微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解
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第二章
习题2-1
1. 试利用本节定义5后面的注(3)证明:若lim n →∞
x n =a ,则对任何自然数k ,有lim n →∞
x n +k =a .
证:由lim n n x a →∞
=,知0ε∀>,1N ∃,当1n N >时,有
n x a ε-<
取1N N k =-,有0ε∀>,N ∃,设n N >时(此时1n k N +>)有
n k x a ε+-<
由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞
=.
2. 试利用不等式A B A B -≤-说明:若lim n →∞
x n =a ,则lim n →∞
∣x n ∣=|a|.考察数列
x n =(-1)n ,说明上述结论反之不成立.
证:
lim 0,,.
使当时,有n x n x a
N n N x a εε→∞
=∴∀>∃>-<
而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>,,使当时,有N n N ∃>
n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<
由数列极限的定义得 lim n n x a →∞
=
考察数列 (1)n
n x =-,知lim n n x →∞不存在,而1n x =,lim 1n n x →∞
=,
所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明:
(1) lim n →∞2221
11(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝
⎭
=0; (2) lim n →∞2!n
n =0.
证:(1)因为
22222
2111
112
(1)
(2)n n n n n n n n n n
++≤+++
≤≤=+ 而且 21lim
0n n →∞=,
2lim 0n n
→∞=, 所以由夹逼定理,得
222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫
+++
= ⎪+⎝
⎭
. (2)因为22222240!123
1n n n n n
<
=<-,而且4
lim 0n n →∞=,
所以,由夹逼定理得
2lim 0!
n
n n →∞= 4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =
1
1
n
e +,n =1,2,…;
(2) x 1,x n +1n =1,2,…. 证:(1)略。
(2)因为12x =<,不妨设2k x <,则
1222k x +=<=
故有对于任意正整数n ,有2n x <,即数列{}n x 有上界,
又 1n n x x +-=
,而0n x >,2n x <,
所以 10n n x x +-> 即 1n n x x +>, 即数列是单调递增数列。
综上所述,数列{}n x 是单调递增有上界的数列,故其极限存在。
习题2-2
1※
. 证明:0
lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .
证:先证充分性:即证若0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -+
→→==,则0
lim ()x x f x a →=. 由0
lim ()x x f x a -→=及0
lim ()x x f x a +
→=知: 10,0εδ∀>∃>,当010x x δ<-<时,有()f x a ε-<,
20δ∃>当020x x δ<-<时,有()f x a ε-<。
取{}12min ,δδδ=,则当00x x δ<-<或00x x δ<-<时,有()f x a ε-<, 而00x x δ<-<或00x x δ<-<就是00x x δ<-<,
于是0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<时,有()f x a ε-<, 所以 0
lim ()x x f x a →=.
再证必要性:即若0
lim ()x x f x a →=,则0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -+
→→==, 由0
lim ()x x f x a →=知,0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<时,有()f x a ε-<,
由00x x δ<-<就是 00x x δ<-<或00x x δ<-<,于是0,0εδ∀>∃>,当
00x x δ<-<或00x x δ<-<时,有()f x a ε-<.
所以 0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -+
→→== 综上所述,0
lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .
2. (1) 利用极限的几何意义确定0
lim x → (x 2+a ),和0
lim x -
→1
e x
; (2) 设f (x )= 1
2
e ,0,,0,x
x x a x ⎧⎪<⎨⎪+≥⎩
,问常数a 为何值时,0lim x →f (x )存在.
解:(1)因为x 无限接近于0时,2x a +的值无限接近于a ,故2
0lim()x x a a →+=.
当x 从小于0的方向无限接近于0时,1
e x
的值无限接近于0,故1
lim e 0x
x -
→=. (2)若0
lim ()x f x →存在,则0
0lim ()lim ()x x f x f x +-
→→=, 由(1)知 2
2
lim ()lim()lim()x x x f x x a x a a +--
→→→=+=+=, 1
lim ()lim e 0x
x x f x --
→→== 所以,当0a =时,0
lim ()x f x →存在。
3. 利用极限的几何意义说明lim x →+∞
sin x 不存在.
解:因为当x →+∞时,sin x 的值在-1与1之间来回振摆动,即sin x 不无限接近某一定直线y A =,亦即()y f x =不以直线y A =为渐近线,所以lim sin x x →+∞
不存在。
习题2-3
1. 举例说明:在某极限过程中,两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量,也不一定是无穷大量.
解:例1:当0x →时,tan ,sin x x 都是无穷小量,但由
sin cos tan x
x x
=(当0x →时,