2020学而思教材讲义高一数学寒假(目标班、尖子班) 高一寒假 第1讲 我会解三角形你会么 教师版 目标班

【教师备案】在初中的时候，我们就学过解直角三角形，解直角三角形是怎么回事呢？在直角三角形
知识切片
满分晋级
第1讲 我会解三角形
你会么？
三角函数3级 三角函数的图象性质及简单应用
三角函数4级 我会解三角形你
会么
三角函数5级 三角函数公式
强化
中，除了告诉我们直角外，还有5个要素，我们发现，如果解这个三角形，把要素都求
出来，必须要知道至少2个要素，当然不能为2个角，换言之，解直角三角形就是知二
求三的过程.当然，在我们学习了任意角的三角函数之后，我们的视野不能这么小，如果
给我们一个一般的三角形，那我们应该如何解这个三角形呢？我们应该至少要知道几个
量？我们先来回顾一下初中边和角相关的东西，我们在初中学过尺规作图，而且学过三
角形全等的证明（SSS SAS ASA AAS
，，，），只要给出上述条件我们就能把三角形确定，也就是全等. 那么，为什么我们知道2条边1个夹角就能求出其他要素呢？而知道两条边
和一边的对角就无法证明三角形全等呢？三角形的边和角之间存在什么关系呢？尺规作
图毕竟是定性的感受，在高中阶段，我们可以给出一个严格的证明，就是今天我们要讲
的正余弦定理.正余弦定理的本质就是构造边与角之间的关系，由角就可以求出边，由边
就可以求出角.下面我们就先来介绍正弦定理.
在ABC
△中的三个内角A，B，C的对边分别用a b c
，，表示：
1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即
sin sin sin
a b c
A B C
==．
【教师备案】
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
===，其中R为ABC
△的外接圆的半径．建议老师用三角形的外接圆给学生证明，因为板块1.4中讲三角形面积的时候还会用到三角形的外接圆，所以
不如这时给学生讲了.
利用三角形中的线段关系证明正弦定理：
①在R t ABC
△中（如图），有sin sin
a b
A B
c c
==
，，
因此
sin sin
a b
c
A B
==，又因为sin1
C=，所以
sin sin sin
a b c
A B C
==
②在锐角ABC
△中（如图），作CD AB
⊥于点D，有sin
CD
A
b
=，
即sin
CD b A
=；sin
CD
B
a
=，即sin
CD a B
=，因此
sin sin
b A a B
=，即
sin sin
a b
A B
=，同理可证
sin sin
a c
A C
=，因
此
sin sin sin
a b c
A B C
==
1.1正弦定理与其在解三角形中的应用
知识点睛
c
b a
D
C
B
A
C B
A
c
b
a
③在钝角ABC △中（如图），作CD AB ⊥，交AB 的延长线于点
D ，则
sin CD
A b
=，即sin CD b A =；
()sin 180sin CD
B B a
=-=，即sin CD a B =，因此 sin sin b A a B =，即sin sin a b A B =，同理可证sin sin a c
A C
=，因此
sin sin sin a b c
A B C
== 利用平面几何知识证明正弦定理：
如图所示，设O 为ABC △的外接圆的圆心，连BO 并延长交O 于A '，连A C '，则A A '= 或πA A '=-，
∴sin sin 2BC a A A A B R '==
='，即2sin a
R A
=，同理可证2sin sin b c R B C ==，故有2sin sin sin a b c
R A B C
=== 当ABC △是钝角三角形时，类似地得出上述结论. 利用向量知识证明正弦定理：
①当ABC △是锐角三角形时，过A 点作单位向量i 垂直于AB ， 如图，∵AC AB BC =+,
∴()
i AC i AB BC i AB i BC i BC ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅，
∴()()cos 90cos 90b A a B -=-，得sin sin b A a B =，
得
sin sin a b
A B
= ②当ABC △为钝角三角形时，类似地得出上述结论
2．利用正弦定理解三角形
⑴解三角形：三角形的三个内角和它们的对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其
他元素的过程叫做解三角形．
⑵利用正弦定理可解下列两类型的三角形：
①已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；
【教师备案】有了正弦定理之后，我们可以简单的看出，任意的两个角与一边相当于AAS 和ASA 的
条件，可以确定所有的角，然后可以确定所有的边，因此，三角形也随之确定.
②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角．
【教师备案】1.已知三角形的两边和一边的对角，由正弦定理可以求得另一边的对角的正弦值，但是解
三角形时，因为在(0,π)内，互补的角的正弦值相等，所以求得另一边所对的角的正弦值之后，可能对应有一个角或两个角，因此无法确定三角形的形状，这就是为什么SSA 无法证明三角形全等的原因.
2.利用正弦定理证明三角形中“大边对大角”的结论：
①当ABC △为锐角三角形时，若a b >，则sin sin A B >，又π02A B ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
，，正弦函数在此区间内单调递增，故A B >；
i C
A c
b
a D
C
B
A
O
A 'C
A
②当ABC
△为钝角三角形时，若A为钝角，则由π
A B
+<得，π
B A
<-，
又π
π0
2
A B
⎛⎫
-∈ ⎪
⎝⎭
，，，故由正弦函数的单调性知：()
sin sinπsin
B A A
<-=，从而由正弦定理知：b a<．
对直角三角形，此结论显然成立，故综上知，在任意三角形中，均有大边对大角．
3.此时，到底取一个角还是取两个角，关键保持一个原则“大边对大角”.具体讨论如下：
已知,a b和角A，
若B为钝角或直角，则C至多有一个解；
若B为锐角，得分情况讨论，如图：
无解的情况例如：3460
b c B
===︒
，，，求C．
由
sin sin
b c
B C
=sin4sin6023
sin1
33
c B
C
b
︒
⇒===>，
∴C无解，从而满足此条件的三角形不存在．这就是sin
c B b
>的情况．
【教师备案】在讲利用正弦定理解三角形时，对于边角互化和利用边角互化判断三角形形状的题型建议放到同步去讲，本板块只讲利用正弦定理解两种类型三角形，在讲完“已知两角和任一
边解三角形”后就可以让学生做例1；在讲“已知两边和其中一边的对角解三角形”时一定
要注意三角形的多解问题，具体的多解见考点2的【教师备案】，讲完多解问题后就可以
让学生做例2的铺垫以及例2.
考点1：已知两角和任一边解三角形
【例1】已知两角和任一边解三角形
⑴已知ABC
△中，a b c
，，分别是A B C
、、的对边，3
c=，60
A=︒，45
C=︒，则a=_______.
⑵在ABC
△中，30
B=︒，45
C=︒，1
c=，则b=_______；三角形的外接圆半径R=_______.
⑶在ABC
△中，已知8
a=，60
B=，75
C=，则b=_______.
经典精讲
b sin A<a<b , 两解
a>b , 一解
a<b sin A , 无解
b
a=b sin A , 一解
C
B
【解析】
⑴32
⑵2；2
已知30B =，45C =，1c =，由正弦定理得：
2sin sin b c
R B C
==， 所以sin 1sin 302sin sin 45c B b C ⋅===，122sin sin 452
c R C ====,2R =
⑶46
由60B =，75C =，知45A =，再由正弦定理有846sin 45sin 60
b
b =⇒=
考点2：已知两边和其中一边的对角解三角形
【铺垫】根据下列条件解三角形：
①6031A a b ===，，
；②3012A a b ===，，；③30610A a c ===，，； ④150105A a c ===，，，其中有唯一解的个数为（ ）
A ．
1 B ．
2 C ．
3 D ．
4 【解析】
C ①3
sin 3b A =<，又31>∵，∴有唯一解；②sin 2sin301b A ==，∴有唯一解；
③sin 10sin305610c A ==<<，∴有两解；④有唯一解.
【例2】 已知两边和一边对角解三角形
⑴在ABC △中，已知4522A a b ===，，B =_______.
⑵已知ABC △中，a b c ，，分别是A B C 、、的对边，22345a b A ===︒， 则B =_______.
⑶已知ABC △，三个内角A B C ，
，的对边分别记为a b c ，，，若245c x b B ===︒，，，且这个 x 的取值范围． ⑷（目标班专用）（2010山东卷理数）在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，
若2a =，2b =，sin cos 2B B +A 的大小为 ．
【解析】
⑴30 根据正弦定理得：
sin sin a b A B =，∴sin 2sin 451
sin 2
b A B a ⋅===，b a <∵，B A <∴， B ∴为锐角，即30B =
⑵60或120
由正弦定理得，sin 23sin 453
sin 22
b A B a ===，∵sin b A a b <<，∴这个三角形有两组解，即60B =或120. ⑶ 由正弦定理可得：
sin sin c b C B =，解得：2sin x C =，由于三角形有两解，又45B =︒， 则45135C <<︒且90C ≠2sin 1C <<221x
<<，解得222x <<
【点评】本题的⑶也可用以下方法解，当sin
c B b c
<<，即sin2
x B x
<<时，对应两个C的值，方程有两组解，解得222
x<<．
⑷π
6
由sin cos 2
B B
+=平方得12sin cos2
B B
+=，即sin21
B=，因为0π
B
<<，所以π
4
B=．又因为22
a b
==
，，所以在ABC
△中，由正弦定理得：22
sin B
=，解得
1
sin
2
A=．又a b<
∵，所以A B
<，所以π
6
A=．
【点评】易错点：忽略a b<A B
⇒<的隐藏条件．多解．
【教师备案】在正弦定理中，我们还有两种类型的全等没有讨论，SAS和SSS型，正弦定理处理的是对边对角的情形，仅仅用正弦定理是很难把三角形求解出来的，因此，我们需要一个新
的工具，能够把边的条件化成角，就是下面所介绍的余弦定理.
1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：
222
222
222
2cos,
2cos,
2cos.
c a b ab C
b a
c ac B
a b c bc A
⎧=+-
⎪
=+-
⎨
⎪=+-
它的变形为：
222
222
222
cos,
2
cos,
2
cos.
2
a b c
C
ab
a c b
B
ac
b c a
A
bc
⎧+-
=
⎪
⎪
⎪+-
=
⎨
⎪
⎪+-
=
⎪
⎩
<教师备案> 余弦定理的推导可以由三角形的向量运算直接得到，比如：
222
2()()2
a BC BA AC BA AC BA BA AC AC
==+⋅+=+⋅+
()
2222
2cosπ2cos
c bc A b c bc A b
=+-+=-+．
也可以通过坐标法及两点距离公式得到．
建立合适的坐标系，如图，
得()()()
cos sin000
A b C b C
B a C
，，，，，，
从而有22
(cos)(sin)
AB c b C a b C
==-+，
1.2余弦定理及其在解三角形中的应用
知识点睛
b
x
y
B
C
A(b cosC , b sinC)
整理得：2222cos c a b ab C =+-. 也可以通过三角形中的线段关系证明：
在ABC △中，已知边a b ，及C ∠（为了方便起见，假设C ∠为最大的角），求边c 的长
证明：当90C ∠=时，那么222c a b =+
当90C ∠≠时，如图，无论C ∠为锐角还是为钝角，都过A 点做边BC 的高，交BC （或延长线）于点D ，这时高AD 把ABC △分成两个直角三角形ADB 和ADC ， 则sin AD b C =，cos BD a b C =-，在Rt ADB △中，运用勾股定理，得 ()2
22222sin cos c AD BD b C a b C =+=+-222cos a b ab C =+-
2．余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题： ①已知两边和任意一个内角解三角形； ②已知三角形的三边解三角形．
【教师备案】老师在讲完余弦定理后，可以就SSS 和SAS 型的全等证明做个简单讲解，这样子整个讲
义的主线就串在一起.然后，可以让学生做【铺垫】，【铺垫】是直接套公式的，做完【铺垫】就可以做例3，例3是灵活的运用余弦定理解三角形，在解题过程中需要转化的；学生在能够灵活运用余弦定理后，就可以讲考点4，用余弦定理判断三角形形状，在三角形中，因为每个角都在()0π，内，所以一个角的正弦不能判断这个角是锐角还是钝角，但是余弦就能很快的判定是锐角还是钝角，在三角形中，当cos 0α>时，α为锐角；当cos 0α<时，α为钝角；当cos 0α=时，α为直角；考点4的【铺垫】是直接根据三角
形的三条边判断三角形形状的，老师可以让学生先体会一下怎么样用余弦判定三角形形状，例4是已知三角形形状，求边的取值范围的，在解题过程中要注意用余弦定理和构成三角形的条件.
考点3：用余弦定理解三角形
【铺垫】⑴在ABC △中，5a =，8b =，60C =︒，则c =_______．
⑵在ABC △中，222a b c bc =++，则A 等于（ ）．
A ． 60
B ． 45
C ．
120 D ． 30 【解析】
⑴ 7 由余弦定理2222cos 25644049c a b ab C =+-=+-=，∴7c =． ⑵C
∵2222222()1
cos 222
b c a b c b c bc A bc bc +-+-++===-
经典精讲
a
b
c
A
B
C
D
D c
b
C
B
A
∵0180A <<，∴120A =．
【例3】 余弦定理解三角形
⑴在ABC △中，5a =，8b =，7c =，则sin C =_______．
⑵在ABC △中，已知3
sin 5
A =，sin cos 0A A +<，35a =，5b =，则c =______.
⑶在ABC △中，若13
78cos 14
a b C ===，
，，则最大角的余弦是( )． A ．15- B ．16- C ．17- D ．18
-
【解析】
⑴3 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，∴1cos 2C =，3
sin C =
． ⑵∵sin cos 0A A +<，且3sin 5A =，2
4cos 1sin 5A A =--=-∴，又∵35a =，5b =，
222
2cos a b c bc A =+-，
∴()
2224355255c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭
，即28200c c +-=，解得2c =或10c =-（舍），∴2c = ⑶ C
由2222cos c a b ab C =+-，∴3c =，则b a c >>，
∴最大角为B ，∴2221
cos 27a c b B ac +-==-
考点4：用余弦定理判断三角形形状
【教师备案】最大角定三角形的形状，由余弦定理易得，较小两边的平方和与最大边的平方的差可以
定最大角是锐角、直角或钝角．注意:三角形三边关系应满足的为:较小两边的和大于 第三边．
【铺垫】在ABC △中，已知5a =，6b =，7c =，则此三角形是一个 三角形． 【解析】
锐角三角形 c b a >>∵,∴角C 为最大角，2221
cos 025
a b c C ab +-=
=>∴，∴角C 为锐角，∴三角形为锐角三角形
【例4】
判断三角形形状
⑴ 若以34x ，，为三边组成一个直角三角形，则x 的值为 ． ⑵ 若以34x ，，为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为 ． ⑶ 若以34x ，
，为三边组成一个钝角三角形，则x 的取值范围为 ． 【追问】我们还可以考虑，当我们知道三角形两边的情况下，求某一个角的取值范围，例如
下面这个问题：
已知ABC △中，12AB BC ==，，则C ∠的取值范围是________________
⑷ （目标班专用）已知三角形的三边长为三个连续自然数, 且最大角是钝角.求这个三角形三边的长.
【解析】 ⑴ 57
22234x +=或22234x +=．
⑵
)
75
依题意有:22217
434x x x ⎧<<⎪
>⎨⎪+>⎩或22217434x x x ⎧<<⎪⎨⎪+>⎩≤75x <．
⑶ (()1757，∪， 解法一：
依题意有:22217434x x x ⎧<<⎪>⎨⎪+<⎩或22217
434
x x x ⎧<<⎪
⎨⎪+<⎩≤解得57x <<或17x <<．
解法二：
本题也可以由函数的图象来解决，如图，设圆的半径3OA =，
4OB =，圆上任取一点与O B ，两点构成三角形，从图形上看
出，当圆上的点在点D 和点E 上时，构成直角三角形；当点 在DE 上时，构成锐角三角形；当点在AD 和EG 上时，构成 钝角三角形.由此可以很快得出答案. 【追问】π06⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，
⑷设三角形三边的长为：()
12n n n n *++∈N ，，
最大角为α，∴222
(1)(2)cos 2(1)
n n n n n α++-+=+，
∵α是钝角，∴cos 0α<，∴222
(1)(2)02(1)
n n n n n ++-+<+，
2(1)0n n +>∵，∴222(1)(2)0n n n ++-+<
∴2230n n --<，∴13n n *-<<∈N ，
∵，1n =∴或2. 当1n =时，123，，不能构成三角形的三边，故舍去. 当2n =时，234，，即为所求三边的长.
【拓展】⑴钝角三角形的三边分别是12a a a ++，
，，其最大角不超过120，求a 的取值范围. ⑵在ABC △中，若三条边是三条连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，求ABC △的三条边长.
【解析】
⑴∵钝角三角形的三边分别是12a a a ++，，，∴显然有210a a a +>+>>，设钝角三角形 的最大的（内）角为α，依题意，得90120α<≤， 由()()
()
()()()2
2
212313cos 21212a a a a a a a a a a a α++-+-+-=
=
=++，可得13
022a a
--<≤
， G
F
E
D
C
B
A
O
解得33
2
a
⎡⎫
∈⎪
⎢⎣⎭
，
⑵设最小内角为θ，三边长为11
n n n
-+
，，，根据正弦定理得：11
sin sin2
n n
θθ
-+
=，
1
1
2cos
n
n
θ
+
-=
∴，()
1
cos
21
n
n
θ
+
=
-
∴，根据余弦定理得：
()()
()
22
211
cos
21
n n n
n n
θ
++--
=
+
，()
()()
()
22
211
1
2121
n n n
n
n n n
++--
+
=
-+
∴，解得5
n=，从而得ABC
△的三条边分别为456
，，
1.正弦定理灵活应用：
①2sin
a R A
=，2sin
b R B
=，2sin
c R C
=(其中R为ABC
△的外接圆的半径)；
②sin
2
a
A
R
=，sin
2
b
B
R
=，sin
2
c
C
R
=；
③::sin:sin:sin
a b c A B C
=．
2.正余弦定理的综合应用
已知条件应用定理一般解法
一边和两角
（如a B C
，，）正弦定理由
π
A B C
++=，求角A；由正弦定理求出b与c．两边和夹角
（如a b C
，，）
余弦定理
正弦定理
由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角
(此角一定是锐角)；再由π
A B C
++=，求剩下的角.
三边（a b c
，，）余弦定理
正弦定理
由余弦定理求出最大角，然后正弦计算剩余两角．两边和其中一边的对角
（如a b A
，，）
正弦定理
余弦定理
由正弦定理求出角B；由π
A B C
++=，求出角C；再利
用正弦定理或余弦定理求c．
正弦定理可以得到三角形的边与角之间的关系，可以把角全部换成边，也可以把边全部
换成角，【铺垫】就是根据正弦定理把边用角表示，例5是先要根据正弦定理把边角化掉
再根据余弦定理解三角形，此类题型不属于边角互化题型，是正弦定理的灵活运用，边
角互化的题型是比如“2sin
a b A
=”类型的，对于这类题我们放到同步去讲；在讲完正余弦定理的灵活运用后就可以让学生体会一下正余弦定理在平面几何中的应用，因为在同
步的时候不会讲此类题型，所以在预习的时候可以给学生介绍一下，具体见例6和目标
班学案2，而对于三角形中()
sin sin
A B C
+=的应用建议放到同步去讲.
1.3正余弦定理在解三角形中的灵活应用
经典精讲
知识点睛
【铺垫】在ABC △中，若::1:2:3A B C =，则::a b c =______.
【解析】 由已知得306090A B C ===，，
，::sin :sin :sin
1:3:2a b c A B C ==∴
【例5】 正余弦定理的综合运用
⑴在ABC △中，若sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为（ ）
A ．14-
B ．14
C ．23-
D ．23
⑵在ABC △中，若222sin sin sin A B C +<，则角C 为（ ）
A ．锐角
B ．钝角
C ．直角
D ．不确定
【追问】在ABC △中，若cos cos cos a b c
A B C
==
，则ABC △是（ ） A .直角三角形 B .等边三角形
C .钝角三角形
D .等腰直角三角形
⑶（2010天津理7）
在ABC △中，内角A B C ，，
的对边分别为a b c ，，，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =（ ）
A ．30
B ．60
C ．120
D ．150 【解析】
⑴A 根据正弦定理sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c
C R
=，sin :sin :sin ::3:2:4A B C a b c ==∴，
2223241
cos 2324
C +-==-⨯⨯∴
⑵B
222sin sin sin A B C +<∵，∴根据正弦定理得222
a b c +<，222cos 02a b c C ab
+-=<∴，∴角
C 为钝角
【追问】B ⑶A
由sin 23sin C B =，根据正弦定理，得23c b =.所以22236a b bc b -==，即227a b =. 由余弦定理得2223
cos 2b c a A bc +-=
=.所以30A =︒.
【例6】 正余弦定理在平面几何中的应用
⑴ 在平行四边形ABCD 中，3AB =，5BC =，6AC =，求BD
⑵ 在ABC △中，已知4AB =，7AC =，BC 边上的中线7
AD =，那么BC = ．
⑶ （目标班专用）在ABC △中，已知46AB =6
cos ABC ∠=，AC 边上的中线5BD ，
求sin A 的值
【解析】 ⑴如图，在ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，
即2
2
2
635235cos B =+-⋅⋅ ①
在ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅， 即2
2
2
35235cos BD A =+-⋅⋅ ②
①+②得：()
2222
6235BD +=+，即42BD =
D
C
B
A
【点评】由本题可以得出平行四边形定理：平行四边形的对角线平方之和等于四条边长平方之和
⑵解法一：如图：设BD x=，则2
BC x
=，DC x=，
∵π
ADB ADC
∠=-∠,cos cos
ADB ADC
∠=-∠
∴，由余弦定
理，得
22
2222
77
47
22
77
22
22
x x
x x
⎛⎫⎛⎫
+-+-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
=-
⋅⋅⋅⋅
，解得9
2
x=，9
BC=
∴
解法二：由平行四边形定理得：()
2222
247781
BC=+-=，
9
BC=
∴
⑶如图：设E为BC的中点，连接DE，则DE AB
∥，且
126
2
DE AB
==，设BE x
=，在BDE
△中利用余弦定理可得：
2222cos
BD BE ED BE ED BED
=+-⋅∠，
()()6
cos cosπcosπcos
BED DEC ABC ABC
∠=-∠=-∠=-∠=-
∵
2
8266
52
3
x x
=++⨯⨯
∴，解得1
x=或
7
3
x=-（舍），
故2
BC=，从而22228
2cos
3
AC AB BC AB BC ABC
=+-⋅∠=，即
221
AC=,
又30
sin ABC
∠=
∵，故
221
23
sin30
A
=，70
sin A=
∴
【教师备案】因为三角形的面积和正余弦定理关系不是特别紧密，而且到本讲结束，三角形的面积公式已经全部讲完，所以把三角形的面积单独做一个板块，老师可以把所有的三角形面积
公式给学生讲一下.
1.4三角形的面积
知识点睛
D
A
7
2
x
7
4
5
46
3D
C
A
面积公式：()11111sin sin sin 222224a abc
S ah a b c r ab C bc A ac B R ==++====．
其中r 为ABC △内切圆半径，R 为外接圆半径.
【教师备案】在求三角形的面积时，学生印象最深的就是12a ah ，那这个时候老师就可以根据1
2
a ah 推导
其它公式，并且老师可以在这里把三角形的面积公式全部给学生整理一下，但是本讲重
点是介绍1
sin 2
S ab C =类型的三角形面积公式，如果学生的程度很好，老师可以介绍一
下“海伦公式”和圆内接四边形面积公式.
【选讲】海伦公式：()()()S p p a p b p c =---2
a b c
p ++=. 【推导】 ()2
2
2
2222
111
sin 1cos 12224a b c S ab C C ab a b
+-==--()()()22222222222211
42244a b a b c ab a b c ab a b c -+-++---+
()()()()()()22221144a b c c a b a b c a b c a c b b c a ⎡⎤⎡⎤+---+++-+-+-⎣
⎦⎣⎦令()1
2
p a b c =++，则()()()S p p a p b p c =---圆内接四边形面积：()()()()S p a p b p c p d ----2
a b c d
p +++=
. 【推导】由()2
2
2
2
2cos 2cos πa b ab c d cd θθ+-=+--，可得2222
cos 22a b c d ab cd θ+--=+
()
()
2
2
2222222sin 1cos ab cd a b c d θθ+-+---
()()()()
b c d a a c d b a b d c a b c d ++-++-++-++- (){}()11
sin sin πsin 22S ab cd ab cd θθθ=
+-=+ ()()()()
()()()()
14
2222b c d a a c d b a b d c a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d p a p b p c p d ++-++-++-++-++++++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=---- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=
----【教师备案】老师在讲完三角形的面积后就可以让学生做【铺垫】，【铺垫】是直接利用公式求三角形
面积的，例7不能够直接利用公式求三角形面积，需要先看在面积公式中缺少哪些变量，然后再根据题中的已知条件利用正余弦定理求出所需要的变量，最后再利用面积公式就
C
B A b a
D
C B
A
π-θ
θd c
b
a
可以了.第三题放了一道关于圆内接四边形面积的题目，供老师选择使用；例8是已知三
角形面积解三角形，在解题过程中会用到正余弦定理，对于求面积的最大值的问题建议
放到同步，因为在求最大值的问题时大多数要用到均值定理，学生这时候还没学，所以
建议以后再讲.
【铺垫】在ABC
△中，若5
AB=，7
BC=,
33
sin
14
B=，求ABC
△的面积.
【解析】∵5
AB=，7
BC=,33
sin
14
B=，
1133153
sin57
22144
ABC
S AB BC B
=⋅⋅=⨯⨯⨯=
△
∴
【例7】求面积
⑴已知ABC
△，三个内角,,
A B C的对边分别记为a b c
，，，43460
b c B
===︒
，，，求
ABC
S
△
．
⑵已知ABC
△，三个内角,,
A B C的对边分别记为a b c
，，，若234
a b c
===
，，，求
ABC
S
△
．
⑶（目标班专用）已知：四边形ABCD内接于圆O，四边长依次为2,7,6,9，求圆直径. 【解析】⑴分析:三角形的已知条件为常见的SSA型．根据条件有两种思路求三角形的面积:
11
sin sin
22
ABC
S bc A ac B
∆
=⋅=⋅．
所以欲求三角形面积需要先求A或先求a．
方法一:由正弦定理知
sin sin
b c
B C
=，
sin1
sin
2
43
c B
C
b
︒
===，
因为C是三角形的一个内角，故30
C︒
=或150︒，
又60
B︒
=，故30
C︒
=．
180603090
A︒︒︒︒
=--=，从而
1
83
2
ABC
S bc
∆
==．
方法二:由余弦定理得222
cos
2
a c b
B
ac
+-
=，即24320
a a
--=．()()
480
a a
+-=．因为0
a>，所以8
a=．
1
sin83
2
ABC
S ac B
∆
=⋅=．
⑵要求面积，先求一个角，已知三边，可以用余弦定理求一角：
222416911
cos
21616
a c b
B
ac
+-+-
===，
∴2
315
sin1cos
B B
=-=，
经典精讲
∴
113153
sin 241522164
ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=．
⑶ 85.
【铺垫】已知ABC △的三边长分别为a b c ，
，，且面积()2
2214
ABC S b c a =+-△，则A 等于（ ） A ．45 B ．30 C ．120 D ．15
【解析】 A
()2221112cos cos 442ABC S b c a bc A bc A =
+-=⨯=△，又1
sin 2
ABC S bc A =△∵，sin cos A A =∴，45A =∴
【例8】 已知三角形面积解三角形
ABC △中，角A B C ，，
的对边分别为a b c ，，，22sin 3cos C C =，7c =，又ABC △的面积为
33
2
， 求⑴角C 的大小；⑵a b +的值
【解析】
⑴由已知得()
221cos 3cos C C -=，1
cos 2
C =∴或cos 2C =-（舍）， ∴在ABC △中，60C =
⑵133sin 22ABC S ab C ==△∵，133
sin 6022
ab =∴，6ab =∴，
又2222cos c a b ab C =+-∵，()
2
227
2cos a b ab C =+-∴
，
227a b ab +-=∴，2213a b +=∴， 222255a b a b ab +=++==∴
【演练1】 （2010北京卷文理10）在ABC △中，若2π
133
b c C ==∠=，，，则________a = 【解析】
1 方法一: 由余弦定理222
cos 2a b c C ab
+-=得， 220a a +-=．∵0a >，∴1a =．
方法二: 由正弦定理sin sin b c B C =得，1sin 2B =，π6B =或5
π6
，又因为b c <，即B C <， 所以π6B =，∴2ππ
ππ366
A =--=．∴1a b ==．
实战演练
【演练2】 在ABC △中，角A B C ，，
的对边分别为a b c ，，，若()
222tan 3a c b B ac +-，则角B 的值为（ ）．
A ． π6
B ． π3
C ．π6或5π6
D ． π3或2π3
【解析】
D 由余弦定理2222cos a c b ac B +-=及()
222
tan 3a c b B ac +-得， 3sin B =
． 所以π3B =
或
2π
3
．
【演练3】 在ABC △中，已知222sin sin sin 3sin sin B C A A C --，则角B 的大小为（ ）
A ．150︒
B ．30︒
C ．120︒
D ．60︒ 【解析】
A 由222sin sin sin 3sin sin
B
C A A C --=及正弦定理可得2223b c a ac --=
即得2223
cos 2a c b B ac +-==，∴150B =︒．
【演练4】 在ABC △中，角A B C ，，
所对的边分别是a b c ，，，1tan 2A =，310
cos B = 若ABC △最长的边为1，则最短边的长为（ ）．
A 25
B 35
C 45
D 5 【解析】
D 由310
cos B =B 为锐角，
∴1tan 3B =，故()()tan tan πtan C A B A B =--=-+tan tan 11tan tan A B
A B
+=-
=--⋅①， 由①知135C ∠=︒，故c 边最长，即1c =，又tan tan A B >，故b 边最短，
∵10sin B =
，2
sin C =sin sin b c B C =， ∴sin 5sin c B b C =5．
【演练5】
（2011西城一模文15） 设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且4
cos 5
B =
，2b =． ⑴ 当30A =︒时，求a 的值；
⑵ 当ABC △的面积为3时，求a c +的值．
【解析】 ⑴ 因为4cos 5
B =，所以3
sin 5B =，
由正弦定理sin sin a b A B =，可得10sin303a =︒，所以5
3
a =．
⑵ 因为ABC △的面积1sin 2S ac B =，3
sin 5
B =，
所以3
310
ac =，10ac =．
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，
得22228
4165
a c ac a c =+-=+-，即2220a c +=．
所以2()220a c ac +-=，2()40a c +=，
所以，210a c +=．
1.正弦定理公式 ；余弦定理公式22a b +- = .
2.三角形面积公式S = .
盲人数学家——欧拉
1783年9月18日，法国人蒙高尔费兄弟举行了第二次热气球升空试验。

当天下午，在俄国圣彼得堡，一位盲老人邀请好友聚餐，庆祝他计算的气球升空公式得到证明。

饭后，他躲开众人又去计算天王星运行轨道，突然他手中的烟斗跌落地上，老人合拢了双眼，再也没有醒来。

这位为人类科学事业奋斗到最后一息的盲人，就是欧洲著名数学家，瑞士人欧拉(1707—1783)。

欧拉诞生在瑞士名城巴塞尔，从小着迷数学。

他13岁就进了巴塞尔大学，功课门门优秀。

17岁时，他成为这所大学有史以来最年轻的硕士。

18岁开始发表论文，19岁时写的论船桅的论文获巴黎科学院奖金。

1727年，欧拉应聘到俄国圣彼得堡科学院工作，1733年26岁时升为副教授和数学部负责人。

由于工作繁忙，生活条件不良，他28岁时右眼失明。

1741—1766年，欧拉应柏林科学院的邀请，为普鲁士王国工作了25年。

1766年，俄国女皇叶卡捷琳娜二世亲自出面恳请欧拉重返彼得堡。

欧拉的工作条件虽然大为改善，但工作强度超出了他的体力，劳累过度使他的左眼也失明了。

接着又遭火灾，大部分藏书和手稿化为灰烬。

但欧拉并没有屈服，他说：“如果命运是块顽石，我就化作大锤，将它砸得粉碎!”大火过后，欧拉又与衰老和黑暗拼博了17年，他通过与助手们的讨论，以及口授等方式，完成了大量科学论文和著作，直至生命的最后一刻。

欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面都取得了辉煌的成就。

在数学的各个领域，常常见到以欧拉名字命名的公式、定理和重要常数。

在数学课本上Σ(求和号)、sin 、cos(三角函数符号)等都是他创立并推广的。

哥德巴赫猜想也是在他与哥德巴赫的通信中提出来的。

欧拉还首先完成了
概念要点回顾
月球绕地球运动的精确理论，创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化了望远镜、显微镜的设计计算理论。

欧拉一生能取得伟大的成就原因在于：惊人的记忆力；聚精会神，从不受喧闹的干扰，镇静自若，孜孜不倦。