薛定谔方程

U→∞
U=0
a
金属
化
x
U=0
Ⅰ a Ⅱ a Ⅲ x
2
2
无限深方势阱
它的势能函数为 0, x a / 2
U( x) , x a / 2
U(x) U→∞
U→∞
这种势场表示粒子可以在
U=0
势阱中运动，但不能越出势阱， Ⅰ a Ⅱ a Ⅲ x
（因为 x a / 2,
2
2
区域的势能为无穷大）。
无限深方势阱
2.1 薛定谔方程
2.1 薛定谔方程
一. 薛定谔方程
i (r, t) [ 2 2 U(r, t)] (r, t)
t
2m
式中 m……粒子的质量 U……粒子在外力场中 的势能函数（所处条件） 2……拉普拉斯算符
2
2 x2
2 y2
2 z2
奥地利物理学家 薛定谔 （Schrodinger 1887-1961）
（4）它是非相对论形式的方程。
二 .定态薛定谔方程
常常遇到微观粒子的势能函数 U 与时间 t 无关的稳定的势场问题，这称为定态问题。 例如：
自由运动粒子…………U = 0
氢原子中的电子…… Ur 1 e2
4 0 r
这时波函数 可以用分离变量法分离为
一个空间坐标的函数和一个时间函数的 乘积。
有
o
a 2
A s in
ka
/
2
0
即 ka = n， n=0,2,4,6, … （1）
此外有
e
a 2
A cos
ka
/
2
0
即 ka = (2n+1) ， n=0,1,2,3, …（2）
将（1）（2）写成一个式子，为
ka = n， n=1,2,3,4,5, 6,…
ka = n， n=1,2,3,4,5, 6,…
在自由运动区域，各点粒子出现的概率都相等。
2.2 无限深方势阱中粒子
2.2 无限深方势阱中 的粒子
一.一维无限深方势阱中粒子的 波函数与能量
金属中自由电子的运动,是被限制在一个
有限的范围 …… 称为束缚态。
作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维
无限深方势阱中运动：
U(x)
U=U0
U=U0
U→∞ 简
K
自由运动区
A
U=0
其定态薛定谔方程为
d2
d x2
2m 2
E
0
2 2m
d2
d x2
U
E
……二阶常系数
E 是能量（动能）
常微分方程
令 2mE p2 ，P 是动量。
d2
d x2
2m 2
E
0
得
d2
d x2
p2 2
0
它有两个特解:
i px
1 e
2
e
i
p
x
所以，有一定能量和一定动量的一维自由运动 微观粒子的波函数有如下两个解:
2 l 0 时，有 o Asin kx --奇函数 l 1 时，有 e Acos kx --偶函数
l 的其他数值所对应的解都不是独立的，
因为它们和 0、 e 的形式一样，只可能有正负 的区别，这并不影响 2 ,即概率密度的分布不变。
o Asin kx e Acos kx
仍利用 ( x)在x a / 2处必须连续来决定 k，
因为
k2
2m 2
E
En
n2
π2 2 2ma 2
,
( E 称为能量本征值, n 称为量子数)
n 所以有 o Asin a x,
n e Acos a x,
n 2,4,6, n 1,3,5,
1933年薛定谔获 诺贝尔物理奖。
说明：
（1）其它解是波一函个数复数Ψ偏r,微t 分是方一程个；复函数。
（2）它的解满足态的叠加原理
若
Ψ1
(r,
t )和
Ψ2
(r
,
t)
是薛定谔方程的解，
则 c1Ψ1(r , t) c2Ψ2(r , t) 也是薛定谔方程的解。
因为薛定谔方程是线性偏微分方程。
（3）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验 检验了它的正确性，地位相当“牛顿定律”。
it
(x)e
2
(x) 2
即定态时，概率密度可以用 (x)2来表示， (x)称为定态波函数， 上面（★）式是 (x)满足的方程，
称为定态薛定谔方程。
小结：对势能函数 U 与时间t 无关的定态问题， 只须解定态薛定谔方程（★）式，再乘上（★）式
即可得总波函数 (x, t )。
例.一维自由运动微观粒子的波函数。 电子枪
2 d2
2m
d x2
E
令
k2
2m 2
E
则有
d2
d x2
k 2
d2
d x2
k 2
0
这一方程的通解为波动解
Asinkx
(可将此通解代入上面方程证明之)
A、、k ……可由波函数应满足的条件来决定：
有限、单值……自然满足。 连续……………？
由于 ( x)在x a / 2和x a / 2处必须连续，
我们来具体求出微观粒子在此势阱中的波函数解。 按照一维定态薛定谔方程
2 2m
d2
d x2
U
E
……（★）
2 2m
d2
d x2
U
E
……（★）
由于在 I、 III 两区的 U(x)＝ ，
显然应 = 0; = 0，否则方程就无意义了。
这也说明粒子不可能在这两个区域出现，
和经典概念相符。
由于 区的 U(x)= 0，因此该区薛定谔方程为
Edt
可以把它先解出来：
其解为
i Et
f Ae
……（★）
（A 是待定复常数； E 有能量量纲,以后可知是 粒子的能量：动能 + 势能，不包括静能）
一个是变量为x 的方程
2 d2
2m d x2
U
E
……（★）
其解 (x) 与粒子所处的条件（外力场U）有关。
由上面可以看出:
(x, t) 2
以一维运动的情况为例，波函数可写成
( x,t ) ( x ) f (t )
将其代入薛定谔方程,得
i d f
dt
2 2m
d2
d x2
U f
两边除以 ，得
i 1 f
源自文库
df dt
1
2 2m
d2
d x2
U
=
E
(常数)
可得只含变量 t 和只含变量 x 的两个方程：
一个是变量为t
的方程
i d f f
Ψ1( x, t) 1( x) f (t)
i
Ae
p
x
e
i
Et
Aeik x ei t
Aei(
tk x)
……沿
+
x
方向的单色平面波
Ψ2( x, t) 2( x) f (t)
Ae
i
p
x
e
i
E t
Ae ik x ei t
Aei
(
t
k x)
……沿
-
x
方向的单色平面波
动量有最小的不确定度，坐标就有最大的不确定度。
Asinkx
而在I、 III 两区， ( x) 0 ，所以有
Asin( ka ) 0,
2
A
ka sin(
)
0,
2
可得
ka 2
l1
π,
ka 2
l2
π
ka 2
l1
π,
ka 2
l2
π
式中 l1 , l2 是整数。 记作
上两式相加得 2 (l1 l2 ) π l π
式中 l 也是整数。 所以有 l π