2019-2020学年高中数学 §1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算导学案 新人教B版必修4.doc
课件5：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
例 3.已知扇形的周长为 20 cm，当它的半径和圆心角各取什么 值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解:设扇形的半径为 r，弧长为 l，面积为 S. 则 l＝20－2r， ∴S＝12lr＝12(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10)． ∴当半径 r＝5 cm 时，扇形的面积最大，为 25 cm2. 此时 α＝rl＝20－52×5＝2(rad)． ∴当它的半径为 5 cm，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大，最大值为 25 cm2.
π 12
π 6
π 4
π5 π 3 12π 2
2 3 5π 3π 4π 6
角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 π
7 6π
5π 4
4π 3
3 2π
5π 3
7 4π
11π 6
2π
知识点3：弧度制下的扇形的弧长及面积公式
(1)弧度数公式：α＝
2.弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时， 可牢记以下公式：1π80＝弧 角度 度，只要将已知数值填入相应位置， 解出未知的数值，再添上相应的单位即可．
3．弧度制下的扇形面积公式可类比三角形的面积公式来记忆． 4．引入弧度制后，就有两种度量角的单位制，不仅使扇形的弧 长和面积公式变得更加简洁，也建立了角与实数间的一一对应 关系，为后面学习三角函数的定义打下了基础.
知识点2：角度制与弧度制的换算 问题导思 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换 算呢？ 利用 1 弧度角的定义进行换算．
总结 (1)角度制与弧度制的换算
2π
2π
π
π
(2)特殊角的弧度数
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
一、教学目标：
1．知识目标：
（1）1弧度的角的定义；（2）弧度制的定义；（3）弧度与角度的换算；（4）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；（5）弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。
2．能力目标：
（1）理解弧度的意义，能正确地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式；（4）会利用弧度解决某些实际问题。
3．情感目标：
（1）使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽然单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；（2）使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点：
重点：弧度的意义，弧度与角度的换算方法；
难点：理解弧度制与角度制的区别。
三、教学方法：
通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性。
从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换算的方法。
通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好地进行合作交流。
附录（表格和图）：。
1.1.2弧度制及弧度制与角度制的换算演示教学
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}； 终边在y轴上：
S={α|α=90°＋k·180°，k∈Z}.
1.1.2 弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的 角是怎样定义的呢？
周角的 1 为1度的角。 360
这种以1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
例1.把6730化成弧. 度
解： 63 7 0 6.5 7 67.5 rad 3 rad
180 8
例2.把2rad化成角. 度
解：2rad（2180） （ 18） 0
通常，“弧度r” a” d和可“省略 2，sin sin60
3
练习
把下列各角化成 2 k 0 2 ， k Ζ 的形式：
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
1 2
αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
例4. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
ห้องสมุดไป่ตู้
l
r
问：360度=______弧度
360=2 rad 这是弧度制和角度制互换的根基。
写出一些特殊角的弧度数 请总结出通法
角 度
0 30 45 60 90 120135150180 270 360
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
7 6
5 4
4 3
3 2
5 3
7 4
11 6
2
5 6
3 4
2 3
y 2
3
4
6
0
O
7 6
x
5 4
11 6
4 3
3 2
5 3
7 4
角度与弧度的换算公式：
∵1800=
∴ 1 0=
rad
180
180
rad≈0.01745rad
1 rad=( )0≈57018’ 做一做： 1.把下列各角从度化为弧度： 3 20 7 ①2520 ②11015‘ ③-12000 ④67030’ 8 16 3 5 2.把下列各角从弧度化为度： 3 3 ① 1080 ② 2( 360 ) 0 ③ 12 150 ④ 10 540 5
2 k , k Z 2.终边落在x轴的正半轴的角的集合 ；
x轴的负半轴的角的集合 2k , k Z ；
2k , k Z 2 终边落在y轴的正半轴的角的集合 ；
2k , k Z 2 ； y轴的负半轴的角的集合 k , k Z 终边落在x轴上的角的集合 ；
B
r
O
r
A
AOB 1弧度 1rad 1,
注：弧度单位可省略，角度 单位不能省略！
小练习：
1.圆的半径为r，圆弧长为2r、3r、r/2的弧所对的圆心 角分别为多少？ 答：分别为2弧度、3弧度、1/2弧度. 2.思考：圆心角的弧度数取决于什么呢？是半径还是 圆弧长？ 答：无关，若圆弧长为L，半径为r，则圆心角
3.思考：一个周角的弧度数是多少？一个平角的弧度 数是多少？一个直角的弧度呢？ 答：分别为 2 , ,
原创1：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
新课引入
我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度等于周角的1/360。 这种用度作为单位来度量角的单位叫做角度制，为了使用方便，数学 上还采用另一种度量角的单位——弧度制
思考：什么是弧度制呢？
新课引入
r
A
B
1rad r
O
如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.
2
6730' rad 67 1 3 rad
180
28
（2） 把 —3 π 弧度化成度。 5
解： (1)把112º30′化成弧度（用π表示）。
(2)把 8 化为角度。
5
课堂练习
与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角的度数 是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º，
第一章 三角函数 §1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
高中数学必修4·精品课件
学习目标
1．了解弧度制的有关概念 2. 记住角度制与弧度制的互化 3. 牢记圆心角、弧长与弧度数之间的关系 4. 学会弧度制的相关应用
新课引入
角度长度是可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千 克、磅等不同的单位制. 不同的单位制能给解决问题带来方便，那么，角的度量是否能用不同 的单制呢？ 不同单位制之间可以进行换算，那么，角的单位制之间是怎样进行互 化的呢？下面我们一起来看看.
绝对值如何计算？
α=l r
特别注意，α的正负是由角α的终边的旋转方向决定的
探究点2
弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以 “度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度 是圆周 1 所对的圆心角的大小；
高中数学 1-1-2弧度制和弧度制与角度制的换算课件 新人教B版必修4
(2010·新余市高一下学期期末测试)在单位圆中，面积
为1的扇形所对圆心角的弧度数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] B
[解析] 设扇形的弧长为l，由题意，
得 S＝12lR＝12l×1＝1，∴l＝2，
∴扇形所对圆心角的弧度数为Rl ＝21＝2.
[例4] 已知扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角为多 大时，它有最大面积？
[分析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，则扇形面积可 表示为 S＝12lr，l 与 r 之间还要满足周长为 20，即 l＋2r＝ 20，所以 l＝20－2r，这样 S 就能表示成关于 r 的二次函数， 再利用二次函数的性质求最值即可．
[解析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，由已知条件可 知：l＋2r＝20，即 l＝20－2r.由 0<l<2πr，得 0<20－2r<2πr， ∴π1＋01<r<10.
[点评] 用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式 为：β＝2kπ＋α(k∈Z)．这些角所组成的集合为{β|β＝2kπ＋ α，k∈Z}．
用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的集合． [解析] 第一象限角的集合：
S1＝α2kπ<α<π2＋2kπ，k∈Z
；
第二象限角的集合：
S2＝απ2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z
rad≈0.01745rad，
1rad＝ (18π0)°≈57.3°＝57°18′.
3．在弧度制下，弧长公式为 l＝θr，扇形面积公式为
S＝
1 2lr .
重点：弧度的概念，角度与弧度的换算，弧长公式． 难点：弧度概念的理解及角度与弧度的换算和弧度制 下弧长与扇形面积公式． 1．关于弧度的理解，主要明确以下几点： (1)和角度制对比，弧度制是以“弧度”为单位来度量 角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位 制． (2)根据圆心角定义，对于任何一个圆心角α，所对弧 长与半径的比是一个仅与角α的大小有关的常数．因此，弧 长等于半径的弧所对的圆心角的大小并不随半径变化而变 化，而是一个大小确定的角，可以取为度量角的标准．
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算要点核心1．度量角的单位制：角度制、弧度制 (1)角度制)(deg reemeasure初中学过角度制，它是一种重要的度量角的制度． 规定周角的3601为1度角，记作1。
．用度作为单位来度量角的制度叫做角度制．(2)弧度制)(ure radianmeas规定把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作lrad ．如图1-1-2 -1， AB 的长等于半径r ． B A 所对的圆心角AOB ∠就是1弧度的角即.1=rl2．角度与弧度之间的互化(1)将角度化为弧度;.2360rad π=;.180rad π=.01745.01801rad rad ≈=π(2) 将弧度化为角度;360.2=rad π ;180.=rad π .185730.57)180(1=≈=πrad(3) 弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为a rad ，角度为on 则 (4) 一些特殊角的角度数与弧度数的对应表： )180(.παα=rad .180rad n n π⋅=3．用弧度表示终边相同的角用弧度表示与角a 终边相同的角的一般形式为:απβ+=k 2⋅∈)(z k这些角所组成的集合为⋅∈+=},2|{z k k απββ4．扇形的弧长与面积公式若扇形的圆心角为a （a 为弧度制），半径为R ，弧长为L ，面积为S ，则有.||2121|,.......|2R lR S R l αα===热点例题考点1 弧度制的概念问题[例1] 下列各命题中，假命题是( )．A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是周角的,36011弧度的角是周角的π21C ．根据弧度的定义，180。
一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径的长短有关考点2 角度与弧度的互化问题 [例2](1)将130315 化成弧度；(2)将rad .5.13π化成度；(3)时间经过5小时，时针、分针各转多少度？等于多少弧度？考点3用弧度制表示终边相同的角、象限角及区问角[例3]把下列各角化成0到π2的角加上)(2z k k ∈π形式，并指出它们是第几象限角．;3100)1(π ;5111)2(π-;1200)3(o考点4 扇形的弧长与面积公式的运用问题[例4]求解下列各题：(1)已知扇形的周长为20 cm ，面积为9 cm 2，求扇形圆心角的弧度数；(2)若某扇形的圆心角为750。
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
[答案]
π 3
[解析] 设扇形的弧长为 l，则 l＝αR＝23π，
∴该扇形的面积 S＝21lR＝12×23π×1＝π3.
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
弧度制下终边相同的角的表示方法
将下列各角化成 2kπ＋α(0<α<2π，k∈Z) 的形式，并指出角的终边所在的象限． (1)274π；(2)396π. [解析] (1)∵274π＝6π＋34π， ∴274π与34π终边相同． 又∵34π是第二象限角，∴274π是第二象限角．
• [分析] 正确理解角度制和弧度制的概念， 对每一命题认真分析并作出判断.
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
[解析] 根据角度制和弧度制的定义可以知道， A、B 是正确的；1rad 的角是(1π80)°≈57.30°， 即 C 也是正确的；无论是用角度制还是用 弧度制度量角，角的大小都与圆的半径无关， 故 D 错误． • [答案] D
求这个扇形的半径 R 和圆心角 α 的弧度数. [解析] 设扇形的半径为 R(R>2)，
2R＋l＝10
解弧得长为lR＝＝l，43由.题意得12Rl＝6
，
∴圆心角 α＝Rl ＝43(rad)．
故这个扇形的半1径.1.2为弧度制3和，弧度圆制与角心度制角的换算α 的弧度数为43rad.
(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考) 已知扇形所在圆的半径为 1，圆心角的弧度数为23π，
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
• 将－1 485°表示成α＋2kπ，k∈Z的形式， 且0≤α<2π.
[解析] ∵－1 485°＝－5×360°＋315°， ∴315°＝315×1π80＝74π， ∴－1 485°＝74π－10π.
课件2：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180
弧度这个关键．
课堂小结
总结提炼
（1）
180°=π 弧度；
（2）“角化弧”时，将 n乘以 π/180° ；
“弧化角”时，将α 乘以 180/π
课堂练习
把 67 30 化成弧度．
1
解：∵ 67 30 67
2
∴
67 30
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
典型例题
解： （1）112º30′=112.5º，
1
180
0.0175
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.
5
(2) 112º30′=112.5×
=
180 8
.
典型例题
4
把 π rad 化成度．
5
4
4
解： rad 180 144
分析：在书写角时，“弧度”两个字常省略不写，但用
“角度”表示时，“度”或“0”不能省略。
解析：
因为 -1485°=-5× ° + °，又° = ×
39
59
180 36 ,所以-1485°=-10π+ 36 .
典型例题
（1)）把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
角 的弧度数的绝对值是 ，这里， 的正负由
角 的终边的旋转方向决定。
知识点1：
1“弧度制”与“角度制”是度量角的两种制
度。引进了弧度制，使得每一个角都对应一个实
数（即这个角的弧度数），反过来每一个实数都
对应一个弧度数（角的弧度数等于这个实数），
课件7：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
【解】 (1)∵180°＝π，∴－570°＝－570×1π80＝－196π. ∴α1＝－169π＝－2×2π＋56π. ∵750°＝750×1π80＝265π，∴α2＝265π＝2×2π＋π6. 所以 α1 在第二象限，α2 在第一象限．
(2)β1＝35π＝35π×18π0°＝108°.设 θ＝k·360°＋108°(k∈Z)，
4π
5π
7π
7π
A. 3
B. 3
C. 4
D. 6
解析：选 B.由 1°＝1π80rad 可得，300°＝300×1π80＝53π.
三、扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为 r，弧长为 l，α 为其圆心角的弧度数，n 为圆心角的角度数． 则扇形的弧长：l＝1n8π0r ＝__|_α_|·_r __；扇形的面积：
答案：二
3. 如图所示，扇形AOB的面积是4 cm2，周长是10 cm，求扇形的圆心角α的 弧度数．
解：设 长为 l cm，扇形半径为 r cm，则由题意，得
l＋2r＝10， 21lr＝4，
解得 r＝4， l＝2，
或 r＝1 l＝8
(不合题意，舍去)，
所以 α＝rl＝24＝12.
课堂小结
1．在掌握弧度制定义、扇形面积公式、弧长公式的前提下，灵活运用，体会弧度制下 公式比角度制下公式的优越性，如例3. 2．角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间 建立一种一一对应的关系：即每一个角都有惟一的一个实数(例如这个角的角度数或弧 度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有惟一的一个角(例如弧度数或角度数等于这 个实数的角)与它对应．
(3)法一(化为弧度)：α＝15°＝15×1π80＝1π2，θ＝105°＝105×18π0＝71π2. 显然1π2<1π0<1<71π2.故 α<β<γ<θ＝φ.
弧度制与角度制的换算公式
弧度制与角度制的换算公式弧度制和角度制是两种不同的测量角度大小的方式。
弧度制是以弧长的长度来表示角度大小，而角度制是以度数来表示角度大小。
两者之间可以用一定的换算公式进行转换。
首先来看弧度制与角度制之间的换算公式。
1.弧度制到角度制的转换公式：角度=弧度×(180/π)例如，将一个角度为π/2弧度的角转换为角度制，可以使用公式：角度=π/2×(180/π)≈90°2.角度制到弧度制的转换公式：弧度=角度×(π/180)例如，将一个角度为45°的角转换为弧度制，可以使用公式：弧度=45×(π/180)≈π/4弧度以上就是弧度制到角度制和角度制到弧度制的转换公式。
接下来，我将陈述一些关于弧度制和角度制的基本知识，以及它们之间的转换公式所涉及的一些常见应用。
弧度制是一种用来度量角度大小的单位，其定义是以半径等于1的圆上弧长所占的长度为1弧度。
一个完整的圆的周长等于2π弧度。
弧度制的优点是在进行三角函数运算时计算比较方便。
角度制是大部分人常用的一种度量角度大小的方式。
一个完整的圆被定义为360度。
角度制的优点是更加直观，更符合我们平时的感知。
弧度制和角度制在数学、物理、工程等领域经常用到，特别是在三角函数的计算中。
弧度制和角度制的转换公式能够帮助我们在不同的场景下进行角度单位的转换。
例如，在解决三角函数的计算问题时，我们常常使用弧度制进行计算。
而在物理问题中，例如描述物体在圆周运动时，我们常常使用角度制。
总结来说，弧度制与角度制的换算公式为：角度=弧度×(180/π)弧度=角度×(π/180)这些转换公式能够帮助我们在弧度制和角度制之间进行换算，使我们能够根据不同的需求灵活地选择使用不同的角度单位进行计算和描述。
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
3r 若 l = 3r，则∠AOB= =3弧度 l 3r
B O
l 2r
A
2rad
3rad
r
r
O
r
A
B
-3弧度
l 3r
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧 的长为3r，则∠AOB是几弧度？
l 3 ∠AOB的弧度数的绝对值是 r l 即AOB 3rad r
弧度定义：
弧度制下的扇形面积公式：
• 利用弧度制证明下列关于扇形的 公式： 其中: R 是半径， (1) l R
1 2 (2) S R 2 1 (3) S lR 2
l 是弧长，
(0 2 ) 是圆心角，
S 是扇形的面积。
扇形面积公式
1 S lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。 证明：设扇形所对的圆心角为nº (αrad)，则
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
2.弧度与角度的换算:
思考：周角的弧度数是多少?
l l 2r , 则AOB 2rad r
此角为周角 即为360°
l 2r
O
2π弧度
r
（B） A
2.弧度与角度的换算:
360°= 2π 弧度
180°= π 弧度
1
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系：
B
B
A
o
A
当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长不相等。
弧长/cm 半径/cm 弧长与半径之比
0.80 0.93 0.86
0.86 1.21 1.00 1.40 0.86 0.86
2.35 2.71 0.86
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算.ppt
可以看出，等式右端不包含半径，表示弧长与半径的
比值与半径无关，只与α 的大小有关.
当 为定值时，这个比值也是定值.
结论：可以用圆的半径作单位去度量弧.
探究点2：弧度制的定义： 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度 的角，弧度记作rad.这种以弧度为单位来度量 角的制度叫做弧度制.
导出关系
基本关系
记住一些常见的角度与弧度制的换算：
度 弧度
0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º
0
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3
3π 4
5π 6
π
3π 2
2π
注: 1.以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二 字或“rad”通常省略不写，但用“度”（°）为单 位时不能省. 2.用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π ”的 形式,如无特别要求，不用将π 化成小数. 3.度化弧度除以180乘以 π，弧度化度 π 换180
2 扇形面积是 (π-1)R .
本节课我们主要学习了：
（1）弧度制的定义.
（2）角度与弧度的换算公式，利用 rad 殊角的弧度数.
（4）弧长与扇形面积公式.
把希望建筑在意欲和心愿上面的人们，
二十次中有十九次都会失望.
——大仲马
2 120 解：圆心角 等于 ，又半径为10米， 3 2 20 故所对应的弧长为10× = . 3 3
4. 已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆
的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面 积是多少？
解：周长为2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.
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2019-2020学年高中数学 §1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
导学案 新人教B 版必修4
◆ 课前导学
（一） 学习目标：
1.会进行弧度与角度间的相互转化并熟记常见的特殊角间的转化；
2.会用弧度表示给定范围的角的集合；
3.会利用弧度制的扇形弧长公式求扇形的弧长或者求圆心角；
4.会利用弧度制推导扇形的面积公式并会解决相应的问题.
（二）重点难点：
重点：理解弧度制的定义，二者间的换算，熟记特殊角的弧度数；
难点：利用弧长公式与扇形面积公式进行相应的计算.
（三）温故知新
♂温故
1.与角α终边相同的角β的集合S=___________________；
2.一度是如何定义的？_____________________________；
3.扇形的弧长公式是_________________________________；
4.扇形的面积公式是__________________________.
♂知新
1.一弧度的角的定义：____________________________________________；
2.角度与弧度的转化关系：00=______rad ，0
180=______rad ， 01=_______rad, 1rad=_______=_________；
3.弧度制下扇形的弧长公式是l =______________；
4.弧度制下扇形的面积公式是S =____________=________________. ◆ 课中导学
◎学习目标一：会进行弧度与角度间的相互转化，并熟记常见的特殊角间的转化. 例1．把下列各角转化成弧度
（1）030， （2）060， （3）0'11230，（4）0120-.
[小试身手] 把下列各角转化成弧度
045， 090， 0225-， 0'2230， 0240-
例2. 把下列各角转化成度
2π ，
12π ，32π- ，85
π
[小试身手] 把下列各角转化成角度 4π ， 53π ，56π- ， 8π ， 310
π
结论：请完成下列特殊角的度数与弧度数的对应表格，并记忆.
120 135 150 180 270
◎ 学习目标二：会用弧度表示给定范围的角的集合.
与角α终边相同的角的集合为_________________________________；
终边在x 轴正半轴上的角的集合_________________________________；
终边在x 轴正半轴上的角的集合_________________________________；
终边在x 轴上的角的集合_________________________________；
终边在y 轴正半轴上的角的集合_________________________________；
终边在y 轴正半轴上的角的集合_________________________________；
终边在y 轴上的角的集合_________________________________；
终边在坐标轴上的角的集合_________________________________；
第一象限角的集合_________________________________；
第二象限角的集合_________________________________；
第三象限角的集合_________________________________；
第四象限角的集合_________________________________.
例3. 把下列各角化为0到2π的角加上2k π(k ∈Z)的形式，并指出它们是哪个象限的角
236
π ， -1500 ，1885，
[小试身手] 把下列各角化为0到2π的角加上2k π(k ∈Z)的形式，并指出它们是哪个象限的角 -
187π ， '6723， -'38020
◎学习目标三：会利用弧度制的扇形弧长公式求扇形的弧长或者求圆心角
例4. 已知扇形AOB 中，AB 所对的圆心角60时，半径为50米，求AB 的长
★变式1：已知半径为120mm 的圆上，有一条弧长为144mm ，求此弧所对圆心角的弧度数与角度数.
★变式2：一条弦的长度等于半径，求这条弦所对的圆心角的弧度数.
◎学习目标四：会利用弧度制推导扇形的面积公式并会解决相应的问题.
例5.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，推导扇形的面积公式为S=12
lr .
★变式1：已知扇形的半径为r ，圆心角的弧度数为α,此时扇形的面积公式为________ ★变式2：已知扇形的周长为10cm ，面积为24cm ，求扇形圆心角的弧度数；
★变式3：已知一扇形的圆心角是72︒，半径等于20cm ，求扇形的面积；
★变式4：已知一扇形的周长为40cm ，当它的半径与圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大，最大面积是多少？
◆ 课后导学
一、选择题
1.下列各组角中，终边相同的角是（ ） A.2πk 与k π+2π (k ∈Z) B.k π±3π与3
πk (k ∈Z) C.(2k +1)π与(4k ±1)π (k ∈Z) D.k π+
6π与2k π±6π (k ∈Z) 2.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（ ）
（其中k ∈Z ）
A. α+β=π
B. α－β=2
π C. α－β=（2k +1）π D. α+β=(2k +1)π 3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ） A.3π B.32π C.3 D.2
4.在半径为10 cm 的圆中，
34π的圆心角所对弧长为（ ） A.340π B.320π C.3200π D.3
400π 5.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是（ ） A.3π B.－3π C.6π D.－6
π 6.圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（ ） A.2π cm 2 B.23π cm 2 C.πcm 2 D.3π cm 2
7．下列与 的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）（k Z ∈）
A ．245k π+︒
B ．93604k π⋅︒+
C ．360315k ⋅︒-︒
D ．54k ππ+
二、填空题 8. 4弧度角的终边在第 象限.
9. －12
23πrad 化为角度应为 . 10.设α,β满足－2π＜α＜β＜2
π，则α－β的范围是 . 11.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.
12.若角α的终边与58π角的终边相同，则在［0，2π］上，终边与
4α角的终边相同的角是 .
三、解答题
13. 1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.
14. 已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？。