2016年山东劳动职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)

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2016年山东劳动职业技术学院单招数学模拟试题（附答案
解析）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，则的值分别是
（）
A．B．C．
D．
2．已知直线，直线，给出下列四个命题：
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则.
其中正确的命题有
（）
A．③④ B．①③C．②④D．①②
3．5个人排成一排，若A、B、C三人左右顺序一定（不一定相邻），那么不同排法有（）
A．B．C．D．
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4．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（）
A．B．C．D．
5．一颗骰子的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，若以连续掷两次骰子分别得到的
点数m、n作为P点坐标，则点P落在圆内的概率为（）A． B． C．D．
6．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回摸球．A1表示第一次摸得白球，A2
表示第二次摸得白球，则A1与A2是（）A．互斥事件B．独立事件 C．对立事件D．不独立事件
7．从6种小麦品种中选出4种，分别种植在不同土质的4块土地上进行试验，已知1号、2
号小麦品种不能在试验田甲这块地上种植，则不同的种植方法有
（）
A．144种B．180种C．240种D．300种
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8．在（）8的展开式中常数项是（）A．－28B．－7C．7D．28
9．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是
P2，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是（）A．P1+P2 B．P1·P2 C．1－P1·P2 D．1－(1－P1)(1－P2)
10．袋中有6个白球，4个红球，球的大小相同，则甲从袋中取1个是白球，放入袋中，乙
再取1个是红球的概率为（）A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。

将正确答案填在题中横线上11．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二，四位置，那么不同的出场安排共有__________________种（用数字作答）．
12．已知斜三棱柱中，侧面的面积为S，侧棱与侧面的距离为d，则斜三棱柱的体积V=______________．
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13．已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，那么2F－V=．
14．已知的展开式中，的系数为，则常数的值为
__________________．
三、解答题：本大题共6小题，满分76分．
15．（本题满分12分）第17届世界杯足球赛小组赛在4支球队中进行.赛前，巴西队、士
耳其队、中国队等8支球队抽签分组，求中国队与巴西队被分在同一组的概率．
16．（本题满分12分）如图，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC 的中点，
（1）求证：MN//平面PAD；（2）求证：MN⊥AB；
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（3）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为，
试确定的值，使得直线MN是异面直线AB
与PC的公垂线．
17．（本题满分12分）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5
（相互独立）．
（1）求至少3人同时上网的概率；
（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？
18．（本小题满分12分）某人有5把钥匙，1把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，
于是，他逐把不重复地试开，问：
（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？
（2）三次内打开的概率是多少？
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（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？
19．（本题满分12分）已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数的最大的项及系数最大项.
20．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱中，，M为的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱到M的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为N.求：
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2）PC和NC的长；
（3）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小
（用反三角函数表示）.
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参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
11．252 12． 13．4 14．4
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) 解一：记事件A为“中国队与巴西队被分在同一小组”，则事件A的对立事件;“中国队与巴西队被分在两个小组”. 8支球队分为两组共有种方法，即基本事件总数为，其中中国队与巴西队被分在两个小组有种可能，
根据对立事件的概率加法公式
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解二：设巴西队已被分在某组，中国队此时面临7种可能位置，其中与巴西同组的位置有3种，故两队同组的概率为.
答：中国队与巴西队被分在同一组的概率为.
16．(12分) 证明：（1）取PD中点E，连接NE、AE，则四边形MNEA是平行四边形，所以MN//AE，所以MN//平面PAD
（2）连接AC、BD交于O，连接OM、ON，因为ON//PA，所以ON⊥平面ABCD，因为OM⊥AB，由三垂线定理知，MN⊥AB；
（3）∵PA⊥面AC，AD是PD在面AC内的射影，CD⊥AD ∴CD⊥PD ∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角θ.当θ=45°时，AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥面PCD ∵MN∥AE ∴MN⊥面PCD，∵PC面PCD，∴MN⊥PC，又由（2）知MN⊥AB，∴MN是AB与PC的公垂线.
17．(12分) 解：每个人上网的概率为0.5，作为对立事件，每个人不上网的概率也为0.5，
在6个人需上网的条件下，r个人同时上网这个事件（记为A r）的概率为：
P(Ar)===式中r=0,1,2,…,6
第（1）问的解法一应用上述记号，至少3人同时上网即为事件A3+A4+A5+A6，因为A3、A4、A5、A6为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得至少3人同时上网的概率为P=P(A3+A4+A5+A6)= P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6)
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=()=(20+15+6+1)=
解法二“至少3人同时上网”的对立事件是“至多2人同时上网”，即事件
A0+A1+A2，因为A0，A1，A2是彼此互斥的事件，所以至少3人同时上网的概率为P=1－P（A0+A1+A2）=1－[P(A0)+P(A1)+P(A2)]=1－()=1－
(1+6+15)=
第（2）问的解法：记“至少r个人同时上网”为事件B r，则B r的概率P(B r)随r 的增加而减少，依题意是求满足P(B r)<0.3的整数r的值，因为P(B6)=P(A6)=
<0.3，
P(B5)=P(A5+A6)= P(A5)+P(A6)=()=<0.3
P(B4)=P(A4+A5+A6)= P(A4)+P(A5)+P(A6)=()= (15+6+1)=>0.3因为至少4人同时上网的概率大于0.3，所以至少5人同时上网的概率小于0.3．
18．(12分) 解：5把钥匙，逐把试开有种等可能的结果．
（1）第三次打开房门的结果有种，因此恰好第三次打开房门的概率P(A)==．
（2）三次内打开房门的结果有3种，因此所求概率P(A)==．
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（3）解法一因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有·种，从而三次内打开的结果有—·种，所求概率P(A)==．解法二三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有种；三次内恰有2次打开的结果有种，因此，三次内找开的结果有+，所求概率P(A)==．
19．（14分）解：末三项的二项式系数分别为：，，，由题设得：++ =121
即++=121,∴n2+n－240=0 ∴n=15 (n=－16)(n=－16舍去)
当n=15时，二项式系数最大的为中间项第8、9项. 分别为C37x7与C
38x8
∵展开式通项T r+1= C(3x)r= C3r·x r设T r+1项系数最大，则有3r≥3r－1
3r≥3r+1
解得11≤r≤12,∴展开式中系数最大的项为T12= C311x11，T13= C312x12
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20．(14分) 解：（1）正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线的长为
（2）如图1，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连结MP1，则MP1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线. 设PC=x，则P1C=x
在中，由勾股定理得：
解得：
（3）如图2，连接，则就是平面NMP与平面ABC的交线.
作于H，又⊥平面ABC，连结CH
由三垂线定理得：
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∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）在中，
在中，
故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为。