正交小波基的构造和性质2

研究生课程考试答题纸

研究生学院

第一题 正交小波基的构造和性质

一、 由尺度函数构造正交小波基

1．由正交尺度函数{}Z k k t ∈-)(φ构造正交小波基，构造步骤如下： （1）选择)(t φ或)(ωΦ使{}Z k k t ∈-)(φ为一组正交基。 （2）求)(n h ：

>-=<)(),()(k t t n h φφ (1-1)

或

)

()

2()(ωωωΦΦ=

H (1-2)

（3）由)(n h 求)(n g ：

1)1()(+-⋅-=n n h n g (1-3)

或

)(πωωω=-e G j (1-4)

（4）由)(n g ，)(t φ构造正交小波基函数)(t ψ：

∑-=n

n n t g t )()(,1φψ (1-5)

或

)2()2()(ωωωΦ⋅=ψG (1-6)

例1 ．Haar 小波的构造 选择尺度函数

⎪⎩

⎪⎨

⎧<≤=其他

,01

0,1)(t t φ

显然{}Z k k t ∈-)(φ为一正交归一基，则

⎪⎩

⎪⎨⎧==-=⎰其他

,01,0,

21)2()(2n n t x dt h n φφ 由式（1-3）

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=-==⋅-=+-其他,01,210,21)1()(1n n h n g n n

可得

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧<≤-<

≤==-=--其他

,0121

,

12

10,1)(21)(21)(1,10,1t t t t t φφψ 例2．由尺度函数为Riesz 基时构造正交小波基函数

要找到一个多分辨率分析的尺度函数)(t φ，使它的整数平移构成一个正交系列，有时候不太方便。但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个Riesz 基{}Z k k t ∈-)(φ来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。首先给出Riesz 基的定义：

设函数{}Z k k t ∈-)(φ张成的空间为0V 的Riesz 基的充分必要条件为存在两常数

∞<>B A ,0，使得对于所有)()(2Z L C Z k k ∈∈都有

2

2

2

)(∑∑∑≤-≤

k

k k

k k

k C B k t C C A φ (1-7)

可以证明式（1-7）等价于

∞<≤+Φ≤<--∑B l A l

12

1)2()2()2(0ππωπ

因此我们可以定义一个)()(2#R L t ∈φ，使得

)(])2([)(2

1

2#ωπωωΦ⋅+Φ=Φ-

∑l

l

显然，)(#ωΦ满足

1)2(2

#

=+Φ

∑l

l πω

即)(#k t -φ是正交基。且)(#k t -φ可以构成{}

Z

j j

V ∈的多分辨率分析框架。由此可由

)(#

k t -φ入手，构造一个正交小波基。

可以证明如下：

（1）除了0=N 时（此时为Haar 小波）例外，其他)(k t -φ都不具有正交性，因

此必须实行正交化处理过程)(#t φ。

（2）正交的)(#t φ及其构造的小波函数)(t ψ（Battle －Lemarie 小波函数）支集都为非紧的（定义域为整个实轴，即无限长）。

（3）当N 为偶数时，#φ（或φ）关于2

1

=t 对称，当N 奇数时，#φ（或φ）关于

0=t 对称。而所有Battle －Lemarie 小波关于2

1

=t 对称。并且已证明#φ和ψ都具有

指数衰减性。

二、 紧支集正交小波基的性质和构造

1. 紧支集正交小波基的构造

构造紧支集正交小波基的双尺度方程

()∑=-=N

n n n t h t 0

221)(φφ 也就是构造特征多项式∑==N

n n n z h z H 0

21)(的方法可归结为下列步骤： 1）选定一整数2≥L 。

2）选定一多项式，使它满足以下三式：

)2

1

()21(y R y R +-=- (1-10) 10,0)21

()(≤≤≥-+y y R y y P L L (1-11)

其中)(y P L 满足

∑-=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+

-=101)(L j L j

j L y P ，其中)!(!!k n k n k n -=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛ (1-12) )1(22)]2

1

()([sup -<-+L L L y R y y P (1-13)

3）寻找一实系数三角多项式)(z Q ，使得)2

1()()(2

z R z z P z Q L L -+=。

选取方法是：从)2

1

()(z R z z P L L -+的每四个复零点中选两个，每对实零点中选一个，

按照下式构造)(z Q 。 4） 则得)()2

1(

)(z Q z

z H += 最简单的情况是取])1,0[(0∈≡y R ，此时)(y P L 是正系数多项式，所以条件式（1-12）显然得到满足，且因当0≥y 时，)(y P L 单调增加，因此，

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==∈L L L L L L P y P L L 1211221112)1()(sup [0,1]y (1-14) )1(212021221--==⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-<∑L L k k L 故条件式（1-14）也得到满足。于是利用Riesz 引理即可构作实系数三角多项式

∑-==1

20

)()(L k jn L j L e n q e Q ωω

，满足))cos(1(21

())2((sin )(22ωωω-==L L j P P e Q

由L P 构作Q 时，我们选取时，我们选取L P 在单位圆内的根，这相应于设计滤波器时选取最小相位。

当3,2=L 时，)(ωj L e Q 的具体解析式为

])31()31[(21

)(2ωωj j e e Q --++=

])1025101()101(21025)101[(4

1

)(23ωωωj j j e e e Q +-++-++++=