通项数列趋于零的充分条件：若无穷级数的通项数列满足aₙ≤aₙ₊₁（n≥N，N为某个自然数），则该无穷级数收敛。
三、常见的无穷级数1. 等差数列的无穷级数：若等差数列a₁、a₂、a₃、⋯、aₙ、⋯的公差不为零，即aₙ₊₁ - aₙ = d ≠ 0，则其部分和数列为等差数列，即Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n-1)d)。
若d>0并且|a₁|/(|a₁ + d| < 1，则该无穷级数收敛，反之发散。
2. 等比数列的无穷级数：若等比数列a₁、a₂、a₃、⋯、aₙ、⋯的公比不为零，即aₙ₊₁/aₙ = q ≠ 0，则其部分和数列为等比数列，即Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q)。
当|q|<1时，该无穷级数收敛，否则发散。
四、收敛级数的运算性质1. 收敛级数的有界性：收敛级数的部分和数列有界。
2. 收敛级数的加法性：有限个收敛级数的和仍然是收敛级数。
3. 收敛级数的乘法性：若级数{aₙ}收敛，级数{bₙ}绝对收敛，则乘积级数{aₙbₙ}收敛。
五、收敛级数的应用无穷级数在数学和实际问题中有广泛的应用，以下介绍两个常见的应用：1. 泰勒级数：泰勒级数是一种无穷级数展开式，用于将函数表示成无穷级数的形式。
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sn
,
这时级数发散.
若q 1,这时sn na (n ),因此级数发散. 若q 1,这时级数成为a a a a 此级数发散。
第12页/共122页
综上所述,几何级数
aqn a aq aq2 aqn
当|q|<1时级数收敛,且收敛于 n0，当|q|≥1时级a数发散.
1 q
第13页/共122页
对于无穷级数 un u1 u2 un
n1
记Ｓ１ ｕ１，
Ｓ２ ｕ，１ ｕ２，
Ｓｎ u1 u2 un ,
称Sｎ为级数的部分和， 称 { Ｓｎ} 为级数的部分和数列.
考察下列级数的部分和： 1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
1 23 n
第4页/共122页
对于 1 1 1 1 1
p 1 时, p 1 时,
收敛 发散
注意
几何级数
n1
1 pn
当 当
p p
1 时, 1 时,
收敛 发散
1 收敛 3
n1 n 2
1 发散
n1 n
1 收敛
n1 n n
1 收敛
n1 2n
第30页/共122页
例5 判别级数
解
因为
的敛1散性.
n1 n 1 n
1
1
1
1
n 1
n2
n1 2
2n 2
第22页/共122页
定理1 正项级数 它的部分和数列{sn}有上界.
u 收敛的充要条件是： n n1
证 必要性:
若
{Sn} 有界
un 收敛
n1
lim
n
Sn
存在
{Sn} 有上界.
无穷级数重要知识点总结
无穷级数重要知识点总结一、无穷级数的定义1.1 无穷级数的概念无穷级数是一种特殊的数列求和形式。
它由一个无穷数列的项之和构成，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中a1, a2, a3, ...是数列的项。
无穷级数的和是用极限的概念来定义的，即当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和趋于一个确定的数。
1.2 无穷级数的收敛和发散无穷级数有两种基本的收敛性质：收敛和发散。
当无穷级数的和存在时，我们称这个级数是收敛的；当无穷级数的和不存在时，我们称这个级数是发散的。
1.3 无穷级数的通项无穷级数的通项是指级数中每一项的公式表示。
通项的形式多种多样，可以是一个简单的代数式，也可以是一个复杂的函数表达式。
通项的形式对于判断无穷级数的收敛性有着重要的作用。
二、无穷级数的性质2.1 无穷级数的加法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的和也存在，并且等于这两个级数的和的和。
即∑(ai + bi) = ∑ai + ∑bi。
2.2 无穷级数的乘法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的乘积也存在，并且等于这两个级数的乘积的和。
即(∑ai) * (∑bi) = ∑(ai * bi)。
2.3 无穷级数的极限性质当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和会趋于一个确定的数。
这个极限的存在性和确定性是无穷级数的一个重要性质。
2.4 无穷级数的收敛性质对于一个给定的无穷级数，我们需要研究它的收敛性质，即它是否收敛、以及收敛到哪个数。
无穷级数的收敛性质对于很多数学问题有着深远的影响。
2.5 无穷级数的发散性质发散是无穷级数的另一个重要性质，它表示无穷级数的和不存在。
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设 un 和 vn 都是正项级数，且 un≤vn（n＝1，2，…）。若级数 vn 收敛，则级
n1
n 1
n 1
数 un 收敛；反之，若级数 un 发散，则级数 vn 发散。
n1
n1
n 1
推论：设 un 和 vn 都是正项级数，如果级数 vn 收敛，且存在正整数 N，使当
n1
n 1
n 1
x
s
0
t dt
x 0
n0
ant n
dt
n0
x 0
ant ndt
n0
an n 1
xn1
xI
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
（3）幂级数 an xn 的和函数 s（x）在其收敛区间（－R，R）内可导，且有逐项求导 n0
公式
s x
n0
an xn
n≥N 时有 un≤kvn（k＞0）
成立，则级数 un 收敛；如果级数 vn 发散，且当 n≥N 时有 un≥kvn（k＞0）成立，则
n1
n 1
级数 un 发散。 n1
②比较审敛法的极限形式
设 un 和 vn 都是正项级数，则：
n1
n 1
a．如果
lim
n
un vn
l
0 l
，且级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
n 1
n1
b．如果
lim
n
un vn
l
0
或
lim
n
un vn
，且级数 vn
n 1
发散，则级数 un
n1
发散。
③比值审敛法（达朗贝尔判别法）
设
un
n1
考研高数讲解新高等数学下册辅导讲解第十二章
第十二章无穷级数【本章网络构造图】第一节常数项级数概念与性质一、常数项级数收敛与发散给定一个数列将各项依次相加, 简记为，即，称该式为无穷级数，其中第项叫做级数一般项,级数前项与称为级数局部与。
假设存在，那么称无穷级数收敛，并称为级数与,记作；假设不存在，那么称无穷级数发散。
当级数收敛时, 称差值为级数余项。
显然。
【例1】〔93三〕级数与为 .【答案】结论：等比〔几何〕级数：收敛当时发散当时二、收敛级数与假设收敛，那么其与定义为。
三、无穷级数根本性质学习笔记：〔1〕假设级数收敛于，即，那么各项乘以常数所得级数也收敛，其与为。
注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变（2）设有两个收敛级数，，那么级数也收敛, 其与为。
注：该性质说明收敛级数可逐项相加或相减相关结论：〔1〕假设两级数中一个收敛一个发散,那么必发散。
〔2〕假设二级数都发散，不一定发散。
【例】取，，而。
〔3〕在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数敛散性。
〔4〕收敛级数加括弧后所成级数仍收敛于原级数与。
推论：假设加括弧后级数发散，那么原级数必发散。
注：收敛级数去括弧后所成级数不一定收敛。
【例】，但发散。
【例2】判断级数敛散性：【解析与答案】学习笔记：不存在故原级数发散四、级数收敛必要条件必要条件：假设收敛，那么。
逆否命题：假设级数一般项不趋于0，那么级数必发散。
【例】，其一般项为，当时，不趋于0，因此这个级数发散。
注：并非级数收敛充分条件【例】调与级数，虽然，但是此级数发散。
事实上，假设调与级数收敛于，那么，但，矛盾！所以假设不真。
【例3】判断以下级数敛散性，假设收敛求其与：〔1〕〔2〕【答案】〔1〕发散；〔2〕发散五、两个重要级数：几何级数与p级数敛散性学习笔记：〔1〕几何级数：，当时收敛；当时发散.〔2〕级数(或对数级数)：，当时收敛，当时发散。
【重点小结】1、常数项级数收敛与发散定义2、常数项级数敛散性质3、常数项级数收敛必要条件4、常用两个常数项级数第二节常数项级数审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：假设，那么称为正项级数。
大一下高数知识点无穷级数
大一下高数知识点无穷级数大一下高数知识点：无穷级数在大一下的高等数学课程中，无穷级数是一个重要的知识点。
无穷级数是由无穷多个数相加（或相减）所得的结果，它在数学和其它科学领域中都有广泛的应用。
本文将着重介绍无穷级数的定义、性质和一些重要的收敛准则。
一、无穷级数的定义无穷级数可以写作以下形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...其中，a₁、a₂、a₃等为级数的各项。
二、常见的无穷级数1. 等差级数等差级数是最常见的一类无穷级数。
它的通项公式一般为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁为首项，d为公差。
例如，等差级数的前5项可以表示为：S₅ = a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + (a₁ + 3d) + (a₁ + 4d)2. 等比级数等比级数的通项公式一般为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，a₁为首项，r为公比。
例如，等比级数的前5项可以表示为：S₅ = a₁ + a₁r + a₁r² + a₁r³ + a₁r⁴三、无穷级数的性质1. 部分和在无穷级数中，我们通常用部分和来近似计算级数的和。
部分和Sn定义为：Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ其中，n为正整数。
2. 收敛和发散对于无穷级数，如果其部分和Sn在n趋向于无穷大时有极限S，则称该级数收敛，否则称该级数发散。
如果收敛，其收敛值S即为无穷级数的和。
3. 收敛性质无穷级数有以下重要的收敛性质：（1）若级数Sn收敛，则其任意子级数也收敛。
（2）若级数Sn发散，则其任意超级数也发散。
（3）若级数Sn和级数Tn都是收敛的，则它们的和级数Sn + Tn也是收敛的。
4. 绝对收敛和条件收敛若级数的所有项的绝对值构成的级数收敛，则称原级数绝对收敛。
否则，若级数本身收敛但其对应的绝对值级数发散，则称原级数条件收敛。
四、无穷级数的收敛准则在判断无穷级数的收敛性时，有一些常用的收敛准则：1. 正项级数判别法如果级数的所有项都是非负数，并且后一项总是比前一项大或相等，则该级数收敛。
高等数学@12.1 级数概念与性质
n0
（1）当|q|
<1时，收敛，其和为
1
a
q
（2）当|q|≥1时，发散
如：
n0
5 3n
,
收敛
(1)n
n0 2n , 收敛
(2)n
n0
发散
思考(2)：级数 1 1 1 1 1 是否收敛？
n1 n
23
n
S
n
1
1 2
1 3
(1)
lim
n
un
0
则 un 发散。
n1
(2)若加括号后的级数发散， 则原级数必发散。
(3)若级数 un 收敛， vn 发散
n1
n1
则级数 (un vn ) 必发散
n1
(4) 级数 kun与 un 收敛性相同 (k 0)
n1
n1
(5) 级数 un 与 un 收敛性相同。
收敛，则
lnimun
0
（必要条件）
问题
1.若
lim
n
un
0
则 un 发散
n1
2.若
lim
n
un
0
则 un
n1
未必收敛
如 1 n1 n
性质1 若常数k≠0，则级数 un 与 kun 收敛性相同.
n1
n1
证 设 Sn u1 u2 un
1. 级数收敛的性质：
（1）常数 k≠0，级数 un与 kun同敛散。
高等数学-无穷级数课件
洛朗级数
详细回顾幂级数的定义及性 质，引出洛朗级数及其底层 原理，以及如何求解洛朗级 数。
函数幂级数
幂级数的概念
讲解函数幂级数的基本概念，介绍为什么函数幂级 数在数学科学中是极为重要的。
幂级数的收敛域
解析复幂级数的收敛域，掌握如何利用幂级数求函 数的收敛域的基本方法与思想。
幂级数的和函数
从几何角度引出幂级数，深入讲解幂级数的和函数 及其原理和相关定理，复习求导和积分。
幂级数的求和
介绍求解幂级数求和问题的方法和技巧，强调计算 过程中所需要注意的地方。
特殊函数的幂级数展开
自然对数函数的幂级数展开
讲解自然对数函数如何用幂级数来展开，以及 为什么对数函数的幂级数展开在微积分中应用 非常广泛。
余弦函数的幂级数展开
深入剖析余弦函数及其幂级数展开，重点探究 在实际问题中如何运用对余弦函数的认识来解 决实际问题。
先修知识回顾
深入回顾微积分相关内容如数列极限、级数收敛性 概念等，为本课程的学习打下坚实基础。
基本概念
1 无穷级数的概念
简单介绍无穷级数的基本形式和定义。
2 数列极限的基本概念
讲解数列极限的定义和性质，为理解无穷级 数奠定基础。
3 部分和数列的概念
详细解释部分和数列的含义，为后续章节的 理解做准备。
2 无穷级数的应用举例
案例分析如何运用无穷级数的知识来解决实际问题，提升学生的应用能力，解决学生学 以致用的问题。
3 拓展阅读建议
鼓励学生挖掘更多的应用案例和技巧，开阔视野，探索无穷级数的广泛应用领域。
参考文献
1 课本
2 学术论文
陈红药著《数学分析教程 7-无穷级数》，各高校数 学本部编写的《高等数学》 和《数学分析教程》等。
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n n1
n 1
而
lim
n
sn
lim (1
n
1) n 1
1
此级数收敛，和为 1.
二、收敛级数的基本性质
性质1 若级数 n1收un敛于和s，n则1k它un的各项同
乘以一个常数k所得的级数
也收敛，
且其和为ks.
性质2 如果级数 、un 分别vn
收敛于 s和 n 1
n 1
即
un u1 u2 un s
调和级数
1是发散的
;
n1n
p 级数n1n1p也发散 .
(2)当p 1时，
1
n 1n
p
1
(
1 2p
1 3p
)
(
1 4p
1 5p
1 6p
1 7p)
1
( 8
p
1 15 p
)
它的各项均不大于级数
1
(
1 2p
1 2p
)
(
1 4p
1 4p
1 4p
1 4p
)
(81p
1 8p
)
的对应项.
后一级数是几何级数，公比q
则有：若 发vn散，则
n 1
也 发un 散;
n 1
且当 n 时N，有
un kvn (k 0)
成立，
则有：若 收vn 敛，则
n 1
也收un敛.
n 1
例2 判定p-级数
1
n 1n
p
1
1 2p
1 3p
1 np
的敛散性.常数 p>0.
解 (1)设p 1时,
Q 1 1 , 由比较判别法知 , np n
定理1 正项级数 收un敛的充分必要条件是：它
n 1
的部分和数列{sn}有界.
例1 证明级数
n11
1 2n
1
1
2
1
1 22
1
1 2n
收敛.
证明:这是一个正项级数，其部分和为:
sn
1
1
2
1
1 22
1
1 2n
1 2
1 22
1 2n
1
1 2n
1
故{sn}有界，所以原级数收敛.
二、正项级数收敛的比较判别法
注意：发散级数加括号后有可能收敛，即加括 号后级数收敛，原级数未必收敛.
推论：如果加括号以后所成的级数发散，则 原级数也发散.
性质5 (收敛的必要条件)如果
级数 un u1 u2 un
n 1
收敛，则它的一般项 u趋n 于零，即
lim
n
un
0
结论：由此我们可得
(1)若 un收敛，则其通项un趋于零；
第二节 正项级数及其敛散性
一、正项级数及其收敛的充要条件 二、正项级数收敛的比较判别法 三、正项级数收敛的比值判别法
一、正项级数及其审敛法
定义 设级数
u1 u2 un
(1)
的每一项都是非负数,即un 0, 则称此级数是
正项级数.
显然,正项级数的部分和{sn}数列是单调增加
的，即
s1 s2 s3 sn
定理2(比较审敛法)设 u和n
n 1
且
un vn (n 1,2, )
都 是vn正项级数，
n 1
若级数
v收n 敛，则级数
收u敛n ；
n 1
n 1
反之，若级数 u发n 散，则级数 也v发n 散.
n 1
n 1
推论
设级数
u和n
是 v两n 个正项级数，且存
n 1
n 1
在自然数N，使当 时n， N有
（un k>kv0n)成立，
1 1 1
n(n 1) n n 1
Sn
(1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 3
1) 4
(1 n
1) n 1
1 1 n 1
我们以级数的前n项和作为研究无穷多项和
的基础.
由级数(1)的前n项和，容易写出：
s1 u1 s2 u1 u2
sn u1 u2 un
这样，就得到数列{sn } s1, s2 , , sn ,
1 2 p1
1,
所以此级数收敛.
n1n1p收敛.
由此可得结论，p级数
1
n 1n
p
当 p 时1发散，p>1时收敛.
例 3 判定级数
1 1 1 1 L 1 L 的敛散性.
nn
n1
2n 3n
nn
解Q 1 1 ,
nn
2n1
而
级数
n 1
21n1收敛于2,
n1
1 nn
也收敛，且其和小于2.
例4 证明级数
n1
其中第n项un叫作级数的一般项或通项.
级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作
Sn.即： n Sn u1 u2 u3 un uk k 1
例如 级数 1 1 1 的 1 2 23 3 4
一般项
un
1 n(n 1)
它的前n项和
Sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n(n 1)
1
是发散的.
n1 n(n 1)
证明 Q n(n 1) (n 1)2
1 n(n 1)
(n
1 1) 2
1 1 n(n 1) n 1
而级数
1
1 1
1
是发散的；
n1n 1 2 3
n 1
由比较判别法可知，所给级数也发散.
第一节 无穷级数的概念与性质
一、无穷级数的概念 二、无穷级数的性质
一、无穷级数的概念
定义1 若有一个无穷数列
u1，u2，u3， ，un，
此无穷数列构成下列表达式
u1 + u2 + u3 + + un +
(1)
称以上表达式为(常数项)无穷级数，简称(常
数项)级数，记为
un u1 u2 u3 un
n 1
(2)通项un不趋于零，则 un 发散；
n 1
(3)通项un趋于零, un不一定收敛.
n1
通项un 趋于零是 un收敛的必要条件.
n1
例 3 判定级数
n 1 2 3 L
n1 n 1 2 3 4 解 Q lim n 1 0
n n 1
级数
n 发散.
n1 n 1
的敛散性.
注意: 级数收敛的必要条件常用于级数发散 的判定.
例1 判定级数
1
1 1 1
1
的敛散性.
n1n(n 1) 1 2 2 3 3 4
n(n 1)
解：un
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
sn
1 1 12 23
1 (n 1) n
1 (n 1) n
(1 1) (1 1) (1 1 ) 1 1
2 23
定义2 如果级数 u部n分和数列
限s，即
n1
{sn有}极
lim sn s
n
则称无穷级数
u收n敛.s称为此级数的和.
n 1
且有
s u1 u2
un
,
若 {sn无}极限，则称无穷级数 发散un.
n 1
注意: rn s sn un1 un2 ,
称为级数的余项，
sn为 rn代替s所产生的误差 .
n 1
vn v1 v2 vn
n 1
则级数 (un vn ) (u1 v1) (u2 v2 )
n 1
其和为 s
(un vn ) 也收敛，
性质3 在级数前面加上或去掉有限项，不影响
级数的敛散性.
性质4 如果级数 收un敛，则对这级数的项任
n 1
意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变.