2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A ={x|1<x <5}，B ={x|x 2−3x +2<0}，则∁A B =( )
A. {x <|2<x <5}
B. {x|2≤x <5}
C. {x|2≤x ≤5}
D. {x|2<x ≤5}
2. 设函数f (x )={x 2,x <1,x −1,x ≥1,则f(f (−2))的值为( )
A. 4
B. 3
C. −3
D. −5
3. 下列各个对应中，构成映射的是( ) A. B. C. D.
4. 若a <12，则化简√(2a −1)24的结果是( )
A. √2a −1
B. −√2a −1
C. √1−2a
D. −√1−2a
5. 函数f (x )=a 1−x 2(a >1)的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
6. 已知幂函数f(x)=(m 2−2m −2) x 2−m 在上单调递增，则m 的值为(
) A. −1 B. −1或3 C. 1或−3 D. −3
7. 函数f(x)=1−log 2x 的零点是( )
A. (1,1)
B. 1
C. (2,0)
D. 2
8. 下列函数的定义域为(0,+∞)且在定义域内单调递增的是( )
A. y =e x
B. y =−log 1πx
C. y =√x
D. y =log 12x
9. 函数f(x)=√x +5的值域为( )
A. (5,+∞)
B. (−∞,5]
C. [5,+∞)
D. R 10. 已知a =ln 13，b =213，c =(1
3)2，那么( ) A. a <b <c B. c <b <a C. a <c <b D. c <a <b
11. 已知函数f (x )={log 2(x +1),x ≥11,x <1
，则满足f (2x +1)<f (3x −2)的实数x 的取值范围是( ) A. (−∞,0]
B. (3,+∞)
C. [1,3)
D. (0,1) 12. 已知函数，则 )
A. 0
B. −3
C. 3
D. 6 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 计算：log 24+8−13=__________．
14. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(−2)=0.当x ≤0时，f(x)单调递减，则不等式(x 2−
4)f(x −1)<0的解为___________．
15. 若函数f(x)=m +log 2x(x ≥1)存在零点，则实数m 的取值范围是_____________．
16. 已知a ，b ∈R ，函数f(x)=|x −a|+|a −1−b
2|是偶函数，则2015−3ab 2的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知集合A ={x|x ≤−1或x ≥3},B ={x|1≤x ≤6},C ={x|m +1≤x ≤2m }．
(1)求A ∩B ．
(2)若B ∪C =B ，求实数m 的取值范围．
18. 设f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈[0,+∞)时，f(x)=x(x +3x).求：
(1)f(−8)；
(2)f(x)在R 上的解析式．
19.某公司生产一种化工产品，该产品若以每吨10万元的价格销售，每年可售出1000吨，若将该
产品每吨的价格上涨x%，则每年的销售数量将减少mx%，其中m为正常数，销售的总金额为y 万元．
(1)当m=1
2
时，该产品每吨的价格上涨百分之几，可使销售总金额最大？
(2)当x=10时，若能使销售总金额比涨价前增加，试设定m的取值范围．
20.已知函数f(x)对于一切正实数x，y都有f(xy)=f(x)f(y)，且x>1时，f(x)<1，f(2)=1
9
．
(1)求证：f(x)>0；
(2)求证：y=f(x)在(0,+∞)上为单调减函数；
(3)若f(m)=9，试求m的值．
21.已知a>1，函数f(x)=log a(1
2x+1)+log a(3
2
−1
2
x)．
(Ⅰ)求f(x)的定义域；
(Ⅱ)若f(x)在[−1,5
2
]上的最小值为−2，求a的值．
22.已知函数f(x)=lg(x+a
x
−2)，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：
【分析】
本题考查了补集及其运算，属于基础题.先解出B集合表示的范围，然后根据补集的定义解答即可．【解答】
解：∵A={x|1<x<5}，B={x|x2−3x+2<0}={x|1<x<2}，
∴∁A B={x|2≤x<5}．
故选B．
2.答案：B
解析：
【分析】
本题考查分段函数求值，属于基础题．
先计算f(−2)=(−2)2=4，再计算f(4)=4−1=3，即得结果．
【解答】
解：因为f(−2)=(−2)2=4，
所以f(f(−2))=f(4)=4−1=3．
故选B．
3.答案：B
解析：
【分析】
本题考查映射的概念，理解“任意”与“唯一”是关键，属于基础题．
利用映射的概念：集合M中的任意一个元素在集合N中都有唯一的元素与之对应，对四个选项逐一判断即可得到答案．
【解答】
解由映射的概念知，
对于A，M中的元素2在集合N中没有“对象”，故A错误；
对于B，集合M中的任意一个元素在集合N中都有唯一的元素与之对应，正确．
对于C，M中的元素1在集合N中有2个元素与之对应，故C错误；
对于D，M中的元素2在集合N中有2个元素与之对应，故D错误；
故选B．
4.答案：C
【分析】
本题考查了根式的运算性质，属于基础题．利用根式的运算性质即可得出．
【解答】
，∴1−2a>0．
解：∵a<1
2
4=√1−2a．
则√(2a−1)2
故选C．
5.答案：C
解析：
【分析】
本题考查函数图象、奇偶性和指数函数的性质，考查推理能力和计算能力，属于基础题，根据函数的奇偶性及指数函数的性质即可选出答案．
【解答】
解：由f(−x)=a1−x2=f(x)(x∈R)，
得f(x)偶函数，图象关于y轴对称，所以排除A，B，
又f(x)=a1−x2>0(a>1)，故排除D，
故选C．
6.答案：A
解析：
【分析】
本题考查幂函数的定义及性质，属于基础题．
由函数是幂函数，系数为1得m=3或−1，再由单调性即可得解．
【解答】
解：因为f(x)=(m2−2m−2) x2−m是幂函数，
故m2−2m−2=1，解得m=3或−1，
又因为函数在上单调递增，则m=−1．
故选A．
7.答案：D
解析：解：令f(x)=1−log2x=0，可得x=2
∴函数f(x)=1−log2x的零点是2
故选D．
令f(x)=1−log2x=0，可得结论．
本题考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于基础题．
8.答案：B
【分析】本题考查了函数的定义域与单调性判断，属于基础题．
依次判断各个函数定义域与单调性即可．
【解答】解：对于A，y=e x为指数函数，其定义域为R，不符合题意;
对于B，y=−log1
πx，即y=log
π
x，为对数函数，定义域为(0,+∞)且在定义域内单调递增，符合题
意;
对于C，y=√x，其定义域为[0,+∞)，不符合题意;
对于D，y=log1
2
x为对数函数，定义域为(0,+∞)且在定义域内单调递减，不符合题意．故选B．
9.答案：C
解析：
【分析】
本题主要考查函数的值域，属于基础题．
直接根据√x≥0即可求解．
【解答】
解：函数f(x)=√x+5的定义域为[0,+∞),
因为√x≥0，
所以f(x)=√x+5≥5，
即函数的值域为[5,+∞),
故选C．
10.答案：C
解析：a=ln1
3<ln1=0,b=213>20=1，0<c=(1
3
)2<(1
3
)0=1∴a<c<b，故选：C．
11.答案：B
解析：
【分析】
本题主要考查分段函数的模型及其应用，属于一般题．
解析：
解：∵f(x)的单调递增区间为(1,+∞),x≤1时，f(x)=1，∴当f(2x+1)<f(3x−2)时，1≤2x+1<3x−2,
解得x>3．
故选B．
12.答案：D
解析：
【分析】
本题主要考查函数的奇偶性，求函数的值．
【解答】
解：为定义域上的奇函数，
．故选D．
13.答案：5
2
解析：
【分析】
本题考查对数的运算与指数幂的运算，是基础题．
利用运算法则可得答案．
【解答】
解：log24+8−13=log222+23×(−13)=2+1
2=5
2
，
故答案为5
2
．
14.答案：(−2,−1)∪(2,3)
解析：
【分析】
本题考查复合函数的单调性，不等式求解的应用，考查逻辑推理能力和应用意识．【解答】依题意知，当x−1<−2或x−1>2，即x<−1或x>3时，f(x−1)>0；当−2<x−1<2时，即当−1<x<3，f(x−1)<0．
由x2−4>0得x<−2或x>2，又由x2−4<0得−2<x<2．
画数轴可得，当x∈(−2,−1)∪(2,3)时，(x2−4)f(x−1)<0.
故答案为：(−2,−1)∪(2,3)
15.答案：(−∞,0]
解析：
【分析】
本题考查函数零点存在性定理，比较基础．
根据零点存在性定理可得，求解即可．
【解答】
解：函数f(x)=m+log2x(x≥1)为连续的增函数，
因为存在零点，
所以，解得m≤0，
则实数m的取值范围是(−∞,0]．
故答案为(−∞,0]．
16.答案：{2015}
解析：解：∵函数f(x)=|x −a|+|a −1−b 2|是偶函数，∴a =0，f(x)=|x|+|b−12|.
∴2015−3ab 2=2015−0=2015，
故答案为：{2015}．
利用偶函数的定义求得a =0，可得2015−3ab 2的取值．
本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．
17.答案：解：(1)由已知有A ∩B ={x|3≤x ≤6}；
(2)∵B ∪C =B ，
∴C ⊆B ，
①当C =⌀时，有m +1>2m ，解得m <1，
②当C ≠⌀时，有{m +1≤2m
m +1≥12m ≤6
，解得1≤m ≤3，
综上可得实数m 的取值范围是(−∞,3]．
解析：本题考查集合的交集、集合的并集及集合中的参数问题，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．
(1)根据题意利用交集的定义即可求得结果；
(2)根据题意可得C ⊆B ，分C =⌀及C ≠⌀讨论即可求得结果．
18.答案：解：(1)∵当x ∈[0,+∞)时，f(x)=x(x +3x)，
∴f(8)=8×(8+24)=256，
∵f(x)是R 上的奇函数，
∴f(−8)=−f(8)=−256；
(2)设x <0，则−x >0，
∵当x ∈[0,+∞)时，f(x)=x(x +3x)，
∴f(−x)=−x(−x −3x)=x(x +3x)，
∵f(x)是R 上的奇函数，
∴f(x)=−f(−x)=−x(x +3x)，
综上得，f(x)={x(x +3x),x ≥0−x(x +3x),x <0
．
解析：(1)根据解析式先求出f(8)，由奇函数的性质求出f(−8)；
(2)设x <0则−x >0，代入解析式化简得f(−x)，由奇函数的性质求出f(x)，利用分段函数表示出 f(x)．
本题考查了利用函数奇偶性的性质求函数值和解析式，考查转化思想，属于基础题．
19.答案：解：(1)由题设，当价格上涨x%时，每年的销售数量将减少mx%，
销售总金额y =10(1+x%)⋅1000(1−mx%)
=−mx 2
+100(1−m)x +10000(0<x <100m ). 当m =12时，y =12[−(x −50)2+22500]，
当x =50时，y max =11250．
即该产品每吨的价格上涨50%时，销售总金额最大．
(2)当x =10时，若能使销售总金额比涨价前增加，
能使销售总金额增加，
则存在0<x <
100m 使y >10×10000， 由0<x <100m 得10<100m ，所以m <10．
由y >10×10000，即−100m +1000(1−m)+10000>10000，
亦即m <1011，所以0<m <1011．
故若能使销售总金额比涨价前增加，m 的取值范围设定为0<m <1011．
解析：本题考查了函数解析式，函数最值的计算，考查不等式的解法，属于中档题．
(1)得出y 关于x 的函数，根据二次函数的性质求出结论；
(2)根据题意列不等式得出m 的范围．
20.答案：(1)证明：∵x >0，
∴x =√x ⋅√x ，则由f(xy)=f(x)f(y)，
得f(x)=f(√x)⋅f(√x)=f 2(√x)≥0.
若存在y >0时，f(y)=0，则对任意x >0都有，f(x)=f(x y ·y)=f (x y )·f (y )=0， 与f(2)=19≠0矛盾，所以不存在y >0，f(y)=0，
所以f(x)>0．
(2)证明：任取x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2
则x 2x 1>1，f(x
2x 1)<1， f(x 2)−f(x 1)=f(x 1⋅x 2x 1
)−f(x 1) =f(x 2x 1
)·f(x 1)−f(x 1) =f(x 1)·[f(x
2x 1)−1]<0， 即f(x 2)<f(x 1)
由此得到y =f(x)在(0,+∞)上为单调减函数．
(3)解：令x =2，y =1，则f(2)=f(1)f(2)，
即f(1)=1，
∵f(2)=19，f(m)=9，
∴f(m)⋅f(2)=9×19=1=f(1)，
即f(2m)=f(1)，
则2m =1，解得m =12．
解析：本题主要考查函数值的计算，函数单调性的判断，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，考查学生的运算推理能力．
(1)由x =√x ⋅√x ，根据题干定义结合反证法，即可证明f(x)>0；
(2)根据函数单调性的定义即可证明y =f(x)在(0,+∞)上为单调减函数；
(3)若f(m)=9，由f(2)=19得f(m)⋅f(2)=1，进行转化求解． 21.答案：解：(Ⅰ)f(x)=log a (12x +1)+log a (32−12x)，
必有{12x +1>032
−12x >0，解得−2<x <3， 即函数的定义域为(−2,3)； (Ⅱ)f(x)=log a (12x +1)+log a (32−12x)
=log a (−x 24+x 4+32)，设g(x)=−
x 24+x 4+32，x ∈[−1,52]， 其对称轴为x =12，则g(x)的最小值为g(52)=916，
又由a >1，则当g(x)取得最小值时，f(x)也取得最小值，
此时f(x)min =log a [g(52)]=log a 916=−2，a =43；
故a =43．
解析：本题考查函数的最值以及定义域的计算，涉及二次函数的性质，注意换元法分析．
(Ⅰ)根据题意，由对数函数的定义域可得{12x +1>032
−12x >0，解可得x 的取值范围，即可得答案； (Ⅱ)根据题意，f(x)=log a (12x +1)+log a (32−12x)=log a (−
x 24+x 4+32)，设g(x)=−x 24+x 4+32，x ∈[−1,52]，分析g(x)的最小值，由对数函数的性质可得 f(x)min =log a [g(52)]=log a 916=−2，解可得a 的取值范围，即可得答案． 22.答案：解：(1)由x +a x −2>0，得x 2−2x+a x >0，
当a >1时，x 2−2x +a >0恒成立，定义域为(0,+∞)，
当a =1时，定义域为{x|x >0且x ≠1}，
当0<a<1时，定义域为{x|0<x<1−√1−a或x>1+√1−a}.
−2，当a∈(1,4)，x∈[2,+∞)时，g(x)在[2,+∞)上是增函数，
(2)设g(x)=x+a
x
∴f(x)在[2,+∞)上是增函数．
．
则f(x)min=f(2)=lg a
2
(3)对任意x∈[2,+∞)，恒有f(x)>0．
−2>1对x∈[2,+∞)恒成立．
即x+a
x
∴a>3x−x2，x∈[2,+∞)．
故a>2时，恒有f(x)>0．
因此实数a的取值范围为(2,+∞)．
解析：本题考查函数恒成立问题，(1)着重考查分类讨论思想；(2)着重考查复合函数的函数单调性质求最值，方法为导数法；(3)着重考查分离参数法，是一道好题．
−2>0，可以通过对a分类讨论解决；
(1)求函数f(x)的定义域，就是)求x+a
x
−2，当a∈(1,4)时通过导数法研究g(x)在[2,+∞)上的单调性，再利(2)可以构造函数g(x)=x+a
x
用复合函数的性质可以求得f(x)在[2,+∞)上的最小值；
−2>1对x∈[2,+∞)恒成立，转化为a是x的函数，(3)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0，即x+a
x
即可求得a的取值范围．。