材料力学课件：能量法(二)

N
2 2
l2
N32
l3)
若平衡方程满足： N1 N3 cos 0 P N2 N3 sin
( f A l2 )N 2 ( f A sina l1 cos a l3 )N 3 0
N2, N3为独立变量
f A l2 0 f A sina l1 cos a l3 0
能量法方程等价于几何方程
1l1
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2 1
c2
l
P2l A2c2
l2
N2l2 EA
2Pl EA
7
能量法（二）+动应力
例4：悬臂梁顶面与底面温度分别升高T1与T2(T2>T1)， 且温度沿横截面高度呈线性变化，已知材料线膨胀系数
，求fA和A。
l
A
x
B
1
A
x
B
解：
用单位载荷法计算fA和A
f A
1 EI
l
M(x) M(x)dx
例3：杆1，物理非线性 c ，杆2，物理线性 E
，已知杆横截面积均为A，求fB （例题 13－16）
P l 1B 45o 2
1
解： 载荷状态 单位状态
N1 P N2 2P N1 1 N2 2
fB
2 i 1
Ni Nili EA
2
fB
N ( x)d
l
Ni li
i 1
l1
P0
M EI 2 R
4
能量法（二）+动应力
例2：计算图示圆拱小曲率杆铰链A两侧的相对转角 习题 13－26
F
A
R
1
1
A
R
B
C
(a)
B
C
(b)
常见错误：不会计算约束反力， 甚至错误当作静不定结构。
平衡力系（平衡状态）
取整体为研究对象，由对 称性或由对B、C的力矩平 衡，确定C、B铅垂反力为 F/2，然后由AC段平衡确 定全部约束反力。
M 2 ( x) l 2EIz dx kS
A P
P N2 N3 sin 几何方程：l3 l1 cos l2 sin
物理方程： li
FNi li EA
能量法方程：
f A l2
P fA 2
1 2EA
(
N12
l1
N22
l2
N32
l3)
(已满足物理方程)
11
能量法（二）+动应力
能量法方程：
P fA 2
1 2EA
(
N12
l1
5
1F 2
1F A
2
能量法（二）+动应力
取整体为研究对象，由对称性或由 对B、C的力矩平衡，确定C、B铅垂 反力为0。 1 A 1
R
(c)
C 1F
1F 2 2
(d)
C1
R
2
2
[
F
R(1 cos
sin)](R sin
1
)Rd
EI 0 2
R
( -2) FR2
= 4 EI
6
能量法（二）+动应力
T 2( x)dx l 2GIp
M 2( x)dx l 2EI
组合变形能还缺少哪一项？大小（量级）？如何计算？
14
能量法（二）+动应力
一、考虑剪切效应时梁的应变能
矩形截面梁
y
x
dx
M(x) y
Iz
b
h/2
z
y h/2 dy
b
dy
dx
y
1 h/2 2 2
Vε 2
l
-h
/
2
E
l1 l2 l3
物理方程： li
FNi li EA
能量法方程：
f A l2
P fA 2
1 2EA
(
N12
l1
N22
l2
N32
l3)
(已满足物理方程) 10
能量法（二）+动应力
思考：能量法与解析法的联系
各杆EA相同，求fA
3
l3
1
l1
l1 l2 l3
2
解析法方程：
l2
平衡方程： N1 N3 cos 0
同理，若几何方程满足
能量法方程等价于平衡方程
12
能量法（二）+动应力
§13-7 梁的横向剪切变形效应
1.经典梁理论采用直法线假设，忽略了什么对变形的影 响？ 2.采用直法线假设计算梁的挠度，结果会偏大还是偏小？ 如何改进？
13
能量法（二）+动应力 •在第十三章组合变形能的计算
=
Vε
FN2( x)dx l 2EA
本讲内容
单位载荷法例题 第十五章 能量法(二) §13-7 梁的横向剪切变形效应 §15-3 冲击应力分析
2
能量法（二）+动应力
例1：图示圆弧形小曲率杆，EI为常数，横截面A、B间 存在夹角为的微小缝隙。若要使A、B两截面密合， 应在横截面A、B上加怎样的载荷? (习题13-28)
R
M PA B
能量法（二）+动应力
上一讲回顾
变形体虚功原理
外力在虚位移上所作外虚功 We，等于可能内力 在虚变形上所作内虚功 Wi，即 We ＝ Wi
单位载荷法
功能：变形体在已知载荷作用下，求任意一点沿 任一方向的位移
理论基础：变形体虚功原理 研究对象：单位载荷状态 虚位移选择：真实载荷状态下的位移作为虚位移
1
能量法（二）+动应力
M() M PR(1 cos)
M2 ( ) R(1 cos )
A/ B
1 EI
2
[M PR(1 cos )]R(1 cos) Rd
0
2 R2
3
(M PR)
EI
2
确定P和M
AB A/ B R
2 R (M PR)
EI
2 R2
EI
(M
3 2
PR)
R
特殊性与一般性
0
A
1 EA
l
0 FN ( x) FN ( x)dx
1
A
x
B
M( x) x FN ( x) 1 M( x) 0 FN ( x) 0
8
能量法（二）+动应力
l A
x T1dx
d
d
dx T2dx
1
A
x
B
B
1
A
x
B
l
1 fA
M( x)d
0
l
1 A 0 FN ( x)d
d (T1 T2 )dx
R
1 AB
<1>
解： 同时加上力P和力偶M
R
用单位载荷法计算AB和A/B
M P
M() M PR(1 cos) M1( ) 1
R
AB
1 EI
2
[M PR(1 cos )]1 Rd
0
2 R (M PR)
EI
1A B
<2>
3
R
M PA B
R
1A B
<2>
能量法（二）+动应力
h
fA
(T1 T2 )l 2
2h
d (T1 T2 )dx
2
A
(T1
T2 )l 2
9
能量法（二）+动应力
思考：能量法与解析法的联系
各杆EA相同，求 fA (A点垂直位移)
3
2
解析法方程：
l3
l2
1
A
l1
P
平衡方程： N1 N3 cos 0 P N2 N3 sin
几何方程：l3 l1 cos l2 sin
G
bdxdy
3FS ( x) (1 2bh
y2 h2
)
l 0
M 2(x) dx
2EIz
l 0
6 5
FS 2 ( x )dx 2GA
15
能量法（二）+动应力
• 矩形截面梁应变能 V
l M 2(x) dx
0 2EIz
l 6 FS 2 ( x)dx 0 5 2GA
一般截面梁应变能公式
Vε