第4章静定结构的位移计算

B
a
a
m M
M 1 sin a
例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生
相对剪位移，试求A点在i－i方向的位
移ΔQ。
FQ 1 sin
1 Q FQ 0
B
B
i
A
Q
i
A
Q
Q FQ
1
A
FQ
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产
生轴向位移 试求A点在ｉ－ｉ方向的位移
ΔN 。
由平衡条件：
B
B
则应分段图乘； ③当同一杆件的各杆段EI不相等时，也应
分段图乘； ④如果图形复杂，需分解为简单图形。
例：求图示梁中点的挠度。
？ 1 1 3a 3aPa EI 2 4
1 EI
P
aa 2
2 3
a 2
2
a
2
3a 2
4
a 2
2
P
a
23Pa3 24EI
例：求图示梁C点的挠度。
？ D = 1 Pl 2 l = Pl 3 C EI 2 6 12 EI
B
单位荷载
1
1
A
B
求ΔAV -ΔBV (A，B截面相对竖向位移）
求ΔAV+ΔBV (A，B截面竖向位移之和）
§4-3 荷载作用下的位移计算
研究对象：静定结构、线性弹性材料。
(M FN FQ )ds F c RK k
重点在于解决荷载作用下应变 、、 的表达式。
一、计算步骤
（1）在荷载作用下建立 M P , FNP , FQP 的方程，可经由荷载内力应力应 变过程推导应变表达式。
C
2Pl
3.81 Ac Ec
1.13 As Es
三.单位力状态的确定
所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位
广义力在所求广义位移上做功. 例: 1)求A点水平位移
B
P
A
2)求A截面转角
3)求AB两点相对水平位移
4)求AB两截面相对转角
P 1
P 1
P 1
P 1
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A A
线位移 角位移
Ax
A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
c
t1
c t2 t1
以上都是绝对位移
AV
BV
以上都是相对位移
二.虚功原理求位移----单位荷载法
c1 A
C
B
? 设虚力状态
a
b
b FR1 a P b 0 FR1
a
P=1
虚功方程
A
第4章 静定结构的位移计算
4.1应用虚力原理求刚体体系的位移 4.2结构位移计算的一般公式 4.3荷载作用下的位移计算 4.4图乘法 4.5温度作用时的位移计算 4.6互等定理
§4-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
一、结构位移计算概述
1.计算位移的目的： （1）结构的刚度验算；
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度；
A
P=1
A ?
(a)
P=1 B
A P=1
(b)
AB
?
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P1 d
C
(c)
d
A
B
P1 d
BC
?
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(e)
B AB ?
P=1
P=1 C P=1
(f)
C 左右 =？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(g)
A ?
P 1 x
M (x) x l, M (x) q(l x) 2 / 2
P
FNP F N k FQP FQ
[
EA
GA
l q(l [
x)k
q(l
x)3
]dx
0 GA
2EI
qkl2 ql4 ()
M设EPIM:MQ]MdG4sEA8qMMIEllk24IPiF, QPQ
q qk
l2
2GA
P 1
A bh, I bh3 /12, k 6 / 5,
2GA 8EI
对于细长杆,剪切变形 对位移的贡献与弯曲变
位移方h向/ l是1如/10, 何确定的?Q
E 1
/
GFQi2.5(钢砼)
lx
形相比可略去不计.
M 100
求ΔDV
P
P
P
B
C
3m
A －8P
D 4m×3=12m
0
0
00
0
－4/3
0
P=1
l
6 (2ac 2bd
ad
bc )
2hl 3
cd 2
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
q ql2/2 B
FNP=0
ω1
ql/2
ω2
ω2 ql2/8
l
P=1
l
y2
FN 1y3
FN 0
y1
M
MP
ql
l
1
w
3
2 3
ql 2 8
l
ql 3 12
ql/2
w 1N12
ql 2
F2 NElFANPqll43
ql 2
C
B 1 FR1 c1 0
FR1
a
b
b a
c1
单位荷载其虚功正好等于拟求位移。
§4-2 结构位移计算的一般公式
一、局部变形i时静定结构的位移计算
B
A
m
例1、悬臂梁在截面B处
a
a
i 由于某种原因产生相对转
B
A 角，试求A点在i－i方向 m 的位移Δｍ 。
a M
a
1
A
虚功方程：
1m M 0
三、广义位移的计算
求图a）结构A、B截面相对水平位移 AB
AH
。
BH
ΔAH A
BΔBH
1A
B1
κ,γ0q, ε
M , FQ , FN
a) q
Δφ
1 b1)
求Δφ
单位荷载
Al ΔAV
ΔBV B
1/l A
1/l B
求 AB
AB =(ΔAV + ΔBV )/l
A
FP B
1
1
ΔAV ΔBV
原结构
A
h 1 l 10
1 900
§4-5 温度作用时的位移计算
温度改变对静定结构不产生内力，变形和
位移是材料自由膨胀、收缩的结果。
图示刚架的外侧温度升 高t1，内侧温度升高t2， 且设温度沿截面高度方 向线性分布。
t1
αt1ds
线 膨
t0
h h1 h2
dθ
胀
αt0ds
系
t2
ds
αt2ds
数
设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴
0 00 0
DV
1 EA
3P
•1•
3
5P
5 3
5
8P
4 3
4
280P () 3EA
例1、 计算屋架顶点的竖向位移。
qN / m
1
1
1
4.5
1.5
P
P
P ql
C
4P
P
2D
F2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.0
1.5
FNP
1
A
E
0.25l 0.25l
G
B
0.25l 0.25l
0 1.5
0 1.5
0.5
0.5
2P
2P
FN
1
1
(M FN FQ )ds F c RK k
适用范围与特点：
1） 适于小变形，可用叠加原理。
2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、
弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
ds
（2）桁架
F FN NP ds F FN NP ds F FN NPl
EA
EA
EA
（3）组合结构
MM P ds F FN NP ds
EI
EA
例 1：已知图示梁的E 、G,
q
求A点的竖向位移。
解：构造虚设单位力状态.
FN(x) 0, FNP(x) 0
Ah
l
b
FQ(x) 1, FQP(x) q(l x)
高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。
（2）为分析超静定结构打下基础。
2.产生位移的原因
⑴荷载作用；
P
⑵温度变化和材料胀缩；
⑶支座沉降和制造误差。
A Ay
A A
Ax
t
3.位移与变形 由于上述三种因素均可使结构产生位移，
但其内部不一定有变形。
A
P
Ay 位移
C
wy0
EI
1l l
××
222
×5 Pl 6
5 Pl 3 48 EI
P
P
MP
Pa
Pa
a
a
a
P=1
a/2
a/2 M 3a/4
P
l/2
Pl
5Pl/6
C
l/2
MP
P=1
l/2
C l/6
M
非标准图形乘直线形
a）直线形乘直线形
MiMkdxw1y1w2 y2
a
ω1
Mi
ω2
b
l/3
l/3
l/3
al 2c d bl c 2d
⑤几种常见图形的面积和形心的位置：
a
b
(a+l)/3 (b+l)/3
l
ω=hl/2
h
h l/2 顶点 l/2
二次抛物线ω=2hl/3 顶点
h
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线ω=hl/3
5l/8
3l/8
二次抛物线ω=2hl/3
h
h
h
顶点
4l/5
l/5
三次抛物线ω=hl/4
顶点
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
1 tg
EI
B
A xM k dx
1 EI
tg ×w
x0
1 EI
wy0
MM EI
P
dx
w y0
EI
y
Mk
ω
x
dx
x0
α
Mi y0
Mi=xtgα
y0=x0tgα
x
MM EI
P
dx
w y0
EI
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。 ②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c） 两个弯矩图至少有一个是直线。 ③竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心 处。 ④面积ω与竖标y0在杆的同侧， ω y0 取正号，否 则取负号。
A
B
P=1
P=1
(h)
AB ?
§4-4 图乘法
刚架与梁的位移计算公式为：
iP
MM Pds EI
在杆件数量多、荷载复杂的情况下,用积分法
计算位移不方便.
下面介绍计算位移的图乘法.
MiMk
直杆
ds
MiMk
EI C
dx
1
EI
EI
EI
M iM k dx
Mi是直线
1
EI
B
M
A
k
xtgdx
FN B FN
i
A FN 1 cos
N
i
虚功方程：
A
N
1 N FN 0
1
N FN
A
当截面B同时产生三种相对位移时，
在i－i方向所产生的位移，即是三者
的叠加，有：
M Q N
d
ds
d
M FQ FN
i
ds
ds d
d
ds
d
d
i
R
d
d ds ds
R
d ds d ds
2 3 3 23 3
c
y1
Mk
y2
d
l (2ac2bd ad bc)
6
各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，
否则取负。
（1）
S = 9/6×（2×6×2 +2 ×4×3
6
+6 ×3+4×2） =111
2
4 3
9
b)非标准抛物线乘直线形
a h
b ＝a
+
b h
c l
d
S
（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知
MP EI
FNP EA
k
FQP GA
k--为截面形状系数
1.2
10
A
9
A1
(3) 荷载作用下的位移计算公式
MM P ds F FN NP ds k FQFQP ds
EI
EA
GA
二、各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架
MM P EI
温度 t0 与上、下边缘的温差 t 为：
t 0
t0
h1t2
h
h2t1
d / ds [(t
t t2 t1
t )ds / h] / ds t
2
1
h
t
t0
F Nds
t
h
M ds
t
t0
F Nds
t
h
M
ds
上式中的正、负号：
温度t0以升高为正，轴力以拉为正；
若 M 和 t 使杆件向同一方向弯曲其
1
C
1
D A
F B
00
4.5 E
1.5
3.0
G
FNP
1.5
1.5 0.5
1.5
FN
0.5
材料 钢 筋 砼
杆件 FNP F N
AD 4.74P 1.58
DC 4.42P 1.58 DE 0.95P 0
l
A
F FN NP l F FN NP l
EA
EA
1.97Pl
0.263l Ac Ec Ac
0.263l 0.088l
1.功的互等定理
FN1 M1
FQ1
1
FN1 EA
F1
P1
1
M1 EI
F2
二、结构位移计算的一般公式
i
d (M FN FQ )ds
i
一根杆件各个微段变形引起的位移总和：
d (M FN FQ )ds
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：
(M FN FQ )ds
若结构的支座还有位移，则总的位移为：
(M FN FQ )ds F c RK k
n次抛物线ω=hl/(n+1)
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
1
q
A
B
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
应用图乘法时的几个具体问题
①如果两个图形都是直线图形，则y0可取
自任一个图形； ②如果直线图形是由几段直线组成的折线，
w×12×ElAy
1
232qEll A12
y2
y3
l 2
M
1 EI
(w 1 y 1 w 2 y 2 w 3 y 3 )
1 EI
ql 2 4
2 l ql 2 34
2 l ql 2 3 12
l
3 ql
4
2 8 EI
N
ql 2
3 ql 4
4I
4 bh 3 12
h2
M
2 EA
8 EI
3 Al 2 3 bhl 2 9 l 2
Ac
1.84Pl Ec Ac
0.75Ac 0
3.81Pl Ec Ac
CE 1.50P 0 0.278l As 0
钢
AE
4.50P
1.50
0.278l 3As
0.63Pl Es As
EG 3.00P 1.50 0.222l 2As 0.50Pl
1.13Pl Es As
Es As
F FN NP l C EA
乘积为正。
例9-11 求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。
0
C
10
P1
P1
a
a
10
－1
FN
a
M
t0
10 0 2
5
t 10 0 10
c
t
h
w
M
t0w FN
10
h
3a2 2
5 ( a )
5a1
3a h
§4- 6 互等定理
应用条件： 1)应力与应变成正比； 2)变形是微小的。
即:线性小变形体系。