海天考研数学摸底试卷答案
考研数学(数学一)模拟试卷282(题后含答案及解析)
考研数学(数学一)模拟试卷282(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设函数f(x)=则f(x)在x=0处( ).A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导正确答案:C解析:即f(x)在x=0处不可导,故选(C).2.设g(x)=∫0xf(u)du,其中f(x)=,则g(x)在区间(0,2)内( ).A.无界B.递减C.不连续D.连续正确答案:D解析:由题设,当0≤x<1时,f(x)=1/2(x2+1),则从而g(x)在点x=1也是连续的.综上,g(x)在区间(0,2)内连续,选(D).3.设直线L:及平面π:4x-2y+x-6=0,则直线L( ).A.平行于平面πB.在平面π上C.垂直于平面πD.与平面π斜交正确答案:C解析:直线L的方向向量为s={1,3,2}×{2,-1,-10}={-28,14,-7},因为s//n,所以直线L与平面π垂直,正确答案为(C).4.设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值,则下列结论正确的是( ).A.f(x0,y)在y=y0处导数为零B.f(x0,y)在y=y0处导数大于零C.f(x0,y)在y=y0处导数小于零D.f(x0,y)在y=y0处导数不存在正确答案:A解析:可微函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值,则有fx’(x0,y0)=0,fy’(x0,y0)=0,于是f(x0,y)在y=y0处导数为零,选(A).5.设三阶矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=0,λ3=1,则下列结论不正确的是( ).A.矩阵A不可逆B.矩阵A的迹为零C.特征值-1,1对应的特征值向量正交D.方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量正确答案:C解析:由λ1=-1,λ2=0,λ3=1得|A|=0,则r(A)<3,即A不可逆,(A)正确;又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0,所以(B)正确;因为A的三个特征值都为单值,所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等,即r(A)=2,从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量,(D)是正确的;(C)不对,因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交,一般矩阵不一定有此性质,选(C).6.设矩阵,则A与B( ).A.合同,且相似B.合同,但不相似C.不合同,但相似D.既不合同,也不相似正确答案:B解析:,则A=C+3E,由|λE-C|=0得C的特征值为λ1=-3。
考研数学(数学二)模拟试卷420(题后含答案及解析)
考研数学(数学二)模拟试卷420(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设f(χ)二阶连续可导,g(χ)连续,且f′(χ)=lncosχ+∫0χg(χ-t)dt,=-2,则( ).A.f(0)为f(χ)的极大值B.f(0)为f(χ)的极小值C.(0,f(0))为y=f(χ)的拐点D.f(0)不是f(χ)的极值,(0,f(0))也不是y=f(χ)的拐点正确答案:C解析:显然f′(0)=0,=-2得g(0)=0,g′(0)=-2.由∫0χg(χ-t)dt∫0χg(u)du得f′(χ)=lncosχ+∫0χg(u)du.故(0,f(0))为y=f(χ)的拐点,选C.2.当χ>0时,f(lnχ)=,则∫-22χf′(χ)dχ为( ).A.B.C.D.正确答案:C解析:由f(lnχ)=得f(χ)=,故选C.3.设z=z(χ,y)由F(az-by,bχ-cz,cy-aχ)=0确定,其中函数F 连续可偏导且af′1-cf′2≠0,则=( ).A.aB.bC.cD.a+b+c正确答案:B解析:F(az-by,bχ-cz,cy-aχ)=0两边对χ求偏导得=0,解得;F(az -by,bχ-cz,cy-aχ)=0两边对y求偏导得,故,因此选B.4.设函数f(χ)在(-∞,+∞)上连续,其导函数的图形如图所示,则f(χ)有( ).A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点C.两个极小值点和两个极大值点D.三个极小值点和一个极大值点正确答案:C解析:设导函数的图形与χ轴的交点从左至右依次为A,B,C,在点A左侧f′(χ)>0,右侧f′(χ)<0.所以点A为f(χ)的极大值点,同理可知点B 与C都是f(χ)的极小值点.关键是点0处,在它左侧f′(χ)>0,右侧f′(χ)<0,而f(χ)在点O连续,所以点O也是f(χ)的极大值点(不论在χ=0处f(χ)是否可导,见极值第一充分条件),选C.5.设D为y=χ,χ=0,y=1所围成区域,则arctanydχdy=( ).A.B.C.D.正确答案:B解析:因此选B.6.设函数u=f(χz,yz,χ)的所有二阶偏导数都连续,则=( ).A.0B.χzf〞11+yzf〞22+z2f〞12C.z2f〞12+zf〞32D.χzf〞11+yzf〞22正确答案:C解析:因此选C.7.设矩阵B的列向量线性无关,且BA=C,则( ).A.若矩阵C的列向量线性无关,则矩阵A的列向量线性相关B.若矩阵C的列向量线性无关,则矩阵A的行向量线性相关C.若矩阵A的列向量线性无关,则矩阵C的列向量线性相关D.若矩阵C的列向量线性无关,则矩阵A的列向量线性无关正确答案:D解析:设B为m×n矩阵,A为n×s矩阵,则C为m×s矩阵,且r(B)=n.因为BA=C,所以r(C)≤r(A),r(C)≤r(B).若r(C)=s,则r(A)≥s,又r(A)≤s,所以r(A)=s,A的列向量组线性无关,A项不对;若r(C)=s,则r(A)=s,所以A的行向量组的秩为s,故n≥s.若n>s,则A的行向量组线性相关,若n=s,则A的行向量组线性无关,B项不对;若r(A)=s,因为r(C)≤s,所以不能断定C的列向量组线性相关还是无关,C项不对;若r(C)=s,则r(A)=s,故选D.8.设n阶方阵A的n个特征值全为0,则( ).A.A=OB.A只有一个线性无关的特征向量C.A不能与对角阵相似D.当A与对角阵相似时,A=O正确答案:D解析:若A的全部特征值皆为零且与对角矩阵相似,则存在可逆矩阵P,使得P-1AP=,于是A=O,选D.填空题9.=_______.正确答案:解析:10.设y=f(χ)与y=sin2χ在(0,0)处切线相同,其中f(χ)可导,则=_______.正确答案:解析:由y=f(χ)与y=sin2χ在(0,0)处切线相同得f(0)=0,f′(0)=2.由∫0χf(χ-t)dt∫0χf(u)du11.=_______.正确答案:10π解析:12.由方程χ+2y+z-2=0所确定的函数z=z(χ,y)在点(1,1,2)处的全微分dz=_______.正确答案:dχ-2dy解析:χ+2y+z-2=0两边对χ求偏导得1+=0,则,z+2y+z -2=0两边对y求偏导得2+=0,则=-2,于是dz=dχ-2dy.13.设函数y=y(χ)在(0,+∞)上满足△y=(+χsinχ)△χ+o(△χ),且,则y(χ)=_______.正确答案:χ(1-cosχ)解析:由可微的定义,函数y=y(χ)在(0,+∞)内可微,且y′=+χsin χ或y′-=χsinχ,由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得y==(-cos χ+C)χ由得C=1,所以y=χ(1-cosχ).14.设矩阵A=不可对角化,则a=_______.正确答案:0或4解析:由|λE-A|==λ(λ-a)(λ-4)=0,得λ1=0,λ2=,λ3=4.因为A不可对角化,所以A的特征值一定有重根,从而a=0或a=4.当a=0时,由r(OE-A)=r(A)=2得λ1=λ2=0只有一个线性无关的特征向量,则A不可对角化,a=0合题意;当a=4时,4E-A=,由r(4E-A)=2得λ2=λ3=4只有一个线性无关的特征向量,故A不可对角化,a =4合题意.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
海天教育:2013考研数学点睛3套卷(卷一)答案
nң ɕ
2 0 1 3 考研数学点睛 3 套卷 ( 一 ) 参考答案
第一 , 在上述定义中 , 必须能够满足 正数且可以任意小 ε 不管以何种表达形式给出 ,
1 0㊁ 1 0 的要求 , 依次看三个说法里的 ε , 分别为① 1 ㊁ 在 题 设 条 件 下, ②e ③2 ε, ②e >1, 2 N
a) ð(
n=1 n
ɕ
2 0 1 4
发散 .
故级数
2 0 1 2 时, 一定有 ( 即| a a <1 , <1 . n) n|
a) ð(
n=1 n
ɕ
2 0 1 2
2 0 1 2 收敛 ⇒l 则 ∃N >0 , 当n > N i m( a =0, n)
nң ɕ
( ) ʌ 答案与解析 ɔ 5
ð
n=1
ɕ
ʏ0ຫໍສະໝຸດ ( x l n 1 x) +
2 s i n t 故选 ( d t 是x 的 2ˑ2 = 4 阶无穷小 , D) t
ʏ
的充分条件 , 并非必要条件 . ( ) , 设 f (x ) 在 [a, 事实上可以放宽至 常义可积 ) 则 f (x ) 在 [a, 2 b] 上 连 续 ( b] 上 有界 ; ( ) 有界函数与有界函数的和 ㊁ 差㊁ 积仍为有界函数 . 3 具体来说 , ① 对于 f (x ) l i m
ε
ε
一㊁ 选择题 ( ) ʌ 答案与解析 ɔ 1 正确答案选择 ( D) . 本题考查无穷小比阶问题 , 其中第四个选项是复合函数 , 具有一定的难度 .
考研数学一(高等数学)模拟试卷222(题后含答案及解析)
考研数学一(高等数学)模拟试卷222(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.当x→1时,f(x)=的极限为( ).A.2B.0C.∞D.不存在但不是∞正确答案:D解析:显然=+∞,而不存在但不是∞,选(D).知识模块:高等数学2.设f(x)可导,且F(x)=f(x)(1+|sinx|)在x=0处可导,则( ).A.f(0)=0B.f’(0)=0C.f(0)=f’(0)D.f(0)=一f’(0)正确答案:A解析:F(0)=f(0),F-’(0)==f’(0)一f(0);F+’(0)==f’(0)+f(0),因为F(x)在x=0处可导,所以F-’(0)=F+’(0),于是f(0)=0,故应选(A).知识模块:高等数学3.设平面区域D:1≤x2+y2≤4,f(x,y)是区域D上的连续函数,则等于( ).A.2π∫12rf(r)drB.2π[∫12rf(r)dr一∫01rf(r)dr]C.2π∫12rf(r2)drD.2π[∫02rf(r2)dr—∫01rf(r2)dr]正确答案:A解析:dxdy=∫02πdθ∫12rf(r)dr=2πrf(r)dr,选(A).知识模块:高等数学4.设k>0,且级数( ).A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与k的取值有关正确答案:C解析:因为都收敛,所以绝对收敛,正确答案为(C).知识模块:高等数学填空题5.=_________.正确答案:解析:知识模块:高等数学6.设函数y=y(x)由e2x+y—cos(xy)=e一1确定,则曲线y=y(x)在x=0对应点处的法线方程为_________.正确答案:y=x+1解析:当x=0时,y=1,e2x+y一cos(xy)=e一1两边对x求导得e2x+y(2+)+sin(xy)(y+)=0,将x=0,y=1代入得=一2,故所求法线方程为y一1=(x一0),即y=x+1.知识模块:高等数学7.∫0+∞x7e-x2dx=_________.正确答案:3解析:∫0+∞x7x-x2dx=∫0+∞x6e-x2d(x2)=∫0+∞t3e-tdt==3.知识模块:高等数学8.过点M0(1,一1,2)且与直线L1:x+2y—z一2=0与L2:x—y—z一4=0都平行的平面为_________.正确答案:π:x+z一3=0解析:所求平面的法向量为n={1,2,一1}×{1,一1,一1}={一3,0,一3}=一3{1,0,1},所求的平面为π:(x一1)+0(y+1)+(z一2)=0,即π:x+z一3=0.知识模块:高等数学9.设z=f(x,y)是由e2yz+x+y2+z=确定的函数,则=________.正确答案:解析:将代入e2yz+x+y2+z=中得z=0,e2yz+x+y2+z=两边求微分得2e2yz(zdy+ydz)+dx+2ydy+dz=0,将x=,y=,z=0代入得.知识模块:高等数学10.设f(x,y,z)=x2一y2+2z2,则div(gradf)=_________.正确答案:4解析:gradf=={2x,一2y,4z},则div(gradf)==4.知识模块:高等数学11.设y=y(x)过原点,在原点处的切线平行于直线y=2x+1,又y=y(x)满足微分方程y’’一6y’+9y=e3x,则y(x)=________.正确答案:y(x)=2xe3x+x2e3x解析:由题意得y(0)=0,y’(0)=2,y’’一6y’+9y=e3x的特征方程为λ2-6λ+9=0,特征值为λ1=λ2=3,令y’’一6y’+9y=e3x的特解为y0(x)=ax2e3x,代入得a=,故通解为y=(C1+C2x)e3x+x2e3x.由y(0)=0,y’(0)=2得C1=0,C2=2,则y(x)=2xe3x+x2e3x.知识模块:高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020考研高数-摸底水平测试卷及参考答案解析
平测试卷高等数学1.【4分】设()f x 的定义域为()1,2,则()ln f x 定义域为.2.【4分】设,1,0≠>a a 且,ln lim a a a x x x px =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→111则.________=p 3.【4分】函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界()(A ))0,1(-(B ))1,0((C ))2,1((D ))3,2(4.【4分】若,2)(sin lim 3430=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x f x x x 则当0→x 时,)(x f 是x 的(A)等价无穷小(B)同阶但非等价无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小5.【4分】函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为(A).0(B).1(C).2(D).36.【7分】求下列极限.(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+→x x x 220111sin )ln(lim (2)【7分】)tan 1ln(1)1ln(1[lim 220x x x +-+→(3)【7分】xnxxx x n 120)e e (e lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++→.(4)【7分】xnx n x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→)()2)(1(lim .(5)【7分】⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→111nn n n elim(6)【7分】xx x x x x sin 114lim22+++-+-∞→.(7)【7分】)23(lim 434323x x x x x --++∞→(8)【7分】)cos 1(sin 1tan 1limx x xx x -+-+→7.【8分】已知20e cos 2lim1,x b x xax→-=求b a ,的值.8.【8分】已知()23ln lnln y x ⎡⎤=⎣⎦,求y '.9.【8分】设(),01,2,02,0,0 2.x x f x x x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪<≥⎩或,求()()0d x F x f t t =⎰.参考答案及解析1.【4分】设()f x 的定义域为()1,2,则()ln f x 定义域为.()2e,e 【解】21ln 2,e e x x <<<<.2.【4分】设,1,0≠>a a 且,ln lim a a a x x x px =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→111则.________=p ]2[【解】111(ln [lim )(lim 111+-=-+∞→++∞→x x a a x aa x p x x xpx ξ(拉格朗日中值定理))1(limln +=+∞→x x x a p x aln =则1)1(lim =++∞→x x x px 故2=p .3.【4分】函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界()(A ))0,1(-(B ))1,0((C ))2,1((D ))3,2(【解1】选)(A 排除法因为∞=---=→→211)2)(1()2sin(||lim)(lim x x x x x x f x x ∞=---=---=→→→22222)2)(1()2(lim )2)(1()2sin(||lim)(lim x x x x x x x x x x x f x x x 所以)(x f 在)3,2(),2,1(),1,0(内均无界,故应选(A ).【解2】排除法由于2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在区间)0,1(-上连续,且极限21)1()2)(1()2sin(||lim)(lim ---=→-→+x x x x x x f x x 2020)2)(1()2sin()(lim)2)(1()2sin(||lim )(lim ----=---=---→→→x x x x x x x x x x x f x x x 都存在,则)(x f 在区间)0,1(-上有界,故应选(A ).【注】解2中用到一个基本结论:若)(x f 在开区间),(b a 上连续,且)(+a f 和)(-b f 都存在,则)(x f 在开区间),(b a 上有界.4.【4分】若,2)(sin lim 3430=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x f x x x 则当0→x 时,)(x f 是x 的[C](A)等价无穷小(B)同阶但非等价无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小【解】由2)(sin lim 3430=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x f xx x 可知0)(sin lim 3430=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x f x x x 即0)(sin lim 2330=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x f x x x 0)(lim 120=-→x x f x 1)(lim 20=→xx f x 则当0→x 时,)(x f 是x 的高阶无穷小.5.【4分】函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为(A).0(B).1(C).2(D).3【解】应选C.xx x x x f xln )1(1)(+-=在1,0,1-=x 处没定义,x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1lim ln )1(1lim )(lim ln 111+-=+-=-→-→-→=∞=+=+-→-→11lim ln )1(ln lim 11x x x x x x x x x x x e x x x x x f xx x x x x ln )1(1lim ln )1(1lim )(lim ln 000+-=+-=→→→111lim ln )1(ln lim 00=+=+=→→x x x x x x x x x x x e x x x x x f xx x x x x ln )1(1lim ln )1(1lim )(lim ln 111+-=+-=→→→=2111lim ln )1(ln lim 11=+=+→→x x x x x x x x 故0=x 和1=x 为可去间断点.6.【7分】求下列极限.(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+→x x x 220111sin )ln(lim )61(【解】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+→x x x 220111sin)ln(lim xx x x x 22220sin )1ln()1ln(sin lim⋅++-=→4220)1ln(sin lim x x x x +-=→(等价代换)4220sin lim x x x x -=→4220)1ln(lim x x x x +-+→40))(sin (sin lim x x x x x x -+=→44021lim x xx →+430)61)(2(lim xx x x -=→61213121=+-=+(2)【7分】)tan 1ln(1)1ln(1[lim 220x x x +-+→32(【解】)tan 1ln(1)1ln(1[lim 220x x x +-+→)tan 1ln()1ln()1ln()tan 1ln(lim22220x x x x x +++-+=→4220)1ln()tan 1ln(lim x x x x +-+=→(等价代换)4220][tan 11lim x x x x -+=→ξ(拉格朗日中值定理)40))(tan (tan limx x x x x x -+=→32)31)(2(lim 430==→x x x x (3)【7分】xnxxxx n 120)e e (e lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++→.【解】原式xnxxx x n n 120e ee 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++++=→lim nxnnx x x x -+++→e e e 20lim x n nx x x x ))()(lim 1(e 1e 1e 120-++-+-=→n n n n n 2)1(21+=+++=21+=n 原式21e+=n (4)【7分】xnx n x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→)()2)(1(lim .][e)(21+-n n 【解】原式xxxx n x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→21lim xxx x x n x x ---∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12111lim n---⋅=e e e 2121)(e+-=n n (5)【7分】⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→111nn n n e lim ]21[【解】⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→111nn n n e lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=+-∞→111)ln(e e lim nn n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-∞→1111)ln(e lim nn n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∞→11ln(1lim n n n n 1-x (e ~)x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∞→)11ln(1lim 2n n n n 22121lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=∞→n n n )1ln((x x +-~)212x 21=(6)【7分】x x x x x x sin 114lim22+++-+-∞→.【解】分子和分母都提因子x -得原式22sin 1)(]11114)[(limxxx xx x x x +----+-=-∞→1112sin 111114lim22=-=+---+=-∞→xxx x x x (7)【7分】)23(lim 434323x x x x x --++∞→]23[【解】)23(lim 434323x x x x x --++∞→)2131(lim 43xx x x --+=+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=+∞→)121()131(lim 43x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-⋅=+∞→2(41(331(lim x xx x (等价代换)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=+∞→x x x 123lim 23=(8)【7分】)cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→]21[=-+-+→)cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x )cos 1(]sin [tan 21lim 0x x x x x --→ξ(拉格朗日中值定理))cos 1(]cos 1[tan lim 210x x x x x --=→21tan lim 210==→x x x 7.【8分】已知20e cos 2lim 1,x b x x ax→-=求b a ,的值.20e cos 21lim x b x x ax →-=20[e 1][cos 21]lim x bx x ax →---=2201[][(2)]2lim bx x x ax →--=(等价无穷小代换)203lim b x x ax→=则.2,3==b a 8.【8分】已知()23ln ln ln y x ⎡⎤=⎣⎦,求y '.(()2ln ln ln y x x x '=)【解】()()23231ln ln ln ln y x x '⎡⎤'=⎣⎦()()()332312ln ln ln ln ln ln x x x '⎡⎤=⎣⎦()()33321ln ln ln ln x x x '=()()233213ln ln ln ln ln x x x x '=()232113ln 3ln ln ln x x x x=()2ln ln ln x x x =9.【8分】设(),01,2,02,0,0 2.x x f x x x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪<≥⎩或,求()()0d x F x f t t =⎰.(()220,0,1,01,2121,12,21, 2.x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪--≤<⎪⎪≥⎩)。
海天考研数学摸底考试试卷
海天考研数学摸底考试试卷满分:150分 时间:150分钟一、选择题(每小题10分,共50分)1、 设()232xxf x =+-,则当0x →时,有【 】(A )()f x 与x 是等价无穷小 (B )()f x 与x 同阶但非等价无穷小 (C )()f x 是比x 高阶的无穷小(D )()f x 是比x 低阶的无穷小2、设()f x 在x a =的某个邻域内有定义,则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是【 】 (A )1lim ()()h h f a f a h →+∞⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦存在(B )0(2)()limh f a h f a h h →+-+存在(C )0()()lim2h f a h f a h h →+--存在(D )0()()limh f a f a h h→--存在3、设在[]0,1上()0f x ''>,则(0),(1),(1)(0)(0)(1)f f f f f f ''--或几个数的大小顺序为【 】(A )(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B )(1)(1)(0)(0)f f f f ''>-> (C )(1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D )(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->4、设()f x 是连续函数,且满足关系式21()()f x f t dt e =+,则()f x =【 】(A )()12e +(B )()123e +(C )(D )1e5、设函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数0000(,)(,)x y f x y f x y ''和都存在,则【 】 (A )00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在(B )00lim (,)x x f x y →及00lim (,)y y f x y →都存在(C )(,)f x y 在点00(,)x y 处必连续 (D )(,)f x y 在点00(,)x y 处必可微 6、设有平面闭区域(){}(){}1,|,,,|0,D x y a x a x y a D x y x a x y a =-≤≤≤≤=≤≤≤≤,则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰【 】(A )12cos sin D x ydxdy ⎰⎰(B )12D xydxdy ⎰⎰(C )14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰(D )07、设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则【 】(A )1C P AP -=. (B )1C PAP -=. (C )T C P AP =. (D )T C PAP =. 8、设A 为m n ⨯阶矩阵,下列命题中正确的是【 】(A )若A 中有n 阶子式不为零,则0Ax =仅有零解. (B )若A 中有n 阶子式不为零,则Ax b =有唯一解. (C )若A 中有m 阶子式不为零,则0Ax =仅有零解. (D )若A 中有m 阶子式不为零,则Ax b =有唯一解.9、某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p (0<p <1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【 】(A) 2)1(3p p -. (B) 2)1(6p p -.(C) 22)1(3p p -. (D) 22)1(6p p -.10、设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[1,3]-上的均匀分布的概率密度,若12()0()(0,0)()0af x x f x a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩为概率密度,则,a b 应满足【 】A 、234a b +=B 、324a b +=C 、1a b +=D 、2a b += 二、填空题(每小题8分,共40分) 1、设常数0k >,函数()ln xf x x k e=-+在()0,+∞内零点的个数为 2、已知21,,y y x y x ===是某二阶非齐次线性微分方程的三个解,则该方程的通解为 3、若11sin(1)1lim()2x x x b e a x-→--=-,则a= ,b=4、设(,,)f x υω有二阶连续偏导数,(,,)u f x xy xyz =,则2uz y∂=∂∂ 5、曲线21x y =-和直线1y x =+所围成平面图形的面积是 6、设函数()y y x =由方程22cos()xy x y =所确定,则dydx= 7、若=1a (1,3,4,-2)T ,=2a (2,1,3,t )T ,=3a (3,-1,2,0)T 线性相关,则=t . 8、设二维随机变量(,)X Y 服从22(,,,,0)N μμσσ,则2()E XY =.三、计算题1、求下列极限。
考研数学(数学三)模拟试卷384(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷384(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.若≠0,则( ).A.k=2,a=一2B.k=一2,a=一2C.k=2,a=2D.k=一2,a=2正确答案:A解析:当x→0时,,cos2x-=(1-)-(1-cos2x),因为1一=x2,1-cos2x~(2x)2=2x2所以cos2x一=(1-)-(1-cos2x)~-x2,故k=2,a=一2,选(A).2.y=坐的渐近线的条数为( ).A.2B.3C.4D.5正确答案:C解析:由为两条水平渐近线;由为铅直渐近线;由=0得曲线没有斜渐近线,故曲线共有4条渐近线,选(C).3.设D为xOy平面上的有界闭区域,z=f(x,y)在D上连续,在D内可偏导且满足+=一z,若f(x,y)在D内没有零点,则f(x,y)在D上( ).A.最大值和最小值只能在边界上取到B.最大值和最小值只能在区域内部取到C.有最小值无最大值D.有最大值无最小值正确答案:A解析:因为f(x,y)在D上连续,所以f(x,y)在D上一定取到最大值与最小值,不妨设f(x,y)在D上的最大值M在D内的点(x0,y0)处取到,即f(x0,y0)=M ≠0,此时==0,这与≠0矛盾,即f(x,y)在D上的最大值M不可能在D内取到,同理f(x,y)在D上的最小值m不可能在D内取到,选(A).4.设常数a>0,正项级数收敛,则( ).A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.级数敛散性与a有关正确答案:C解析:因为0≤又因为都收敛,所以收敛,根据比较审敛法得收敛,即(一1)n绝对收敛,选(C).5.A=,其中a1,a2,a3,a4两两不等,下列命题正确的是( ).A.方程组AX=0只有零解B.方程组ATX=0有非零解C.方程组ATAX=0只有零解D.方程组AATX=0只有零解正确答案:D解析:由=(a3一a1)(a3一a2)(a2一a1)≠0,得r(A)=3.由r(A)=3<4,得方程组Ax=0有非零解,不选(A);由r(AT)=r(A)=3,得方程组ATX=0只有零解,不选(B);由r(A)=r(ATA)=3<4,得方程组A TAX=0有非零解,不选(C);由R(A)=r(AAT)=3,得方程组AATX=0只有零解,选(D).6.对三阶矩阵A的伴随矩阵A*先交换第一行与第三行,然后将第二列的一2倍加到第三列得一E,且|A|>0,则A等于( ).A.B.C.D.正确答案:A解析:由一E=E13A*E23(一2),得A*=一(一2)=一E13E23(2),因为|A*|=|A|2=1且|A|>0,所以|A|=1,于是A*=A-1 故A=(A*)-1=-(2)=-E23(-2)E13=-,选(A)7.设连续型随机变量X的分布函数F(x)严格递增,Y~U(0,1),则Z=F1(Y)的分布函数( ).A.可导B.连续但不一定可导且与X分布相同C.只有一个间断点D.有两个以上的间断点正确答案:B解析:因为Y~U(0,1),所以Y的分布函数为FY(y)=,则Z=F-1(Y)的分布函数为FZ(Z)=P{Z≤z}=P{F-1(Y)≤z}=P{Y≤F(z)}=FY[F(z)],因为0≤F(z)≤1,所以Fz(z)=F(z),即Z与X分布相同,选(B).8.设X1,X2,X3,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的简单随机变量,是样本均值,记= .则___________.A.B.C.D.正确答案:B解析:令S2=.~N(0,1),由~χ2(n-1),且与相互独立,由t分布的定义,~t(n-1),选(B).填空题9.曲线在t=0对应点处的法线方程为__________.正确答案:解析:当t=0时,x=3,y=1,,而=2t一2,eycost+eysint一=0,将t=0。
2021年考研数学模拟卷二(数学一)解析
lim
n
n
ln
1
1 n(1 2a)
lim
n
n n(1 2a)
1 1 2a
.
(12) y ln x 的最大曲率为
.
【答案】 Kmax
23 9
.
5
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【解析】 y ln x ,则 y
1 x
,
y
1 x2
,故曲率为 K
y
3
(1 y2 )2
x
3
(1 x2 )2
,x 0.
dK 令 dx
1
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(2)设函数
F ( x)
f (x) x2
,
f (0),
x
0,
其中
f
(x)
在
x0
处二阶可导,
f (0) 0
,
x 0,
f (0) 0 , f (0) 0 ,则 x 0 是 F (x) 的( )
(A)第一类间断点
(B)连续点
(C)第二类间断点
(D)连续点或间断点不能由此确定
1,2 ,3 线性表示, 2 (0,1, 2)T 不能由1,2 ,3 线性表示,则 a ( )
(A) 1
【答案】(A)
(B) 3
(C) 0
(D)1
【解析】设 i xi11 xi22 xi33, (i 1, 2), A (1,2 ,3 ) ,对该非齐次线性方程
组的增广矩阵作初等行变换,有
服从 F
分布
【解析】本题未说明 X ,Y 相互独立,故选(C).
二、填空题:11~16 小题,每小题 5 分,共 30 分,请将答案写在答.题.纸.指定位置上.
考研数学(数学三)模拟试卷450(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷450(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.已知当x→0时,f(x)=arcsinx-arctanax与g(x)=bx[x-ln(1+x)]是等价无穷小,则( )A.a=b=1。
B.a=1,b=2。
C.a=2,b=1。
D.a=b≠1。
正确答案:A解析:根据等价无穷小的定义,那么1-a=0,,则有a=1,b=1。
故选(A)。
2.设f(x)=+x,则f(x)有( )A.两条斜渐近线。
B.一条水平渐近线,一条斜渐近线。
C.两条水平渐近线。
D.一条斜渐近线,没有水平渐近线。
正确答案:B解析:函数f(x)无间断点,所以不存在垂直渐近线。
水平渐近线:在x→-∞方向,所以y=0为函数f(x)的一条水平渐近线。
斜渐近线:所以y=2x为函数f(x)的一条斜渐近线。
故选(B)。
3.设f(x)是连续且单调递增的奇函数,设F(x)=∫0x(2u-x)f(x-u)du,则F(x)是( )A.单调递增的奇函数。
B.单调递减的奇函数。
C.单调递增的偶函数。
D.单调递减的偶函数。
正确答案:B解析:令x-u=t,则F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt,F(-x)=∫0-x(-x-2t)f(t)dt,令t=-u,F(-x)=-∫0x(-x+2u)f(-u)du=∫0x(x-2u)f(-u)du。
因f(x)是奇函数,f(x)=-f(-x),F(-x)=-∫0x(x-2u)f(u)du,则有F(x)=-F(-x)为奇函数。
F’(x)=∫0xf(t)dt-xf(x),由积分中值定理可得∫0xf(t)dt=f(ξ)x,ξ介于0到x之间,F’(x)=f(ξ)x-xf(x)=[f(ξ)-f(x)]x,因为f(x)单调递增,当x>0时,ξ∈[0,x],f(ξ)-f(x)<0,所以F’(x)<0,F(x)单调递减;当x<0时,ξ∈[x,0],f(ξ)-f(x)>0,所以F’(x)<0,F(x)单调递减。
海天教育:2013考研数学点睛3套卷(卷一)
2 0 1 3 考研数学点睛 3 套卷
( ) ( 数学一 ㊁ 三 考 生 用) 设 X 和 Y 是 两 个 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ,其 概 率 密 度 分 别 为 : 1 7
-( y-5), 2 x, 0ɤxɤ1, e y>5, ( ) ( ) 则 E( x = = X Y)= f gy , , , , 其他 其他 0 0
( ) ( 本题满分 1 1 9 1 分) ( , 数学一 ㊁ 二考生用 ) 设函数 f( 在( 上二阶可导 , 且f 记u x) 0, +ɕ ) ᵡ( x) >0, n) n= f( 又u 证明l n=1, 2, , u i m u 1< 2, n =+ɕ .
nң ɕ
{
{
.
三㊁ 解答题 ( 本题 9 小题 , 满分 9 解答应写出文字说明 , 证明过程或演算步骤 ) 4分, ( ) ( ( 数学一考生用 ) 本题满分 9 分 ) 1 8
ʏ
=
.
∯
Σ
2 ( 数学二考生用 ) 微分方程 y ᵡ+4 i n x 的通解为 y=xs
. .
x ( 数学三考生用 ) 差分方程 y 的通解为 ㊃3 x 1 -3 x =2 y +
( ) ( , , 数学二考生用 ) 设 x=x( 均 为 由 方 程 f( 1 5 z) z, x) z= z( x, x, z) =0 所 y, y= y( y) y, 确定的具有连续偏导数的函数 , 则x ᶄ ᶄ z ᶄ z㊃ x= y y㊃ æ3 ç ç ç0 ( ) 设 A= ç 1 6 ç0 ç ç è0 第 2 页 1 0 0ö ÷ ÷ 3 0 0÷ n 则A ÷, = ÷ 0 3 9 ÷ ÷ 0 1 3ø .
考研数学一(高等数学)模拟试卷53(题后含答案及解析)
考研数学一(高等数学)模拟试卷53(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设D:x2+y2≤16,则|x2+y2一4 |dxdy等于( ).A.40πB.80πC.20πD.60π正确答案:B解析:|x2+y2一4|dxdy=∫02πdθ∫04|r2一4|rdr=2π∫04|r2—4|rdr =2π[∫02(4一r2)rdr+∫24(r2一4)rdr]=80π,选(B).知识模块:高等数学2.设区域D由x=0,y=0,x+y=,x+y=1围成,若I1=sin(x+y)dxdy,则( )A.I1>I2>I3B.I2>I3>I1C.I1<I2<I3D.I2<I3<I1正确答案:B解析:由[ln(x+y)]3dxdy≤0;当≤x+y≤1时,由(x+y)3≥sin3(x+y)≥0得I2≥I3≥0,故I2≥I3≥I1,应选(B).知识模块:高等数学3.设平面区域D:1≤x2+y2≤4,f(x,y)是区域D上的连续函数,则等于( ).A.2π∫12rf(r)drB.2π[∫12rf(r)dr—∫01rf(r)dr]C.2π∫12rf(r2)drD.2π[∫02rf(r2)—∫01rf(r2)dr]正确答案:A解析:dxdy=∫02πdθ∫12rf(r)dr=2π∫12rf(r)dr,选(A).知识模块:高等数学4.设x2+y2≤2ay(a>0),则(x,y)dxdy在极坐标下的累次积分为( ).A.∫0πdθ∫02acosθf(rcosθ,rsinθ)rdrB.∫0πdθ∫02asinθf(rcosθ,rsinθ)rdrC.dθ∫02acosθf(rcosθ,rsinθ)rdrD.dθ∫02acosθf(rcosθ,rsinθ)rdr正确答案:B解析:令其中0≤θ≤π,0≤r≤2asinθ,则f(x,y)dxdy=∫0πdθ∫02asin θf(rcosθ,rsinθ)rdr,选(B).知识模块:高等数学5.极坐标下的累次积分dθ∫02cosθf(rcosθ,rsinθ)等于( ).A.B.C.D.正确答案:D解析:累次积分所对应的二重积分的积分区域为D:x2+y2≤2x(y≥0),则D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤},选(D).知识模块:高等数学填空题6.计算∫02dx∫x2y2dy=__________.正确答案:解析:改变积分次序得知识模块:高等数学7.计算=__________.正确答案:1—sin1解析:改变积分次序得知识模块:高等数学8.(x2+xy—x)dxay=__________,其中D由直线y=x,y=2x及x=1围成.正确答案:解析:知识模块:高等数学9.=__________.正确答案:解析:知识模块:高等数学10.=__________.正确答案:解析:改变积分次序得知识模块:高等数学11.设f(x,y)连续,且f(x,y)=xy+(x,y)dσ,其中D由y=0,y=x2及x=1围成,则f(x,y)= __________.正确答案:xy+解析:知识模块:高等数学12.设f(x,y)在点(0,0)的邻域内连续,F(t)==__________。
考研数学(数学三)模拟试卷282(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷282(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设f’(x0)=0,f’’(x0)>0,则必定存在一个正数δ,使得A.曲线y=f(x)在(x0一δ,x0+δ)是凹的.B.曲线y=f(x)在(x0—δ,x0+δ)是凸的.C.曲线y=f(x)在(x0—δ,x0]单调减少,而在[x0,x0+δ)单调增加.D.曲线y=f(x)在(x0—δ,x0]单调增加,而在[x0,x0+δ)单调减少.正确答案:C解析:.由极限的不等式性质,当x∈(x0—δ,x0+δ)且x≠x0时当x∈(x0一δ,x0)时,f’(x)0.又f(x)在x=x0连续→f(x)在(x0一δ,x0]单调下降,在[x0+δ)单调上升.故应选C.2.设y=y(x)是由方程y2+xy+x2+x=0所确定的满足y(一1)=1的隐函数,则A.1B.2C.一2D.一1正确答案:D解析:由y(x)所满足的隐函数方程知函数y=y(x)在x=一1的邻城内任意次可导,将隐函数方程求导一次与两次可得y(x)的一、二阶导函数y’(x)与f’’(x)分别满足2yy’+xy’+y十2x+1=0,2yy’’+xy’’+2(y’)2+2y’+2=0,在以上二式中分别令x=一1并利用y(一1)=1可知y’(一1)=0,y’’(一1)=一2.再利用洛必达法则即可得到故应选D.3.已知函数f(x)在区间[0,2]上可积,且满足,则函数f(x)的解析式是A.B.C.D.正确答案:B解析:由题设可令,代入即知f(x)满足关系式f(x)=6x2一2Ax+3B于是又有从而A,B满足方程组解之可得A=5,.从而函数f(x)的解析式是.故应选B.4.设a则下列不等式成立的是A.k1>k2>k3.B.k1>k3>k2.C.k2>k1>k3.D.k3>k1>k2.正确答案:B解析:【分析一】由题设条件知,y=f(x)是(a,b)上的凸函数,且k1,k1=2,k3=3分别是右图中所示线段的斜率.由的斜率>的斜率>的斜率,得k1>k3>k2,因此选B.【分析二】为比较k1,k3的大小关系,考察函数(k1=F(x2),k3=F(x3)),由→F(x)在(x1,b)为减函数→F(x2)>F(x3),即k1>k3.为比较k2,k3的大小关系,考察函数(k2=G(x2),k3=G(x1)),同理由→G(x)在(a,x3)为减函数→G(x1)>G(x2),即k3>k2.综上分析可知,k1>k3>k2.因此选B.5.设A是m×n矩阵,则下列4个命题①若r(A)=m,则非齐次线性方程组Ax=b必有解;②若r(A)=m,则齐次方程组Ax=0只有零解;③若r(A)=n,则非齐次线性方程组Ax=b有唯一解;④若r(A)=n,则齐次方程组Ax=0只有零解中正确的是A.①③.B.①④.C.②③.D.②④.正确答案:B解析:因为A是m×n矩阵,若r(A)=m,说明A的行向量组线性无关,那么它的延伸组必线性无关.所以必有.从而,故线性方程组Ax=b必有解,①正确.下面只需判断③或④正确即可.若r(A)=n,说明A的列向量组线性无关,亦即Ax=0只有零解,所以④正确,故应选B.当r(A)=m时,必有n≥m.如果m=n,则Ax=0只有零解,而m有可能是n+1,方程组Ax=b可以无解.所以③不正确,你能举例说明吗?6.下列矩阵中两两相似的是A.A3,A4.B.A1,A2.C.A1.A3.D.A2,A3.正确答案:C解析:判断相似应当用相似的必要条件作第一轮判别.相似的必要条件是:特征值一样,秩相等,…A3,A4虽特征值一样,但秩不相等,所以不相似.A1与A2或A2与A3虽秩相等但特征值不一样,因此不相似.用排除法知应选C.实际上,A1,A3的特征值都是3,0,0,且r(OE—A1)=1,r(OE—A3)=1,则n一r(OE—A1)=3—1=2,n—r(OE—A3)=3—1=2,说明齐次方程组(OE—A1)x=0与(OE—A3)x=0都有两个线性无关的解,即对应于λ=0,矩阵A1和A3都有2个线性无关的特征向量,所以矩阵A1和A3都与对角矩阵相似.从而A1与A3相似.7.在考核中,若学员中靶两次,则认定合格而停止射击,但限定每人最多只能射击三次.设事件A=“考核合格”,B=“最多中靶一次”,C=“射击三次”,已知学员中靶率为p(0<p<1),则A.AB与C独立.B.BC与A独立.C.AC与B独立.D.A,B,C相互独立.正确答案:A解析:依题意A与B为对立事件,因此,而不可能事件与任何事件相互独立,故应选A.若进一步分析,P(ABC)=0,而P(A),P(B),PC),P(AC),P(BC)均不为0,因此B、C、D均不正确.8.设X1,X2,…,Xn是取自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本,其样本均值和力差分别为Y,S2,则服从自由度为n的X2分布的随机变量是A.B.C.D.正确答案:D解析:因X~N(μ,σ2),所以,又因与S2独立,根据X2分布的可加性,只需4个选项中的第1个加项服从X2(1)分布即可.依题意,有应选D.填空题9.若由曲线及曲线某点处的切线方程与两条直线x=1,x=3围成的平面区域的面积最小,则该切线方程为________.正确答案:解析:图形如右图过曲线点处的切线方程为从而由于切线总在曲线的上方,故由曲线、切线及x=1,x=3所围图形面积为由此可见,x0=2时,面积S最小,此时切线方程为10.设a是一个常数,则=________.正确答案:解析:令,则,且t+∞→0,于是故11.累次积分=______.正确答案:解析:直接计算是不方便的,这是二重积分的累次积分,其中它是由即(x 一1)2+_y2=1(y≥0)与x轴围成的区域,如图所示.现改用极坐标变换,D的极坐标表示于是12.二阶微分方程y’’+y=10e2x满足条件y(0)=0,y’(0)=1的特解是y=________.正确答案:2e2x一2cosx一3sinx.解析:本题中微分方程的特征方程是λ2+1=0,特征根是λ=i与λ=一i,由方程的右端项10e2x即知可设方程具有形式为y*=Ae2x的特解,从而方程通解的形式为y=C1cosx+C2sinx+Ae2x.计算可得y’’=一C1cosx—C2sinx+4Ae2x.把y与y’’代入方程就有y’’+y=5Ae2x.令5A=10即A=2即得方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+2e2x.分别令y(0)=C1+2=0与y’(0)=C2+4=1又可确定常数C1=一2,C2=一3.故所求的特解是y=2e2x一2cosx一3sinx.13.已知α1=(1,2,一1)T,α2=(1,一3,2)T,α3=(4,11,一6)T,若Aα1=(0,2)T,Aα2=(5,2)T,Aα3=(一3,7)T,则A=________.正确答案:解析:用分块矩阵把已知条件组合起来,有因为,所以矩阵(α1,α2,α3)可逆.于是14.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,其密度函数为f(x,y)=ae-2x2-y2-8x+4y-14,则常数a=__________.正确答案:解析:【分析一】利用二维正态分布的标准形式对指数式配方,且该正态分布的相关系数ρ=0,即X,Y独立.由于2x2+y2+8x一4y+14=2(x+2)2+(y一2)2+2,从而由二维正态分布的标准式可知故由【分析二】利用密度函数的积分等于1来定出常数是一种常用的方法.根据泊松积分可得于是有解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(解答题)模拟试卷74(题后含答案及解析)
考研数学一(解答题)模拟试卷74(题后含答案及解析) 题型有:1.1.求数列极限:(I)(M>0为常数);(Ⅱ)设数列{xn}有界,求正确答案:(I)存在自然数k,k≥M,使当n>k时,有(Ⅱ)由于{xn}有界,故,对一切n有|xn|≤M.于是,由题(I)的结论及夹逼定理知涉及知识点:极限、连续与求极限的方法2.已知y=∫1t(1+)du,①其中t=t(x)由②确定,求.正确答案:解析:由①式给出y=y(t),由参数式②给出t=t(x).于是y(t)与t=t(x)复合的结果y是x的函数,由复合函数求导法可得是参数式求导.知识模块:高等数学3.已知A=,矩阵X满足A*X=A-1+2X,其中A*是A的伴随矩阵,求矩阵X。
正确答案:方程两边同时左乘矩阵A,且由公式AA*=|A|E,得|A|X=E+2AX,即(|A|E-2A)X=E,因此X=(|A|E-2A)-1。
又|A|==4,|A|E-2A=故涉及知识点:矩阵4.确定常数a,b的值,使得ln(1+2x)+=x+x2+o(x2).正确答案:涉及知识点:高等数学5.设求y(n)(0).正确答案:当x≠0时,当x=0时,故对任意x∈(-∞,+∞),都有又比较系数,得涉及知识点:一元函数微分学6.对随机变量X,已知EekX存在(k>0常数),证明:P{X≥ε}≤.E(ekX),(其中ε>0).正确答案:不失一般性,设X为连续型随机变量,概率密度为f(x),则EekX=∫-∞+∞exkx.f(x)dx,而P{x≥ε)= 涉及知识点:概率论与数理统计7.设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,又b>a>0,求证:ξ,η∈(a,b)使得f′(ξ)=ηf′(η)正确答案:把所证的结论改写成.由分别用拉格朗日中值定理与柯西中值定理ξ,η∈(a,b)使得.代入上式即得结论.涉及知识点:微分中值定理及其应用8.设甲、乙两人随机决定次序对同一目标进行独立地射击,并约定:若第一次命中,则停止射击,否则由另一人进行第二次射击,不论命中与否,停止射击.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率依次为0.6和0.5.(I)计算目标第二次射击时被命中的概率;(Ⅱ)设X,Y分别表示甲、乙的射击次数,求X与Y的相关系数ρXY.正确答案:(I)设A表示甲先射击,则表示乙先射击,又设Bi表示在第i次射击时目标被命中(i=1,2),则由题意,有由全概率公式即得(Ⅱ)由题意知P{X=0,Y=0}=0,P{X=1,Y=0}=P(AB1)=0.3,所以(X,Y)的分布律及边缘分布律为计算得EX=0.75,EY=0.7,DX=0.25×0.75,DY=0.3×0.7,E(XY)=0.45,于是涉及知识点:概率论与数理统计9.正确答案:涉及知识点:高等数学10.设函数f(u)在(0,+∞)内具有二阶导数,且z==0.(1)验证f”(u)+=0.(2)若f(1)=0,f’(1)=1,求函数f(u)的表达式.正确答案:f(u)=lnu+C2,由f(1)=0可得C2=O,故f(u)=lnu.涉及知识点:多元函数微分学11.设f(x)连续,证明:∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x—t)dt.正确答案:方法一令F(x)=∫0xf(t)dt,则F’(x)=f(x),于是∫0x[∫0tf(μ)dμ]dt=∫0xF(t)dt,∫0xf(t)(x-t)dt=x∫0xf(t)dt—∫0xtf(t)dt=xF(x)一∫0xtdF(t)=xF(x)一tF(t)|0x+∫0xF(t)dt=∫0xF(t)dt.命题得证.方法二因为∫0x[∫0tf(μ)dμ]dt=∫0xf(μ)dμ,[x∫0xf(t)dt-∫0xtf(t)]=∫0xf(t)dt,所以∫0x[∫0tf(μ)dμ一∫0xf(t)(x—t)dt≡C0,取x=0得C0=0,故∫0x[∫0tf(μ)dμ]dt=∫0xf(t)(x-t)dt.涉及知识点:高等数学12.设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数,函数g(y)连续可导,且g(y)在y=1处取得极值g(1)=2.求复合函数z=f(xg(y),x+y)的二阶混合偏导数在点(1,1)处的值.正确答案:计算可得将x=1与y=1代入并利用g(1)=2,g′(1)=0即得涉及知识点:多元函数微分学13.计算∫L(x2+y2)ds,其中L:x2+y2=a2.正确答案:根据对称性,∫L(x3+y2)ds=∫Ly2ds=∫Lx2ds,则∫L(x3+y2)dx=×2πa=πa3 涉及知识点:高等数学14.设f(u,v)具有连续偏导数,且f’u(u,v)+f’u(u,v)=sin(u+v)e,求y(x)=e —2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解.正确答案:由y(x)=e—2xf(x,x),有y’(x)=一2e—2xf(x,x)+e—2x[f’1(x,x)+f’2(x,x)],由f’u(u,v)+f’v(u,v)=sin(u+v)eu+v可得f’1(x,x)+f’2(x,x)=(sin2x)e2x.于是y(x)满足一阶线性微分方程y’(x)+2y(x)=sin2x.通解为y(x)=e—2x[∫sin2x.e2xdx+C],由分部积分公式,可得涉及知识点:常微分方程15.就a,b的不同取值,讨论方程组解的情况.正确答案:D==a(a一b).(1)当a≠0,a≠b时,方程组有唯一解,唯一解为,x3=0;(2)当a=0时,,因为r(A)≠,所以方程组无解;(3)当a=b≠0时,,方程组有无穷多个解,通解为X=(k为任意常数).涉及知识点:线性代数16.求极限正确答案:0 涉及知识点:高等数学17.袋中装有大小相同的10只球,编号为0,1,2,…,9.从中任取一只,观察其号码,按“大于5”,“等于5”,“小于5”三种情况定义一个随机变量X,并写出X的分布律和分布函数.正确答案:设随机变量Y表示从10个球中任取一只,其球上的号码数,令则有P{Y=i}=0.1,i=0,1,…,9,P{X=0}=0.5,P{X=1}=0.1,P{X=2}=0.4.于是X的分布函数为涉及知识点:随机变量及其分布某商品一周的需求量X是随机变量,已知其概率密度为假设各周的需求量相互独立,以Uk表示k周的总需求量,试求:18.U2和U3的概率密度fk(x)(k=2,3);正确答案:以Xi(i=1,2,3)表示“第i周的需求量”,则Xi的概率密度均为而U2=X1+X2,U3=U2+X3.三周中周最大需求量为X(3)=max{X1,X2,X3}.当x≤p时,显然f2(x)=f3(x)=0;对于x>0,有于是,两周和三周的总需求量U2和U3的概率密度涉及知识点:概率论与数理统计19.接连三周中的周最大需求量的概率密度f(3)(x).正确答案:设F(x)是随机变量X的分布函数.由题意知连续三周中的周最大需求量X(3)的分布函数为G(x)=[F(x)]3.于是,有涉及知识点:概率论与数理统计20.一批产品共10件,其中7件正品,3件次品,每次从中任取一件,求下面两种情形下直到取到正品为止所需抽取次数的概率分布:(1)每次取出后再放回去;(2)每次取出后不放回.正确答案:涉及知识点:综合。
考研数学模拟卷数三答案
考研数学模拟卷数三答案关建字摘要:线性,收敛,级数,驻点,特征值,无关,矩阵,发散,题意,不等价竭诚为您提供优质文档,本文为收集整理修正,共8页,请先行预览,如有帮助感谢下载支持2021考研数学模拟试卷一【数三】解析一、选择题(1) D解:lim α=limx →0βx →05⋅sin 5x5x cos x (1+sin x )1sin x=5≠1.e〔2〕B解:由limf (x )-1=0,lim(1-cos x )=0,得lim(f (x )-1)=0,而由f ''(x )连续知f (x )连续,所以x →01-cos x x →0x →0lim f (x )=f (0)=1.x →0f (x )-f (0)f (x )-11-cos x x 2=lim ⋅⋅=0,于是f '(0)=lim2x →0x →0x 1-cos xx x 所以x =0是f (x )的驻点.又由limx →0f ''(x )-11+x 2-1=1,lim(1+x 2-1)=0,x →0得lim(f ''(x )-1)=f ''(0)-1=0,即f ''(0)=1>0,x →0所以f (x )在点x =0处有f '(0)=0,f ''(0)=1>0,故点x =0是f (x )的极小值.应选〔B).〔3〕B解:当0<p ≤1时,由积分中值定理得⎰所以|n +1nn +1sin(πx )12(-1)n ,ξn ∈(n ,n +1),dx =p sin(πx )dx =p p ⎰n x +1ξn+1π(ξn+1)⎰n +1nsin(πx )22dx |=>,ξn ∈(n ,n +1),p p p x +1π(ξn+1)π((n +1)+1)∞222~(n →∞)而,发散,所以原级数非绝对收敛.∑p p pπ((n +1)+1)πn n =1πn 又|⎰n +1nsin(πx )2dx |=→0(n →∞),x p +1π(ξnp +1)而ξn∈(n ,n +1),即|⎰n +1nsin(πx )dx |单调减少.x p +1由莱布尼茨判别法知原级数收敛,故级数是条件收敛的,应选〔B 〕.(4)D解:记A =⎰2f (x )dx 为常数,于是有Af '(x )=8,即f '(x )=8,两边积分得A 88x +C ,由f (0)=0得C =0,从而f (x )=xA A228216于是A =⎰f (x )dx =⎰xdx =,即A =±4,故⎰f (x )dx =A =±4选〔D 〕00A 0A f (x )=〔5〕A解:易知Bx =0的解是ABx =0的解。
考研数学(数学一)模拟试卷500(题后含答案及解析)
考研数学(数学一)模拟试卷500(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设当|x|<1时f(x)=展开成收敛于它自身的幂级数f(x)=,则关于它的系数an(n=0,1,2,…)成立的关系式为A.an+2=an+1+an.B.an+3=an.C.an+4=an+2+an.D.an+6=an.正确答案:D2.当x→0时,下列3个无穷小a=按后一个无穷小比前一个高阶的次序排列,正确的次序是A.α,β,γ.B.γ,β,α.C.γ,α,βD.α,γ,β正确答案:D3.设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f'(x),则设f'(x)存在),则以下结论中不正确的是A.f'(x)必以T为周期.B.必以T为周期.C.必以T为周期.D.必以T为周期.正确答案:B4.设S为球面x2+y2+z2=R2(常数R>0)的上半部分,方向为上侧.则下述对坐标的曲面积分(即第二型曲面积分)不为零的是A.B.C.D.正确答案:B5.设a1,a2,…,as,是线性方程组的s个互不相同的解向量,则向量组{ai一aj| i≠j,i=1,2,…,s;j=1,2,…,s}的秩r取值范围为A.1或2.B.2或3.C.D.1.正确答案:A6.已知P-1AP=,α1是A的属于λ1=1的特征向量,α2,α3是A 的属于λ2=-1的线性无关的特征向量,则矩阵P是A.(α2,α1,α3).B.(α1,α2一α3,α3-α1).C.(3α1,α2+α3,α2一α3).D.(2α2,3α3,α1).正确答案:C7.将一枚均匀硬币连续抛n次,以A表示“正面最多出现一次”,以B表示“正面和反面各至少出现一次”,则A.n=2时,A与B相互独立.B.n=2时,.C.n=2时,A与B互不相容.D.n=3 时,A与B相互独立.正确答案:D8.设总体X~N(0,σ2)(σ2已知),X1,…,Xn是取自总体X的简单随机样本,S2为样本方差,则下列正确的是正确答案:C填空题9.设空间曲线L : 其中常数a>0.则空间第一型曲线积分=_____________.正确答案:解析:平面x—y=0经过球面.x2+y2+z2=a2的中心,所以L是一个半径为a的圆周.今建立它的参数方程.将L投影到xOz平面上去,为此,消去y,得所以L在xOz平面上的投影是一个椭圆.引入此椭圆的参数方程:x=,0≤t ≤2π由于L在平面x—y=0上,所以L的参数方程为x=于是ds=所以10.设an=x(1-x)n-1dx,则=_____________.正确答案:1—21n 2解析:an=11.微分方程y"+2y'一3y=x(ex+1)的通解为y=___________.正确答案:,其中C1,C2为任意常数解析:该常系数线性微分方程对应的齐次方程的特征方程为r2+2r一3=(r 一1)(r+3)=0,特征根r1=1,r2=一3,对应的齐次方程的通解为Y=C1ex+C2e-3x,其中C1,C2为任意常数.原给非齐次微分方程y"+2y'一3y=x(ex +1)=xex+x,可分解成两个非齐次方程y2+2y'一3y=xex与y"+2y'一3y=x,用常用的待定系数法,可求得各自的特解分别为所以原给方程的通解为y=其中C1,C2为任意常数.或写成如上所填.12.设y=y(x)由方程x=确定,则=_____________.正确答案:一2π解析:将x=0代入x=有y=1.再将所给方程两边对x求导,得1=于是y'=将x=0,y=1代入,得=一2π.13.设xi≠0,i=1,2,3,4.则行列式D==_______________.正确答案:解析:将D的第1行的一l倍加到2,3,4行,再将第i列(i=2,3,4)的倍加到第1列,得D14.已知随机变量X在(1,2)上服从均匀分布,在X=x条件下Y服从参数为x的指数分布,则E(XY2)=_____________.正确答案:21n 2解析:由题设知所以(X,Y)的联合概率密度为F(x,y)=所以E(XY2)=解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学二)模拟试卷448(题后含答案及解析)
考研数学(数学二)模拟试卷448(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.( )A.B.C.D.正确答案:D解析:作积分变量代换u=x-t,2.设f(x)在区间[a,b]上存在一阶导数,且fˊ(a) ≠fˊ(b).则必存在x0∈(a,b)使( )A.fˊ(x0)> fˊ(a).B.fˊ(x0)> fˊ(b).C.fˊ(x0)=[5fˊ(b)+2fˊ(a)].D.fˊ(x0)=[5fˊ(b)-2fˊ(a)].正确答案:C解析:由于fˊ(a)≠fˊ(b),不妨设fˊ(a)所以fˊ(a)[5fˊ(b)+2fˊ(a)] fˊ(b),类似地可证fˊ(a)> [5fˊ(b)+2fˊ(a)]> fˊ(b).一般地,设μ为介于fˊ(a)与fˊ(b)之间的任意一个确定的值.在本题条件下有结论:存在x0∈(a,b)使fˊ(x0)=μ.这个定理有点类似于连续函数介值定理,不过这里并不需要fˊ(x)连续而只要在[a,b] 上fˊ(x)存在即可.此定理在一般教科书上没有讲,但考研中经常用到.证明如下:令ф(x)= f (x)-μx.有фˊ(x)= fˊ(x)-μ.фˊ(a)= fˊ(a)-μ0.于是知,存在x1∈(a,b)使ф(x1)[5fˊ(b)+2fˊ(a)]介于fˊ(a) 与fˊ(b)之间,所以存在x0∈(a,b)使fˊ(x0)=[5fˊ(b)+2fˊ(a)].3.设函数z=z(z,y)由方程确定,其中F为可微函数,且Fˊ2≠0.则( ) A.x.B.y.C.z.D.0.正确答案:C解析:方程两边对x求偏导数,得再将方程两边对y求偏导数,得4.设则在区间(-1,1)内( )A.f(x)与g(x)都存在原函数.B.f(x)与g(x)都不存在原函数.C.f(x)存在原函数,g(x)不存在原函数.D.f(x)不存在原函数,g(x)存在原函数.正确答案:D解析:g(x)在(-1,1)内连续,所以存在原函数,f(x)在x=0处为第一类间断点,所以不存在原函数,如果F(x)是f(x)在区间(-1,1)内的一个原函数.f(x)=F ˊ(x),而f(x)在x=0处为第一类间断点,而作为导函数Fˊ(x)来说,是不可能存在第一类间断点的.5.设F(x)可导,下述命题:①Fˊ(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数;②Fˊ(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数;③Fˊ(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数.正确的个数是( )A.0个.B.1个.C.2个.D.3个.正确答案:B解析:②是正确的,证明如下:设Fˊ(x)= f(x)为奇函数.则φ(x)=∫0xf (t)dt 必是偶函数.证明如下:φ(-x)=∫0-xf (t)dt=∫0xf(-t)(-dt)=∫0xf(t)dt=φ(x).又因f(x)的任意一个原函数必是φ(x)+C的形式,所以f(x)的任意一个原函数必是偶函数.必要性证毕.设F(x)为偶函数:F(x)=F(-x),两边对x求导,得Fˊ(x)= -Fˊ(-x),所以Fˊ(x)为奇函数,充分性证毕.①是不正确的.反例:(x3+1)ˊ=3x2为偶函数,但x3+1并非奇函数,必要性不成立.③是不正确的.反例:(sin x+x) ˊ=cosx+1为周期函数,但sin x+x不是周期函数,必要性不成立.6.设则在点O(0,0)处( )A.偏导数存在,但函数不连续.B.偏导数不存在,但函数连续.C.偏导数存在,函数连续,但函数不可微.D.函数可微.正确答案:D解析:|f(x,y)|≤x2+y2,令(x,y)→(0,0),由夹逼定理有故A不正确.同理fˊy (0,0)=0.故B不正确.考虑点O(0,0)处的△f,按可微定义,f(x,y)在点(0,0)处可微.故应选D.7.设E是n阶单位阵,E+A是n阶可逆阵,则下列关系式中不恒成立的是( )A.(E-A)(E+A)2=(E+A)2(E-A).B.(E-A)(E+A)T=(E+A)T(E-A).C.(E-A)(E+A)-1=(E+A)-1(E-A).D.(E-A)(E+A)*=(E+A)* (E-A).正确答案:B解析:因EA=AE=A,AA2=A2A=A3,AA-1=A-1A=E,AA*=A*A=|A|E,故知A和E,A2,A-1,A*乘法运算均可交换.但(E+A)(E+A)T≠(E+A)T(E+A).例事实上,(E-A)(E+A)T=[2E-(E+A)](E+A)T≠(E+A)T[2E-(E+A)]=(E+A)T(E-A).故应选B.对于A,C,D均成立.以C为例,有(E-A)(E+A)-1=[2E-(E+A)](E+A)-1=2E(E+A)-1-(A+E)(A+E)-1=(E+A)-12E-(A+E)-1(A+E)=(A+E)-1[2E -(A+E)]=(A+E)-1(E-A).同理,请读者推A,D也成立.8.设向量组(Ⅰ)α1,α2,α3,α4线性无关,则和(Ⅰ)等价的向量组是( )A.α1+α2,α2+α3,α3+α4.B.α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1.C.α1-α2,α2+α3,α3-α4,α4+α1.D.α1,α1-α2,α2-α3,α3-α4,α4-α1.正确答案:D解析:两个向量组可以相互表出〈=〉两个向量组等价.两个向量组等价=>等秩,但反之不成立,等秩不一定等价(但不等秩必不等价).对于选项D.令β1=α1,β2=α1-α2,β3=α2-α3,β4=α3-α4,β5=α4-α5,则α1=β1,α2=α1-β1=β1-β2,α3=α2-β3=β1-β2-β3,α4=α3-β4=β1-β2-β3-β4,故D和D可相互表出,是等价向量组.应选D.填空题9.______.正确答案:e-2解析:所以原极限e-2.10.微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=______.正确答案:xe1-x解析:此为一阶齐次方程.令y=ux,有,原方程化为,u|x=1=1.解得ln| lnu-1|= ln|C1x|,C1为任意非零常数.去掉对数记号及绝对值符号,得lnu=Cx+1,C=±C1.u=eCx+1,将u|x=1=1代入,得C=-1,则u=e1-x ,故原方程的解为y= xe1-x.11.心形线r=a(1+cosθ)(常数a>0)的全长为______.正确答案:8a解析:弧长12.设函数z=f(x,y)(xy≠0)满足=y2(x2-1),则dz=______.正确答案:(2x-y)dx-xdy解析:设xy=u,=v,有x2=.则f(u,v)=uv(-1)=u2-uv,即z=f(x,y)=x2-xy.所以dz=(2x-y)dx-xdy.13.设f″(x0)存在,且,则f″(x0)=______.正确答案:2解析:令x→x0,两边取极限,由题设,知右边第一项趋于1,第二项由洛必达法则有所以f″(x0)=1+f″(x0),则f″(x0)=2.14.设A是3阶矩阵,满足A2=A,则(A+3E)-1=______.正确答案:(A-4E)解析:由题设A2=A,则A2-A=(A+3E)(A-4E)+12E=O.即(A+3E)(A-4E)=-12E,整理得(A+3E)(A-4E)=E,故得(A+3E)-1=(A-4E).解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
海天考研数三解答题部分--周蔷
海天考研--专项突破解答题(高数部分)数三 专用(周蔷 编辑整理)考研数三中第三部分解答题中高数题量5道:主要涉及以下:一、极限:1.求极限0x → 2.求极限11ln lim (1)x x x x →+∞-。
3.设()1sin ,,0,01arctan x y y y f x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→. 4.求).111(lim 0xe x x x --+-→ 5.求)cos sin 1(lim 2220xx x x -→. 6.求极限201sin lim ln x x x x→. 二、二重积分1. ()f x 在[0,1]有连续的导数,(0)1f =,且''()()t t D D f x y dxdy f x y dxdy +=+⎰⎰⎰⎰,{(,)|0,0}(01),t D x y y t x t t =≤≤≤≤<≤求()f x 的表达式。
2.计算二重积分3()d d D x y x y +⎰⎰,其中D 由曲线x =与直线0x =及0x =围成3.设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤ 计算二重积分(,).D f x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤ 4.计算二重积分d D x y ,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域. 5.计算二重积分σd y x D ⎰⎰-+122,其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D6.求⎰⎰++D d y y x σ)(22,其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成平面区域. 7.计算二重积分()D x y dxdy -⎰⎰,其中22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. 8.计算max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.9.计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x eI D y x +=⎰⎰-+-π其中积分区域22{(,)}.D x y x y π=+≤三、多元函数微分:1.已知函数(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,(1,1)2f =是(,)f u v 的极值,[(),(,)z f x y f x y =+,求2(1,1)|z x y∂∂∂ 2.求函数2M xy yz =+在约束条件22210x y z ++=下的最大值和最小值。
考研数学一(填空题)模拟试卷125(题后含答案及解析)
考研数学一(填空题)模拟试卷125(题后含答案及解析)题型有:1.1.=___________。
正确答案:解析:对原极限进行恒等变形,即因为x→0时,ln(1+x)~x,ex一1~x,cosx一1~一x2,则有知识模块:函数、极限、连续2.设∫0yetdt+∫0ycostdt=xy确定函数y=y(x),则dy/dx=_______.正确答案:解析:∫0yetdt+∫0xcostdt=xy两边对x求导得知识模块:高等数学3.设A为3阶矩阵,丨A丨=3,A*为A的伴随矩阵.若交换A的第1行与第2行得矩阵B,则丨BA*丨=__________.正确答案:-27解析:A两行互换得到B,由行列式性质丨A丨=-丨B丨,故丨BA*丨=丨B*丨丨A*丨=-丨A丨.丨A丨2=-27.知识模块:综合4.若3维列向量α,β满足αTβ=2,其中αT为α为转置,则矩阵βαT的非零特征值为正确答案:2解析:矩阵A=βαT的秩为1. 知识模块:综合5.设f(x)满足等式xf’(x)一f(x)=,且f(1)=4,则=____________。
正确答案:解析:知识模块:高等数学部分6.甲、乙二人轮流投篮,游戏规则规定为甲先开始,且甲每轮只投一次,而乙每轮连续投两次,先投中者为胜.设甲、乙每次投篮的命中率分别是P与0.5,则p=_______时,甲、乙胜负概率相同.正确答案:解析:记事件Ai表示甲在总投篮次数中第i次投中,i=1,4,7,10,….事件Bj表示乙在总投篮次数中第j次投中,j=2,3,5,6,8,9,….记事件A,B分别表示甲、乙取胜.事件A可以表示为下列互不相容的事件之和,即这是一个公比q=0.25(1一p)的几何级数求和问题.由于0<0.25(1一p)<1,该级数收敛,且若要甲、乙胜率相同,则P(A)=P(B)=0.5,即按这种游戏规则,只有当,甲、乙胜负概率相同.知识模块:概率论与数理统计7.两异面直线之间的距离为___________.正确答案:7解析:s1={4,一3,1},s2={一2,9,2},n={4,一3,1}×{一2,9,2}={一15,一10,30},过直线L2且与L1平行的平面方程为π:一15x一10(y +7)+30(z一2)=0,即π:3x+2y一6z+26=0,知识模块:高等数学部分8.=_________.正确答案:+C解析:知识模块:高等数学9.函数u=在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,—2,2)方向的方向导数为________。
考研数学一(高等数学)模拟试卷275(题后含答案及解析)
考研数学一(高等数学)模拟试卷275(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设其中g(x)是有界函数,则f(x)在x=0处( )A.极限不存在B.极限存在,但不连续C.连续,但不可导D.可导正确答案:D解析:显然=f(0)=0,f(x)在x=0点连续.由于所以f-’(0)=0.又故f+’(0)=0,从而f’(0)存在,且f’(0)=0,应选D.知识模块:一元函数微分学2.设f(x)有连续的导数,f(0)=0,f’(0)≠0,F(x)=∫0x(x2-t2)f(t)dt,且当x→0时,F’(x)与x’是同阶无穷小,则k等于( )A.1B.2C.3D.4正确答案:C解析:用洛必达法则,极限存在且不为0,所以k=3,选C.知识模块:一元函数微分学3.设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0.则方程在(a,b)内的根有( ) A.0个B.1个C.2个D.无穷多个正确答案:B解析:令则F(x)在[a,b]上连续,而且F(b)=∫abf(t)dt>0,故F(x)=0在(a,b)内至少有一个根.又所以F(x)单调增加,它在(a,b)内最多只有一个零点.故F(x)=0在(a,b)内仅有一个根.应选B.知识模块:一元函数积分学4.已知曲面z=x2+y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0,则点P的坐标是( )A.(1,-1,2)B.(11,1,2)C.(1,1,2)D.(-1,-1,2)正确答案:D解析:切平面平行于平面2x+2y+z-1=0,可知切平面的法向量为(2,2,1).又由z=x2+y2可得曲线切平面的法向量(zx’,zy’,-1)=(2x,2y,-1).令(2x,2y,-1)∥(2,2,1),解得x=-1,y=-1,代入z=x2+y2,解得z=2.所以P点坐标为(-1,-1,2).知识模块:向量代数与空间解析几何5.化为极坐标系中的累次积分为( )A.B.C.D.正确答案:A解析:由可得x2+(y-1)2=1(y≥1),所以积分区域D是圆x2+(y-1)2≤1的右半圆在直线y=x上方的部分,其极坐标形式为D= 知识模块:多元函数积分学6.设区域其中常数a>b>0.D1是D在第一象限部分,f(x,y)在D上连续,等式成立的一个充分条件是( )A.f(-x,-y)=f(x,y)B.f(-x,-y)=-f(x,y)C.f(-x,y)=f(x,-y)=-f(x,y)D.f(-x,y)=f(x,-y)=f(x,y)正确答案:D解析:当C成立时,f(x,y)关于x和y都是奇函数,积分应为零,不选C,因为题中未说类似于C,可知也不选A,B.当D成立时,f(x,y)关于x和y分别都是偶函数,将D在各个象限中的部分分别记为D1,D2,D3与D4,于是故选D.知识模块:多元函数积分学7.微分方程y’’+4y=sin2x有特解形如( )A.Asin2xB.Acos2xC.x(A+Bcos2x+Csin2x)D.A+x(Bcos2x+Csin2x)正确答案:D解析:原方程可以写成由待定系数法可知该方程有形如(Ⅰ))的特解.知识模块:常微分方程填空题8.极限=______.正确答案:2解析:知识模块:函数、极限、连续9.曲线v的全部渐近线为______.正确答案:x=0;和y=1解析:因为x=0为铅直渐近线;y=1为水平渐近线.知识模块:一元函数微分学10.设曲线y=y(x)在点与直线4x-4y-3=0相切,且y=y(x)满足方程则该曲线在相应x∈[一1,1]上(x,y)点的曲率为______ .正确答案:解析:由时,p=1,得c1=0.从而在(x,y)点的曲率知识模块:一元函数微分学11.xx(1+lnx)的全体原函数为_______.正确答案:x2+C,其中C为任意常数解析:因为(xx)’=(exlnx)’=xx(1+lnx),所以∫xx(1+lnx)dx=xx+C.知识模块:一元函数积分学12.设f(x)连续,则[∫0xtf(x2-t2)dt]=_____.正确答案:xf(x2)解析:知识模块:一元函数积分学13.向量场A(z,3x,2y)在点M(x,y,z)处的旋度rotA=______.正确答案:(2,1,3)解析:设向量场A=Pi+Qj+Rk,则因P=z,Q=3x,R=2y,则知识模块:多元函数积分学14.设由平面图形a≤x≤b,0≤y≤f(x)绕x轴旋转所成旋转体力的密度为1,则该旋转体$对x轴的转动惯量为______.正确答案:解析:由题意有知识模块:多元函数积分学15.设则其以2π为周期的傅里叶级数在x=±π处收敛于______.正确答案:解析:由狄利克雷收敛定理及f(x)的周期性可知,无论f(x)在x=±π处是连续还是间断,其傅里叶级数的和S(±π)都可用统一表示.因f(π-)=5,f(-π+)=x2|x=-π=π2,故知识模块:无穷级数16.函数在[-π,π]上展开为傅里叶级数(ancos nx+bnsin nx),则an=______ ,bn=______,和函数S(x)=______.正确答案:解析:f(x)在[-π,π]上满足狄利克雷收敛定理条件,进行周期延拓得F(x),有F(x)≡f(x),x∈(-π,π).由收敛定理可知:其中傅里叶级数的系数为:an=0,n=0,1,2,…(在[-π,π]上,f(x)除去间断点x=0外,是奇函数,所以其傅里叶级数必为正弦级数),知识模块:无穷级数17.设是f(x)的以2π为周期的傅里叶级数.则=______.正确答案:解析:傅里叶系数又由狄利克雷定理知,知识模块:无穷级数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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1a 3b 1 24
2a 3b 4
所以选 A。
二、填空题
1、解析:
2、解析:
3、答案:1,-1
解析:
lim
x1
sin(x 1) ex1 a
(
1 x
b)
0, 1
b,
a 1,对任意b
,由此可知答案。
a=1,对任意b
4、答案: xf3 x2 yf32 x2 yzf33
解析: u z
xyf3
海天考研数学摸底试卷答案
一、选择题
1、答案:B 解析 ax 1 ln a x
2、答案:D 3、答案:B
4、答案:C
解 析 :
f
( x)
f
x
2
x 1 f (x) , 解 此 微 分 方 程 得 f (x) ce x , 又 由 于 2x
f (1) 1 f (t2 )dt e f (1) e ,带入确定常数 C,c=1,从而 C 正确。 1
7、【详解】由题设,得
1 1 0
B
0
1
0
A
0 0 1
1 1 0 1 1 0 1 1 0
C
B
0
1
0
0
1
0
A
0
1
0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
又
1 1 0
P1
0
1
0
0 0 1
所以 C PAP1 ,故应选(B).
8、【答案】应选(A).
9、【答案】应选(C). 【详解】“第 4 次射击恰好第 2 次命中”表示 4 次射击中第 4 次命中目标,前 3 次射击中有 1 次命中目标.由独立重复
0
对应的特征向量为
1Байду номын сангаас
.
0
(2)由
1 1 0 1 0 0 1 1 0 1
A
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1 1 0 0 0 0 1 1 0
得
0 0 1
A
0
0
0
1 0 0
6、【解析】由题知二维随机变量 (X ,Y ) 的概率密度函数为
1,(x, y) G f (x, y) 0,(x, y) G
EX EY , DX DY 2
EY 2 DY EY 2 2 2
E( XY 2 ) EXEY 2 ( 2 2 )
三、1、 解:
2、 3、解析:
4、解:画出积分区域 如右图所示: 由于函数关于 x 为偶函数,积分区域关于 y 轴对称,则可化为
( x yex2 )d
10 10
6
0 0 0
1 t4
0
2 06
0 0 0
1 0 0
6
2 2(t
0
4)
故
6
2(t
4)
0,
即t
1.
8、【答案】 ( 2 2 )
【详解】由题知 X 与 Y 的相关系数 XY 0 ,即 X 与Y 不相关.在二维正态分布条件下, X 与 Y 不相关与 X 与Y 独
立等价,所以 X 与Y 独立,则有
(Ⅰ)由边缘密度的定义知
当 0 x 1时,有
x
fX (x)
f (x, y)dy
dy x
0
当1 x 2 时,有
2x
fX (x) 0 dy 2 x
所以
x, 0 x 1
fX (x) 2 x,1 x 2
0,
其他
(Ⅱ)同(Ⅰ)可得
当 0 y 1 时,有
2 y
fY (y)
5、答案:B
解析:偏导数存在,所以
f
(x, y0 ) 作为一元函数在 x
x0
处必连续,从而
lim
xx0
f
(
x,
y0
)
存在,同理
lim
y y0
f (x0, y)
也存
在,故选择 B
6、答案:A
解析:利用对称性解题时注意,考察两点:区域的对称性和被积函数奇偶性;区域关于 x(y)轴具有对称性,被积函
数关于 y(x)具有奇偶性。
f (x, y)dx
y
dx 2(1 y)
则有
2(1 y),0 y 1
fY ( y)
0,
其他
所以
fX Y (x
y)
f (x, y) fY ( y)
1 2(1
y)
,
(x,
y)
G
0,
(x, y) G
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D
2 ( x yex2 )d
Dx 0
2 ( x )d 2 yex2d
Dx 0
Dx 0
进而,由于现在积分区域关于 x 轴对称, yex2 关于 y 为奇函数,所以 yex2 d 0 , Dx0
此时,原式 2
( x )d 2
1
dx
x1
xdy
2
Dx 0
0
x1
3
5、【详解】(1)由
性知所求概率为:
C
1 3
p2
(1
p)2
.故选(C).
【评注】注意本题“第 4 次命中目标”与“前 3 次射击中有 1 次命中目标”是相互独立的。
10、【答案】(A)
【分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质,属基本题。
f (x)dx 1
【详解】由概率密度的性质
,有
0
3
a f1(x)dx b 0 f2 (x)dx 1
2
2
6、答案: y x
解析:两边对
x
求导。推出
sin(xy)( y
xy)
2xy2
2x2 yy ,所以
y
y sin(xy) 2xy2 x sin(xy) 2x2 y
y x
。
7、【分析】
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2
3
3
4 2
1 3 t
1
2 0
0 0 0
5 5 t4
,
2u zy
xf xy( f32
x
f33
xz) xf3 x2 yf32 x2 yzf33 。
5、答案: 9 2
解析:交点坐标(0,1)和(-3,-2),选择积分变量为 y, y [2,1] , dA [(1 y2 ) ( y 1)]dy
所以, A 1 [(1 y2 ) ( y 1)]dy 9 。
1 1 1 1
A 0
0
0
0
-1 1 1 1
得
1 1 1 1
A
0
0
,A
0
0
-1 -1 1 1
1
1
从而
0
是矩阵
A
的属于特征值-1
的特征向量,
0
是矩阵
A
的属于特征值 1
的特征向量.由 r( A) 2 知 A 的另一个
-1
1
0
特征值为
0.因为实对称矩阵不同特征值得特征向量正交,易得特征值