北京市清华附中2017-2018学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含解析

北京市清华附中2017-2018学年第一学期高一期末数学试题
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1•下列各角中，与 50 °的角终边相同的角是（ ）
A.
B. I 匚
C.
D.、
【答案】D 【解析】 【分析】
写出与50°的角终边相同的角的集合，取 k =- 1得答案.
【详解】 与50°的角终边相同的角的集合为 { a| a= 50°+k?360° k®}.
取 k =- 1，可得 a=- 310°.
•••与50°的角终边相同的角是-310°. 故选：D .
【点睛】 本题考查终边相同角的概念，是基础题.
2.设向量"二」上! ■■- i ,贝U 的夹角等于（） 5 兀
D.
3 6
【答案】A
故选A 考点：本题考查了数量积的坐标运算
点评：熟练运用数量积的概念及坐标运算求解夹角问题是解决此类问题的关键，属基础题
3.已知角
3 a 的终边经过点
P (4, -3 ),则-^--i ® 的值为(
4 )
3 4
A.
B.
■—
C.
D.
5
5
3
5
【答案】 C
【解析】
【分析】
71 利用任意角函数的定义求出
7T A. B.
7T
C. 6
【解析】 试题分析:
-+ t l 自 *
b
上「•： i , •
|a| - 1^1。

较的H 1
2x2
2
八
7E
• 的夹角等于，
兀
cos a,禾U 用三角函数的诱导公式化简 刃匕1 G ）求出值.
【详解】•••角a 的终边经过点P ( 4,- 3),
••• p 到原点的距离为 5 3
4
• • Sin a
, COS a 5 5
故选：C .
【点睛】 本题考查三角函数的定义 ，考查诱导公式，属于基础题
4•为了得到函数y=cos (2x-)的图象，只需将函数
y=cos2x 的图象(
由条件利用函数 y = Asin (3X+0)的图象变换规律可得结论. 【详解】
兀
故把函数y = cos2x 的图象向右平移 个单位长度,
6
JL
可得函数
的图象, 故选：B .
【点睛】 本题主要考查函数 y = Asin (3X+0)的图象变换规律，属于中档题.
AB BC CA BC AB AC 1
5•已知非零向量
与满足
广丨= :
且 1 “丨旦1 f I + .，则△ ABCM )
1 1 AB
A.C AB 1 1
AC
A.三边均不相等的三角形
B. 直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.
等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
―W
—9-
―■
―*
AB ■ BC CA - BC
—i- ―t
AB AC
1
7L
根据
得出 —1 B = C ,
■ —=
得出 A ,由此判断厶ABC 是等边三角形
―t
LABI
IACI
|AB| IACI
兀一
2 ln( S1
| a) = cosa =-
5
兀
A.向左平移个单位长度 O
兀
C.向左平移、个单位长度
【答案】B 【解析】
【分析】
兀
B. 向右平移个单位长度
兀
D.向右平移、个单位长度
AB _ CA^BC
—F
*^4
—*
|AB| x |BC |AC| x |BC
--cos ，二：二—C
°S
"H ，三心，
••• B = &,△ ABC 是等腰三角形;
AB AC 1
又 ---
,
► =» 2
|AB| |AC|
1
• 1 X 1 X cosA ,
1
71
• cosA , A ,
2 3
• △ ABC 是等边三角形. 故选：D .
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算问题，
也考查了三角形形状的判断问题，
是基础 题.
6•同时具有性质“①最小正周期为
n :②图象关于直线x=对称；③在［,］上是增函数”
3
o 3
的一个函数是（
)
X 兀
A. :: =< ■■■ d 7C
B. :
■ '■
兀
C.
【答案】C 2兀
D.
、■
【解析】
【分析】 根据三角函数的图象与性质，判断满足条件的函数即可. 【详解】 ①最小正周期是 n,可得3= 2,排除选项A ;
兀
②图象关于直线x .对称，可得：
7C 7C 5J C 5TL 丽
2—、—, cos •，排除选项B ,
非
2兀 4薜
4兀
1
2
:
, cos .
，排除选项D ;
7C
对于c ,函数y = sin (2x ),
【详解】 △ ABC 中,
AE ■ B C CA • BC |AB|
|AC
6
最小正周期为n,
且2 , sin = 1，函数图象关于x 对称；
3 6 2 2 3
兀兀兀兀兀
x q ,］时，2x€［,］,
兀
••• y= sin ( 2x )是单调增函数，C满足条件.
6
故选：C.
【点睛】函数'• Sir—：'.： - ：|：的性质
(1)・，=乂：匚& :
⑵周期•
兀
⑶由■求对称轴
£
7U 7C
⑷由' 求增区间；
7C
由..'求减区间.
7.定义在R上的偶函数f (x)满足f (x+2) =f ( x),且在［1 , 2］上是减函数，若a , 3是锐角三角形的两个内角，则( )
A. f (sina) > f (cos p)
B. f (sma) < f (cos p)
C. f (sin a) > f (sin p)
D. f (ccsa) < f (cos p)
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得f (- x)= f (x+2),即函数f (x)的图象关于直线x= 1对称，据此分析可得f( x)在区间［0 , 1］上是增函数，由a, 3是锐角三角形的两个内角便可得出sin a> cos 3,从而根据f (乂)在(0, 1) 上是增函数即可得出 f ( sin a) > f (cos 3),即可得
答案.
【详解】根据题意，定义在R上的偶函数f (x)满足f ( x+2)= f (x),
则有f (- x)= f (x+2),即函数f (x)的图象关于直线x= 1对称，
又由函数f ( x)在［1 , 2］上是减函数，贝淇在［0 , 1］上是增函数，
若a, B是锐角三角形的两个内角，
兀兀兀
则a+ 3>^,则有a〉-- 3,则有sin a>sin 3)= cos3,
2 2 2
又由函数f( x)在［0 , 1］上是增函数，
则f (sin a)> f (cos 3 ；
故选：A.
【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性与周期性的综合应用，注意分析函数在( 0, 1)上的单调性.
8•若定义［-2018 , 2018］上的函数f (x)满足：对任意x i, X2€［-2018 , 2018］有f (x计X2)
=f (X1)+f (X2)-2017，且当x> 0时，有f (x)> 2017，设f ( x)的最大值、最小值分别
为M m则M+m勺值为( )
A. 0
B. 2018
C. 4034
D. 4036
【答案】C
【解析】
【分析】
计算f ( 0)= 2017，构造函数g (x)= f ( x)- 2017,判断g (x)的奇偶性得出结论.
【详解】令XLx2= 0 得f( 0)= 2f ( 0)- 2017,.・.f ( 0)= 2017,
令X1 = - X2 得f ( 0)= f (- X2) +f ( X2)- 2017 = 2017,
f (- X?) +f (X2)= 4034,
令g (x)= f (X)- 2017，则g max (X)= M - 2017 , g min ( x)= m- 2017,
■/ g (- x) +g (x)= f (- x) +f ( x)- 4034 = 0,
g (x)是奇函数，
二g max (x) +g min ( x)= 0，即M- 2017+m- 2017= 0 ,
••• M+m= 4034.
故选：C.
【点睛】本题考查了奇偶性的判断与性质，考查函数的最值求法，注意运用赋值法，属于中
档题.
二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)
1
9. _______________________________________________ 若0为第四象限的角，且=--,则cos 0 = ; sin2 0 = __________________________________________ .
【解析】 【分析】
的值.
【详解】••• 0为第四象限的角，且..
,
A f ----------
-- 2迈
--cos 0 ,
|
2血
％
sin20=
2sin
叱0= 2x(、)
【详解】T A+C = 2B , A+B+C = n,
兀
••• B ,
解得c = 2或c =- 1 (舍).
• C 1.1
筋丽
…S A ABC n 二 sinB
2 2
2 2
宀、启 故答案为：
2
【点睛】 本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面积公式，属于中档题.
11. 已知 tanx=2，则 cos2x+sin ( n +x ) cos ( +x )=
【答案】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求
cos 0, 进而利用二倍角的正弦函数公式可求 sin2 0
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式, 二倍角的正弦函数公式在三角函数化简
求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.
10. 已知a , b , c 分别是△ ABC 勺三个内角 A , B ,
C 所对的边，若I ' *
则厶ABC 的面积为 【答案】
2
【解析】
【分析】
利用三角形的内角和解出 B ,使用余弦定理解出
c ,代入三角形的面积公式计算.
由余弦定理得cosB
2ac
-3 1
2c 一 _r
g
【答案】 5
【解析】 【分析】
利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得 cos2x+sin ( n +x ) cos ( x )的值.
2 【详解】T tanx = 2,贝U cos2x+sin ( n +x ) cos ( x )
2
2 . 2 . 2 cos x - sin x sin x
=cos2x - sinx? (- sinx )
------------ --------------
' 2 - 2 2. - 2
cos X - sin x GOS x 十 sin x
1 - tan 2x tan 2x 1 - 4
4
]
------ - 十 --------- - ---- 十 ----- -- -
1 十 lan 2x 1 十 lan 2x 】十 4 1 一 4 5
故答案为
本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题.
差的正弦求解.
13.如图，在直角梯形
中,「旷 厂八.：,若
分别是线段
和BC 上的动点，则 必、岳的取值范围是 _____________________ .
【点睛】 12•已知
【答案】 荻
I
a €( 0, n )且 Sin (a + )= 6
J
(2).
(1).
【解析】 【分析】
直接利用同角三角函数基本关系式求
cos (
兀
;);再由
D
兀
sin a= sin[(
)
］，展开两角 6
【详解】••=€( 0,
7E €
6
又
sin (a
)
Tl
cos ( a ) 6
=-11 - sin (a _
舞
贝U sin a= sin[ -)
6
r (琨」 =—X ------------- _ f _ -------------- ) X —=
3 2 3 2 ]=sin ( ) 6 6 乐2边
3 x 2
6
2迈 Q 亍
+ 2血 故答案为：
-；
■
3 6
TL
兀
cos cos (
) 6
6
7F sin
6 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数,
考查同角三角函数基本关系式的应用, 是基础题.
【答案】
【解析】
以AB为x轴，BC为y轴建立直角坐标系，则A(-3,0),C(0,2),设F(O,m) , E(n ,
2)故二「亍=2m-3n-4 ，由图可知：「：「「：：：」.二：!. - •:'「，所以
2m-3n-4 : : -! -1
点睛：对于向量问题，最容易解答的办法就是将问题的点转化为坐标求解写表达
式，然后再根据题意范围求解结果
2
14•已知函数f ( x)=2sin2x-2sin x-a .
①若f ( x) =0在x€R上有解，则a的取值范围是 ________________ ;
IE
②若x i，X2是函数y=f (x)在［0，］内的两个零点，贝U sin (X1+X2) = ____________
【答案】(1)•［一I 一二，］(2).'
【解析】
【分析】
①利用三角函数的公式化简，f (x)= 0在x€R上有解，转化为两个函数图象有交点问题即
可求解；
兀兀
②x i，X2是函数y= f (X)在［0，］内的两个零点，即么X i，X2是关于在［0，］内的对称轴是
Z £
对称的.即可求解
【详解】f (x)= 2sin2x- 2sin x-a = 2sin2x-( 1 - cos2x)- a
=2sin2x+cos2x- 1 - a .i；」：二：：；1 - a.其中tan B
① f (x)= 0在x€R上有解，则徧sin (2x+ 0) = a+1有解，
•••-、「- a+1 ..
则a的取值范围是［--：■' ■，厂I ］，
故答案为：［..，］
②
•/X 1, X 2是函数y = f (X )在［0,］内的两个零点, 2
那么X 1, X 2是关于在［0,］内的对称轴是对称的.
2
由 f (x if •:; 1 - a .其中 tan B
71
其对称轴 2x+ B - + k n, k€Z .
2
X 1, X 2是关于在［0 ,］内的对称轴是对称的.
1
X ］十？^
兀
1
又
三［0 ,］，且tan B
2
2 2
1
71 6 JC 0 对称轴X =
2
4 2
4 2
兀
X 1+X 2
..
1
sinQ
tan 0 ，即
2岳 --cos 0
,
5
5
2J5
故答案为：'.
5
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象及性质的应用, 于中档题.
三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)
耳
15. 已知函数 f ( X ) =4sin XCOS ( X + ) +1.
(1 )求f (j )的值；
(2 )求f (x )的最小正周期；
兀
(3)求f (x )在区间［0 ,］上的最大值和最小值. 【答案】(1) ■ ; (2) ;
( 3)最小值为-1，最大值为2.
【解析】 【分析】
(1 )根据两角和的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式将f (x )化简为
贝U sin (X i +X 2)= sin
=cos 0.
则 sin (X 1+X 2)
同角三角函数间的基本关系式，
属
f (x )= 2sin ( 2x +-),即可计算; (2)根据周期公式求解即可;
(3)由x 在［0, - ］上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最值.
2
【详解】函数 f (x ) =4sinx ( cosxcos -sinxsin
) +1，
6 6
=2•: sinxcosx-2sin 2x+1， =:sin2x+cos2x ， =2sin ( 2x+：)，
(2)周期T =；
(3)由x 在［0，］上
,
当2x+ =，即x= ，f ( x )取得最小值为
-1 ；
(1) f (
) =2sin
12
当2x+ =，即x=-, f (x)取得最大值为2.
6 2 6
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的性质，属于中档题16. 已知不共线向量，满足"'：i ■- ■■
(1 )求；
(2)是否存在实数入，使辻-；与「「共线？
(3)若.：i 2I-. _ 亠，求实数k的值.
122 I 10
【答案】(1) 一；(2) ; (3) k==.
H 丄J
【解析】
【分析】
(1)直接利用向量的数量积的应用求出结果；
(2)利用向量的共线求出入的值；
(3 )利用向量垂直的充要条件求出结果.
【详解】(1)不共线向量，满足||=3 ,||=5 , ( -3 ) ? ( 2+) =20.
所以：：
由于：入+与 ( -2 )共线 故: 所以：
2
(3) 若(k 2)丄(k-2 ),
n
则：
〔二G J
整理得：
:=■::
10
k=—.
3
【点睛】 本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量垂直和共线的充要条件的应用.
17. 设锐角三角形的内角 A , B , C 的对边分别为 a 、b 、c ,且sinA-cosC=cos (A-B ).
(1 )求B 的大小；
(2)求cosA+sinC 的取值范围.
JT
V3 3
【答案】(1)
;
(2)C ,).
o
2
2
【解析】 【分析】
(1 )利用诱导公式，两角和差的三角公式，
化简所给的式子，求得sinB 的值，可得B 的值.
(2)化简要求的式子炳sin (A -),根据A € (-,-),禾U 用正弦函数的定义域和值域，求 得cosA+sinC 的取值范围.
【详解】(1)设锐角三角形中，
sinA-cosC=cos (A-B ),即 sinA+cos (A+B ) =cos (A-B ),
即 sinA+cosAcosB-sinAsinB=cosAcosB+sinAsinB
,
1
兀
即 sinA=2sinAsinB ,
,二sinB=,锐角三角形中 B=.
2
6
5%
(2) cosA+sinC=cosA+sin ( n -A-B ) =cosA+sin (一 -A) 兀
l
=cosA+sin (一 +A ) =cosA+一cosA
6 2
解得:
所以：？(-)=
77 122
(2 )存在实数
使入+与(-2 )共线
(A+ ).
【点睛】本题主要考查诱导公式，两角和差的三角公式， 正弦函数的定义域和值域，属于中
档题.
18. 已知向量=(cos 0 , sin 0 ), = (cos 3 , sin 3 ).
(1 )若
「求 的值；
(2)若 I I".记 f ( 0 ) = , 0 € [0 ,].当 1W 入 W2 时，求 f ( 0 )的最小
值.
n2
【答案】(1) 1 ; (2) - -1.
2
【解析】 【分析】
(1) 根据向量的坐标运算和向量的模以及两角和差即可求出答案；。

兀
兀
(2)
根据向量的数量积和二倍角公式化简得到 f ( 0) =
2cos 2 ( 0 ) - 2；cos ( 0 ) - 1,
6 6
令t = cos ( 0
)，根据二次函数的性质即可求出.
6
【详解】(1 )T 向量=(cos 0 , sin 0 ), = (cos 3 , sin 3 ),
(cos 0 -cos 3 , sin 0 -sin 3 ),
=(cos 0 -cos 3 ) + (sin 0 -sin 3 ) =2-2cos
- - 2 -
• f ( 0 ) =cos (2 0 - ) -2 入 cos ( 0 - ) =2cos ( 0 - ) -2
入 cos
3
6
6
令 t=cos ( 0 -)，则 t €[ , 1], • f (t ) =2t 2-2 入 t-1=2 (t- ) 2-
-1 ,
2 ?=cos 0 cos
3 +sin 0 sin 3 =cos ( 0 - 3 ) =cos
(0 --) |=2cos ( 0 --),
=2-2cos — =2-1=1 ,
(2 0 -、), (0 - ) -1
/• sin ( A+ )
•/ B= ,••• A €
6
即cosA+sinC 的取值范围为(二，).
2 2
] 入
又1W 入w2, w w 1,
2 2
A, "f~
■■-1=时，f (t )有最小值--1 ,
2 2
n2
••• f ( B )的最小值为-匕-1 .
2
【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及三角函数的化简，以及二次函数的
性质，属于中档题.
19. 借助计算机(器)作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时可以利用函数
x(x>2)
，例如要表示分段函数
■■:总可以将g (x)表示为g (x) =xh -X(K<2)
(x-2 ) + (-x ) h (2-x ).
(1 )设f (x) = ( X2-2X+3 ) h (x-1 ) + (1-x 2) h (1-x )，请把函数f (x)写成分段函数的
形式；
(2)已知G (x) =[ (3a-1 ) x+4a]h (1-x ) +log a X?h (x-1 )是R上的减函数，求a 的取值
范围；
(3)设F (x) = (x2+x-a+1 ) h (x-a ) + (x2-x+a+1 ) h (a-x )，求函数F (x)的最小值.
x23, x> I ] ] ] 3【答案】(1) f (x ) = U; (2) - w a v-; (3)当a w-'时，最小值为-a+-;
,27 3 24
1 - X , X<1
II 2
当a>时，最小值为为a+ ;当-v a v 时，最小值为F (a ) =a +1.
【解析】
【分析】
(1)分当x> 1、当x= 1和当x v 1时3种情况加以讨论，分别根据函数的对应法则代入，
可得f (x)相应范围内的表达式，最后综合可得函数 f (x)写成分段函数的形式；
(2 )运用分段函数形式表示G (x)，再由一次函数、对数函数的单调性，可得a的范围；
(3)由题意，讨论x>a, x= a, x v a,求得F (x)的解析式，再结合二次函数的图象与性
1 1^1 1 一
质，分a ；•-、--- a、-和-的4种情况进行讨论，最后综合可得 F (x)的最小值.
2 2 2 2
【详解】(1)当x > 1 时，x-1 > 0, 1-x v 0,可得f (x ) = ( X2-2X+3 ) +0? ( 1-x2) =x2-2x+3 ；
当x=1 时，f (x ) =2；
当x v 1 时，x-1 v 0, 1-x >0,可得f (x ) =1-x2.
p? - 2x+ 3, x> I
即有f (x)= ；
I 1 - x", x< I
(2)G (x) =[ (3a-1 ) x+4a]h (1-x ) +log a X?h (x-1 )
；(3a -l)x + 1
= ，
由y=G ( x)是R上的减函数，
(3—<0
可得'、■]--让J
I 0<a<]
解得w a v ;
7 3
(3) F (x) = (x2 3+x-a+1 ) h (x-a ) + (x2-x+a+1 ) h (a-x ),
当x> a 时，x-a > 0,可得F (x) =x2+x-a+1 ;
1 2若a>--，可得F (x)在x>a 递增，可得F (x) > F (a) =a +1;
2
若a v-二，可得F (x)的最小值为F (-二)=-a ;
2 24
当x=a 时，可得F (x) =2 (a2+1);
当x v a 时，x-a v 0, a-x >0,贝U F (x) =x2-x+a+1 .
1 1 3
若a>，可得F (x)在x v a的最小值为F ( ) =a+ ;
2 2 4
若a v，可得F (x)在x v a 递减，即有F (x)> F (a) =a2+1.
2
①当a>时，F (x)在区间(-m,-)上单调递减，
1
在区间(--，a)上单调递增，在区间(a, +8)上单调递增，
1 1 1 3
可得F (-)为最小值，且为-+a+仁a+ ;
2 4 2 4
1 1
②当-v a v时，F (x)在区间(-^, a)上单调递减，在区间(a, +8 上单调递增.
2 2
F (x)的最小值为F (a) =a2+1;
1 1
③当a w -时，在区间(-^, a)上单调递减，在区间(a,-)上单调递减，
1
2 3
综上所述，得当a w -时，F (x)的最小值为-a+ ;
3 斗
在区间(-,+8)上单调递增.
1 3
所以F (x)的最小值为F (- ) =-a+[
当a>-时，F (x)的最小值为为a+ ;
2 4
1 I 2
当-v a v时，F (x)的最小值为F( a) =a+1.
2 2
【点睛】本题以分段函数和含有字母参数的二次函数为载体，讨论函数的单调性与最小值，着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数解析式的求解及常用方法和单调性的综合等知
识，属于难题.
20•—个函数f (x),如果对任意一个三角形，只要它的三边长a, b, c都在f (x)的定义域内，就有f (a), f (b), f
(c)也是某个三角形的三边长，则称f (x)为“保三角形函数”.
(1)判断f i (x) =x, f2 (x) =log 2 (6+2sinx-cos 2x)中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；
(2)若函数g ( x) =lnx (x€ [M, +^))是“保三角形函数”，求M的最小值；
(3)若函数h ( x) =sinx (x€( 0, A))是“保三角形函数”，求A的最大值.
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【答案】(1)见解析；(2) 2 ; (3).
6
【解析】
【分析】
(1)不妨设a@, b@,由函数的值域，即可得到结论；
(2)要利用“保三角形函数”的概念，求M的最小值，首先证明当M》22寸，函数h (x)= lnx
(x€[M, + m))是保三角形函数，然后证明当0v M v 2时，h (x)= lnx (x€[M , + m))不是保三角形函数，从而求出所求；
(3)A的最大值是，讨论①当A 时；②当A 时；结合新定义和三角函数的恒等
6 6 6
变换，即可得到最大值.
【详解】(1)不妨设a< c, b< c,
由a+b> c,可得f 1 (a) +f 1 (b) > f 1 (c),
即有f1 (x) =x为“保三角形函数”；
由6+2sinx-cos 2x=sin 2x+2sinx+5= (sinx+1 ) 2+4€ [4 , 8],
可得f2 (x)€ [2 , 3]，即有2+2>3,
可得f2 (x)为“保三角形函数”；
(2) M的最小值为2
(i)首先证明当M时，函数h (x)= lnx ( x€[M , + )是保三角形函数.
对任意一个三角形三边长a, b, c€[M, + g),且a+b>c, b+c>a, c+a>b,
则h (a) = Ina , h (b)= Inb, h (c)= Inc.
因为a>2 b>2 a+b>c,所以(a- 1)( b- 1) >1 所以ab^a+b>c,所以Inab>Inc,
即Ina+lnb > Inc.
同理可证明Inb+lnc > Ina, Inc+lna > Inb .
所以Ina, Inb, Inc是一个三角形的三边长.
故函数h (x)= Inx (x €[M , +g), M >2,是保三角形函数…13分
(ii)其次证明当0 v M v2时，h (x)= Inx (x€[M , + g))不是保三角形函数，h (x)= Inx (x€[M, + g))不是保三角形函数
2 2
因为0v M v 2,所以M + M = 2M >M2,所以M, M , M2是某个三角形的三条边长，而InM+InM = 2InM = InM2,所以InM , InM , InM2不能为某个三角形的三边长，所以h (x)= Inx不是保三角形函数.
所以，当M v2时，h (x)= Inx (x€[M , + g))不是保三角形函数.
综上所述：M的最小值为2
(3) A的最大值是一.
6
5 兀7T
①当A> 时，取a= =b, c=，显然这3个数属于区间(0, A),
6 6 2
且可以作为某个三角形的三边长，
1 1
但这3个数的正弦值、、1显然不能作为任何一个三角形的三边，
2 2
故此时，h (x) =sinx , x€( 0, A)不是保三角形函数.
②当A=时，对于任意的三角形的三边长a、b、c€( 0,),
6 6
5JE5 兀IT
若a+b+c>2 n，贝U a>2 n -b-c >2 n --=,
兀兀兀JT5兀
即a> , 同理可得b> , c>，二a、b、c €(,),
/•
sinb、sine…,1].
sina、
由此可得sin a+s inb
1 1
> + =1 > sine，即
2 2
sina +sinb> sine ,
同理可得sin a+s inc> sinb , sinb+sinc> sina , 故sina、sinb、sinc可以作为一个三角形的三边长.
21 Q + b g 若 a+b+c V 2 n ，贝V + V n ,
2 2 a -i b it c aib TE 当 w 时，由于 a+b >c ，— 0V V w , 2 2 2 2 2
c a -i b
/• 0V sin V sin ------- w 1. 2 2
t a -I b c . 「十 c alb 7E
当 > 时，由于 a+b >c ,「. 0V V V , 2 2 2 2 2
c a -i b
/• 0V sin V sin ------- V 1. 2 2
，宀.c a I b
综上可得， 0 V sin V sin ----------- w 1. 2 2
5TC
再由|a-b| V C V —，以及y=cosx 在(0 , n )上是减函数,
a -
b |a - b
c 5兀
可得 cos =cos >cos > cos > 0,
2 2 2 12 *Th a- b c c
cos > 2sin —cos —=sinc ,
2 2 2 2 同理可得 sina+sinc > sinb , sinb+sinc > sina , 故sina 、sinb 、sinc 可以作为一个三角形的三边长. 故当A=时，h (x ) =sinx , x €( 0, A )是保三角形函数,
6 故A 的最大值为一 6
【点睛】要想判断f (x )为“保三角形函数”，要经过严密的论证说明 形函数”的概念，但要判断 f ( X )不为“保三角形函数”，仅须要举出一个反例即可，属于
创新题.
/• sin a+s in b=2s in f ( x )满足“保三角。