第4章静定结构的位移计算
合集下载
结构力学4静定结构的位移计算
4.3 平面杆件结构位移计算的一般公式
4.3.1 单位荷载法与结构位移计算的一般公式
P R1 1
F D 1 D F
c F R 2 c2 D F R c
c2 c1
d d du i1
D F R c M d FQ dh FN du
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第四章 静定结构的位移计算
F1 1 FB B F2 2 F3 3 0
(a)
虚位移之间的关系为 1 1 1 B 2 2
1 1 4 2 2 2 C B B 2 2 3 3 3
1 1 1 1 3 E 2 B 2 2 3 3 1 2 1 将以上各关系式代入式(a)，得 FB F1 F2 F3 2 3 3 河南理工大学万方科技学院
4.1.3 计算位移的方法
虚功法——依据虚功原理的单位荷载法。
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第四章 静定结构的位移计算
4.2 变形体系的虚功原理 4.2.1 实功与虚功 1．功
｛
W FD cos
W 2 Fr
α
力，Δ表示广义位移） Δ
功是力与位移的矢量点积
a c l
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第四章 静定结构的位移计算
沿所求位移方向虚设单位荷载 F=1的方法称为 单位荷载法，或称为单位力法。 当支座有给定位移时，静定结构的位移可用单 位荷载法来求解，其计算步骤如下： 1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出
在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
虚功原理
W =U
可写为
位移状态 位移状态
建筑材料力学第四章静定结构的位移计算
建筑材料力学第四章静 定结构的位移计算
2020/8/1
建筑力学
§4-1 概述
一、静定结构的位移
静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制 造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产 生水平线位移、竖向线位移以及角位移。
1. 截面位移
B
C
B
A
刚架受荷载作用
A
C
桁架受荷载作用
建筑力学
AC
B
C'
温度变化
2)上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静 定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非 弹性结构。
3)考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。
建筑力学
二、各类结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产
生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
(M 单位荷载1作用下的结构内弯矩)
(MP 外荷载作用下的结构内弯矩)
FP1 FP2 12
1、2之位移分别为
、 。然后加 ，则1、2截面产生新的
位移
。
建筑力学
FP1 FP2 12
实功： 虚功：
虚功强调作功的力与位移无关。
建筑力学
§4-2 变形体虚功原理及位移计 算一般公式
一、 变形体虚功原理
定义：设变形体在力系作用下处于平衡状 态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束 条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外 虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的 内虚功Wi ，即W=Wi 。
一、图乘法基本公式
为方便讨论起见，把积分 。
改写成
建筑力学
y
Mk(x) dω=Mkdx
Mk图
A
Bx
x
dx
x0
2020/8/1
建筑力学
§4-1 概述
一、静定结构的位移
静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制 造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产 生水平线位移、竖向线位移以及角位移。
1. 截面位移
B
C
B
A
刚架受荷载作用
A
C
桁架受荷载作用
建筑力学
AC
B
C'
温度变化
2)上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静 定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非 弹性结构。
3)考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。
建筑力学
二、各类结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产
生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
(M 单位荷载1作用下的结构内弯矩)
(MP 外荷载作用下的结构内弯矩)
FP1 FP2 12
1、2之位移分别为
、 。然后加 ，则1、2截面产生新的
位移
。
建筑力学
FP1 FP2 12
实功： 虚功：
虚功强调作功的力与位移无关。
建筑力学
§4-2 变形体虚功原理及位移计 算一般公式
一、 变形体虚功原理
定义：设变形体在力系作用下处于平衡状 态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束 条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外 虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的 内虚功Wi ，即W=Wi 。
一、图乘法基本公式
为方便讨论起见，把积分 。
改写成
建筑力学
y
Mk(x) dω=Mkdx
Mk图
A
Bx
x
dx
x0
静定结构的位移计算—结构位移公式及应用(工程力学课件)
【例4】求图示桁架k点水平位移. (各杆EA相同)
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
1
1 2 2 Ni
Δ= FN FNP l
EA
1
1
解：
kx
1 [(1)(P)a EA
(1)( P )a
2 2P 2a] 2(1 2) Pa () EA
ds
FN FNP EA
ds
1. 梁和刚架
在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
2. 桁架
Δ=
MMP EI
ds
Δ=
FN FNP ds FN FNP ds FN FNPl
EA
EA
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 (M ds FQ 0 FN )ds
MP
EI
0
kFQ P GA
FNP
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
适用条件：小变形、线弹性
➢ 正负号规则
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
M、FQ、FN、FRK ：单位载荷 FP1 1在结构中产生
的内力和支座反力
➢ 单位荷载法
一次计算一种位移
求绝对位移!
BF
C
D
q
实际状态
（位移状态）
CH求、CV、C
《结构力学》第四章 静定结构的位移计算 (3)
A M k M P ds
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
静定结构的位移计算
第4章
二、单位荷载法
1、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
PK=1 RK
1
RK RK3
2
( a , a , a , Ca )
位移状态
RK
4
(M K ,Q K , N K , RK )
虚力状态
对上述两种状态应用虚功原理：
1 Ka R K 1 C a1 R K 2 C a 2 M K a ds Q K a ds N K a ds
P/2
P/2
c
c
CV
4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结 构的位移。
第4章
三、计算位移的有关假定
2、小变形假设。变形前后荷载作用位臵不变。 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
ω1
ω2
MP图
1 Δ (ω1 y1 ω2 y2 ) EI
第4章
3、当杆件为变截面时亦应分段计算； y1
EI1
y2
EI 2
MK图
ω1
EI1
ω2
EI 2
MP图
1 1 Δ ω1 y1 ω2 y2 EI1 EI 2
第4章
4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号； 异侧时，取负号。
13860 0.0924m( ) EI
第4章
例题 试求左图所示刚架C点的竖向位移AV和转角C。 EI 1.5 105 KN m 2 各杆材料相同，截面抗弯模量为:
MB A
力状态(状态1)
静定结构的位移计算
静定结构的位移计算第4章 静定结构的位移计算4.1 结构位移的概念4.1.1 结构位移结构都是由变形材料制成的，当结构受到外部因素的作用时，它将产生变形和伴随而来的位移。
变形是指形状的改变，位移是指某点位置或某截面位置和方位的移动。
如图 4.1(a)所示刚架,在荷载作用下发生如虚线所示的变形，使截面A 的形心从A 点移动到了A ′点，线段AA ′称为A 点的线位移，记为A ∆，它也可以用水平线位移Ax ∆和竖向线位移Ay ∆两个分量来表示如图4.1(b)。
同时截面A 还转动了一个角度，称为截面A 的角位移，用A ϕ表示。
又如图4.2所示刚架，在荷载作用下发生虚线所示变形，截面A 发生了A ϕ角位移。
同时截面B 发生了B ϕ的角位移，这两个截面的方向相反的角位移之和称为截面A 、B 的相对角位移，即B A AB ϕϕϕ+=。
同理，C 、D 两点的水平线位移分别为C ∆如D ∆，这两个指向相反的水平位移之和称为C 、D 两点的水平相对线位移，既D C CD ∆+∆=∆。
除上述位移之外，静定结构由于支座沉降第4章静定结构的位移计算70等因素作用，亦可使结构或杆件产生位移，但结构的各杆件并不产生内力，也不产生变形，故把这种位移称为刚体位移。
一般情况下，结构的线位移、角位移或者相对位移，与结构原来的几何尺寸相比都是极其微小的。
4.1图71第4章静定结构的位移计算引起结构产生位移的主要因素有：荷载作用、温度改变、支座移动及杆件几何尺寸制造误差和材料收缩变形等。
4.1.2 结构位移计算的目的1. 验算结构的刚度结构在荷载作用下如果变形太大，即使不破坏也不能正常使用。
既结构设计时，要计算结构的位移，控制结构不能发生过大的变形。
让结构位移不超过允许的限值，这一计算过程称为刚度验算。
2. 解算超静定计算超静定结构的的反力和内力时，由于静力平衡方程数目不够，需建立位移条件的补充方程，所以必须计算结构的位移。
3. 保证施工在结构的施工过程中，也常常需要知道结构的位移，以确保施工安全和拼装就位。
结构力学4静定结构的位移计算习题解答
第4章 静定结构的位移计算习题解答习题 是非判定题(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。
（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。
（ ）(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。
（ ） (5) 关于静定结构，有变形就必然有内力。
（ ） (6) 关于静定结构，有位移就必然有变形。
（ ）(7) 习题(7)图所示体系中各杆EA 相同，那么两图中C 点的水平位移相等。
（ ） (8) M P 图，M 图如习题(8)图所示，EI =常数。
以下图乘结果是正确的：4)832(12ll ql EI ⨯⨯⨯ （ ）(9) M P 图、M 图如习题(9)图所示，以下图乘结果是正确的：033202201111)(1y A EI y A y A EI ++ （ ）(10) 习题(10)图所示结构的两个平稳状态中，有一个为温度转变，现在功的互等定理不成立。
（ ）(a)(b)习题 (7)图图(b)M图(a)M P 81qM 图(b)P M 图(a)习题 (8)图 习题 (9)图(a)P习题 (10)图【解】（1）错误。
变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。
（2）错误。
只有一个状态是虚设的。
（3）正确。
（4）错误。
反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。
（5）错误。
譬如静定结构在温度转变作用下，有变形但没有内力。
（6）错误。
譬如静定结构在支座移动作用下，有位移但没有变形。
（7）正确。
由桁架的位移计算公式可知。
（8）错误。
由于取0y 的M 图为折线图，应分段图乘。
（9）正确。
（10）正确。
习题 填空题(1) 习题(1)图所示刚架，由于支座B 下沉∆所引发D 点的水平位移∆D H =______。
(2) 虚功原理有两种不同的应用形式，即_______原理和_______原理。
其中，用于求位移的是_______原理。
第四章 静定结构的位移
二、 虚单位荷载的设置
1. 若欲求的位移是结构上某一点沿某一方向的线位 移，则虚单位荷载应该是作用于该点沿该方向的单 位集中力(a)。 2. 若欲求的位移是结构上某两点沿指定方向的相对 线位移，则虚单位荷载应该是作用于该两点沿指定
方向的一对反向共线的单位集中力(b)。 F 1
F 1
F 1
(b)
W e= 0
2. 虚功方程的两种应用
（1）虚拟位移状态，求未知力
F
A
F
FA
a
b
l
We＝FB B FδF =0
B
FB
F
F B
B
FB
根据几何关 系有:
F a B l
FB
a l
F
可令δB =1，这种沿未知力方向虚设单位位移的方法称 为单位位移法 上述计算是在虚拟位移状态与给定的实际力状态之间应 用虚功方程，这种形式的虚功原理又称为虚位移原理。 1. 用虚位移原理建立的虚功方程形式上是功的方程，
3.若欲求的位移是结构上某一截面的角位移，则虚单 位荷载应该是作用于此截面上的单位集中力偶(c)。 4.若欲求的位移是结构上某两个截面的相对角位移， 则虚单位荷载应该是作用于这两个截面上的一对反 向单位集中力偶(d)。
Me 1
(c)
Me 1
Me 1
(e)
(d)
5.若欲求的位移是结构（如桁架）中某一杆件的角 位移，则应在该杆件的两端沿垂直于杆件方向施加 一个由一对大小相等、方向相反的集中力所构成的 虚单位力偶，每一集中力的大小等于杆件长度的倒 数。
FN、FS、M——原结构由实际荷载引起的内力。 式（4.6）即为静定结构在荷载作用下位移计算的一般公式。
讲课 第四章 静定结构的位移计算
(1)虚设位移状态——求未知力（虚功的应用之一——虚位移原理） FX 例：图(a)示扛杆，其中B端作用巳知荷载 FP ，求扛杆平衡时在A端需加的未知力。 A
C
解：扛杆是一个可变体系，可绕 C 点自由 转动，如图(b)示。把这个刚体位移取作虚 位移，可得出虚功方程为：
a (a)
b
B
P
FX X FP P 0 设 P 表示位移 P 和 X 之间的 b 比例系数： P P X a
虚功：力在其它因素引起的位移上作 的功。力与位移是彼此无关的量，分 别属于同一体系的两种彼此无关的状 态。
△11
2
P2
△22
B
△12
A
1
P1
2
B
△21
△11
Tkj=Pk· △kj
虚功是代数量，有正有负。
A
1
P2
2
B
△12
△22
9
注意：作功的力必须和位移在一条作用线上，否则，二者的乘积就不是功。
4.2 刚体体系的虚功原理
小结： ⑴ 虚功原理（这里用虚位移原理）的特点是用几何方法解决平衡问题。 ⑵ 求解问题直接，不涉及约束力。
15
4.2 刚体体系的虚功原理
例：如图(a)所示简支梁，现欲求B支座反力X。步骤如下 ①首先解除 B 支座的约束，以相应的未知 力 X 代替，于是原结构变成了具有一个自 由度的体系，它在荷载与未知力 X 的共同
应的广义位移。
当广义位移与广义力方向一致时，虚功为正，相反时为负。
12
12
4.2 刚体体系的虚功原理
计算静定结构内力的另一个普遍方法 — 虚功原理，它等价于平衡方程。
应该指出，在虚功方程中，力状态与位移状态是彼此独立的，因
《结构力学》静定结构的位移计算
A
x
C
x
C
∆AV
l 2 l 2
(a) 实际状态 1）列出两种状态的内力方程： ）列出两种状态的内力方程：
AC段 0 ≤ x ≤ 段 l 2
B
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N =0 M = −x Q = −1
NP = 0 MP = 0 Q =0 P
2
2
∆Q ∆Q h 1 h 1 当 = 时, = 1.83%;当 = 时, = 7.32% l 10 ∆M l 5 ∆M
计算屋架顶点的竖向位移。 例2 计算屋架顶点的竖向位移。
q(N/m )
1 1 1
4.5
3.0
1.5
P 2
P
D
C
ql P= 4 P
F G 0.25l
NP
1
1.5
P 2
B 0 1.5 0.5 0
二、利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式： 利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式：
K
K′
实际状态 （位移状态） 外虚功： 外虚功：W
e
∆
t1 t2
c2 c1
1
R 1
虚拟状态 （力状态） 内虚功： 内虚功：W
i
R2
= 1 ⋅ ∆ + ∑ Rk ⋅ ck
1 ⋅ ∆ + ∑ R k ck = ∑ ∫ (Mκ + N ε + Q γ )d s
第4章 静定结构的位移计算
Calculation of Statically Displacement Structures
目
录
§4-1 结构位移和虚功的概念 §4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 §4-3 静定结构由荷载所引起的位移 §4-4 图乘法 §4-5 互等定理
静定结构的位移计算
1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反 的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力 偶臂为d ，每一力的大小为1/d
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状 态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移 上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚 位移的相应变形上所作虚功的总和。
定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
1.2 结构位移计算的一般公式
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
11 由0增加至 11
力Fp1在位移
11
上作的实功
W11=
1 2
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷 载求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M
d +
F
N
du
+
F
Q
dv
式中， F =1 则
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反 的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力 偶臂为d ，每一力的大小为1/d
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状 态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移 上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚 位移的相应变形上所作虚功的总和。
定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
1.2 结构位移计算的一般公式
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
11 由0增加至 11
力Fp1在位移
11
上作的实功
W11=
1 2
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷 载求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M
d +
F
N
du
+
F
Q
dv
式中， F =1 则
静 定 结 构 的 位 移 计 算
式（b）仅要求结构为小变形，因此： （1）适合于各类变形； （2）适合于静定结构和超静定结构； （3）适合于弹性材料和非弹性材料； （4）适合于荷载作用和非荷载因素作用； （5）可计算绝对位移和相对位移。
§4-3 结构位移计算的一般公式
四、结构位移计算的一般步骤 （1）沿所求位移方向施加单位（广义）荷载； （2）由平衡条件求内力和反力； （3）根据不同的外界作用分析应变； （4）由式（b）计算。
下面介绍计算位移的图乘法：
§4-6 图乘法
一、图乘法及其应用条件
目的：用弯矩图面积乘积代替积分 条件： （1）各杆为等直杆 （2）各杆截面物理参数（EI、EA、GA）为常数 （3）内力图中至少有一个是直线
§4-5 图乘法
设：M x tan (内力图是直线)
MM P EI
ds
1 EI
MM Pds
指结构上的两个指定截面，位移后新的位置关系相 对其位移前旧位置关系的改变。
线位移，角位移， 相对线位移、相对角位移
等统称广义位移
§4－1 结构位移计算概述
二、位移计算的目的
1、 验算结构的刚度
结构变形不得超过规范规定的容许值。
2、超静定结构的内力分析的需要
超静定结构的计算要同时满足平衡条件和变形连续条件。
泊松比
§4-4 荷载作用下的位移计算
K (F NK FQK M K )ds F RK cR (b)
由(b)式得：
( F N FNP k F QFQP M M P )ds (c)
EA GA EI
(c)式中正负号规定：内力方向一致者，积分结 果取正号，反之取负号。结果为正说明实际位移方向 与假设方向一致，反之为负。
CV
2 1
§4-3 结构位移计算的一般公式
四、结构位移计算的一般步骤 （1）沿所求位移方向施加单位（广义）荷载； （2）由平衡条件求内力和反力； （3）根据不同的外界作用分析应变； （4）由式（b）计算。
下面介绍计算位移的图乘法：
§4-6 图乘法
一、图乘法及其应用条件
目的：用弯矩图面积乘积代替积分 条件： （1）各杆为等直杆 （2）各杆截面物理参数（EI、EA、GA）为常数 （3）内力图中至少有一个是直线
§4-5 图乘法
设：M x tan (内力图是直线)
MM P EI
ds
1 EI
MM Pds
指结构上的两个指定截面，位移后新的位置关系相 对其位移前旧位置关系的改变。
线位移，角位移， 相对线位移、相对角位移
等统称广义位移
§4－1 结构位移计算概述
二、位移计算的目的
1、 验算结构的刚度
结构变形不得超过规范规定的容许值。
2、超静定结构的内力分析的需要
超静定结构的计算要同时满足平衡条件和变形连续条件。
泊松比
§4-4 荷载作用下的位移计算
K (F NK FQK M K )ds F RK cR (b)
由(b)式得：
( F N FNP k F QFQP M M P )ds (c)
EA GA EI
(c)式中正负号规定：内力方向一致者，积分结 果取正号，反之取负号。结果为正说明实际位移方向 与假设方向一致，反之为负。
CV
2 1
第4章 静定结构的位移计算
在荷载作用下，应变 κ、γ 0、ε 与内力 MP、F 、 QP FNP 的关系式如下：（式中k为剪应力不均匀系数）
MP κ= EI
γ0 =
kF QP GA
FNP ε= EA
上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定 律，即体系是线性弹性体。
kF FNP MP QP 1⋅∆ = ∑∫ M ds + ∑∫ F ds + ∑∫ FN ds Q EI GA EA
条件：1）存在两种状态： 第一状态为作用有平衡力系； 第二状态为给定位移及变形。 以上两种状态彼此无关。 2）力系是平衡的，给定的变形是符合 约束条件的微小连续变形。 3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性 结构。 下面讨论W及V的具体表达式。
q(s) q(s)ds
FP 2
ds
FP 3
ds
C1
FR1
M
FN
A
FR2
FN
A
FR1
F ds F Q Q
给定位移、变形
虚设平衡力系
2. 位移计算一般公式 外力虚功 W = 1 ⋅ ∆ CV + ∑ FRK C K
K
内虚功
V = ∑ ∫ (Mκ + FQγ 0 + FN ε )ds
K
所求位移 1⋅∆CV = ∑∫(Mκ + FQγ 0 + FNε )ds − ∑FRKCK 3. 小结 1） 、Q、N、 RK ——单位载荷 FP1 =1在结构中产 MF F F 生的内力和支座反力， ds、γ 0ds、εds、C1、C2及 κ ∆CV ——给定的位移和变形。力和位移无关。
i K
微段ds的内虚功dV： dV = Mdθ + FQdη + FN dλ = Mκ ds + FQγ 0ds + FNε ds
MP κ= EI
γ0 =
kF QP GA
FNP ε= EA
上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定 律，即体系是线性弹性体。
kF FNP MP QP 1⋅∆ = ∑∫ M ds + ∑∫ F ds + ∑∫ FN ds Q EI GA EA
条件：1）存在两种状态： 第一状态为作用有平衡力系； 第二状态为给定位移及变形。 以上两种状态彼此无关。 2）力系是平衡的，给定的变形是符合 约束条件的微小连续变形。 3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性 结构。 下面讨论W及V的具体表达式。
q(s) q(s)ds
FP 2
ds
FP 3
ds
C1
FR1
M
FN
A
FR2
FN
A
FR1
F ds F Q Q
给定位移、变形
虚设平衡力系
2. 位移计算一般公式 外力虚功 W = 1 ⋅ ∆ CV + ∑ FRK C K
K
内虚功
V = ∑ ∫ (Mκ + FQγ 0 + FN ε )ds
K
所求位移 1⋅∆CV = ∑∫(Mκ + FQγ 0 + FNε )ds − ∑FRKCK 3. 小结 1） 、Q、N、 RK ——单位载荷 FP1 =1在结构中产 MF F F 生的内力和支座反力， ds、γ 0ds、εds、C1、C2及 κ ∆CV ——给定的位移和变形。力和位移无关。
i K
微段ds的内虚功dV： dV = Mdθ + FQdη + FN dλ = Mκ ds + FQγ 0ds + FNε ds
静定结构的位移计算
第四章静定结构的位移计算［结构的位移］（1）结构在荷载作用下产生应力和应变，以致结构的形状发生变化，即产生变形，由于这种变形，使结构上各点的位置产生位移，截面发生转动，这种移动和转动统称为位移。
（2）位移有水平位移，竖向位移，即线位移；有角位移；又有相对位移和绝对位移；统称为广义位移。
（3）除了荷载作用将引起位移外，温度改变，支座位移，材料收缩，制造误差等因素，虽不一定都产生应力和应变，但都将使结构产生位移。
［计算位移的假设］（1）材料线性假设：结构的材料服从虎克定律，应力与应变成线性关系；（2）几何线性假设：即小变形假设，结构的变形很小，应变与位移成线性关系；（3）弹性假设：结构在力的作用下发生变形，在力卸载之后，结构完全恢复原来的形状；（4）理想约束假设：结构的约束都为理想约束，不考虑摩擦的影响。
满足上述条件的变形体系，称之为线弹性变形体系。
它们的位移与荷载之间为线性关系，位移计算满足叠加原理。
［虚功的概念］作功的力与位移彼此独立无关，这种功称为虚功；在虚功中，力与位移分别属于同一体系的两种彼此独立无关的状态。
力所属的状态，称为力状态和第一状态；位移所属的状态，称为位移状态和第二状态。
力状态位移状态表示力状态的外力在位移状态相应位移上所作的虚功。
［静力可能的力状态和位移可能的力状态］静力可能的力状态——满足静力平衡条件和力的边界条件；位移可能的位移状态——满足变形协调条件和位移边界条件。
［虚功原理］如果变形体上的力状态为静力可能的力状态，位移状态为位移可能的位移状态，它们彼此独立无关，则外力虚功等于内力虚功。
［结构位移计算的一般公式］位移状态虚力状态结构在荷载、支座移动和温度变化等作用下而发生变形，为求某点的位移，在点沿所求位移方向加一单位力。
力状态为虚单位力状态，位移状态为实际位移状态。
由虚功原理，求得结构位移计算的一般公式为：其中，、和分别为实际位移状态的轴向应变、剪切角和曲率；、和分别为虚单位力状态的轴力、剪力和弯矩；为实际位移状态的支座位移，为对应支座位移虚力状态的反力。
0401位移计算的一般公式(力学)
原理的说明
1. 虚功原理存在两个状态： 虚功原理存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调 力状态必须满足平衡条件； 条件。因此原理仅是必要性命题 必要性命题。 条件。因此原理仅是必要性命题。 2. 原理的证明（参考相关教材）表明 原理的证明（参考相关教材）表明: 虚功原理适用于任何 线性和非线性 的变形体， 线性和非线性)的变形体 虚功原理适用于任何 (线性和非线性 的变形体，适用于 任何结构。刚体体系虚功原理是变形为零时的特例。 任何结构。刚体体系虚功原理是变形为零时的特例。 3. 原理可有两种应用： 原理可有两种应用： 虚位移原理：实际待分析的力状态，虚设的位移状态， 虚位移原理：实际待分析的力状态，虚设的位移状态， 平衡问题化为几何问题来求解。 将平衡问题化为几何问题来求解。 虚力原理：实际待分析的位移状态，虚设的力状态， 虚力原理：实际待分析的位移状态，虚设的力状态， 位移分析化为平衡问题来求解。 将位移分析化为平衡问题来求解。
（3）虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功 ）虚功：
+ t oC
P ∆ ∆t
W = P∆ t
P1
力状态（虚力状态） 位移状态（虚位移状态）
P2
∆12
∆ 21 ∆ 22
P2
P1
∆11
∆12
注意： 注意： 同一体系 （1）两种状态属同一体系； ）两种状态属同一体系； （2）均为可能状态。即 ）均为可能状态。 位移应满足变形协调条件 位移应满足变形协调条件； 力状态应满足平衡条件 平衡条件。 力状态应满足平衡条件。 完全无关； （3）位移状态与力状态完全无关； ）位移状态与力状态完全无关
NP kQP MP ε= ,γ = ,ϕ= EA GA EI
结构力学 第4章 静定结构的位计算
例如，图1(a)所示两个梯形应用图乘法，可不必求 梯形的形心位置，而将其中一个梯形(设为MP图)分成 两个三角形，分别图乘后再叠加。
图1
对于图2所示由于均布荷载q所引起的MP图，可以 把它看作是两端弯矩竖标所连成的梯形ABDC与相应简
支梁在均布荷载作用下的弯矩图叠加而成。
四、几种常见图形的面积和形心的位置
零。
P
2Δ
PP2P30
22
2
YA P/2
YB P/2
2.变形体系的虚功原理 We Wi
体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的
位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体
系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。
说明： （1）虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态
PR3 PRk PR
4EI 4EA 4GA
M N Q
P θ
P=1
钢筋混凝土结构G≈0.4E 矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12
Q M
kGEAI2R14Rh2
N M
I AR2
1 h2 12R
如 h 1 ， 则Q 1 ， N 1
1
EA 2(1 2)Pa()
1 2
1
EA
2
1
例3.求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移Δ。
解：1）虚拟单位荷载
2）实际荷载
虚拟荷载
ds
M P PR sin
M R sin
QP P cos
Q cos
dθ
N P P sin
N sin
d d ds d
d dd sd sN Pds
土木工程力学——第四章 静定结的位移计算22页PPT
1
பைடு நூலகம்
P2
2
B
△12
△22
虚功强调位移与力无关
4.2 虚功原理
第四章 静定结构的位移计算
虚功的两种状态
力状态
A
1P1
△11
位移状态
A
1
△12
2
B
△ 21
P2
2
△22
B
9
4.2 虚功原理
第四章 静定结构的位移计算
变形体的虚功原理： 设变形体在力系作用下处于平衡状态，
又设变形体由于其它原因产生符合约束条 件的微小的连续变形，则外力在相应位移
4.1 概述
第四章 静定结构的位移计算
4.2 变形体系的虚功原理
1 功：
常力作的功
P A
P B
TPΔCOS △
力偶作的功
TPdM
P P
d P
P
4.2 虚功原理
第四章 静定结构的位移计算
2 虚功：
位移的双脚标符号
Δk
j
产生位移的原因 位移发生的位置 位移的大小
A
P1 1
2 P2
B
△11
4.2 虚功原理
第四章 静定结构的位移计算
T W N d s Q γ d s M d s
虚位移原理：虚设位移状态，求未知 力——影响线机动法 虚力原理：虚设力状态，求位移
4.2 虚功原理
第四章 静定结构的位移计算
4.3 一般公式及单位荷载法
一般公式
设平面杆系结构由于荷 载、温度变化及支座移动 等因素引起位移如图。
一般公式适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。
《结构力学》静定结构的位移计算
03
在实际应用中，可以根据结构特点、计算精度和计算资源等因素综合考虑选择 合适的数值方法。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
桥梁横向位移限制
对于大跨度桥梁，需要限制其在风荷载、地震等横向力作用下的横 向位移，以保证桥梁的稳定性和行车安全。
支座位移控制
桥梁支座的位移也需要进行控制，以避免支座过度磨损或脱空等现 象，确保桥梁的正常使用。
建筑工程中变形缝设置要求
伸缩缝设置
为避免建筑物因温度变化、地基沉降等因素而产生裂缝或 破坏，需要在建筑物的适当位置设置伸缩缝，使建筑物能 够自由伸缩。
计算方法
采用分段叠加法，将组合结构分成若 干段，分别计算各段的位移再求和； 或采用有限元法直接求解整体位移。
需考虑不同材料或截面的变形协调问 题。
03 图乘法计算静定结构位移
图乘法基本原理及适用条件
基本原理
图乘法是基于结构力学的虚功原理，通过图形面积与形心位置的乘积来简化计 算结构位移的一种方法。
均布荷载作用
荷载沿梁长均匀分布，引 起梁产生均匀弯曲变形。
位移计算
采用图乘法或积分法求解， 考虑荷载、跨度、截面惯 性矩等因素。
悬臂梁在集中力作用下位移
悬臂梁基本概念
一端固定，另一端自由的 梁，承受集中力、均布荷 载等。
集中力作用
在悬臂梁自由端施加集中 力，引起梁产生弯曲和剪 切变形。
位移计算
采用叠加原理，分别计算 弯曲和剪切变形引起的位 移，再求和。
制造误差对结构位移的影响不同。
影响系数
02
利用影响系数可以计算制造误差引起的结构位移，影响系数与
结构形式和荷载情况有关。
敏感性分析
第四章结构力学 位移计算2
( M FN FQ 0 )ds 计算公式：
图（a）所示的结构在荷 载作用下产生位移。位移计 算公式中的变形 、、 0 是由荷载产生的。
FP
1
M、FN、FQ
（ b）
M P、FNP、FQP
、、 0
具体计算步骤：
1）荷载
2）内力
1 d M P R ds EI M P、FNP、FQP 。 F NP E EA M P、FNP、FQP 、、 0 。 F 0 0 k QP
AV ( M FN FQ 0 )ds F Rk ck
19
( M FN FQ 0 )ds F Rk ck
—位移计算的一般公式
M ds FN ds
B
x
A
M图
B B
1 A
27
FQ图
ql 4 ql 2 V M Q 0.6 8EI GA
15
讨论： 1、变形体虚功原理是基于如下两点：力系的平衡条 件和变形的连续条件。即虚功原理是平衡条件和连续条件
的综合。反之，虚功原理既可以代替平衡条件，也可以代
替连续条件。 2、推倒过程中并没有牵涉到材料的性质，所以虚功 原理既适合弹性材料，也适合非弹性材料。 3、变形体虚功原理的两个状态并非一定是同一体 系，只要两个体系具有相同的几何形状，则变形体虚功原 理都将成立。
ds
ds
dW12=dW刚+dW变
(2)位移状态
dW刚—微段上的力在对应微段刚体位移变上作的功； dW变—微段上的力在对应微段自身变形位移上作的功。 由刚体虚功原理 dW刚=0 dW12=dW变
图（a）所示的结构在荷 载作用下产生位移。位移计 算公式中的变形 、、 0 是由荷载产生的。
FP
1
M、FN、FQ
（ b）
M P、FNP、FQP
、、 0
具体计算步骤：
1）荷载
2）内力
1 d M P R ds EI M P、FNP、FQP 。 F NP E EA M P、FNP、FQP 、、 0 。 F 0 0 k QP
AV ( M FN FQ 0 )ds F Rk ck
19
( M FN FQ 0 )ds F Rk ck
—位移计算的一般公式
M ds FN ds
B
x
A
M图
B B
1 A
27
FQ图
ql 4 ql 2 V M Q 0.6 8EI GA
15
讨论： 1、变形体虚功原理是基于如下两点：力系的平衡条 件和变形的连续条件。即虚功原理是平衡条件和连续条件
的综合。反之，虚功原理既可以代替平衡条件，也可以代
替连续条件。 2、推倒过程中并没有牵涉到材料的性质，所以虚功 原理既适合弹性材料，也适合非弹性材料。 3、变形体虚功原理的两个状态并非一定是同一体 系，只要两个体系具有相同的几何形状，则变形体虚功原 理都将成立。
ds
ds
dW12=dW刚+dW变
(2)位移状态
dW刚—微段上的力在对应微段刚体位移变上作的功； dW变—微段上的力在对应微段自身变形位移上作的功。 由刚体虚功原理 dW刚=0 dW12=dW变
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C
2Pl
3.81 Ac Ec
1.13 As Es
三.单位力状态的确定
所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位
广义力在所求广义位移上做功. 例: 1)求A点水平位移
B
P
A
2)求A截面转角
3)求AB两点相对水平位移
4)求AB两截面相对转角
P 1
P 1
P 1
P 1
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
二、结构位移计算的一般公式
i
d (M FN FQ )ds
i
一根杆件各个微段变形引起的位移总和：
d (M FN FQ )ds
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：
(M FN FQ )ds
若结构的支座还有位移，则总的位移为：
(M FN FQ )ds F c RK k
温度 t0 与上、下边缘的温差 t 为：
t 0
t0
h1t2
h
h2t1
d / ds [(t
t t2 t1
t )ds / h] / ds t
2
1
h
t
t0
F Nds
t
h
M ds
t
t0
F Nds
t
h
M
ds
上式中的正、负号：
温度t0以升高为正，轴力以拉为正；
若 M 和 t 使杆件向同一方向弯曲其
高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。
（2）为分析超静定结构打下基础。
2.产生位移的原因
⑴荷载作用；
P
⑵温度变化和材料胀缩；
⑶支座沉降和制造误差。
A Ay
A A
Ax
t
3.位移与变形 由于上述三种因素均可使结构产生位移，
但其内部不一定有变形。
A
P
Ay 位移
则应分段图乘； ③当同一杆件的各杆段EI不相等时，也应
分段图乘； ④如果图形复杂，需分解为简单图形。
例：求图示梁中点的挠度。
？ 1 1 3a 3aP 3
a 2
2
a
2
3a 2
4
a 2
2
P
a
23Pa3 24EI
例：求图示梁C点的挠度。
？ D = 1 Pl 2 l = Pl 3 C EI 2 6 12 EI
1 tg
EI
B
A xM k dx
1 EI
tg ×w
x0
1 EI
wy0
MM EI
P
dx
w y0
EI
y
Mk
ω
x
dx
x0
α
Mi y0
Mi=xtgα
y0=x0tgα
x
MM EI
P
dx
w y0
EI
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。 ②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c） 两个弯矩图至少有一个是直线。 ③竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心 处。 ④面积ω与竖标y0在杆的同侧， ω y0 取正号，否 则取负号。
第4章 静定结构的位移计算
4.1应用虚力原理求刚体体系的位移 4.2结构位移计算的一般公式 4.3荷载作用下的位移计算 4.4图乘法 4.5温度作用时的位移计算 4.6互等定理
§4-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
一、结构位移计算概述
1.计算位移的目的： （1）结构的刚度验算；
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度；
B
单位荷载
1
1
A
B
求ΔAV -ΔBV (A，B截面相对竖向位移）
求ΔAV+ΔBV (A，B截面竖向位移之和）
§4-3 荷载作用下的位移计算
研究对象：静定结构、线性弹性材料。
(M FN FQ )ds F c RK k
重点在于解决荷载作用下应变 、、 的表达式。
一、计算步骤
（1）在荷载作用下建立 M P , FNP , FQP 的方程，可经由荷载内力应力应 变过程推导应变表达式。
C
wy0
EI
1l l
××
222
×5 Pl 6
5 Pl 3 48 EI
P
P
MP
Pa
Pa
a
a
a
P=1
a/2
a/2 M 3a/4
P
l/2
Pl
5Pl/6
C
l/2
MP
P=1
l/2
C l/6
M
非标准图形乘直线形
a）直线形乘直线形
MiMkdxw1y1w2 y2
a
ω1
Mi
ω2
b
l/3
l/3
l/3
al 2c d bl c 2d
C
B 1 FR1 c1 0
FR1
a
b
b a
c1
单位荷载其虚功正好等于拟求位移。
§4-2 结构位移计算的一般公式
一、局部变形i时静定结构的位移计算
B
A
m
例1、悬臂梁在截面B处
a
a
i 由于某种原因产生相对转
B
A 角，试求A点在i－i方向 m 的位移Δｍ 。
a M
a
1
A
虚功方程：
1m M 0
⑤几种常见图形的面积和形心的位置：
a
b
(a+l)/3 (b+l)/3
l
ω=hl/2
h
h l/2 顶点 l/2
二次抛物线ω=2hl/3 顶点
h
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线ω=hl/3
5l/8
3l/8
二次抛物线ω=2hl/3
h
h
h
顶点
4l/5
l/5
三次抛物线ω=hl/4
顶点
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知
MP EI
FNP EA
k
FQP GA
k--为截面形状系数
1.2
10
A
9
A1
(3) 荷载作用下的位移计算公式
MM P ds F FN NP ds k FQFQP ds
EI
EA
GA
二、各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架
MM P EI
1
C
1
D A
F B
00
4.5 E
1.5
3.0
G
FNP
1.5
1.5 0.5
1.5
FN
0.5
材料 钢 筋 砼
杆件 FNP F N
AD 4.74P 1.58
DC 4.42P 1.58 DE 0.95P 0
l
A
F FN NP l F FN NP l
EA
EA
1.97Pl
0.263l Ac Ec Ac
0.263l 0.088l
A
P=1
A ?
(a)
P=1 B
A P=1
(b)
AB
?
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P1 d
C
(c)
d
A
B
P1 d
BC
?
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(e)
B AB ?
P=1
P=1 C P=1
(f)
C 左右 =？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(g)
A ?
l
6 (2ac 2bd
ad
bc )
2hl 3
cd 2
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
q ql2/2 B
FNP=0
ω1
ql/2
ω2
ω2 ql2/8
l
P=1
l
y2
FN 1y3
FN 0
y1
M
MP
ql
l
1
w
3
2 3
ql 2 8
l
ql 3 12
ql/2
w 1N12
ql 2
F2 NElFANPqll43
ql 2
1.功的互等定理
FN1 M1
FQ1
1
FN1 EA
F1
P1
1
M1 EI
F2
A A
线位移 角位移
Ax
A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
c
t1
c t2 t1
以上都是绝对位移
AV
BV
以上都是相对位移
二.虚功原理求位移----单位荷载法
c1 A
C
B
? 设虚力状态
a
b
b FR1 a P b 0 FR1
a
P=1
虚功方程
A
B
a
a
m M
M 1 sin a
例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生
相对剪位移，试求A点在i－i方向的位
移ΔQ。
FQ 1 sin
1 Q FQ 0
B
B
i
A
Q
i
A
Q
Q FQ
1
A
FQ
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产
生轴向位移 试求A点在ｉ－ｉ方向的位移
ΔN 。
由平衡条件：
B
B
ds
（2）桁架
F FN NP ds F FN NP ds F FN NPl