巧记和差与积互化公式1

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和差化积与积化和差公式、万能公式(数学技巧点拨系列)讲义(教师版)

和差化积与积化和差公式、万能公式【知识点讲解】1、积化和差公式cos α·cos β＝12[]cosα＋β＋cosα－β；sin α·sin β＝－12[]cosα＋β－cosα－β；sin α·cos β＝12[]sinα＋β＋sinα－β；cos α·sin β＝12[]sinα＋β－sinα－β．2、和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cosα－β2；sin α－sin β＝2cos α＋β2sinα－β2；cos α＋cos β＝2cos α＋β2cosα－β2；cos α－cos β＝－2sin α＋β2sinα－β2．3、万能公式sin α＝2tanα21＋tan2α2；cos α＝1－tan2α21＋tan2α2；tan α＝2tanα21－tan2α2．4、解题导语使用这类公式时首先要确保公式记忆正确，其实在记忆时记住关键结构再比较各种公式的不同即可有效记忆。

同时，在实际应用中要考虑两角和、两角差是否为一个特殊值再进行使用，不要盲目使用！【例题讲解】【例1】已知cos cos cos 1cos cos αβθαβ-=-.求证：222tan tan cot 222θαβ=.【分析】由21cos 1s a o t c n 2θθθ-+=，结合万能公式化简可得结果.【详解】2cos cos 11cos 1cos cos cos cos 1cos 11cos c n os ta 2αβθαβαβθβθα----+-==-+()()()()221cos 1cos tan cot 1cos 1cos 22αβαβαβ-+==+-. 【跟踪训练1】已知6tan 2αβ+=13tan tan 7αβ=，求()cos αβ-的值．【答案】23【分析】先用万能公式求出()cos αβ+的值，再根据13tan tan 7αβ=得出7sin sin 13cos cos 0αβαβ-=，最后联立可求得答案.【详解】()2222611tan12cos 561tan 12αβαβαβ+--⎝⎭+===-+++⎝⎭，则有1cos cos sin sin 5αβαβ-=-①，又已知sin sin 13cos cos 7αβαβ⋅=，从而有7sin sin 13cos cos 0αβαβ-=②．联立①②可得cos cos 730αβ=，13sin sin 30αβ=． ∴()2cos cos cos sin sin 3αβαβαβ-=+=．【例2】计算：(1)cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°； (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 【答案】(1)12 (2)14【分析】（1）利用和差化积公式计算；（2）利用积化和差公式计算. 【解析】(1)原式＝cos 20°＋12＋(cos 100°＋cos 140°) ＝cos 20°＋12＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋12－cos 20°＝12. (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°)＝14－12sin 50°＋12cos 40°＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14.【跟踪训练2】利用和差化积公式，求下列各式的值： (1)sin15sin105︒+︒； (2)sin20sin40sin80︒+︒-︒； (3)cos40cos60cos80cos160︒+︒+︒+︒．【答案】62(2)0； (3)12. 【分析】(1)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算得解. (2)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答. (3)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答. 【解析】(1)1510515105326sin15sin1052sincos 2sin 60cos(45)22222+-︒+︒==-=⨯=(2)sin20sin40sin802sin30cos10cos10cos10cos100︒+︒-︒=-=-=. (3)1cos40cos60cos80cos160(cos40cos80)cos202︒+︒+︒+︒=︒+︒+-︒1112cos60cos20cos20cos20cos20222=︒︒+-︒=︒+-︒=.【对点训练】一、单选题1．已知[0,],,44ππαπβ⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦，且33cos 0,22sin cos 02πααλβββλ⎛⎫--=---= ⎪⎝⎭，若4cos 5α=，则tan β=（）A ．12 B ．13C 3D ．3【答案】A【详解】[0α∈，]π，[,]44ππβ∈-，且3cos 0ααλ--=，设3()cos f x x x λ=--，则2()3sin 0f x xα'=+，故函数()f x 在[0，]π上单调递增，且α是()f x 的一个零点．3(2)2sin cos02πβββλ---=，即3(2)cos(2)022ππββλ----=．根据2[02πβ-∈，]π，故22πβ-也是()f x的一个零点，22παβ∴=-，cos cos(22παβ∴=-2222sin cos2tan4)sin2sin cos tan15βββββββ====++，1tan2β∴=，或tan2β=（舍去），2．若tan3α=，则sin2α=（）A．35B．35C．34-D．34【答案】A【详解】222222222sin cos2sin cos2tan233cossin22sin cossin cossin cos tan1315cosααααααααααααααα⨯======++++.3．已知角θ的大小如图所示，则1sin2cos2θθ+=（）A．5-B．5C．15-D．15【答案】A【详解】由图可知，tan54πθ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，()()()22222cos sin1sin2sin cos2sin cos cos sincos2cos sin cos sin cos sin cos sinθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+++++ ===--+-tan tan1tan4tan51tan41tan tan4πθθπθπθθ++⎛⎫===+=-⎪-⎝⎭-；4．cos15° sin 105°=（）A312B312C 3D 31 【答案】A 【详解】1113131cos15sin105sin 15105sin 15105sin120sin 90122222[()()][()]︒︒=︒+︒-︒-︒=︒--︒=⨯= 5．若1cos cos sin sin 2x y x y +=， 2sin 2sin 23x y +=，则()sin +=x y （） A ．23 B ．23- C ．13D ．13-【答案】A【详解】因为1cos cos sin sin 2x y x y +=，所以()1cos 2-=x y ，因为2sin 2sin 23x y +=，所以()()22sin cos 3+-=x y x y ，所以()122sin 23+⨯=x y ，所以()2sin 3+=x y ， 6．已知锐角,αβ满足22,tan tan 2332πααββ+==()sin βα-=（） A ．12 B 3C 62- D 62+【答案】C【详解】由223παβ+=得23απβ+=，所以tantan 2tan 321tan tan 2αβαβαβ+⎛⎫+== ⎪⎝⎭- 又tantan 232αβ=tantan 332αβ+=由tan tan 332tan tan 232αβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得tan 232tan 1αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或tan 12tan 23αβ⎧=⎪⎨⎪=⎩α不是锐角），tan 1β=，β是锐角，4πβ⇒=，2sin cos 2ββ==222tan2(23)12sin 21(23)1tan2ααα-===+-+，则3cos α=所以232162sin()sin cos cossin 2βαβαα--=-== 7．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos αα=，则cos2α的值为（）A ．35B ．12-C ．0D ．35【答案】D 【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos αα=，所以cos 0α≠且22sin cos cos ααα=，解得1tan 2α=，所以2222111tan 34cos 2cos sin 11tan 514ααααα--=-===++. 二、多选题8．下列关系式中，正确的是（）A ．sin5sin32sin4cos θθθθ+=B ．cos3cos52sin4sin θθθθ-=-C ．1sin3sin5cos4cos 2θθθθ-=- D ．()()1sin ?sin cos cos 2θαθαθα⎡⎤=--+⎣⎦【答案】AD【详解】由()sin5sin 4sin4cos cos4sin θθθθθθθ=+=+，()sin3sin 4sin4cos cos4sin θθθθθθθ=-=-， ()cos5cos 4cos4cos sin4sin θθθθθθθ=+=-， ()cos3cos 4cos4cos sin4sin θθθθθθθ=-=+，代入前三项，得sin5sin32sin4cos θθθθ+=，A 正确， B 错误，右边应是2sin4sin ;θθ C 错误，右边应是2cos4sin ;θθ-选项D ，等号右边()()1cos cos 2θαθα⎡⎤=-+--⎣⎦()()1cos cos sin sin cos cos sin sin 2θαθαθαθα⎡⎤=---+⎣⎦ ()12sin sin sin sin 2θαθα=--=，故选项D 正确，三、填空题9．已知α为锐角且tan 23tan 4απα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是________．【答案】35或-0.6 【详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-. 因为α为锐角，故tan 2α=.222222cos 2cos sin 1tan 143sin 2cos 221cos sin 1tan 145πααααααααα---⎛⎫+======- ⎪+++⎝⎭10．π3π5πcos cos cos 777++=____．【答案】12或 0.5 【详解】原式1πππ3ππ5π(2sin cos 2sin cos 2sin cos )π7777772sin 7=++ 12π4π2π6π4π[sin(sin sin )(sin sin )]π777772sin7=+-+- 6πsin7π2sin7=ππsin(π)sin 177ππ22sin 2sin 77-===. 11．若sin 11cos 2αα=+，则sin cos αα+的值为________.【答案】75【详解】解：∴sin 1tan 1cos 22ααα==+， ∴222112tan1tan 2172224sin cos 151tan 1tan 1224αααααα-⨯+-+=+==+++. 12．已知tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ=______.【答案】35-. 【详解】令4παθ=-，则4πθα=+，且tan 3α=，所以()2222232sin cos 2tan 3cos 2cos 2sin 22sin cos tan 1315παααθααααα-⨯--⎛⎫=+=-====- ⎪+++⎝⎭.13．已知()tan π2θ+=，则πsin 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】210【详解】因为()tan π2θ+=，由诱导公式得：()tan πtan 2θθ+== 所以2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===++．222222cos sin cos 21tan 1431tan 14os sin 5c θθθθθθθ-==-+++-==-，ππ42322sin 2sin 2cos cos 2sin 444551π220θθθ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．14．已知613tan()tan tan ,27αβαβ+=则cos()αβ-的值为______. 【答案】23【详解】1sin sin 132tan tan 1cos cos 7(cos()cos()]2αβαβαβαβαβ===-++，所以10cos()cos()3αβαβ-=-+， 222261tan 1(122cos()561tan 1()2αβαβαβ+--+===-+++，所以1012cos()()353αβ-=-⨯-=． 15．利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：已知1210sin sin 21ωω+=，126cos cos 21ωω+=，则2121cos cos sin sin ωωωω-=-___________.【答案】53- 【详解】1212121212121210sin sin sin sin 2sincos 22222221ωωωωωωωωωωωωωω+-+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得12125sin cos 2221ωωωω+-=；121212*********cos cos cos cos 2cos cos 22222221ωωωωωωωωωωωωωω+-+-+-⎛⎫⎛⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得12123cos cos 2221ωωωω+-=；则1212121212sin cos 522tan 23cos cos 22ωωωωωωωωωω+-+==+-；12121212211212121221cos cos cos cos 2222sin sin sin sin 2222ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω+-+-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=+-+--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12121212122sinsin522tan 232cos sin 22ωωωωωωωωωω+-+==-=-+--.16．2sin 20cos80cos40+= _____．【答案】14或0.25 【详解】()222111sin 20cos80cos40sin 20cos120cos40sin 20cos40224+=++=+- ()2211sin 202cos 20124=+-- 11124=-- 14=．四、双空题17．已知角θ的终边在直线20x y -=上，则tan θ=___________；3cos 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________. 【答案】 12或0.545或0.8 【详解】由直线20x y -=的斜率为12，则1tan 2θ=，又232tan 4cos 2sin221tan 5πθθθθ⎛⎫+===⎪+⎝⎭. 18．已知sin α＋sin β＝12，cos α＋cos β＝13，则tan(α＋β)＝________，cos(α－β)＝________.【答案】 125-或 2.4- 5972-【详解】sin sin sin sin 2222αβαβαββααβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin sin coscossin22222222αβαβαβαβαββααββα+-+-+-+-=+++1sincossin cos22222αβαβαββα+-+-=+=，即12sincos222αβαβ+-=①，cos cos cos cos 2222αβαβαββααβ+-+-⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos cos sin sin cos cos sin sin22222222αβαβαβαβαββααββα+-+-+-+-=-+-1coscoscos cos22223αβαβαββα+-+-=+=，即12coscos223αβαβ+-=②， ①②两式相除得3tan22αβ+=，则232tan21222tan()951tan 124αβαβαβ+⨯+===-+--； ()2221sin sin sin sin 2sin sin 4αβαβαβ+=++=， ()2221cos cos cos cos 2cos cos 9αβαβαβ+=++=，两式相加可得()1322cos 36αβ+-=， ()59cos cos cos sin sin 72αβαβαβ-=+=-. 五、解答题19．把下列各式化成积的形式：(1)sin 24sin36+︒︒；(2)()()sin 15sin 15αα︒+-︒-； (3)cos cos3x x +；(4)cos cos22αβαβ+--．【答案】(1)cos6︒62α+(3)2cos2cos x x (4)2sin sin 22αβ-【解析】(1)解：()s s 2in 24364362sinco 2sin 30cos 6cos6224sin 236︒+︒︒-︒︒︒==︒-︒=+︒ (2)解：()()()()()()15151515sin 15sin 152cossin 22αααααα︒++︒-︒+-︒-︒+-︒-=()622cos15sin 2cos 4530sin ααα+=︒=︒-︒=；(3)解：()32cos cos32cos cos 2cos 2cos 2cos 2cos 22x x x x x x x x x x +-+==-=； (4)解：2222cos cos 2sin sin 2222αβαβαβαβαβαβ+-+-+-+--=-2sin sin 22αβ=-.20．利用积化和差公式，求下列各式的值：(1)cos15cos75︒︒；(2)sin20sin40sin80︒︒︒．【答案】(1)143【解析】(1)解：由积化和差公式得：cos15cos75︒︒ ，()()1cos 1575+cos 15752=︒+︒︒-︒⎡⎤⎣⎦ 1cos90+cos602⎡⎤=⎣⎦14=； (2)由积化和差公式得：sin20sin40sin80︒︒︒，()()1cos 2040cos 2040sin802⎡⎤=-︒+--︒︒⎣⎦， 11sin80sin80cos 2042=-︒+， ()111sin80sin100sin 60422=-︒+⨯+， 113sin 80sin 8044=-︒+︒3= 21．计算:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°. 【答案】14【详解】sin 20cos70sin10sin50⋅+⋅()()()()11sin 2070sin 2070cos 1050cos 105022⎡⎤⎡⎤=++-+--+⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022=-+- 111sin 50cos 40422=-+ 1111sin 50sin 504224=-+=．证明下列各恒等式：22．ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 23．1sin 20cos70sin10sin 504+=；24．1sin15sin 30sin 758=．【解析】(1)ππππ2sin sin 2sin sin 44244παααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ πππ2cos sin sin 2cos 2442αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立. (2)sin 20cos70sin10sin50+()()()()11sin 2070sin 2070cos 1050cos 105022⎡⎤⎡⎤=++-+--+⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022⎡⎤⎡⎤=+-+--⎣⎦⎣⎦ ()()11sin 90sin 50cos 40cos6022=-+- 11111sin 50cos 4022222=-+-⨯ 1111sin 50sin 504224=-+=，故1sin 20cos70sin10sin 504+=成立.(3)1sin15sin 30sin 75sin15sin 752=()11sin15sin 9015sin15cos1522=-= 111sin 30228=⨯=，故1sin15sin 30sin 758=.25．把下列各式化为积的形式： (1)sin18cos 27+；(2)sin50cos50-；(3)ππcos cos 33αα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (4)sin cos x x +．【答案】(1)2sin 40.5cos 22.5(2)2cos 45sin5(3)π2cos cos 3α (4)2sin cos()44x ππ- 【解析】 (1)18636318sin18cos 27sin18sin 632sin cos 2sin 40.5cos 22.522+-+=+== (2)500500s 442cos sin 2cos 4c 5sin in 50os50sin 50s 52in 024+-===-- (3)ππππ()πππ3333cos cos 2cos cos 2cos cos 33223ααααααα++-+--⎛⎫⎛⎫++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)()()22sin cos sin sin()2sin cos 2sin cos()22244x x x x x x x x x πππππ+---+=+-==-。

备战小升初：小升初数学公式记忆口诀知识点总结

备战小升初：小升初数学公式记忆口诀知识点总结小升初考试是小学生面临的第一次重要的考试，它关系到小学生是否可以接受更好的初等教育。

为了帮助小学生更好的做好小升初的复习备考，小升初频道为大家准备了小升初数学公式记忆口诀，希望大家在小升初的备考过程中有所参考! 备战小升初：小升初数学公式记忆口诀数学公式口诀：和差化积公式和差化积公式和差化积需同名，变量置换要记清;假若函数不同名，互余角度换名称。

简记为：S+S=2SCS-S=2CSC+C=2CCC-C=-2SS数学公式口诀：三倍角正弦与余弦函数公式三倍角正弦与余弦函数公式三倍角正弦：3减43。

三倍角余弦：43减3。

系数后面很好记，都是单角的同名函数。

公式：sin3=3sin-4sin3。

cos3=4cos3-3cos。

数学公式口诀：通过正六边形记三角公式记忆三角公式，有一张图形会对我们有所帮助：在这个六边形中，位于对角线两端的两项乘积均为1，即：tgctg=1，sincsc=1，cossec=1，共三个公式。

画有格线的三角形中，肩上两角两项的平方和等于下面一项的平方，即sin2+cos2=1，ctg2+1=csc2，tg2+1=sec2，共三个公式。

相邻三个顶点的外项乘积等于中间一项，即：sin=costg，cos=sinctg，tg=sinsec共六个公式。

该图形中，正弦、正切、正割依次位于六边形右侧，而余弦、余切、余割位于左侧，易于记住。

记住一个图形即可记起十几个公式，确是一种经济省力的记忆方法。

数学公式口诀：记忆诱导公式记忆诱导公式关于180，360，-的诱导公式口诀为：函数名不变，符号看象限。

关于90，270的诱导公式口诀为：函数名改变，符号看象限。

说明，①不管是什么样的角，都把它看作锐角来确定诱导公式中角所在的象限，从而确定它的符号。

②符号的确定，是由原来函数的角所在象限决定的。

③函数名改变，指正弦、余弦互变，正切、余切互变，正割、余割互变。

积化和差和差化积

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
对于积化合差公式来说首要的原则是等号左边的若异名等号右边全是sin等号左边同名等号右边全是cos积化Biblioteka 差和差化积积化和差和差化积
积化和差和差化积公式口诀：口口之和仍口口，赛赛之和赛口留，口口之差负赛赛，赛赛之差口赛收。和差化积就是相反的过程。对于积化合差公式来说，首要的原则是，等号左边的若异名，等号右边全是sin，等号左边同名，等号右边全是cos。
1、积化和差
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
2、和差化积
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

三角函数和差积公式的记忆口诀

三角函数和差积公式的记忆口诀三角函数和差积公式的记忆口诀一、两角和与差的正余弦公式记忆正弦异名加一起，sin(a+b)=sinacosb+cosasinb余弦同名加减异，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb前面是a后面b二、积化和差与和差化积公式记忆积化和差公式：sinα?cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 前正后余正弦加cosα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 前余后正正弦差cosα?cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 余余得值余弦加sinα?sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 全正变号余弦差和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 正弦加正弦正弦在前面sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 正弦减正弦余弦在前面cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 余弦加余弦全都是余弦cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 余弦减余弦变号改正弦记忆数学知识点的诀窍1归类记忆法就是根据识记材料的性质、特征及其内在联系，进行归纳分类，以便帮助学生记忆大量的知识。

比如，学完计量单位后，可以把学过的所有内容归纳为五类：长度单位;面积单位;体积和容积单位;重量单位;时间单位。

这样归类，能够把纷纭复杂的事物系统化、条理化，易于记忆。

2歌诀记忆法就是把要记忆的数学知识编成歌谣、口诀或顺口溜，从而便于记忆。

比如，量角的方法，就可编出这样几句歌诀：“量角器放角上，中心对准顶点，零线对着一边，另一边看度数。

”再如，小数点位置移动引起数的大小变化，“小数点请你跟我走，走路先要找准‘左’和‘右’;横撇带口是个you，扩大向you走走走;横撇加个zuo，缩小向zuo走走走;十倍走一步百倍两步走，数位不够找‘0’拉拉钩。

和差化积公式顺口溜

和差化积公式顺口溜
1. 正弦加正弦，两角和除二在前，同名乘余弦，和差化积真简单。

2. 正弦减正弦，差除二后余弦连，就像火车跑专线，和差化积有妙言。

3. 余弦加余弦，相加之半乘余弦，好似双侠把手牵，和差化积不犯难。

4. 余弦减余弦，负的半差正弦填，仿佛魔术大转变，和差化积记心间。

5. 正弦和正弦，和化积来像乘船，两角和半余弦揽，公式牢记乐无边。

6. 正弦差正弦，差化积像爬高山，半差余弦来作伴，数学高峰咱敢攀。

7. 余弦加余弦，化积如同织锦缎，两角和半乘余弦，美妙公式金光灿。

8. 余弦减余弦，差化积像翻山涧，半差正弦要出现，数学之海任我转。

9. 正弦加正弦，两角和半像领班，余弦跟着来作伴，和差化积很舒坦。

10. 正弦减正弦，半差余弦像大仙，一施魔法就化完，和差化积不费难。

11. 余弦加余弦，两角和半是关键，乘个余弦就化完，和差化积似闪电。

12. 余弦减余弦，半差正弦来掌权，化积就像魔法演，数学公式真好玩。

13. 正弦和正弦，就像兄弟把手挽，两角和半余弦管，和差化积不再乱。

14. 正弦差正弦，差化积像开飞船，半差余弦来值班，数学天空任我旋。

15. 余弦加余弦，化积好比聚财源，两角和半乘余弦，和差化积乐颠颠。

16. 余弦减余弦，半差正弦来开篇，犹如神兵降人间，和差化积一瞬间。

17. 正弦加正弦，两角和半似航船，余弦相伴稳稳安，和差化积不犯嫌。

18. 正弦减正弦，半差余弦像利剑，斩断难题化积完，和差化积很酷炫。

积化和差与和差化积记忆口诀

积化和差与和差化积记忆口诀嘿，大家好！今天咱们聊聊一个数学里的小秘密，听起来有点高深，其实就像吃糖一样简单。

没错，就是“积化和差与和差化积”的那些个事儿。

这名字听着就让人觉得有点深奥，但别担心，咱们一起来捋一捋，保证你听了就能笑着记住。

咱得明白什么叫“积化和差”。

想象一下，咱们把两个数字相乘，这就叫“积”。

然后再想想把这两个数字加在一起，或者减去一个，嗯，这就是“和差”了。

这时候，有个小妙招出现了！如果你看到“a+b”和“ab”，那就可以直接把它变成“a²b²”。

是不是很神奇？就好像魔法一样，嘭！一眨眼的功夫，数学问题就解决了！要是有人问你这怎么算的，你可以用“只需记住这句话，积化和差，简单又好用！”来打发他们。

然后说到“和差化积”，这可也是一招绝活啊！就拿“a+b”和“ab”来举个例子，咱们可以把它们转换成“(a+b)²(ab)²”，再把这个推导展开，嘿，就是“4ab”了。

这玩意儿有点像玩拼图，把不同的块拼在一起，最后露出个完整的图案。

你看，这数学就像玩乐高，拼拼搭搭，最后出来的东西也是个大作品呢！只要把这口诀记牢，想做什么都不怕。

背口诀可不光是为了应付考试，更是为了在生活中也能灵活运用。

想想看，生活中你总会遇到一些难题，比如说买东西的时候，搞不清楚折扣怎么算。

这时候如果你能把这些数学小技巧用上，那可真是事半功倍啊！就像你在超市看到“买一送一”，立马心里就能算出自己到底能省多少钱。

说到这，估计有不少人都是一到打折季就跟开了挂一样，脑子里飞快地运算。

咱得再说说记口诀的乐趣。

记口诀就像是在学一门绝活，越练越熟，心里就会越来越有底。

就像打游戏，刚开始手生，但玩着玩着你就能随意按键，连招打得飞起！同样的道理，记住了“积化和差与和差化积”，下次遇到问题时，脑子里就会自动闪现出那些小口诀，简直像是一个小超能力，随时待命，特别帅气。

别忘了分享这份小秘密！朋友们之间互相交流，学来学去，气氛一下就热起来了。

积化和差公式口诀

积化和差公式口诀积化和差公式，是数学中的基本公式之一，用于计算两个数的积、和、差，是学习数学的必备技能之一。

本文将为读者介绍积化和差公式的口诀，帮助大家更好地掌握这一知识点。

一、积化和差公式的定义积化和差公式是指：对于任意两个实数 a 和 b，有如下公式： a×b = (a+b)×(a-b)+a2-b2其中 a2 和 b2 分别表示 a 和 b 的平方。

二、积化和差公式的口诀为了帮助大家更好地记忆积化和差公式，我们可以使用下面的口诀：一正一负积化和差，平方相减最后加。

这个口诀的意思是：当两个数一正一负时，可以将它们的积化成它们的和与差的平方相减，最后再加上它们的平方。

三、积化和差公式的应用积化和差公式在数学中应用广泛，主要用于解决以下问题：1. 计算两个数的积当我们需要计算两个数的积时，可以直接使用积化和差公式。

例如，计算 3×4 的积，可以使用公式：3×4 = (3+4)×(3-4)+32-42 = -12. 计算两个数的和当我们需要计算两个数的和时，可以使用积化和差公式的反向思维。

例如，计算 3+4 的和，可以使用公式：3+4 = (3×4+32-42)÷(3-4) = -13. 计算两个数的差当我们需要计算两个数的差时，可以同样使用积化和差公式的反向思维。

例如，计算 3-4 的差，可以使用公式：3-4 = (3×4+32-42)÷(3+4) = -1/7四、积化和差公式的练习为了更好地掌握积化和差公式，我们可以进行一些练习。

下面是一些练习题：1. 计算 2×(-3) 的积。

答案：2×(-3) = (2-3)×(2+3)+22-32 = -62. 计算 5+(-7) 的和。

答案：5+(-7) = (5×(-7)+52-(-72))÷(5-(-7)) = -1/63. 计算 8-(-6) 的差。

和差化积公式记忆口诀

和差化积公式记忆口诀
和差化积公式记忆口诀：积化和差得和差，余弦在后要相加，异名函数取正弦，正弦正弦负一下。

和差化积二倍半，和前函数名不变，余弦稳，正弦跳，余弦相减取负号。

和差化积公式：包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式，和差化积公式共10组。

在应用和差化积时，必须是一次同名（正切和余切除外）三角函数方可实行。

若是异名，必须用诱导公式化为同名。

若是高次函数，必须用降幂公式降为一次。

积化和差和差化积公式的记忆

和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。

结果乘以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。

sin和cos的值域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2]，因此乘以2是必须的。

也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β) =[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)] =2sinαsinβ 故最后需要乘以2。

只有同名三角函数能和差化积无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。

这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。

乘积项中的角要除以2在和差化积公式的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，才能够展开。

熟知要使两个角的和、差分别等于α和β，这两个角应该是(α+β)/2和(α-β)/2，也就是乘积项中角的形式。

注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同；而只有和差化积公式中有“乘以2”。

使用哪两种三角函数的积这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差角”(α-β)/2的三角函数名。

是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。

注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。

所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积。

(α-β)/2的三角函数名规律为：和化为积时，以cos(α-β)/2的形式出现；反之，以sin(α-β)/2的形式出现。

由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。

如果要使和化为积，那么α和β调换位置对结果没有影响，也就是若把(α-β)/2替换为(β-α)/2，结果应当是一样的，从而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2；另一种情况可以类似说明。

常用数学和差化积公式口诀.doc

常用数学和差化积公式口诀
小学生想要学好数学，做题是最好的办法，但想要奏效，还得靠自己的积累。

多做些典型题，并记住一些题的解题方法。

以下是小学频道为大家提供的数学和差化积公式口诀，供大家复习时使用！
和差化积公式
和差化积需同名，
变量置换要记清;
假若函数不同名，
互余角度换名称。

简记为：
S+S=2S·C
S-S=2C·S
C+C=2C·C
C-C=-2S·S
科学的学习方法和合理的复习资料能帮助大家更好的学好数学这门课程。

希望为大家准备的数学和差化积公式口诀，对大家有所帮助！。

和差与积互化

§3-4 和差與積互化(1)積化為和差由正餘弦的和角公式：sin(α+β)=sinα cosβ +cosα sinβ……①sin(α-β)=sinα cosβ-cosα sinβ……②cos(α-β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ③cos(α+β)=cosα⋅cosβ-sinα⋅sinβ…….④可得出：① +②⇒ 2⋅sinα⋅cosβ = sin(α+β)+sin(α-β)①-②⇒ 2⋅cosα⋅sinβ = sin(α+β)-sin(α-β)③ +④⇒ 2⋅cosα⋅cosβ = cos(α-β)+cos(α+β)③-④⇒ 2sinα⋅sinβ = cos(α-β)-cos(α+β)例如：將下列三角函數的乘積，化成三角函數的和差sin82.5︒cos37.5︒= 12(sin120︒+sin45︒)=12[sin120︒-sin(-45︒)]cos82.5︒sin37.5︒=12( sin120︒-sin45︒)=12[sin120︒+sin(-45︒)]cos與sin相乘如果sinθ的角度比cos的角度大，適合用公式(a) cos與sin相乘如果sinθ的角度比cos的角度小，適合用公式(b)cos23︒cos37︒=12[cos60︒+cos(-14︒)]=12( cos60︒+cos14︒)sin23︒sin37︒=12[cos(-14︒)-cos60︒]=12[cos14︒-cos60︒]cos與cos相乘一定是cos+cos角度兩個相加、兩個相減。

sin 與sin 相乘一定是cos -cos 角度(兩個相減)減去(兩個相加)。

(2)和差化為積想法：任何兩角x ,y 一定可以找到二數α,β使得⎩⎨⎧α+β=x α-β=y ，此時α=x +y 2 、β=x -y2，代入積化為和的關係式中，可得(注意此式中有負號)例如：sin110︒+sin10︒=2sin60︒cos50︒sin110︒-sin10︒=2cos60︒sin50︒cos110︒+cos10︒=2cos60︒cos50︒cos110︒-cos10︒= -2sin60︒sin50︒上面的公式，角度的原則都是(前+後)/2，(前-後)/2。

三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法) (1)

其他的3个式子也是相同的证明方法。
结果除以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：
cos(α-β)-cos(α+β)
=1/2[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]
=2sinα·sinβ
故最后需要除以2。
使用同名三角函数的和差
无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。
设α+β=θ，α-β=φ
那么，
把α，β的值代入，即得
sinθ+sinφ=2sin cos
正切和差化积
tanα±tanβ=
cotα±cotβ=
tanα+cotβ=
tanα-cotβ=
证明：左边=tanα±tanβ=
=
= =右边
在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次
和差化积和积化和差公式
正弦、余弦的和差化积
【注意右式前的负号】
证明过程sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，

和差化积的顺口溜

和差化积的顺口溜是“和差积化和，差和积差化，千变万化只等闲”。

这个顺口溜可以帮助记忆和差化积的公式。

具体来说，对于任意两个数a和b，他们的和与差的积可以化简为(a+b)(a-b)，这个公式在数学中经常用到。

此外，这个顺口溜还可以帮助理解数学中的一些概念和技巧。

例如，通过观察和差化积的公式，我们可以发现它与平方差公式类似，都是通过将两个数的和与差的积进行化简来得到结果。

同时，这个顺口溜也可以帮助我们更好地记忆一些数学公式和概念。

例如，当我们需要计算两个数的和与差的积时，我们可以直接使用这个顺口溜来找到正确的公式，而不需要再费力去记忆其他的公式或概念。

总之，这个顺口溜可以帮助我们更好地理解和记忆数学中的一些概念和技巧，提高我们的数学素养和解题能力。

三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)

三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1和差化积和积化和差公式正弦、余弦的和差化积 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-⋅+=+ 2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-⋅+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-⋅+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-⋅+-=- 【注意右式前的负号】使用同名三角函数的和差无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。

使用哪种三角函数的和差仍然要根据证明记忆。

注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。

所以反过来，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。

是和还是差这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。

规律为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。

由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。

如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β和α-β的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。

正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号这是一个特殊情况，完全可以死记下来。

当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。

因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。

但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。

三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)

和差化积和积化和差公式之阿布丰王创作正弦、余弦的和差化积2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-⋅+-=- 【注意右式前的负号】也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β)=1/2[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]=2sinα·sinβ故最后需要除以2。

使用同名三角函数的和差无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。

这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都分歧，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。

使用哪种三角函数的和差仍然要根据证明记忆。

注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。

所以反过来，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。

是和还是差？这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。

规律为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。

由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。

正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号这是一个特殊情况，完全可以死记下来。

当然，也有其他方法可以帮忙这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。

因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。

但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。

3秒钟记住积化和差公式口诀

3秒钟记住积化和差公式口诀积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。

可以通过展开角的和差恒等式的手段来证明。

无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。

和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。

如何只录两个公式甚至一个我们可以只记上面四个公式的第一个和第三个。

而第二个公式中的-sin β=sin(β+π)，也就是sin α-sin β=sin α+sin(β+π)，这就可以用第一个公式化解。

同理第四个公式中，cos α-cos β=cos α+cos(β+π)，这就可以用第三个公式解决。

如果对诱导公式足够多熟识，可以在运算时把cos全部转变为sin，那样就只忘记第一个公式就行了。

用的时候想得起一两个就行了。

结果除以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。

sin和cos的值域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2]，因此乘以2是必须的。

也可以通过其证明去记忆，因为进行两角和差公式后，未抵销的两项相同而导致存有系数2，例如：cos(α-β)-cos(α+β)=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]=2sinαsinβ故最后须要除以2。

只有同名三角函数能和差化积无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能化成乘积。

这一点主要就是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式进行后乘积项的形式都相同，就不能发生二者抵销和相同的项，也就无法化简下去了。

乘积项中的角要除以2在和差化积公式的证明中，必须先把α和β则表示成两角和高的形式，才能进行。

津津乐道必须并使两个角的和、高分别等同于α和β，这两个角必须就是(α+β)/2和(α-β)/2，也就是乘积项中角的形式。

和差化积公式记忆方法

和差化积公式记忆方法和差化积公式是三角函数运算中的重要公式，用于处理和差与积的关系。

但这一公式较长且容易混淆，因此，找到一种有效的记忆方法是至关重要的。

以下是一些记忆和差化积公式的技巧：1.分组记忆：将和差化积公式分为两组进行记忆。

首先，记住了正弦的和差公式，也就意味着记住了余弦的和差公式，这是因为正弦和余弦是互余函数，它们的和差公式具有相同的结构。

具体如下：•正弦的和差公式：sin(α+β) 和 sin(α-β)；•余弦的和差公式：cos(α+β) 和 cos(α-β)。

2.公式推导：通过已知的三角函数基本关系，使用加法、减法和倍角公式进行推导，加强对和差化积公式的理解和记忆。

例如，利用二倍角公式，可以从sin(α+β) 和 sin(α-β)推导出余弦的和差公式。

3.使用软件或在线工具：利用现代科技辅助记忆。

如今有许多数学软件和在线工具可以帮助记忆复杂的数学公式。

例如，一些在线的数学公式编辑器或计算器可以用来检验和差化积公式的正确性。

4.实际应用：通过解决实际问题来加深对和差化积公式的记忆。

例如，在物理、工程或其它领域中遇到需要使用三角函数的问题时，可以尝试使用和差化积公式来求解，这样能够使记忆更加深刻。

5.制作思维导图：利用思维导图的形式整理和差化积公式的结构与要点，这样不仅有助于记忆，还可以帮助你更快地找到相关的知识点和应用方式。

6.联想记忆：可以将和差化积公式的每一部分与一个容易记住的图像或概念联系起来。

例如，“汉堡包”（α）和“自行车”（β）在“河边”（sin、cos）的故事，可以帮助你记住这些公式。

故事可以是：“当‘汉堡包’（α）和‘自行车’（β）一起在‘河边’（sin、cos），他们决定玩一个游戏，看谁能跳得更高（和差化积）。

”7.练习与复习：定期进行练习和复习是巩固记忆的关键。

可以选择一些练习题，如选择题、填空题或简答题，来测试自己对和差化积公式的掌握程度。

通过不断地练习和纠正错误，你对这些公式的记忆会更加深刻。