正交小波基的构造和性质2

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CH5-正交小波与正交滤波器组

LO_D LO D and HI_D HI D if 'type' = 'd' (Decomposition filters) LO_R and HI_R if 'type' = 'r' (Reconstruction filters) LO D and LO_D d LO_R LO R if 'type' 't ' = 'l' (Low (L ‐pass filters) filt ) HI_D and HI_R if 'type' = 'h' (High‐pass filters)
信息工程学院
[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R] [LO D,HI D,LO R,HI R] = WFILTERS( WFILTERS('wname') wname ) computes four filters associated with the orthogonal or biorthogonal wavelet named in the string 'wname' wname . The four output filters are: LO_D, the decomposition low‐pass filter HI_D, the decomposition high‐pass filter LO_R, the reconstruction low‐pass filter HI_R, HI R the reconstruction high‐pass filter
信息工程学院
青岛大学
第五章正交小波与正交滤波器组

正交小波基与多分辨分析

THANKS
正交小波基由尺度函数和小波函数生成，通过平移和伸缩可以得到不同尺度的小波基。
正交小波基的性质
正交性
正交小波基具有正交性，即不同尺度、不同位置的小波基在内积运算下为零，这使得小波分析具有良好的稳定性和精度。
紧支集性
正交小波基具有紧支集性，即小波基只在有限的区间内有非零值，这使得小波变换具有快速算法。
正交小波基的应用
01
02
03
信号处理
正交小波基可以用于信号的分解和重构，实现信号的时频分析和滤波。
图像处理
正交小波基可以用于图像的压缩、去噪和增强，提高图像处理的效果和效率。
其他领域
正交小波基还可以应用于数值分析、流体动力学等领域，为相关问题提供有效的数值计算方法。
02 多分辨分析
多分辨分析的定义
定义
多分辨分析是一种对函数空间进行分解的方法，通过在不同尺度上逐步逼近原始函数，实现对复杂信号的精细描述。
尺度空间
逼近性质
在多分辨分析中，函数在不同尺度上的逼近性质决定了其分解的精度和稳定性。
多分辨分析将函数空间分解为一系列嵌套的子空间，每个子空间对应不同的尺度。
多分辨分析的性质
逼近和表示能力
正交小波基能够提供对信号的逼近和表示，使得在多分辨分析中能够更好地理解和处理信号。
多分辨分析与正交小波基的相互影响
多分辨分析对正交小波基的影响
多分辨分析的需求推动了正交小波基的发展，促进了其理论和应用研究的深入。
正交小波基对多分辨分析的影响
正交小波基的特性和性质决定了多分辨分析的特性和性质，为多分辨分析提供了丰富的工具和手段。
正交小波基与多分辨分析的结合应用

小波分析：正交小波基构造

西南交通大学电气工程学院
原始信号
一维信号的二级小波变换系数 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9] s =[ 6 5 9 8
16位
2级小波系数
w2=[wa2 , wd2 , wd1 ]
16位
d 28 23 28 16 ] 2 A2 ,k = [ 2级近似系数 d D 2,k = [ − 6 − 3 − 6 − 8 ] 2 Dd = [+1 +1 − 4 + 3 +1 +1 − 2 − 6] 2 2级细节系数 1,k 1级细节系数 * Haar是正交变换。正交变换。除以常数，除以常数，目的使变换后平方和不变。目的使变换后平方和不变。例如：例如：
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8 a 4
8 a 4
kA
0 t f= 1 5 -4 0 10 20 30 40
kA
c
b
(a )
c 0
b
(a )
t f= 1 5 -4 0 1 0 2 0 3 0 4 0
t/m s
0.06
0.05
t/m s
kA
0.00 -0.06 0.6
kA
(b)
0.00 -0.05 0.4
k
∫
注意：这几个条件对小波的构造至关重要！
西南交通大学电气工程学院
ϕ ( x ）＝
( x ）＝
1 0
and
∫ψ
5.2尺度函数和小波函数的一些性质
1 二尺度差分方程
举例：
ϕ (t ) ϕ (t − 1)
1 1 ϕ (t / 2) = ϕ (t ) + ϕ (t − 1) = 2 [ ϕ (t ) + ϕ (t − 1)] 2 2

正交变换-小波变换

2
k
二尺度差分方程给出了尺度函数、小波函数之间的关系，只要正交归一的尺度函数集，就可以构造出正交小波基。
( t 1) 1
1
(
t
)dt
1
1 2
2 t 2 ( )dt
1, 0 t 1 2 ( t ) ( 2 t ) ( 2 t 1) 1, 1 2 t 1
jk
j
j
jk
H 0 ( 0 )
(4) 递推关系： ( )
( ) 1 2

H 1 ( 0 ) 0
1

2
j 1
2
H 0 (2

j
)
j
H1(
)
1 2
H 0 (2
)
j2
2 离散小波变换(DWT)－正交小波基的构造
h 0 k 1 0 ( t ), 0 k ( t )
t
(a )
(b )
图3-15 小波的平移操作 (a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
1 连续小波变换(CWT)
( t ) 为基本小波函数，可以为复数信号。
小波函数族的定义有不同的方式：
a , ( t )
a , ( t )
1 a
1 a
(
t a
(
t 2
j
)
2 h1 k (
k
t 2
j 1
k)
h1 k ( 1) h 0 (1 k )
k
线性组合的权系数分别为：与j无关
h 0 k 1 0 ( t ), 0 k ( t )

[教育]图像处理中的正交变换小波

变宽，频窗变窄，从而实现了时－频窗口的自
动自适应变化。

从滤波的观点来看， a,b (t ) 的频谱 a,b () 具有带通特性，中心频率
0 0
，带
a ,b
宽
BW 2a ,b
。
图3—23示出了加窗的Fourier分析和小波分析的时频特性比较。
图 3—23加窗Fourier分析和小波分析的时频特性比较
在小波变换中，时间窗口的宽度与频率窗口的宽度是尺度参数a的函数，但其乘积 ( )
a ,b a ,b
由Heisenberg测不准原理限定为一常数，因此，
高频分量在时域局部化分辨率提高是以频域局
域化由
的不确定性加大换取的。
a ,b
分析高频分量时（a减小），时窗自动变窄，
频窗加宽，分析低频分量时（a增大），时窗
, C 是有限值
它意味着 0 处 ( )
连续可积
(0)

(t )dt 0
(3—222)
由上式可以看出，小波 (t ) 在 t 轴上取值有正有负才能保证式(3—222)积分为零。所以 (t )
应有振荡性。
上面两个条件可概括为，小波应是一个具有振
荡性和迅速衰减的波。
在实际过程中,时变信号是常见的，如语音信号、地震信号、雷达回波等。在这些信号的分析中，希望知道信号在突变时刻的频率成份，显然利用 Fourier变换处理这些信号，这些非平稳的突变成份往往被Fourier变换的积分作用平滑掉了。因此，不能用于局部分析。在实际应用中，也不乏不同的时间过程却对应着相同的频谱的例子。
a:a<1; b: a=1; c: a>1。
a ,b (t ) 2,15 (t )

正交小波基的构造和性质2剖析

研究生课程考试答题纸研究生学院第一题正交小波基的构造和性质一、由尺度函数构造正交小波基1．由正交尺度函数{}Z k k t ∈-)(φ构造正交小波基，构造步骤如下：（1）选择)(t φ或)(ωΦ使{}Z k k t ∈-)(φ为一组正交基。

（2）求)(n h ：>-=<)(),()(k t t n h φφ (1-1)或)()2()(ωωωΦΦ=H (1-2)（3）由)(n h 求)(n g ：1)1()(+-⋅-=n n h n g (1-3)或)(πωωω=-e G j (1-4)（4）由)(n g ，)(t φ构造正交小波基函数)(t ψ：∑-=nn n t g t )()(,1φψ (1-5)或)2()2()(ωωωΦ⋅=ψG (1-6)例1 ．Haar 小波的构造选择尺度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤=其他,010,1)(t t φ显然{}Z k k t ∈-)(φ为一正交归一基，则⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎰其他,01,0,21)2()(2n n t x dt h n φφ 由式（1-3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⋅-=+-其他,01,210,21)1()(1n n h n g n n可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-<≤==-=--其他,0121,1210,1)(21)(21)(1,10,1t t t t t φφψ 例2．由尺度函数为Riesz 基时构造正交小波基函数要找到一个多分辨率分析的尺度函数)(t φ，使它的整数平移构成一个正交系列，有时候不太方便。

但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个Riesz 基{}Z k k t ∈-)(φ来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。

首先给出Riesz 基的定义：设函数{}Z k k t ∈-)(φ张成的空间为0V 的Riesz 基的充分必要条件为存在两常数∞<>B A ,0，使得对于所有)()(2Z L C Z k k ∈∈都有222)(∑∑∑≤-≤kk kk kk C B k t C C A φ (1-7)可以证明式（1-7）等价于∞<≤+Φ≤<--∑B l A l121)2()2()2(0ππωπ因此我们可以定义一个)()(2#R L t ∈φ，使得)(])2([)(212#ωπωωΦ⋅+Φ=Φ-∑ll显然，)(#ωΦ满足1)2(2#=+Φ∑ll πω即)(#k t -φ是正交基。

正交小波构造

1第5讲正交小波构造5.1 正交小波概述5.2 由)(0n h 递推求解)(t φ的方法。

5.3 消失矩、规则性及支撑范围 5.4 Daubechies 正交小波构造5.5 接近于对称的正交小波及Coiflet 小波我们在上一讲中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析，证明了在空间0V 中存在正交归一基}),({Z k k t ∈-φ，由)(t φ作尺度伸缩及位移所产生的},),({,Z k j t k j ∈φ是j V 中的正交归一基。

)(t φ是尺度函数，在有的文献中又称其为“父小波”。

同时，我们假定j V 的正交补空间j W 中也存在正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ，它即是小波基，)(t ψ为小波函数，又称“母小波”。

本章，我们集中讨论如何构造出一个正交小波)(t ψ。

所谓“正交小波”，指的是由)(t ψ生成的}),({Z k k t ∈-ψ，或j W 空间中的正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ。

Daubechies 在正交小波的构造中作出了突出的贡献。

本章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的理论为基础的。

25.1 正交小波概述现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求, 一是Haar 小波，二是Shannon 小波。

1.Haar 小波我们在4..1节中已给出Haar 小波的定义及其波形， Haar 小波的尺度函数)(t φ。

重写其定义，即⎪⎩⎪⎨⎧-=011)(t ψ 其它12/12/10<≤<≤t t (5.1.1)⎩⎨⎧=01)(t φ 其它10<≤t (5.1.2)显然, )(t ψ的整数位移互相之间没有重叠，所以)()(),(''k k k t k t -=--δψψ，即它们是正交的。

同理，)()(),(',,'k k t t k j k j -=δψψ。

很容易推出)(t ψ和)(t φ的傅里叶变换是4/4/sin )(22/ωωωωj je-=ψ2/2/sin )(2/ωωωωj e-=Φ注意式中ω实际上应为Ω。

一种构造正交小波基的新方法

一种构造正交小波基的新方法
彭瑞仁;陈基明
【期刊名称】《应用数学与计算数学学报》
【年(卷),期】1994(008)002
【摘要】本文给出了构造正交小波基的一种新的方法,主要是通过改造钟形函数来构造有具体表达式的小波母函数,在光滑性,局部性等性质上优于一般的构造方法,其收敛于零的阶数可达到O(|t|^(-N)),N≥4。

而且更进一步在S空间上构造出收敛更快的小波母函数。

【总页数】9页(P84-91,51)
【作者】彭瑞仁;陈基明
【作者单位】上海大学理学院数学系;上海大学理学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O174.2
【相关文献】
1.基于已知小波基的一种完全重构双正交小波基的构造方法 [J], 王蕊;罗建书
2.一种构造正交小波基的新方法 [J], 袁超伟;闫国华
3.一种紧支集双正交小波基的构造 [J], 傅勤毅;蒋淑霞
4.一种完全重构双正交小波基的构造方法 [J], 朱铁稳;陈少强;李琦;苗前军
5.一种设计双正交小波基Hilbert变换对的新方法 [J], 赵妮娜;胡波;石宏理
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用多分辨分析(MRA)构造正交小波基1

1 1 1dt = ∫ 0 2 1 2 1dt = ∫ 0 2 0
1 k 0 = 2 1 k 1 = 2 k ≠ 0,1
所以，
= h0 2 2, = h1 2 2, = hk 0,(k ≠ 0,1)
(或由 φ ( t ) = φ ( 2t ) + φ ( 2t − 1) 的关系也可得)
( −1) 取 gk =
采用方法（2）频域求解过程
(ω ) → H (ω ) → G (ω ) → Ψ (ω ) → ψ ( t ) φ (t ) → Φ
其中，
( 2ω ) Φ (ω ) = 2 H (ω ) ， Φ
* − iω G (ω ) = −e H ( ω + π )
(ω ) = 1 G ( ω )Φ (ω ) Ψ
e − jω /2 − 1 ω ˆ (ω ) = φ( ) ψ 2 2
于是，
1 ψ (t ) = 2π e − jω /2 − 1 ω jωt ∫R 2 φ ( 2 )e dω
1 = 2π
j ( 2 t −1) ω /2 j ( 2 t ) ω /2 − φ e e ( )[ ]d ω ∫R
ω
2
= φ ( 2t ) − φ ( 2t − 1)
即
1 1 0 , t ≤ < 2 1 ψ (t) = −1, ≤ t <1 2 0 , 其他
此即为哈尔小波函数。由尺度函数所构成的函数基虽然能生成函数空间，但尺度函数本身并不是小波函数，因为它不满足无穷积分为 0 的条件。与尺度函数相对应的小波函数为前面已经介绍过
2
2
2
例 1 构造哈尔小波匈牙利数学家 Alfréd Haar （哈尔）在 1909 年提出的哈尔基函数（尺度函数）：

近似正交小波基的构造

［摘
要］本文通过Ｅｃｄａ算法，ｕｌｅｎｉ利用小波的多相位矩阵提升分解的方法，以两组滤波器系数的平方和分别趋近于１
为约束条件，构造一类紧支的、对称的、稳定的、近似正交的双正交小波滤波器，同时以这一类小波中的９７小波为例／发现这一类小波具有很好的图像压缩的性能．ＪＥ２０在ＰＧ００压缩标准之下的仿真实验结果表明其压缩性能优于或相当
变量．
１２．确定稳定的小波基对于提升算法来说，个显著的问题是，然它可以使提升后新生成的小波是双正一虽交的，是它不能保证新生成的小波通过平移和伸缩能构成Ｌ（但Ｒ）中一组Ｒｉｓｅｚ基（即稳定的小波基）．此，了得到稳定的双正交９７滤波器，必须采用Ｃｏｅ — Ｄａｅｈｅ因为／还ｈｎｕｂｃｉｓ
２１００年１０月第２７卷第５期
枣庄学院学报
ＪＯＵＲＬＦＡＨＵＧＵＶＥＲＩＹＮＡＯＺＯＺＡＮＮ１ＳＴ
Ｏｃ．００１２１
Ｖ０．７１２ＮＯ．５
近似正交小波基的构造
王浩
（庄学院实验中心，枣山东枣庄２７６）７１０
能，ＪＥＧ００标准推荐使用，高通滤波器和低通滤波器各具有４阶消失矩．被Ｐ２０其
１收稿日期］０８—１［２００—０７［作者简介］王浩，１７（９９一）、、男汉助教，上海大学理学硕士，研究方向：基于小波分析的图像处理

第十二讲小波基构造与常用小波

原始信号
非畸变信号
畸变信号
2 常用小波
Haar 小波 Mexican hat 小波 Morlet 小波 Meyer 小波
Daubechies 小波系
Coiflet 小波系 Biorthogonal 小波系
2.1 Haar小波
Haar 小波是一个最早应用也是最简单的具有紧支撑的正交小波函数，其定义如下：
2N

2
2

2
)
则 | H ( ) |2 (sin ) 2 N P(cos 2 )
2 2

代入正交条件，可得到如下式子
(cos

2
) 2 N P(sin 2

2
) (sin

2
) 2 N P(cos 2

2
) 1
3.2 多项式P(x)的计算推导（二）
令 x sin 2

2

x r ( x)dx 0
r 0,1,, R 1
则称 ( x) 具有 R 阶消失矩。如果小波的消失矩阶数为 R，则其对应的小波滤波器长度不少于 2R。在信号检测中，为了能够有效地检测到奇异点，小波基必须具有足够高的消失矩的阶数，它与 Lipschitz 指数密切相关。然而，突变信号的 Lipschitz 指数一般在 (0,1) 内，因此为了分析突变信号，消失矩也不能太高，过高的消失矩阶数将使分析的结果模糊，另外，从计算量的角度来看，消失矩的阶数也不宜过高。
0 x 1 / 2 1, ( x) 1, 1 / 2 x 1 0 其它
2.2 墨西哥帽小波
因为其形似墨西哥草帽而得名，定义如下：

尺度函数与正交小波基的构造

尺度函数与正交小波基的构造作者：朱梅樊中奎来源：《电脑知识与技术》2015年第29期摘要：该文首先介绍了小波变换的起源和应用领域，首先介绍了尺度函数、小波函数、尺度空间、小波空间，并在之基础上对正交小波基进行实验分析，给出了二维正交小波基的构造方法，并应用Haar小波进行图像进行分析和压缩，实验结果表明压缩效果较好。

关键词：小波变换；信号分析；图像压缩中图分类号：TP3 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）29-0209-031 概述小波是上世纪80年代中期出现的一门现代技术，由法国工程师J.Morlet在1974年首先提出的，该技术的发展经历了：短时窗口傅立叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换等阶段的发展[1]。

1986年著名数学家Y.Meyer构造出第一个光滑的小波基对小波， 1988年S.Mall建立了构造小波基的方法，并提出多分辨率分析的概念[2]。

在此之后小波分析得到了快速的发展，比利时数学家 I. Doubechies 发表的《小波十讲》对小波分析的理论及应用的普及起了重要推动作用[3]。

目前小波分析在数学领域可以快速数值构造、阈值分析；在信号分析领域能够进行信号滤波、去噪等；在影像领域能够进行压缩、识别、分类等；在医学领域中可以提高CT、B超的效率缩短时间；并在机械故障诊断、地震勘探等方面都取得了重要的研究成果，有力的推动科学技术的发展[3]。

2 尺度函数与小波函数2.1 尺度函数与尺度空间定义函数[φ（t）∈L2（R）]为尺度函数（scale function）[4]，若其整数平移系列[φk（t）=φ（t-k）]满足αjm，n，βjm，n，γjm，n]与小波空间[W1j，W2j，W3j]相对应[sjm，n]为尺度空间[Vj]的尺度展开系数。

2）长方块形式的二维正交小波基与二维正交小波变换正交基的尺度在两个方向上是不同的，形象称为的长方形正交小波基。

[f（x，y）]在长方块二维正交小波基下的展开公式为[f（x，y）=j=1∞m=1∞k，ndj，mk，nψj，k（x）∙ψm，n（y）] （3.1）其中[dj，mk，n=f（x，y）ψj，k（x）ψm，n（y）dxdy] （3.2）称之为长方块形式下的二维正交小波变换系数，[j，m]是两个方向上的尺度，位移[k，n]是两个尺度下的。

第8章双正交小波笔记本2

正交时： mϕ (ξ ) + mϕ (ξ + π ) = 1
2
2
mψ (ξ )＝eiξ mϕ (ξ + π )
% ∑ hk hk −2 l = δ 0,2 l , l ∈ Z ⇒ k % g n = ( −1) n +1 h1−n ， g n = ( −1)n +1 h1−n %
或 mψ (ξ )＝－e－iξ mϕ (ξ + π )
（2）选择合适的阀值 λ 对小波分解后的系数进行处理，得出估
ˆ 计小波系数 w j ,k使 w j ,k − Ws( j, k ) ˆ
尽可能小
λ 的取法有多种，其中一种取： λ＝σ 2 lg( N )
硬阀值估计法： w j ,k ˆ j ,k＝ w 0 w j ,k ≥ λ w j ,k < λ
n
c j ,k = ∑ hn −2 k c j +1,n
n
d j ,k = ∑ g n −2 k c j +1,n
n
重构： c j +1,k = ∑ hk −2l c j ,l + ∑ g k −2 l d j ,l
l l
1.（Mallat算法中与正交时的区别仅在分解公式中的对偶部分）（算法中与正交时的区别仅在分解公式中的对偶部分）算法中与正交时的区别仅在分解公式中的对偶部分 2. 解决了正交小波不同时具有紧支集和对称性的问题
（书上有错）
% % 则称 {V j ,φ}与｛V j ,φ }
φ % 是互相对偶的MRA，与φ 为双正交尺度函数双正交尺度函数。双正交尺度函数
双正交小波
〈ψ
j ,k
,ψ% l , m 〉 = δ

轻松学习正交小波变换

Haar 小波函数不连续，且它的频谱表达式为
H (ω ) =
所以它随 ω 的衰减速度仅为
1 − 2e
−
iω 2
+ e−iω
，
ωi
1
ω
，不能满足对基的光滑性要求，频阈
的局域性也差，多用于理论研究。
3.5.2
Shannon 小波的构造
，假如我们对 f (t ) 的频谱 F (ω ) 加上限制(限带信号)：
j∈z
（4）
这就是
∪V
j∈z
j
= L2 { R} 的含义。
考虑把（3）式和（4）式相结合，可得
⎛ k f (t ) = ∑ 2 f ⎜ j ⎝2 j , k ∈z
j 2
⎞ −2 −j ⎟ ⋅ 2 ϕ (2 t − k ) ， ⎠
j
讨论：
L2 { R} 中任何函数可用 ϕ ( t ) 的伸缩平移系
⎧ − 2j ⎫ −j ⎨2 ϕ ( 2 t − k ) ⎬ 线性表示。但此函数系不是正交系，对于确定 ⎩ ⎭k , j∈z
的
j ，不同 k 是相互正交；但对于不同的 j ，这种正交关系不成立。
原因在于子空间 Vi ,V j 是不正交的，它们是包含关系，如何解决？可以从子空间
{V }
j
j∈z
与函数 ϕ
（2）
（3）
∩ V j = {0} ,
j∈z
2 V = L ∪ j {R} ；（逼近性）
j∈z
（4）
ϕ ( t ) ∈ V0 ,
称ϕ
且
{ϕ ( t − k )}
k∈z
是 V0 的标准正交基，
( t ) ∈V0 是此多尺度分析的尺度函数（ Scale

正交小波基的构造

① 嵌套性质：
V j+1 ⊂ V j
∀j ∈ Z
……V−1 ⊃ V0 ⊃ V1……
② 细分性质： ③ 完备性质：
∞
∩ lim
j→∞
V
j
=
Vj
j = −∞
= {0}
∞
∪ j
lim V
→−∞
j
=
Closure( V j )
j = −∞
=
L2 (R)
④ 多尺度关系：
f (t) ∈V j
⇔
f
(
t 2
)
∈V
j +1
a.e（几乎处处）
两带正交尺度函数
定理 7.1 ：设两带正交函数满ϕ(x) 满足双尺度方程
ϕ(x) = 2∑ h(n)ϕ(2x − n)
(16)
那么尺度滤波器 h(n) 满足条件(正交性条件)
∑n h(n)h(n − 2k) = δ (k)
(17)
证明：由ϕ(x) 正交
ϕ(x),ϕ(x − k) = ∫Rϕ(x)ϕ(x − k)dx = ∫R 2∑n h(n)ϕ(2x − n) 2∑m h(m)ϕ(2(x − k) − m)dx = 2∑n ∑m h(n)h(m)∫Rϕ(2x − n)ϕ(2x − 2k − m)dx = ∑n ∑m h(n)h(m)∫Rϕ(t − n)ϕ(t − 2k − m)dt = ∑n ∑m h(n)h(m)δ (n − 2k − m)
=
2
⎛ ⎜
a1(1n)
n ⎜⎝ a2(n1)
a1(2n) a2(n2)
⎞ ⎟ ⎟⎠
⎛ θ1(2t ⎜⎝θ2 (2t
− −
n) n)
⎞ ⎟ ⎠

离散小波变换与正交小波

在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，是频率带限函数，具有好的局部化特性。
例 5.3 考虑线性样条函数
1 t 1, 2 t 0
(t) 1 1 t , 0 t 2
0,
其他
从几何上看， (t) 显然是一个基本小波
易知 (t) s(t) s(t 2)
t, 0 t 1 这里 s(t) 2 t, 1 t 2
0, 其他
是个帐篷函数
s()
s(t)eitdt
1teit dt
2 (2 t)eitdt
0
1
ei
i
1 ei
(i)2
ei
i
ei2 ei
(i)2
1 ei
i
2
ˆ () sˆ() e2i sˆ() (1 e2i )(1 ei )2 i
构成了子空间 S { f (t) L2(R) | fˆ() 0, }
的一个标准正交基
令S2m { f (t) L2(R) | fˆ() 0, 2m}，则 S2m
具有标准正交基
m
{2 2 (2mt
n)}
m
22
sin
2m
(t
n 2m
)
, m,n
Z.
2m
(t
n 2m
)
正交小波
且对任意
其中
cj,k
f (t) cj,k j,k (t)
j,k
正交小波级数分解
f (t), j,k (t) f (t) j,k (t)dt, j, k Z
称为 f 的小波系数
小波系数实质上是离散小波变换，前面所得的二进离散小波与连续小波虽不会损失信息，但会产生冗余，而正交小波则可以使变换后所产生的冗余消失。

第六讲双正交小波及小波包

- 352 -第六讲双正交小波及小波包我们在上一章给出了正交小波的构造方法。

正交小波有许多好的性质，如)()(),(',,'k k t t k j k j -=δφφ，)()(),(',,'k k t t kj k j -=δψψ，0)(),(',,=t t k j k j ψφ ，此外，尺度函数和小波函数都是紧支撑的，有着高的消失矩等等。

Daubechies 给出的正交小波的构造方法可以方便的构造出所需要的小波(如DBN ，SymN ，CoifN)。

但是，正交小波也有不足之处，即)(t φ和)(t ψ都不是对称的，尽管SymN 和CoifN 接近于对称，但毕竟不是真正的对称，因此，这在实际的信号处理中将不可避免地带来相位失真。

)(t φ和)(t ψ的不对称性来自所使用的共轭正交滤波器组)(0z H 和)(1z H 的不对称性。

本讲，我们把这些内容引入到小波分析，给出适合小波变换的双正交滤波器组准确重建的条件，给出双正交条件下的多分辨率分析及双正交小波的构造方法，最后简要介绍小波包的基本概念12.1 双正交滤波器组现在，我们结合小波变换的需要来研究双正交滤波器组的内在关系及- 353 -实现准确重建的条件。

所谓“小波变换的需要”是指在用)(0z H 对)(0z a 分解时需要将)(0z H 和)(1z H 的系数作时间上的翻转，即用的是)(10-z H 及)(11-z H ，或)()(00n h n h -=,)()(11n h n h -=，见(10.6.1)式及图10.6.2。

将图10.6.2的正变换和图10.6.3的反变换结合起来，我们可得到如图12.1.1所示的一级分解和重建的类似于两通道滤波器组的信号流图。

注意，图中用于重建的滤波器不再是图10.6.3中的)(0z H 和)(1z H ，而是)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H ，它们分别是)(0z H 和)(1z H 的对偶滤波器。

L^2[0,1]上的正交小波基

L^2[0,1]上的正交小波基
杨守志;韩德志
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2000(13)2
【摘要】从尺度因子 M =4的正交小波基出发 ,利用折叠方法得到了 L 2 [0 ,1 ]空间的正交小波基 .这种小波不同于折叠前的小波基 ,它是完全限制在有限区间 [0 ,1 ]上 ,且保持小波基的正交性 ,并在使用过程中拥有更大的灵活性 .
【总页数】4页(P114-117)
【关键词】多分辩分析;折叠函数;尺度函数;正交小波基
【作者】杨守志;韩德志
【作者单位】西安交通大学理学院;信阳师范学院数学系,河南信阳464000;信阳师范学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O174.2
【相关文献】
1.[0,1]区间上一种双正交小波的构造 [J], 隆广庆
2.C[0,1]上完备的三角形正交函数系 [J], 张秋菊;许道云
3.L2（[0,1]）的半正交小波基及其对偶小波基 [J], 刘名生; 林伟
4.L^2([0,1])的半正交小波基及其对偶小波基 [J], 刘名生;林伟
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但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个Riesz 基{}Z k k t ∈-)(φ来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。

且)(#k t -φ可以构成{}Zj jV ∈的多分辨率分析框架。

由此可由)(#k t -φ入手，构造一个正交小波基。

可以证明如下：（1）除了0=N 时（此时为Haar 小波）例外，其他)(k t -φ都不具有正交性，因此必须实行正交化处理过程)(#t φ。

（2）正交的)(#t φ及其构造的小波函数)(t ψ（Battle －Lemarie 小波函数）支集都为非紧的（定义域为整个实轴，即无限长）。

（3）当N 为偶数时，#φ（或φ）关于21=t 对称，当N 奇数时，#φ（或φ）关于0=t 对称。

而所有Battle －Lemarie 小波关于21=t 对称。

并且已证明#φ和ψ都具有指数衰减性。

二、紧支集正交小波基的性质和构造1. 紧支集正交小波基的构造构造紧支集正交小波基的双尺度方程()∑=-=Nn n n t h t 0221)(φφ 也就是构造特征多项式∑==Nn n n z h z H 021)(的方法可归结为下列步骤： 1）选定一整数2≥L 。

2）选定一多项式，使它满足以下三式：)21()21(y R y R +-=- (1-10) 10,0)21()(≤≤≥-+y y R y y P L L (1-11)其中)(y P L 满足∑-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=101)(L j L jj L y P ，其中)!(!!k n k n k n -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ (1-12) )1(22)]21()([sup -<-+L L L y R y y P (1-13)3）寻找一实系数三角多项式)(z Q ，使得)21()()(2z R z z P z Q L L -+=。

选取方法是：从)21()(z R z z P L L -+的每四个复零点中选两个，每对实零点中选一个，按照下式构造)(z Q 。

4）则得)()21()(z Q zz H += 最简单的情况是取])1,0[(0∈≡y R ，此时)(y P L 是正系数多项式，所以条件式（1-12）显然得到满足，且因当0≥y 时，)(y P L 单调增加，因此，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==∈L L L L L L P y P L L 1211221112)1()(sup [0,1]y (1-14) )1(212021221--==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<∑L L k k L 故条件式（1-14）也得到满足。

于是利用Riesz 引理即可构作实系数三角多项式∑-==120)()(L k jn L j L e n q e Q ωω，满足))cos(1(21())2((sin )(22ωωω-==L L j P P e Q由L P 构作Q 时，我们选取时，我们选取L P 在单位圆内的根，这相应于设计滤波器时选取最小相位。

当3,2=L 时，)(ωj L e Q 的具体解析式为])31()31[(21)(2ωωj j e e Q --++=])1025101()101(21025)101[(41)(23ωωωj j j e e e Q +-++-++++=-202φD 4-202φD 6-202φD 8-202φD 10-202φD 12-202φD 16-101φD 20-101φD 40图1-1 Daubechies 尺度函数（N ＝4，6，8，…40）-202ψD 4-202ψD 6-202ψD 8-202ψD 10-202ψD 12-202ψD 16-202ψD 20-101ψD 40图1-2 Daubechies 小波函数（N ＝4，6，8，…40）当10~4=L 时相应的尺度方程系数见表1，其相应n h 的非零长度为L N 2=，图1-1和1-2示出了一些尺度函数与小波母函数的图形。

对这样的紧支集小波，它的一般性质如下：（1）支集大小由式（1-14）得到不同L 下尺度函数的支集为],0[]12,0[supp N L L =-=φ其相应的小波母函数的支集为]),1([]12),22([supp N N L L L --=---=ψ（2）对称性问题尽管紧支集小波有支集紧的优点，但它一般没有对称性。

可以证明，除Haar小波（其)(t ψ关于21=t 为反对称，其)(t φ关于21=t 为对称）外，其他所有连续的紧支集正交小波基及其尺度函数都不具有任何对称性。

（3）光滑性问题紧支集多尺度生成元φ的光滑性也较差。

要增加φ的光滑度，则要增加支集长度，即时域支集变长，其光滑度也即频域局部性变好。

（4）消失矩特性对某些应用来说（特别在指数计算方面），小波不仅应当是零均值的（满足可容许性条件），而且还必须具有高阶消去性。

小波的消失矩定义如下：若1,2,1,0;0)(-==⎰M m dt t t mψ我们称小波)(t ψ具有M 阶消失矩。

二、运用小波包的方法，在MATLAB 中对tieda_noise.bmp 图片进行降噪处理，要求列出程序（处理过程）、降噪结果及降噪的理论依据。

（30分）。

程序如下：clc;clear; hold on% 绘制原始无噪图像figure(1);% 绘制原始彩色图像[a,map]= imread('C:\Users\Administrator\Desktop\考试资料\tieda_RGB.bmp','bmp' ) ;[ A, map] = rgb2ind(a, 256) ;save 'my' A map; load my;colormap(map) ;image(A) ;title('原始彩色图像')figure(2);subplot(222);b= imread('C:\Users\Administrator\Desktop\考试资料\tieda_gray.bmp', 'bmp' ) ;B=double(b);image(B) ;title('原始无噪图像')% 装载原始有噪图像[X,map]= imread('C:\Users\Administrator\Desktop\考试资料\tieda_noise.bmp', 'bmp' ) ;%load Y;Y=double(X);nbc = size(map,1);% 使用coif2执行3层小波包wname = 'coif2'; lev = 3;tree = wpdec2(Y,lev,wname);% 由第1层的高频系数估计噪声的标准差det1 = [wpcoef(tree,2) wpcoef(tree,3) wpcoef(tree,4)];sigma = median(abs(det1(:)))/0.6745;% 使用wpbmpen进行全局阈值选择alpha =0.9;thr = wpbmpen(tree,sigma,alpha);% 使用wpdencmp函数，采用上面的阈值和软阈值处理方式，保存低频，进行图像降噪keepapp = 1;xd = wpdencmp(tree,'s','nobest',thr,keepapp);% 画出原始图像和降噪后的图像colormap(gray(nbc));subplot(223), image(wcodemat(X,nbc))title('原始有噪图像')subplot(224), image(wcodemat(xd,nbc))title('降噪后的图像')降噪结果：降噪前、降噪后和无噪原始图像详见图2-1和2-2。

（1）通过降噪后的图像和降噪前的图像相比，基本上达到了降噪的目的，图像得到了改善。

（2）通过降噪后的图像和未加噪的图像对比，该方法只起到了降噪的目的，并不能完全达到去噪的目的，并不理想。

图2-1 原始彩色图像图2-1 降噪前后图像对比理论依据：本程序从阈值函数和阈值估计两方面对图像去噪。