巧记和差与积互化公式1

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巧记和差与积互化公式

山东 齐相国 张树军

高中的三角函数公式特别多,诱导公式、两角和(差)的三角函数公式、同角三角函数关系公式、和差化积公式、积化和差公式……要记住、记准这么多公式也确实很不容易,而如果能掌握一定技巧,找到其中的规律,再记起来就容易多了.

观察下列和差化积公式:

sin sin 2sin

cos 22A B A B A B +-+= sin sin 2cos sin 22

A B A B A B +--= cos cos 2cos cos 22

A B A B A B +-+= cos cos 2sin

sin 22A B A B A B +--=- 不难发现:

规律1:在所有的公式中,右边积的系数中都有2.

规律2:在所有的公式中,左边都是角A 与B 的弦函数相加减,右边都是2A B +与2A B -的弦函数相乘.

规律3:在第三个公式中,左边是两个余弦相加,右边是两个余弦相乘,于是得出“扣(cos )加扣等于俩扣”;而第四个公式中,左边是两个余弦相减,右边没有余弦相乘,于是得出“扣减扣等于没扣”.

规律4:两角正弦相加减时,得到的都是正弦、余弦相乘.

由此,和差化积公式想忘都忘不了了.不仅如此,积化和差公式既然是和差化积公式的逆运算,只需将上述公式左右调换,再把系数变为,并把角也作相应变换:

令22

A B A B αβ+-=

=,,则有A B αβαβ=+=-,. 即可得到积化和差公式: 1s i n

c o s [s i n ()s i n ()]2αβαβαβ=++- 1c o s s i n [s i n ()s i n (

)]2αβαβαβ=+-- 1cos cos [cos()cos()]2

αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()]2

αβαβαβ=-+-- 我们可以发现:

规律1:公式右边中括号前的系数都有

12

. 规律2:中括号中前后两项的角分别为αβ+和αβ-. 规律3:每个式子的右边分别是这两个角的同名函数.于是前三个式子的右边可以统一

写成如下形式:1[()()]2

f f αβαβ+±-. 如何确定上式中函数“f ”的名称呢?可用口诀“同名余(弦),异名正(弦)”(同名、异名指公式左边的函数名称)来识别.例如对第一个公式,左边为sin cos αβ,根据口诀右边的函数应为正弦,即为1[sin()sin()]2

αβαβ++-. 另外,还要注意两个特殊的化积公式:21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2

αα-=.它们又称为升、降幂公式,它们在三角函数求值、化简、证明中有广泛的应用,可用口诀“一线希望”来记忆,即1遇到C就有化积的希望.这类题型是各级考试的重点、热点.

总结:当我们把数学公式与生活相联系时(扣子与余弦函数cosine ),读音也好,形似也罢,只要能联系在一起,多动动脑筋,就会有意想不到的收获.

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