微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解

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微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第九章习题详解

第9章习题9-1．判定下列级数的收敛性：115n n a ∞=⋅∑（＞）； ∑∞=-+1)1(n n n∑∞=+131n n ∑∞=-+12)1(2n nn ∑∞=+11ln n n n∑∞=-12)1(n n∑∞=+11n n n 0(1)21n n n n ∞=-⋅+∑．解：（）该级数为等比级数，公比为1a 且0a > 故当1||1a < 即1a >时，级数收敛，当1||1a≥即01a <≤时，级数发散（）(1n S n =++++1=lim n n S →∞=∞∴1n ∞=∑发散（）113n n ∞=+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前项得到的级数，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数113n n ∞=+∑发散（）1112(1)1(1)222n n nn n n n ∞∞-==⎛⎫+--=+ ⎪⎝⎭∑∑ 而1112n n ∞-=∑ 1(1)2m n n ∞=-∑是公比分别为12的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知111(1)22n n n n ∞-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑收敛，即原级数收敛（）lnln ln(1)1nn n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+故lim n n S →∞=-∞ 所以级数1ln1n nn ∞=+∑发散（）2210,2n n S S +==-∴lim n n S →∞不存在，从而级数1(1)2n n ∞=-∑发散（）1lim lim10n n n n U n→∞→∞+==≠ ∴ 级数11n n n ∞=+∑发散（） (1)(1)1, lim 21212n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1(1)21n n nn ∞=-+∑发散．判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13121n n n ；∑∞=++1)2)(1(1n n n n∑∞=⋅12sin n n n π0πcos 2n n ∞=∑．解：（）1111, 23n n n n ∞∞==∑∑都收敛，且其和分别为和12，则11123n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，且其和为 12 32（）11121(1)(2)212n n n n n n ⎛⎫=-+ ⎪++++⎝⎭∴121112111211121122322342345212n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭1lim 4n n S →∞=故级数收敛，且其和为14（）πsin 2n U n n = 而πsinππ2lim lim 0π222n n n U n→∞→∞=⋅=≠，故级数1πsin2n n n ∞=⋅∑发散（）πcos2n n U = 而4lim limcos2π1k k k U k →∞→∞== 42lim limcos(21)π1k k k U k +→∞→∞=+=-故lim n n U →∞不存在，所以级数0πcos2n n ∞=∑发散 ※．设1n n U ∞=∑ ＞加括号后收敛，证明1n n U ∞=∑亦收敛．证：设1(0)n n n U U ∞=>∑加括号后级数1n n A ∞=∑收敛，其和为考虑原级数1n n U ∞=∑的部分和1n k k S U ∞==∑，并注意到0(1,2,)k U k >=，故存在0n 使11n n k t k t S U A s ∞===<<∑∑又显然1n n S S +<对一切n 成立，于是，{}n S 是单调递增且有上界的数列，因此，极限lim nn S →∞存在，即原级数1n n U ∞=∑亦收敛习题．判定下列正项级数的收敛性：∑∞=++1n n n )2)(1(1 ∑∞=+1n n n1∑∞=++1n n n n )2(2 ∑∞=+1n n n )5(12；111nn a ∞=+∑ ＞ ∑∞=+1n n b a 1＞ ()∑∞=--+1n a n a n 22＞ ∑∞=-+1n n n 1214； ∑∞=⋅1n nn n 23； ※∑∞=1n n n n !∑∞=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅1n n n )13(1074)12(753 ∑∞=1n n n3；※∑∞=1n n n 22)!(2； ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1n nn n 12∑∞=1πn n n3sin2 ∑∞=1πn n n n 2cos 32．解：（）因为211(1)(2)n n n <++而211n n ∞=∑收敛，由比较判别法知级数11(1)(2)n n n ∞=++∑收敛（）因为limlim 10n n n U →∞→∞==≠，故原级数发散（）因为21(1)(1)1n n n n n n n +>=+++，而111n n ∞=+∑发散，由比较判别法知，级数12(1)n n n n ∞=++∑发散（）321n<=而n ∞=是收敛的p -级数3(1)2p => 由比较判别法知级数1n ∞=收敛（）因为111lim lim lim(1)111n n n n n n n n a a a a a→∞→∞→∞+==-++ 11112001a a a >⎧⎪⎪==⎨⎪<<⎪⎩而当1a >时，11n n a ∞=∑收敛，故111nn a ∞=+∑收敛当1a =时，11n n a ∞=∑ 11n ∞=∑发散，故111nn a∞=+∑发散当01a <<时1lim101nn a →∞=≠+，故1lim 1n n a →∞+发散综上所述，当01a <≤时，级数1lim1nn a →∞+发散，当1a >时，1lim 1n n a →∞+收敛（）因为1lim lim lim(1)1n n n nn n n nb a a b a b a b b →∞→∞→∞+==-++1111101b b a b >⎧⎪⎪==⎨+⎪<<⎪⎩ 而当1b >时 11n n b ∞=∑收敛，故11nn a b ∞=+∑收敛当1b =时，1111n n n b ∞∞===∑∑发散，故而由0a > 101a <<+∞+ 故11nn a b ∞=+∑也发散当01b <<时，11lim 0n n a b a →∞=≠+故11n n a b ∞=+∑发散综上所述知，当01b <≤时，级数11n n a b ∞=+∑发散当时，级数11nn a b ∞=+∑收敛（）因为lim n n n→∞=0n a ==>而11n n ∞=∑发散，故级数10)n a ∞=>∑发散（）因为434431121lim lim 1212n n n n n n n n →∞→∞++-==-而311n n∞=∑收敛，故级数21121n n n ∞=+-∑收敛（）因为1113233lim lim lim 1(1)232(1)2n n n n n n n n nU n n U n n +++→∞→∞→∞⋅⋅==>+⋅+由达朗贝尔比值判别法知，级数132nnn n ∞=⋅∑发散（）因为11(1)!1lim lim lim(1)1(1)!n n n n n n n nU n n e U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅=+=>+，由达朗贝尔比值判别法知，级数1!nn n n ∞=∑发散（）因为1357(21)(23)4710(31)limlim 4710(31)(34)357(21)n n n n U n n n U n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+ 232lim1343n n n →∞+==<+由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛（）因为111311lim lim lim 1333n n n n n n nU n n U n n ++→∞→∞→∞++=⋅==<，由达朗贝尔比值判别法知，级数13n n n ∞=∑收敛（）因为22221221(1)[(1)!]2(1)lim lim lim (!)22n n n n n n n nU n n U n +++→∞→∞→∞++=⋅= 由2212121(1)2(1)1lim lim lim 222ln 22ln 2x x x x x x x x x +++→∞→+∞→+∞+++==⋅⋅2121lim 022(ln 2)x x +→+∞==⋅知2121(1)lim lim 012n n n n nU n U ++→∞→∞+==<由达朗贝尔比值判别法知，级数221(!)2nn n ∞=∑收敛（）因为1lim 1212n n n n →∞==<+，由柯西根值判别法知级数121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛（）因为ππ2sinsin 33lim lim 1π2π33n n nn n n n n→∞→∞==⋅而112233nn n n n ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑是收敛的等比级数，它的每项乘以常数π后新得级数12π3n n n ∞=⋅∑仍收敛，由比较判别法的极限形式知，级数1π2sin3n n n ∞=∑收敛（）因为2πcos 322n nn n n ≤而与（）题类似地可证级数12n n n ∞=∑收敛，由比较判别法知级数1πcos 32nn n n ∞=∑收敛．试在，内讨论在什么区间取值时，下列级数收敛：∑∞=1n n n x nn x n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛123．解：（）因为11lim lim lim 11n n n n n n nU x n nxx U n x n ++→∞→∞→∞=⋅==++由达朗贝尔比值判别法知，当1x >时，原级数发散当01x <<时，原级数收敛而当1x =时，原级数变为调11n n∞=∑，它是发散的综上所述，当01x <<时，级数1nn x n∞=∑收敛（）因为1313(1)2limlim 22n n n n n nx n U xU x n ++→∞→∞⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭由达朗贝尔比值判别法知，当12x >即2x >时，原级数发散当012x<<即02x <<时，原级收敛而当12x =即 2x =时，原级数变为31n n ∞=∑，而由3lim n n →∞=+∞知31n n ∞=∑发散，综上所述，当02x <<时，级数31()2n n xn ∞=∑收敛习题．判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：∑∞=--1121)1(n nn 11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑ ∑∞=12sin n n nx４ 111π(1)sin πn n n n ∞+=-∑∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-11210121n n n ； ∑∞=+-1)1(n n x n∑∞=⋅1!)2sin(n n n x ．解：（）这是一个交错级数121n U n =- 1lim lim 021n n n U n →∞→∞==- 1112121n n U U n n +=>=-+ 由莱布尼茨判别法知11(1)21nn n ∞=--∑ 又1111(1)2121n n n n n ∞∞==-=--∑∑，由1121lim 12n n n→∞-= 及11n n ∞=∑发散，知级数1121n n ∞=-∑发散，所以级数11(1)21nn n ∞=--∑条件收敛（）因为2111(1)211(1)22(1)2n n n n n ----+-=+-⋅-⋅ 故11111(1)21111(1)22(1)22(1)2n n n n n n n n n ------+--=+≤+-⋅-⋅-⋅ 1113222n n n-=+= 而112n n ∞=∑收敛，故132n n ∞=∑亦收敛，由比较判别法知11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑收敛，所以级数11(1)2(1)2n n n n ∞-=-+-⋅∑绝对收敛（）因为22sin 1,nx n n ≤而级数211n n∞=∑收敛，由比较判别法知21sin n nxn ∞=∑收敛，因此，级数21sin n nxn ∞=∑绝对收敛（）因为121ππ|(1)sin |sin πlimlim 11πn n n n n n n n+→∞→∞-==而211n n∞=∑收敛，由比较判别法的极限形式知，级数111π|(1)sin |πn n n n ∞+=-∑收敛，从而级数11π(1)sin πn n n+-绝对收敛（）因为212121111111210210210n n n n n n ----≤+=+ 而级数112n n ∞=∑收敛的等比级数1()2q = 由比值判别法，易知级数211110n n ∞-=∑收敛，因而21111210n n n ∞-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由比较判别法知级数21111210n n n ∞-=-∑收敛，所以原级数21111210n n n ∞-=-∑绝对收敛（）当为负整数时，级数显然无意义；当不为负整数时，此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，故它是收敛的，但因11n x n∞=+∑发散，故原级数当不为负整数时仅为条件收敛（）因为sin(2)1!!n x n n ⋅≤ 由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛 1(1)!lim 01!n n n →∞+= ，从而由比较判别法知1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑收敛，所以级数1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑，绝对收敛．讨论级数∑∞=--111)1(n p n n的收敛性＞．解：当1p >时，由于11111(1)n p p n n n n ∞∞-==-=∑∑收敛，故级数111(1)n p n n ∞-=-∑绝对收敛当01p <≤时，由于111,(1)n n p p u u n n +=>=+ lim 0n n u →∞= 由莱布尼茨判别法知交错级数111(1)n p n n ∞-=-∑收敛，然而，当01p <≤时，11111(1)n p p n n n n ∞∞-==-=∑∑发散，故此时，级数111(1)n p n n ∞-=-∑条件收敛综上所述，当01p <≤时，原级数条件收敛当时，原级数绝对收敛 ※．设级数∑∞=12n n a 及∑∞=12n n b 都收敛，证明级数∑∞=1n n n b a 及()∑∞=+12n n n b a 也都收敛．证：因为2222||||110||222n n n n n n a b a b a b +≤≤=+ 而由已知1nn a ∞=∑及21n n b ∞=∑都收敛，故221111,22n n n n a b ∞∞==∑∑收敛，从而2211122n n n a b ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由正项级数的比较判别法知1n n n a b ∞=∑也收敛，从而级数1n n n a b ∞=∑绝对收敛又由222()2,n n n n n n a b a a b b +=++及2211,n n n n a b ∞∞==∑∑ 以及1n n n a b ∞=∑收敛，利用数项级数的基本性质知，221(2)nn n n n aa b b ∞=++∑收剑，亦即21()n n n a b ∞=+∑收敛习题．指出下列幂级数的收敛区间：∑∞=0!n n n x ； ∑∞=0!n n n x nn ；∑∞=⋅022n n n n x ； ∑∞=++-01212)1(n n n n x ． ∑∞=⋅+02)2(n n n n x ； ∑∞=-0)1(2n n nx n．解：（）因为111(1)!limlim lim 011!n n n n na n p a n n +→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径r =+∞，幂级数1!n n x n ∞=∑的收敛区间为(,)-∞+∞（）因为-111lim lim lim 1e 11nnn n n n na n p a n n +→∞→∞→∞⎛⎫===-= ⎪++⎝⎭，所以收敛半径1e r p == 当时，级数01!!e n n n n n n n n x n n ∞∞===∑∑，此时11(1)n n n u e u n+=+，因为1(1)n n +是单调递增数列，且1(1)n n+ 所以1n nu u + 从而lim 0n n u →∞≠，于是级数当时，原级数发散类似地，可证当时，原级数也发散可证lim ||0n n u →∞≠ 综上所述，级数0!nn n n x n ∞=∑的收敛区间为（）因为2111limlim ()212n n n n a n p a n +→∞→∞===+ 所以收敛半径为当2x =时，级数221012n n n n x n n∞∞===⋅∑∑是收敛的一级数（）当时，级数22011(1)2n n n n n x n n ∞∞===-⋅⋅∑∑是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件，故它收敛综上所述，级数202nn n x n∞=⋅∑的收敛区间为（）此级数缺少偶次幂的项，不能直接运用定理求收敛半径，改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间令21(1)21n nn x u n +=-+，则22121lim lim 23n n n nu n x x u n +→∞→∞+=⋅=+当21x <时，即||1x <时，原级数绝对收敛当21x >时，即||1x >时，级数0||n n u ∞=∑发散，从而210(1)21n nn x n +∞=-+∑发散，当1x =时，级数变为01(1)21nn n ∞=-+∑ 当1x =-时，级数变为101(1)21n n n ∞+=-+∑ 它们都是交错级数，且满足莱布尼茨判别法的条件，故它们都收敛综上所述，级数21(1)21n nn x n +∞=-+∑的收敛区间为（）此级数为（）的幂级数因为11limlim 2(1)2n n n n a n p a n +→∞→∞===+ 所以收敛半径12r p==，即|2|2x +<时，也即40x -<<时级数绝对收敛当|2|2x +>即4x <-或0x >时，原级数发散当4x =-时，级数变为01(1)n n n∞=-∑是收敛的交错级数，当时，级数变为调和级数11n n∞=∑ 它是发散的综上所述，原级数的收敛区间为（）此级数（）的幂级数12limlim 21n n n n a np a n +→∞→∞===+ 故收敛半径12r =于是当1|1|2x -<即1322x <<时，原级数绝对收敛当1|1|2x ->即12x <或32x >时，原级数发散当32x =时，原级数变为01n n∞=∑是调和级数，发散当12x =时，原级数变为11(1)n n n ∞=-∑，是收敛的交错级数综上所述，原级数的收敛区间为13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭．求下列幂级数的和函数：∑∞=-1)1(n nnn x ； ∑∞=-1122n n nx ；nn x n n ∑∞=+1)1(1； ∑∞=+0)12(n n x n ．解：（）可求得所给幂级数的收敛半径设1()(1)nnn x S x n ∞==-∑ 则1111()(1)(1)1n n n n n n x S x x n x ∞∞-=='⎡⎤'=-=-=-⎢⎥+⎣⎦∑∑∴001()()d d ln(1) (||1)1xxS x S x x x x x x-'===-+<+⎰⎰ 又当时，原级数收敛，且()S x 在处连续∴1(1)ln(1) (11)nnn x x x n ∞=-=-+-<≤∑ （）所给级数的收敛半经，设211()2n n S x nx ∞-==∑ 当||1x <时，有2121011()d 2d 2d xx xn n n n S x x nxx nx x ∞∞--====∑∑⎰⎰⎰22211nn x xx∞===-∑ 于是22222()1(1)x xs x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭又当1x =±时，原级数发散故 2122122 (||1)(1)n n xnx x x ∞-==<-∑（）可求所给级数的收敛半径为令1111()(0)(1)(1)n n n n x x s x x n n x n n +∞∞====≠++∑∑ 令11()(1)n n x g x n n +∞==+∑ 则111()1n n g x x x ∞-=''==-∑01()d ()(0)d 1xxg x x g x g x x''''=-=-⎰⎰(0)0,()ln(1)g g x x ''==--()d ()(0)ln(1)d ,(0)0xxg x x g x g x x g '=-=--=⎰⎰所以0()ln(1)d ln(1)ln(1)xg x x x x x x x =--=+---⎰所以1()11ln(1),||1,S x x x x⎛⎫=+--< ⎪⎝⎭且0x ≠当1x ±时，级数为11(1)n n n ∞=+∑和11(1)(1)n n n n ∞=-+∑ 它们都收敛且显然有(0)0S =故111ln(1)(1,0)(0,1)()00,1x x S x x x x ⎧⎛⎫+--∈-⋃⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=±⎩（）可求得所给级数的收敛半径为且1x ±时，级数发散，设10()n n S x nx ∞-==∑则001()d .1xn n s x x x x∞===-∑⎰ 于是211()()1(1)S x x x '==-- 即1211(1)n n nx x ∞-==-∑ 所以111(21)2nn n n n n n x x nxx ∞∞∞-===+=+∑∑∑221112(1)1(1)xx x x x +=⋅+=--- (||1)x < ．求下列级数的和：∑∞=125n n n ； ∑∞=-12)12(1n nn ；∑∞=--112212n n n ； 1(1)2n n n n ∞=+∑．解：（）考察幂级数21n n n x ∞=∑，可求得其收敛半径1r = ，且当1x ±时，级数的通项2n n u n x =，2lim ||lim n n n u n →∞→∞==+∞，因而lim 0n n u →∞≠，故当1x ±时，级数21nn n x ∞=∑发散，故幂级数21n n n x ∞=∑的收敛区间为（，）设21() (||1)nn S x n x x ∞==<∑，则211()n n S x x n x ∞-==∑令2111()n n S x n x ∞-==∑ 则11011()d xnn n n S x x nx x nx ∞∞-====∑∑⎰再令121()n n S x nx∞-==∑ 则201()d 1xn n xS x x x x∞===-∑⎰ 故221()(||1)1(1)x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭，从而有120()d (1)x x S x x x =-⎰ 1231() (||1)(1)(1)x xS x x x x '⎛⎫+==< ⎪--⎝⎭于是 213()() (||1)(1)x x S x xS x x x +==<- 取15x =，则223111()11555()5532115n n n S ∞=+===⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ （）考察幂级数21121n n x n ∞=-∑，可求得收敛半径，设2211111() (||1)2121nn n n S x x x x x n n ∞∞-====<--∑∑令21111()21n n S x x n ∞-==-∑ 则221211()1n n S x x x ∞-='==-∑ 1200d 11()d ln 1-21xxx x S x x x x +'==-⎰⎰即 1111()(0)ln (,(0)0)21xS x S s x+-==- 于是 111()ln,(||<1)21xS x x x+=-，从而 11()()ln (||1)21x xS x xS x x x+==<-取x =则11(21)21n n S n ∞===-∑=（）考察幂级数211(21)n n n x ∞-=-∑，可求得其级数半经为因为212121111(21)2n n n n n n n xnxx ∞∞∞---===-=-∑∑∑令2111()2n n S x nx∞-==∑，则221201()d 1xnn x S x x xx ∞===-∑⎰ 所以212222() (||1)1(1)x xS x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭ 于是212121111(21)2n n n n n n n xnxx ∞∞∞---===-=-∑∑∑3222222 (||1)(1)1(1)x x x x x x x x +=-=<--- 取12x =，得3212111()121102212291()2n n n S ∞-=+-⎛⎫=== ⎪⎛⎫⎝⎭-⎪⎝⎭∑（）考察幂级数1(1)n n n n x ∞=+∑，可求得其收敛半径设1()(1) (||1)n n S x n n x x ∞==+<∑则121011()d xn n n n S x x nxxnx∞∞+-====∑∑⎰又设111()n n S x nx ∞-==∑则101()d 1xn n x S x x x x∞===-∑⎰ 从而121()1(1)x S x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭2212()d ()(1)xx S x x x S x x ==-⎰2232() ||1(1)(1)x x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭取12x =，则31121(1)2822112nn n n S ∞=⨯+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭∑习题．将下列函数展开成的幂级数： 2cos 2x 2sin x ； 2x x -e211x -； πcos()4x -．解：（）2201cos 11cos (1)2222(2)!n n n x x x n ∞=+==+-∑ 211(1) (-)2(2)!nnn x x n ∞==+-∞<<+∞∑ （）2101sin (1) ()2(21)!2n n n x x x n +∞=⎛⎫=--∞<<+∞ ⎪+⎝⎭∑（）22210011e ()(1) ()!!x n n n n n x x x x x n n ∞∞-+===-=--∞<+∞∑∑ （）211111211x x x ⎡⎤=+⎢⎥--+⎣⎦002011(1)221[(1)]2 ||1n n nn n n n n n n n x x x x x x ∞∞==∞=∞==+-=+-=<∑∑∑∑（）πππcos cos cos sin sin 444x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2210sin )(1) ()2(2)!(21)!n n n n x x x x x n n +∞==+⎡⎤=-+-∞<<+∞⎢⎥+⎣⎦∑ ．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间：x -31 在＝１；在 3π 3412++x x 在 21x 在＝３．解：（）因为11113212x x =⋅--- 而 0111 (||112212n n x x x ∞=--⎛⎫=< ⎪-⎝⎭-∑即13x -<< 所以100111(1) (13)3222nn n n n x x x x ∞∞+==--⎛⎫=⋅=-<< ⎪-⎝⎭∑∑ 收敛区间为：（，）（）πππ2π2cos cos ()cos cos()sin sin()333333x x x x ⎡⎤=+-=---⎢⎥⎣⎦22100()()133(1)(1)2(2)!2(21)!n n n n n n x x n n ππ+∞∞==--=-+-+∑∑221011(1)()[)2(2)!3(21)!3n n n n x x n n ππ∞+=⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦∑ ()x -∞<<+∞ 收敛区间为(,)-∞+∞（）211111111()1143213481124x x x x x x =-=⋅-⋅--++++++ 001111(1)(1)4284n nn n n n x x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 223011(1)(1)22n n n n n x ∞++=⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∑由112x -<且114x -<得13x -<<，故收敛区间为（，）（）因为011113(1)()333313n n n x x x ∞=-=⋅=-⋅-+∑ 10(3)(1)3nnn n x ∞+=-=-∑ 而21011(3)(1)3n n n n x x x ∞+=''⎡⎤-⎛⎫=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑ 111(1)(3)3nn n n n x ∞-+=-=-⋅-∑1111(1)(3)3n n n n n x +∞-+=-=-∑ 20(1)(1)(3)3n n n n n x ∞+=-+=-∑ 由313x -<得06x << 故收敛区间为（，）。

微积分曹定华修订版课后题答案习题详解

第9章习题9-11．判定下列级数的收敛性：(1) 115n n a ∞=⋅∑（a ＞0）； (2) ∑∞=-+1)1(n n n ;(3) ∑∞=+131n n ; (4) ∑∞=-+12)1(2n nn ; (5) ∑∞=+11ln n n n ; (6) ∑∞=-12)1(n n;(7) ∑∞=+11n nn ; (8) 0(1)21n n n n ∞=-⋅+∑．解：（1）该级数为等比级数，公比为1a ,且0a >,故当1||1a <,即1a >时，级数收敛，当1||1a≥即01a <≤时，级数发散. （2）(1n S n =++++∴1n ∞=∑发散.（3）113n n ∞=+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数113n n ∞=+∑发散.（4）1112(1)1(1)222n n nn n n n ∞∞-==⎛⎫+--=+ ⎪⎝⎭∑∑ 而1112n n ∞-=∑,1(1)2m nn ∞=-∑是公比分别为12的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知111(1)22n n n n ∞-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑收敛，即原级数收敛.（5）lnln ln(1)1nn n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+故lim n n S →∞=-∞,所以级数1ln 1n nn ∞=+∑发散.（6）2210,2n n S S +==-∴ lim n n S →∞不存在，从而级数1(1)2nn ∞=-∑发散.（7）1lim lim10n n n n U n→∞→∞+==≠∴ 级数11n n n ∞=+∑发散. （8） (1)(1)1, lim 21212n n n n n n U n n →∞--==++∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1(1)21n n nn ∞=-+∑发散.2．判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：(1) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13121n n n ； (2) ※∑∞=++1)2)(1(1n n n n ;(3) ∑∞=⋅12sin n n n π; (4) 0πcos 2n n ∞=∑．解：（1）1111, 23n n n n ∞∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则11123n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，且其和为1+12=32.（2）11121(1)(2)212n n n n n n ⎛⎫=-+ ⎪++++⎝⎭1lim 4n n S →∞=故级数收敛，且其和为14. （3）πsin 2n U n n =,而πsinππ2lim lim 0π222n n n U n→∞→∞=⋅=≠，故级数1πsin2n n n ∞=⋅∑发散. （4）πcos 2n n U =,而4lim limcos2π1k k k U k →∞→∞==,42lim limcos(21)π1k k k U k +→∞→∞=+=-故lim n n U →∞不存在，所以级数πcos2n n ∞=∑发散. 3※．设1nn U∞=∑ (U n ＞0)加括号后收敛，证明1nn U∞=∑亦收敛．证：设1(0)nn n UU ∞=>∑加括号后级数1n n A ∞=∑收敛，其和为S .考虑原级数1n n U ∞=∑的部分和1n k k S U ∞==∑，并注意到0(1,2,)k U k >=，故存在0n ,使又显然1n n S S +<对一切n 成立，于是，{}n S 是单调递增且有上界的数列，因此，极限lim n n S →∞存在，即原级数1nn U∞=∑亦收敛.习题9-21．判定下列正项级数的收敛性：(1) ∑∞=++1n n n )2)(1(1; (2) ∑∞=+1n n n1;(3) ∑∞=++1n n n n )2(2; (4) ∑∞=+1n n n )5(12；(5) 111nn a ∞=+∑ (a ＞0); (6) ∑∞=+1n n ba 1(a , b ＞0); (7)()∑∞=--+1n a n a n22(a ＞0); (8) ∑∞=-+1n n n 1214； (9) ∑∞=⋅1n nn n 23； (10) ※∑∞=1n n n n !; (11) ∑∞=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅1n n n )13(1074)12(753 ; (12) ∑∞=1n n n3；(13) ※∑∞=1n n n 22)!(2； (14) ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1n nn n 12;(15)∑∞=1πn nn3sin2; (16) ∑∞=1πn n n n 2cos 32．解：（1）因为211(1)(2)n n n <++而211n n ∞=∑收敛，由比较判别法知级数11(1)(2)n n n ∞=++∑收敛.（2）因为lim 10n n n U →∞==≠，故原级数发散. （3）因为21(1)(1)1n n n n n n n +>=+++，而111n n ∞=+∑发散，由比较判别法知，级数12(1)n n n n ∞=++∑发散.（4）321n<=,而1n ∞=是收敛的p -级数3(1)2p =>,由比较判别法知,级数1n ∞=收敛.（5）因为111lim lim lim(1)111n n n n n n n n a a a aa→∞→∞→∞+==-++ 而当1a >时，11n n a ∞=∑收敛，故111nn a ∞=+∑收敛;当1a =时，11n n a ∞=∑= 11n ∞=∑发散，故111nn a∞=+∑发散; 当01a <<时1lim101n n a →∞=≠+，故1lim1nn a →∞+发散; 综上所述，当01a <≤时，级数1lim 1n n a →∞+发散，当1a >时，1lim 1nn a →∞+收敛. （6）因为1lim lim lim(1)1n n n n n n n n b aa b a b a bb→∞→∞→∞+==-++ 而当1b >时, 11n n b ∞=∑收敛，故11nn a b ∞=+∑收敛; 当1b =时，1111n n n b ∞∞===∑∑发散，故而由0a >, 101a <<+∞+,故11nn a b ∞=+∑也发散; 当01b <<时，11lim 0n n a b a →∞=≠+故11n n a b ∞=+∑发散; 综上所述知，当01b <≤时，级数11n n a b ∞=+∑发散;当b >1时，级数11nn a b∞=+∑收敛. （7）因为lim 1n n n→∞=而11n n ∞=∑发散，故级数10)n a ∞=>∑发散. （8）因为434431121lim lim 1212n n n n n n n n →∞→∞++-==-而311n n∞=∑收敛，故级数21121n n n ∞=+-∑收敛.（9）因为1113233lim lim lim 1(1)232(1)2n n n n n n n n nU n n U n n +++→∞→∞→∞⋅⋅==>+⋅+由达朗贝尔比值判别法知，级数132n nn n ∞=⋅∑发散.（10）因为11(1)!1lim lim lim(1)1(1)!n nn n n n n nU n n e U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅=+=>+，由达朗贝尔比值判别法知，级数1!n n n n ∞=∑发散.（11）因为1357(21)(23)4710(31)limlim 4710(31)(34)357(21)n n n nU n n n U n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+232lim1343n n n →∞+==<+,由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.（12）因为111311lim lim lim 1333n n n n n n nU n n U n n ++→∞→∞→∞++=⋅==<，由达朗贝尔比值判别法知，级数13n n n ∞=∑收敛.（13）因为22221221(1)[(1)!]2(1)lim lim lim (!)22n n n n n n n nU n n U n +++→∞→∞→∞++=⋅= 由2212121(1)2(1)1lim lim lim 222ln 22ln 2x x x x x x x x x +++→∞→+∞→+∞+++==⋅⋅2121lim 022(ln 2)x x +→+∞==⋅知2121(1)lim lim 012n n n n nU n U ++→∞→∞+==<由达朗贝尔比值判别法知，级数221(!)2n n n ∞=∑收敛.（14）因为1lim 1212n n n n →∞==<+，由柯西根值判别法知级数121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛. （15）因为ππ2sinsin 33lim lim 1π2π33n n nn n n n n→∞→∞==⋅而112233nn n n n ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑是收敛的等比级数，它的每项乘以常数π后新得级数12π3n n n ∞=⋅∑仍收敛，由比较判别法的极限形式知，级数1π2sin3n n n ∞=∑收敛. （16）因为2πcos 322n n n n n ≤而与（12）题类似地可证级数12nn n ∞=∑收敛，由比较判别法知级数1πcos 32n n n n ∞=∑收敛.2．试在(0，+∞)内讨论x 在什么区间取值时，下列级数收敛：(1) ∑∞=1n n n x ; (2) nn x n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛123．解：（1）因为11lim lim lim 11n n n n n n nU x n nxx U n x n ++→∞→∞→∞=⋅==++由达朗贝尔比值判别法知，当1x >时，原级数发散;当01x <<时，原级数收敛; 而当1x =时，原级数变为调11n n ∞=∑，它是发散的.综上所述，当01x <<时，级数1nn x n ∞=∑收敛.（2）因为1313(1)2limlim 22n n n n n nx n U xU x n ++→∞→∞⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭,由达朗贝尔比值判别法知，当12x >即2x >时，原级数发散; 当012x<<即02x <<时，原级收敛. 而当12x =即 2x =时，原级数变为31n n ∞=∑，而由3lim n n →∞=+∞知31n n ∞=∑发散，综上所述，当02x <<时，级数31()2nn xn ∞=∑收敛.习题9-31．判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：(1) ∑∞=--1121)1(n nn ; (2) 11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑; (3) ∑∞=12sin n n nx ; (４) 111π(1)sin πn n n n ∞+=-∑; (5) ∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-11210121n n n ； (6) ∑∞=+-1)1(n n x n ;(7) ∑∞=⋅1!)2sin(n n n x ．解：（1）这是一个交错级数121n U n =-, 1lim lim 021n n n U n →∞→∞==-, 1112121n n U U n n +=>=-+ 由莱布尼茨判别法知11(1)21nn n ∞=--∑. 又1111(1)2121nn n n n ∞∞==-=--∑∑，由1121lim 12n n n→∞-=,及11n n ∞=∑发散，知级数1121n n ∞=-∑发散，所以级数11(1)21nn n ∞=--∑条件收敛. （2）因为2111(1)211(1)22(1)2n n n n n ----+-=+-⋅-⋅,故而112n n ∞=∑收敛，故132n n ∞=∑亦收敛，由比较判别法知11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑收敛，所以级数11(1)2(1)2n n n n ∞-=-+-⋅∑绝对收敛.（3）因为22sin 1,nx n n ≤而级数211n n∞=∑收敛，由比较判别法知21sin n nx n ∞=∑收敛，因此，级数21sin n nxn ∞=∑绝对收敛.（4）因为121ππ|(1)sin |sin πlimlim 11πn n n n n n n n+→∞→∞-==而211n n∞=∑收敛，由比较判别法的极限形式知，级数111π|(1)sin |πn n n n ∞+=-∑收敛，从而级数11π(1)sin πn n n +-绝对收敛.（5）因为212121111111210210210n n n n n n ----≤+=+,而级数112nn ∞=∑收敛的等比级数1()2q =;由比值判别法，易知级数211110n n ∞-=∑收敛，因而21111210n n n ∞-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由比较判别法知级数21111210n n n ∞-=-∑收敛，所以原级数21111210n n n ∞-=-∑绝对收敛. （6）当x 为负整数时，级数显然无意义；当x 不为负整数时，此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，故它是收敛的，但因11n x n ∞=+∑发散，故原级数当x 不为负整数时仅为条件收敛. （7）因为sin(2)1!!n x n n ⋅≤由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛(1(1)!lim 01!n n n →∞+=)，从而由比较判别法知1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑收敛，所以级数1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑，绝对收敛. 2．讨论级数∑∞=--111)1(n pn n 的收敛性(p ＞0)．解：当1p >时，由于11111(1)n p p n n n n ∞∞-==-=∑∑收敛，故级数111(1)n p n n ∞-=-∑绝对收敛. 当01p <≤时，由于111,(1)n n p p u u n n +=>=+ lim 0n n u →∞=,由莱布尼茨判别法知交错级数111(1)n p n n ∞-=-∑收敛，然而，当01p <≤时，11111(1)n p p n n n n ∞∞-==-=∑∑发散，故此时，级数111(1)n p n n ∞-=-∑条件收敛. 综上所述，当01p <≤时，原级数条件收敛;当p >1时，原级数绝对收敛.3※．设级数∑∞=12n na及∑∞=12n nb都收敛，证明级数∑∞=1n nn ba 及()∑∞=+12n n nb a也都收敛．证：因为2222||||110||222n n n n n n a b a b a b +≤≤=+ 而由已知1nn a ∞=∑及21n n b ∞=∑都收敛，故221111,22n n n n a b ∞∞==∑∑收敛，从而2211122n n n a b ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由正项级数的比较判别法知1n nn a b∞=∑也收敛，从而级数1n nn a b∞=∑绝对收敛.又由222()2,n n n n n n a b a a b b +=++及2211,n nn n a b∞∞==∑∑,以及1n nn a b∞=∑收敛，利用数项级数的基本性质知，221(2)nn n n n aa b b ∞=++∑收剑，亦即21()n n n a b ∞=+∑收敛.习题9-41．指出下列幂级数的收敛区间：(1) ∑∞=0!n n n x (0!=1)； (2) ∑∞=0!n nn x nn ；(3) ∑∞=⋅022n n n n x ； (4) ∑∞=++-01212)1(n n n n x ． (5) ∑∞=⋅+02)2(n n n n x ； (6) ∑∞=-0)1(2n n nx n．解：（1）因为111(1)!limlim lim 011!n n n n na n p a n n +→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径r =+∞，幂级数1!n n x n ∞=∑的收敛区间为(,)-∞+∞.（2）因为-111lim lim lim 1e 11n nn n n n na n p a n n +→∞→∞→∞⎛⎫===-= ⎪++⎝⎭，所以收敛半径1e r p ==. 当x =e 时，级数01!!e n n n n n n n n x n n ∞∞===∑∑，此时11(1)n n n u e u n+=+，因为1(1)n n +是单调递增数列，且1(1)nn +<e所以1n nu u +>1,从而lim 0n n u →∞≠，于是级数当x =e 时，原级数发散.类似地，可证当x =-e 时，原级数也发散(可证lim ||0n n u →∞≠),综上所述，级数0!nnn n x n∞=∑的收敛区间为(-e,e). （3）因为2111limlim ()212n n n n a n p a n +→∞→∞===+,所以收敛半径为r =2. 当2x =时，级数221012n n n n x n n∞∞===⋅∑∑是收敛的p 一级数（p =2>1）;当x =-2时，级数22011(1)2n nn n n x n n ∞∞===-⋅⋅∑∑是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件，故它收敛.综上所述，级数202nn n x n∞=⋅∑的收敛区间为[-2,2].（4）此级数缺少偶次幂的项，不能直接运用定理2求收敛半径，改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间.令21(1)21n nn x u n +=-+，则22121lim lim 23n n n nu n x x u n +→∞→∞+=⋅=+.当21x <时，即||1x <时，原级数绝对收敛.当21x >时，即||1x >时，级数0||n n u ∞=∑发散，从而210(1)21n nn x n +∞=-+∑发散，当1x =时，级数变为01(1)21nn n ∞=-+∑;当1x =-时，级数变为11(1)21n n n ∞+=-+∑;它们都是交错级数，且满足莱布尼茨判别法的条件，故它们都收敛. 综上所述，级数21(1)21n nn x n +∞=-+∑的收敛区间为[-1,1].（5）此级数为（x +2）的幂级数. 因为11limlim 2(1)2n n n n a n p a n +→∞→∞===+. 所以收敛半径12r p==，即|2|2x +<时，也即40x -<<时级数绝对收敛.当|2|2x +>即4x <-或0x >时，原级数发散.当4x =-时，级数变为1(1)nn n∞=-∑是收敛的交错级数，当x =0时，级数变为调和级数11n n∞=∑,它是发散的. 综上所述，原级数的收敛区间为[-4,0).（6）此级数（x -1）的幂级数故收敛半径12r =.于是当1|1|2x -<即1322x <<时，原级数绝对收敛. 当1|1|2x ->即12x <或32x >时，原级数发散.当32x =时，原级数变为01n n ∞=∑是调和级数，发散.当12x =时，原级数变为11(1)n n n ∞=-∑，是收敛的交错级数.综上所述，原级数的收敛区间为13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 2．求下列幂级数的和函数：(1) ∑∞=-1)1(n n nn x ； (2) ∑∞=-1122n n nx ；(3) nn x n n ∑∞=+1)1(1； (4) ∑∞=+0)12(n n x n ．解：（1）可求得所给幂级数的收敛半径r =1.设1()(1)n nn x S x n ∞==-∑,则1111()(1)(1)1n n n n n n x S x x n x ∞∞-=='⎡⎤'=-=-=-⎢⎥+⎣⎦∑∑ 又当x =1时，原级数收敛，且()S x 在x =1处连续.（2）所给级数的收敛半经r =1，设211()2n n S x nx∞-==∑,当||1x <时，有于是22222()1(1)x x s x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭又当1x =±时，原级数发散.故2122122 (||1)(1)n n xnx x x ∞-==<-∑（3）可求所给级数的收敛半径为1.令1111()(0)(1)(1)n n n n x x s x x n n x n n +∞∞====≠++∑∑ 令11()(1)n n x g x n n +∞==+∑,则111()1n n g x x x ∞-=''==-∑所以0()ln(1)d ln(1)ln(1)xg x x x x x x x =--=+---⎰;所以1()11ln(1),||1,S x x x x ⎛⎫=+--< ⎪⎝⎭且0x ≠. 当1x ±时，级数为11(1)n n n ∞=+∑和11(1)(1)n n n n ∞=-+∑,它们都收敛.且显然有(0)0S =. 故111ln(1)(1,0)(0,1)()00,1x x S x x x x ⎧⎛⎫+--∈-⋃⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=±⎩. （4）可求得所给级数的收敛半径为r =1且1x ±时，级数发散，设10()n n S x nx ∞-==∑,则001()d .1xn n s x x x x∞===-∑⎰ 于是211()()1(1)S x x x '==--,即1211(1)n n nx x ∞-==-∑. 所以1101(21)2n n n n n n n xx nx x ∞∞∞-===+=+∑∑∑ 3．求下列级数的和： (1) ∑∞=125n n n ； (2) ∑∞=-12)12(1n n n ； (3) ∑∞=--112212n n n ； (4) 1(1)2n n n n ∞=+∑．解：（1）考察幂级数21n n n x ∞=∑，可求得其收敛半径1r = ，且当1x ±时，级数的通项2n n u n x =，2lim ||lim n n n u n →∞→∞==+∞，因而lim 0n n u →∞≠，故当1x ±时，级数21n n n x ∞=∑发散，故幂级数21n n n x ∞=∑的收敛区间为（-1，1）.设21() (||1)n n S x n x x ∞==<∑，则211()n n S x x n x ∞-==∑ 令2111()n n S x n x∞-==∑,则11011()d x n n n n S x x nx x nx ∞∞-====∑∑⎰. 再令121()n n S x nx∞-==∑,则201()d 1x n n x S x x x x∞===-∑⎰. 故221()(||1)1(1)x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭，从而有120()d (1)x x S x x x =-⎰.于是 213()() (||1)(1)x x S x xS x x x +==<- 取15x =，则223111()11555()5532115n n n S ∞=+===⎛⎫- ⎪⎝⎭∑. （2）考察幂级数21121n n x n ∞=-∑，可求得收敛半径r =1，设令21111()21n n S x x n ∞-==-∑,则221211()1n n S x x x ∞-='==-∑. 即 1111()(0)ln (,(0)0)21x S x S s x+-==-. 于是 111()ln ,(||<1)21x S x x x +=-，从而取x =则11(21)21n n S n ∞===--∑（3）考察幂级数211(21)n n n x∞-=-∑，可求得其级数半经为r =1,因为令2111()2n n S x nx∞-==∑，则221201()d 1x n n x S x x xx ∞===-∑⎰. 所以212222() (||1)1(1)x x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭,于是取12x =，得 3212111()121102212291()2n n n S ∞-=+-⎛⎫=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭∑. （4）考察幂级数1(1)n n n n x∞=+∑，可求得其收敛半径r =1. 设1()(1) (||1)n n S x n n xx ∞==+<∑ 则121011()d xn n n n S x x nx x nx ∞∞+-====∑∑⎰.又设111()n n S x nx∞-==∑则101()d 1x n n x S x x x x∞===-∑⎰. 从而121()1(1)x S x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭, 取12x =，则习题9-51．将下列函数展开成x 的幂级数： (1) 2cos 2x ; (2) 2sin x ； (3) 2x x -e ; (4) 211x -； (5)πcos()4x -．解：（1）2201cos 11cos (1)2222(2)!n n n x x x n ∞=+==+-∑ （2）2101sin (1) ()2(21)!2n n n x x x n +∞=⎛⎫=--∞<<+∞ ⎪+⎝⎭∑ （3）22210011e ()(1) ()!!x n n n n n x x x x x n n ∞∞-+===-=--∞<+∞∑∑ （4）211111211x x x ⎡⎤=+⎢⎥--+⎣⎦（5）πππcos cos cos sin sin 444x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 2．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间： (1)x -31,在x 0＝１； (2) cos x,在x 0=3π; (3) 3412++x x ,在x 0=1; (4) 21x, 在x 0＝３．解：（1）因为11113212x x =⋅---,而 0111 (||112212nn x x x ∞=--⎛⎫=< ⎪-⎝⎭-∑即13x -<<). 所以100111(1) (13)3222nnn n n x x x x ∞∞+==--⎛⎫=⋅=-<< ⎪-⎝⎭∑∑. 收敛区间为：（-1，3）.（2）πππ2π2cos cos ()cos cos()sin sin()333333x x x x ⎡⎤=+-=---⎢⎥⎣⎦ 收敛区间为(,)-∞+∞.（3）211111111()1143213481124x x x x x x =-=⋅-⋅--++++++ 由112x -<且114x -<得13x -<<，故收敛区间为（-1，3）（4）因为011113(1)()333313n n n x x x ∞=-=⋅=-⋅-+∑ 而21011(3)(1)3n n n n x x x ∞+=''⎡⎤-⎛⎫=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑ 由313x -<得06x <<. 故收敛区间为（0，6）.。

微积分第二版课后习题答案

微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.11.（a）是（b）否（c）是（d）否2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{{2,3,4},{1,2,3,4}.4. a?b5. a?b6~15. 略。

16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,②如果x?c，则x?b，所以x?aa-(b-c)?(ab)惹(ac).再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。

20. cda.21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};禳1镲xx?r,睚2镲铪参考答案禳禳11镲镲，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚镲镲44铪铪禳1镲a=睚-1,-,0,1,2,7.镲4铪xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.b-cb-c;(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0323~25. 略。

微积分第二章习题参考答案

f ( x ) f ( x ), f ( x ) f ( x ),
即f ( x )为奇函数;
§2.3隐函数的导数(23-24)
一.1. ey sec 2 ( r ) ; 2. csc 2 ( r ) ; 2 2 y 1 sec ( r )
x 0
1 2 x
1.
二.解1.(1).
y ln( x 1 x 2 ) ln x ,
1 x
1 y (1 ) x x 1 x2 1 x2 1 . x 2 1 x 2 x(1 x 2 )
(2) 1 y 3sec (ln x ) sec(ln x )tan(ln x ) x 3 sec 3 (ln x )tan(ln x ). x
x 1 dy k 2e ,当 0时, , dx 0 y0
切线方程为 y 2e( x 1), 1 法线方程为 y ( x 1). 2e
四.
解 : s ( t ) x ( t ) 9,
2 2
ds dx s( t ) x ( t ) 0, dt dt ds 已知 160, s 5, x 4, dt dx 200, v 200 120 80. dt
(sin 2 x ) f (cos 2 x )]sin 2 x . [f 1 (3) y f ( x ); 2 1 f ( x)
(4) y f (sin x )cos x cos[ f ( x )] f ( x ).
4.解.(一) lim f ( x ) lim
1 1 2( 1)2 2( 1)2 y , y 2 2 , 3 3 ( t 2) ( t 1) ( t 2) ( t 1)

微积分曹定华课后题答案第二章习题详解

第二章习题2-11、试利用本节定义5后面的注(3)证明:若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ,有lim n →∞x n +k =a 、证:由lim n n x a →∞=,知0ε∀>,1N ∃,当1n N >时,有n x a ε-<取1N N k =-,有0ε∀>,N ∃,设n N >时(此时1n k N +>)有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=、2、试利用不等式A B A B -≤-说明:若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|、考察数列x n =(-1)n ,说明上述结论反之不成立、证:lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<Q而 n n x a x a -≤- 于就是0ε∀>,,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-,知lim n n x →∞不存在,而1n x =,lim 1n n x →∞=,所以前面所证结论反之不成立。

3、利用夹逼定理证明:(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭L =0; (2) lim n →∞2!n n =0、证:(1)因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+L 而且 21lim0n n →∞=,2lim 0n n→∞=, 所以由夹逼定理,得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭L 、 (2)因为22222240!1231n n n n n<=<-g g g L g g ,而且4lim 0n n →∞=, 所以,由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 4、利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在、 (1) x n =11ne +,n =1,2,…;(2) x 1,x n +1n =1,2,…、证:(1)略。

常微分课后答案第二章

第二章一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换习题2.1求下列方程的解 1．xy dxdy2=，并求满足初始条件：1,0==y x 的特解．解分离变量，得到xdx ydy 2=，两边积分，即得C x y ~ln 2+=，因而，通解为 2x Ce y =，这里C 是任意常数．此外，方程还有解0=y ．由10==x y 得1=C ，特解2x e y =．2．0)1(2=++dy x dx y ，并求满足初始条件：1,0==y x 的特解．解分离变量，得到12+-=x dx y dy ，两边积分，即得C x y ~1ln 1++-=-，因而，通解为Cx y ++=1ln 1，这里C 是任意常数．此外，1-=x 和0=y 是两条积分曲线．由10==x y 得1=C ，特解11ln 1++=x y ．3．yx xy y dx dy 321++=．解分离变量，得到)1(122x x dx y ydy +=+，两边积分，即得C xx y ~1ln )1ln(222++=+，所以得通解222)1)(1(Cx y x =++，这里0>C 是任意正常数．4．0)1()1(=-++xdy y ydx x ．解分离变量，得到dx xx dy y y +=-11，两边积分，即得C x x y y ~ln ln ++=-，因此得通解C xy y x =+-ln ，这里C 是任意常数．另有特解0=x 和0=y ．5．0)()(=-++dx y x dy x y ．解变形得x y x y dx dy +-=，这是齐次方程，设x y u =，得dxdu x u dx dy +=，代入原方程得 11+-=+u u dx du xu ，分离变量得 x dx du u u -=++211，两边积分，即得 C x u u +-=++ln )1ln(21arctan 2，即C y x x y =++)ln(21arctan 22，这里C 是任意常数．6．22y x y dxdy x -+=．解变形得 21sgn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x y x x y dx dy ，这是齐次方程，设x y u =，得dx du x u dx dy +=，代入原方程得 21sgn u x dxdux-=，分离变量积分，即得 C x x u +=ln sgn arcsin ，即C x x xy+=ln sgn arcsin． C x u u +-=++ln )1ln(21arctan 2，即C y x x y =++)ln(21arctan 22，这里C 是任意常数． 7．0cot tan =-xdy ydx ．解分离变量，得到xdx ydy tan cot =，两边积分，即得C x y ~cos ln sin ln +-=，所以通解为C y x =sin cos ，这里0≠C 的任意常数．另有特解πk y =，Z k ∈及2ππ+=k x ，Z k ∈，这只须在通解表达式中允许0=C 即可，故通解为C y x =sin cos ，这里C 是任意常数．8．032=++ye dx dy x y ．解分离变量，得到dx e e ydy x y32-=，两边积分，即得C e e x y ~3232+-=--，得到通解C eey x=--2323，这里C 是任意常数．9．0)ln (ln =--ydx dy y x x ．解变形得y y x x dy dx )ln (ln -=，令u y x =，则dydu y u dy dx +=，代入方程并分离变量得，ydy u u du =-)1(ln ，两边积分，即得C y u ~ln 1ln ln +=-，或1ln +=Cy u ，回代原变量有，1ln+=Cy yx ，或1+=Cy ye x ，这里0≠C 的任意常数．另有特解满足01ln =-u ，即ey x =，这只须在通解表达式中允许0=C 即可，故通解为1+=Cy ye x ，这里C 是任意常数．10．y x e dxdy-=．解分离变量，得到dx e dy e xy=，积分得C e e xy +=，这里C 是任意常数．作适当的变量变换求解下列方程（11—17） 11．2)(y x dxdy+=．解设y x u +=，则dx dy dx du +=1，原方程化为C x u u dxdu+=⇒+=arctan 12，即通解为 C x y x +=+)a r c t a n(，这里C 是任意常数． 12．2)(1y x dx dy +=．解2)(y x dydx+=，由上题，注意到这里的x 和y 相当于上题的y 和x ，得到方程的通解为 C y y x +=+)a r c t a n(，这里C 是任意常数． 13．1212+-+-=y x y x dx dy ．解由⎩⎨⎧=+-=+-012,012y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=31,31y x ，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,31,31y Y x X 就有Y X Y X dX dY 22--=，这是齐次方程，令X Y u =，有u dXduX dX dY +=，代入方程后分离变量，X dX du u u u =+--)1(2212，得到C X u u ~ln 2)1ln(2+-=+-，回代变量得C y x y xy x =-++-22即为原方程的通解，这里C 是任意常数．14．25--+-=y x y x dx dy ．解令u y x =-，则dx du dx dy =-1，代入方程得 27--=u dx du ，分离变量并积分得，C x u u =+-1442，即C y x y xy x =+++-410222为方程的通解，这里C 是任意常数．15．18)14()1(22+++++=xy y x dxdy．解变形为2)14(2+++=y x dx dy ，令u y x =++14，则dxdydx du 41+=，代入原方程得942+=u dx du ，分离变量解之得，C x u +=632arctan ，回代原变量并变形化简，得到通解 )14(2)6t a n (3++=+y x C x ，这里C 是任意常数．16．2252622yx xy x y dx dy +-=．解变形为232632)2(3)(xxy x y dx y d +-=，令x y u 3=，则原方程化为 1262+--=u u u dx du x ，解之得537)2()3(Cx u u =+-，即153373)2()3(Cx x y x y =+-为方程的通解，这里C 是任意常数．17．yy y x xxy x dx dy -+++=32232332．解变形为123132)()(222222-+++=y x y x x d y d ，令⎪⎩⎪⎨⎧==22,yY x X ，原方程变为123132-+++=Y X Y X dX dY ，由⎩⎨⎧=-+=++0123,0132Y X Y X ，得到⎩⎨⎧-==1,1Y X ．设⎩⎨⎧+=-=1,1Y v X u ，则有v u v u dv du 2332++=，再令s v u =，得到dvds v s dv du +=，于是23)1(32+-=s s dv ds v ，解得C v s s =-+65)1)(1(，逐步回代变量，得原方程的通解为C y x y x =--+52222)2)((，这里C 是任意常数．18．证明方程)(xy f dxdyy x =经变换u xy =可化为变量分离方程，并由此求解下列方程：（1）xdy dx y x y =+)1(22；（2）222222y x y x dx dy y x -+=．证明令u xy =，则得dx dy x y dx du +=，代入原方程得]1)([+=u f u dxdu x 是变量分离方程．（1）中221)(y x xy f +=，所以)2(2+=u u dxdux，分离变量求解得 C u x u ++=)]2(ln[2arctan224，即得原告方程的通解C y x x xy ++=)]2(ln[2arctan2224．（2）中2222)(u u u f -+=，所以224udx du x -=，分离变量求解得 C x u u +=-ln 43123，即得原告方程的通解 C x y x xy +=-ln 431233． 19．已知0,1)()(0≠=⎰x dt t f x f x，试求函数)(x f 的一般表达式．解变形后等式两边对x 求导，有 ])(1[])(['='⎰x f dt t f x，即 )()()(2x f x f x f '-=，解得)(21)(C x x f +±=，由1)()1(1=⎰dt t f f ，得0=C ，所以xx f 21)(±=．20．求具有性质)()(1)()()(s x t x s x t x s t x -+=+的函数)(t x ，已知)0(x '存在．解因为)0(x '存在，故)(t x 在0=t 连续，即)0()(lim 0x t x x =→．由)()(1)()()(s x t x s x t x s t x -+=+，令0=s 就有)0()(1)0()()(x t x x t x t x -+=，得到0)0(=x ．ss x s x t x t x s t x s x t x s x t x s t x s t x )()()(1)(1)()()(1)()()()(2⋅-+=--+=-+，令0→s 取极限，由于右边的极限为)0()](1[2x t x '+，故左边的极限存在，从而得到函数)(t x 满足的方程， )0()](1[)(2x t x t x '+='，解之得 C t x t x +'=)0()(arctan ，或])0(t a n [)(C t x t x +'=．由0)0(=x ，推出Z k k C ∈=,π，所以])0(tan[)(πk t x t x +'=，Z k ∈．21．求一曲线，使它的切线介于两坐标轴之间的部分被切点分成相等的部分．解由习题 1.2—9（4），知曲线)(x f y =应满足的方程0=+'y y x ，即xy dx dy -=，分离变量解之得，C x y ~ln ln +-=，或C xy =为所求的曲线．22．在图（2.1）所示的C R -电路中，设10=E 伏，100=R 欧，01.0=C 法，而开始时电容C 上没有电荷，问：（1）当开关K 合上“1”后，经过多长时间电容C 上的电压5=C u 伏？（2）当开关K 合上“1”后，经过相当长的时间（如1分钟后）开关K 从“1”突然转至“2”，试求C u 的变化规律，并问经过多长时间5=C u 伏？解（1）由例7，)1(1t RCC eE u --=，将10=E ，100=R ，01.0=C 代入，有)1(10t C e u --=，由)1(105te --=，反解出)(6931.02ln s t ≈=，即经过约6931.0秒，电容C 上的电压5=C u 伏．（2）同样由例7，t RCC Eeu 1-=，代入具体数值有t C e u -=10，由te -=105，同样得到)(6931.02ln s t ≈=，即经过约6931.0秒，电容C 上的电压5=C u 伏．23．求出习题1.2第9题（1）所确定的曲线，其中4πα=．解由习题1.2—9（1），ααt a n t a n y x x y y -+='，代入4πα=得y x x y y -+='，这是齐次方程，令u x y =，则dx du x u dx dy +=，代入得2211u u dx du x -+=，解出C y x xy++=)ln(arctan 222即为所求曲线．24．证明满足习题1.2第9题（7）所给条件的曲线是抛物线族．证明由习题1.2—9（7），0(>='k kx y 常数)，解之得C kx y +=221，这是抛物线族，顶点在),0(C ，对称轴为y 轴．§2.2 线性方程与常数变易法习题2.2求下列方程的解： 1．x y dxdysin +=．解首先，求齐次线性方程y dxdy=的通解，从dx y dy =得到齐次方程通解x ce y =，令xe x c y )(=为方程的解，代入得x ex c xsin )(-='，即cx x e x c x ~)co s (si n 21)(++-=-，故原方程的通解为x e c x x y ~)cos (sin 21++-=，其中c ~为任意常数． 2．t e x dt dx 23=+．解由03=+x dtdx ，解出t ce x 3-=，设t e t c x 3)(-=是原方程的解，代入原方程得，t e t c 5)(='，故c e t c t ~51)(5+=，所以原方程的通解为t t e e c x 2351~+=-，其中c ~为任意常数．3．t t s dt ds 2sin 21cos +-=．解由t s dt ds cos -=，解得tce s sin -=，设t e t c s s i n )(-=是原方程的解，代入原方程得，t e t c t 2sin 21)(sin ='，得c t e t c t ~)1(sin )(sin +-=，所以通解为1sin ~sin -+=-t e c x t ，其中c ~为任意常数．4．n x e y x n dx dy n x ,=-为常数．解由0=-y xndx dy ，解得n cx y =，设n x x c y )(=是原方程的解，代入原方程得，x e x c =')(，即ce x c x ~)(+=，所以通解为n x x c e y )~(+=，这里c ~为任意常数． 5．01212=--+y x xdx dy ．解由0212=-+y xx dx dy ，解得x e cx y 12=，设xe x x c y 12)(=是原方程的解，代入原方程得，ce x c e xx c x x ~)(1)(112+=⇒='--，所以通解x e x c x y 122~+=，这里c ~为任意常数．6．234xyy x dx dy +=．解原方程即231y x y x dx dy +=，这是2-=n 的Bernoulli 方程，令3y z =，就有，233x z xdx dz +=，解这个一阶线性方程得通解为)ln 3(3c x x z +=，即)ln 3(33c x x y +=，这里c 为任意常数．7．3)1(12+++=x x y dx dy ．解由12+=x y dx dy ，得2)1(+=x c y ，令2)1)((+=x x c y 为原方程的解，代入原方程得，1)(+='x x c ，即c x x c ~)1(21)(2++=，所以原方程通解为24)1(~)1(21+++=x c x y ，其中c ~为任意常数．8．3y x ydx dy +=．解变形为21y x ydy dx +=，把x 看作未知函数，y 看作自变量，对于y 及dy dx 来说，这是一个线性方程．先解对应的齐线性方程x ydy dx 1=，得cy x =，其次把c 看作)(y c ，即设y y c x )(=为变形后方程的解，代入变形后的方程得y dy y dc =)(，得到c y y c ~21)(2+=，从而原方程的通解为y c y x ~213+=，其中c~为任意常数． 9．xx x ay dx dy 1++=．解先解xay dx dy =，得a cx y =，设ax x c y )(=为原方程的解，代入原方程得，11)(++='a x x x c ，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+-≠≠+--=-0,~ln ,1,~1ln ,0,1,~)11()(a c x x a c x x a a c x a a xx c a ，所以原方程通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+-≠≠+--=0,~ln ,1,~1ln ,0,1,~11a c x x a x c x x a a x c a a x y a ，其中c ~为任意常数． 10．3x y dxdyx =+．解先解y dx dy x +，得xc y =，设x x c y )(=为原方程的解，代入原方程得，3)(x x c =' ，即c x x c ~41)(4+=，所以原方程通解为x c x y ~413+=，这里c~为任意常数． 11．33y x xy dxdy =+．解这是3=n 的Bernoulli 方程，令2-=y z 代入有322x xz dxdz -=，解这个一阶线性方程得通解为122++=x cez x ，即1)1(222=++x ce x y 为原方程的通解，这里c 为任意常数．另有特解0=y ．12．xdy ydx x y =-)2ln (．解变形为y xy x x dx dy 2ln 2-=，这是2=n 的Bernoulli 方程，令1-=y z 代入有 x xz x dx dz ln 2+-=，解这个一阶线性方程得通解为241ln 21cx x z ++=，即1)41ln 21(2=++cx x y 为原方程的通解，这里c 为任意常数．另有特解0=y ．13．dx x y xydy )2(22-=．解变形为yy x dx dy 211-=，这是1-=n 的Bernoulli 方程，令2y z =代入有 12-=z xdx dz ，解这个一阶线性方程得通解为2cx x z +=，即22cx x y +=，这里c 为任意常数．14．23x x e dx dy y +=．解设u e y=，则dx dy u dx dy e dx du y ==，代入原方程得2213u xu x dx du +=，这是2=n 的Bernoulli 方程，令1-=u z 代入有 213xz x dx dz --=，解这个关于z 的一阶线性方程得通解为3~21xcx z +-=，回代原变量得原方程的通解322)(x e x c y =-，其中c 为任意常数．15．331yx xy dx dy +=．解变形为33x y yx dydx +=，把x 看作未知函数，y 看作自变量，对于y 及dy dx 来说，这是一个3=n 的Bernoulli 方程．令2-=x u ，有322y yu dydu--=，解这个一阶线性方程得通解为122+-=-y ce u y ，即得原方程的通解1222+-=--y ce x y ，这里c 为任意常数．16．⎰+=xx dt t y e y 0)(．解两边求导得一阶线性方程x e y dxdy+=，解之得通解x e c x y )(+=，从原方程知道有初始条件10==x y ，代入通解表达式中得1=c ，故原积分方程的解为xe x y )1(+=．17．设函数)(t ϕ于+∞<<∞-t 上连续，)0(ϕ'存在且满足关系式)()()(s t s t ϕϕϕ=+，试求此函数．解由于ss t st s t st s t 1)()()()()()()(-⋅=-=-+ϕϕϕϕϕϕϕ，且)0(ϕ'存在，故在该式中令0→s 取极限就有，)0()()(ϕϕϕ'='t t ，解得t ce t )0()(ϕϕ'=．若0)(≡t ϕ，则是解；若)(t ϕ不恒为零，则由)0()()0()(ϕϕϕϕt t t =+=得1)0(=ϕ，由此得1=c ，所以t e t )0()(ϕϕ'=．18．如图所示的L R -电路，试求：（1）当开关1K 合上10秒后，电感L 上的电流；（2）1K 合上10秒后再将2K 合上，求2K 合上20秒后，电感L 上的电流．解（1）由Kirchhoff 第二定律得，E dtdIL I R =+1，把101=R ，2=L ，50=E 代入得到微分方程255=+I dtdI，初始条件0=t 时，0=I ．解之得t e I 555--=，当10=t 时，5055--=eI 约为5安培．（2）由Kirchhoff 第二定律得，E dt dILRI =+，其中320201020102121=+⨯=+=R R R R R ，2=L ，50=E 代入得25310=+I dt dI ，初始条件0=t 时，5=I ．解之得)3(25310t e I --=，当20=t 时，)3(253200--=eI 约为7.5安培．19．试求图示的L R -电路电感上电流)(t I 的变化规律，并解释其物理意义，设0=t 时，0=I ．解由Kirchhoff 第二定律得，E dtdILRI =+，即t L U I L R dt dI m ωsin =+，初始条件为00==t I，求出其通解为)sin(222ϕωω-++=-t L R U ce I m t LR，其中RL ωϕ=tan ，20πϕ<<．由初始条件得，ϕωsin 222L R U c m +=，所以，)]sin([sin 222ϕωϕω-++=-t e L R U I t LR m ．其物理意义是：当t 增大时，第一项逐渐衰减而趋于零（称为暂时电流），事实上很快就消失而不起作用．而第二项就起着重要作用（称为稳定电流）．稳定电流是一个周期函数，其周期与电动势的周期相同，而相角相差ϕ-．20．试证：（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若)(x y y =是（2.3）的非零解，而)(~x y y =是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为)(~)(x y x cy y +=，其中c 为任意常数；（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是（2.3）的解．证明（1）设)(1x y y =，)(2x y y =是方程（2.28）)()(x Q y x P dxdy+= 的任意两个解，即)()(11x Q y x P dx dy +=，)()(22x Q y x P dxdy+=，由此得到 ))(()]()([)]()([)(21212121y y x P x Q y x P x Q y x P dxdy dx dy dx y y d -=+-+=-=-，所以)()(21x y x y y -=是齐线性方程（2.3）：y x P dx dy)(=之解．（2）由于)(x y y =是（2.3）的非零解，故)()()(x y x P dxx dy =，而)(~x y y =是（2.28）的解，即)()(~)()(~x Q x y x P dx x y d +=，所以)]()(~)([)()()(~)())(~)((x Q x y x P x y x cP dxx y d dx x dy c dx x y x cy d ++=+=+)()](~)()[(x Q x y x cy x P ++=，所以)(~)(x y x cy y +=是（2.28）的解，其中含有一个任意常数c ，故是方程（2.28）的通解，其中c 为任意常数．（3）设)(1x y y =，)(2x y y =都是方程（2.3）的解，即)()()(11x y x P dx x dy =， )()()(22x y x P dxx dy =，因此有)]()[()()()())((1111x ky x P x y x kP dxx dy k dx x ky d ===，)]()()[()()()()()()()]()([21212121x y x y x P x y x P x y x P dxx dy dx x dy dx x y x y d ±=±=±=±，所以，方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是（2.3）的解． 21．求解习题1.2第9题（5）和（6）．解（5）的方程为 2x y x y ='-，或变形为x y xy -='1，这是一阶线性方程．先解对应的齐次方程y xy 1='，得到cx y =，设原方程的解为)(x xc y =，代入原方程得1)(-='x c ，即c x x c +-=)(，故所求曲线方程为cx x y +-=2，其中c 为任意常数．（6）的方程为 x y x y ='-2，或变形为2121-='y x y ，这是一阶线性方程．同样先解对应的齐次方程y xy 21='，得到x c y =，设原方程的解为x x c y )(=，代入原方程得xx c 21)(-='，即c x x c +-=)(，故所求曲线方程为x c x y +-=，其中c 为任意常数．22．求解下列方程：（1）01)1(2=+-'-xy y x ；（2）0)12()1(322=+--'-x y x y x x ；（3）0sin cos sin 3=--'x y x x y ．解（1）先解xy y x ='-)1(2，得12-=x cy ，设方程的解为1)(2-=x x c y ，代入方程得)1sgn(1)(2232---='-x x x c ，推出1)(2-+=x c x x y 为原方程的通解（需分1>x ，1-<x 及1<x 三种情形分别求解后再统一），这里c 为任意常数．（2）先解y x y x x )12()1(22-='-，得到12-=x cxy ，设原方程的解为1)(2-=x x x c y ，代入原方程得 1)1()(22---='x x x x c ，即c x x c +-=11)(2，所以原方程的通解为12-+=x cxx y ，这里c 为任意常数．（3）先解0cos sin =-'y x x y ，得到x c y tan =，设原方程的通解为x x c y tan )(=，代入原方程得x x c sin )(='，即c x x c +=co s )(，所以通解x c x y tan sin +-=，这里c 为任意常数．§2.3 恰当方程与积分因子习题2.3验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解： 1．0)2()(2=-++dy y x dx y x ．证明 y x N y x M 2,2-=+=，所以xNy M ∂∂==∂∂1，即所给方程是恰当方程．改写方程为02)(2=-++ydy xdy ydx dx x ，即0)31(23=-+y xy x d ，得原方程的解为c y xy x =-+2331，其中c 为任意常数． 2．0)4()3(2=---dy x y dx x y ．证明 )4(,32x y N x y M --=-=，所以xNy M ∂∂==∂∂1，即所给方程是恰当方程．改写方程为043)(2=--+ydy dx x xdy ydx ，即0)2(23=--y x xy d ，得原方程的解为c y x xy =--232，其中c 为任意常数．3．0])(1[]1)([2222=--+--dy y x x y dx x y x y ．证明 2222)(1,1)(y x x y N x y x y M --=--=，所以x N y x xy y M ∂∂=-=∂∂3)(2，即所给方程是恰当方程．改写方程为 0)(222=+---y dyx dx y x dy x dx y ，凑为0)()()()(2=-+----y dyx dx y x y x xyd xy d y x ，即0)ln ln (=-+-y x y x xy d ，得原方程的通解为c y x yx xy=-+-ln ln ，其中c 为任意常数．4．0)2(3)23(22232=+++dy y y x dx x xy ．证明 )2(3,)23(22232y y x N x xy M +=+=，所以xNxy y M ∂∂==∂∂12，即所给方程是恰当方程．改写方程为034)(623=+++dy y dx x xdy ydx xy ，即0)3(3422=++y x y x d ，得原方程的解为c y x y x =++34223，其中c 为任意常数．5．0)1sin cos 1()1cos sin1(222=+-++-dy yy x y x x y x dx x y x y y x y ．证明由于2221sin cos 1,1cos sin 1yy x y x x y x N xyx y y x y M +-=+-=，所以，x Ny x y x y x y x y x y x y xy M ∂∂=--+-=∂∂cos sin 1sin cos 13232，即所给方程是恰当方程．改写方程为01cos sin 222=++-+-dy ydx x y x ydx xdy y x y xdy ydx ，即0)1cos (sin=-+-y x y x x y d ，得原方程的解为c yx y x x y =-+-1cos sin ，其中c 为任意常数．求下列方程的解：6．0)1(222=+-dy e dx ye x x x ．解改写方程为02)2(22=-+⋅xdx dy e y dx xe x x ，即0)(22=-x ye d x ，所以得到原方程的通解c x ye x =-22，这里c 为任意常数．7．02)3(2=++xydy dx y e x．解由于xy N y e M x2,32=+=，故y xNy y M 2,6=∂∂=∂∂．因为xN xNy M 2=∂∂-∂∂只与x 有关，所以方程有只与x 有关的积分因子 2ln 22x eexdxx ==⎰=μ，以2x =μ乘方程两边得，0233222=++ydy x dx y x dx e x x，即0)()(223=+xe d x y x d ，故得原方程的通解为c e x x y x x=+-+)22(223，这里c 为任意常数．8．0)1(22=++dy x xydx ．解改写为0)2(2=++dy dy x xydx ，凑微分得0))((22=++dy dy x x yd ，得原方程的通解c y y x =+2，其中c 为任意常数．9．dx y x xdy ydx )(22+=-．解以22y x +除方程两边，有dx yx xdy ydx =+-22，即dx y xd =)(arctan ，得到原方程的通解为c x yx+=arctan，这里c 为任意常数． 10．0)(3=+-dy y x ydx ．解改写为dy y xdy ydx 3=-，得ydy yxdy ydx =-2，即)21()(2y d y x d =，所以得到原方程的通解c y y x +=221，或cy y x +=321，其中c 为任意常数． 11．0)1(=+--xdy dx xy y ．解由x N xy y M =--=,1，得1,1=∂∂-=∂∂x Nx y M ，由于1-=∂∂-∂∂Nx Ny M 与y无关，故方程有只与x 有关的积分因子x dxe e --=⎰=)1(μ，以x e -乘方程两边有，0)1(=+----xdy e dx xy y e x x ，分组得，0])([=--+---dx e dx xye xdy ydx ex x x，凑微分得0])1[(=+-x e xy d ，即得方程的通解为xce xy =+1，这里c 为任意常数．12．0)(2=--xdy dx x y ．解由x N x y M -=-=,2，得1,1-=∂∂=∂∂xN y M ，由于x N x Ny M 2-=∂∂-∂∂只与x 有关，故方程有积分因子2)2(1x edxx =⎰=-μ，以21x乘方程两边并组合变形有， dx xxdyydx =-2，即dx x y d =-)(，得到方程的通解为c x xy-=-，或)(x c x y -=，这里c 为任意常数．13．0)2(=++xdy dx y x ．解改写为02=++xdy ydx xdx ，显然有积分因子x ，故以x =μ乘方程两边有，0])([222=++dy x x yd dx x ，即0)()31(23=+y x d x d ，得到通解c y x x =+2331，其中c为任意常数．14．0)cos()]sin()cos([=+++++dy y x x dx y x y x x ．解改写为 0)sin())(cos(=++++dx y x dy dx y x x ，即 0)sin())(sin(=+++dx y x y x xd ，或0)]sin([=+y x x d ，所以原方程的通解为c y x x =+)sin(，其中c 为任意常数． 15．0)cos sin ()sin cos (=++-dy x x x y dx x x x y ．解 x x x y N x x x y M c o s s i n ,s i n c o s+=-=，则x x x x y xNsi n cos cos -+=∂∂，x yMcos =∂∂，由于1=-∂∂-∂∂M x Ny M 与x 无关，故方程有积分因子y dy e e =⎰=μ，以y e 乘方程两边并分项组合有，0sin cos )1()cos sin cos (=+-+⋅+-xdy ye xdx y e dy e x x xdx xe xdx e y y y y y ，或写为0)(sin )(sin )1()](cos ))(cos (cos [=+-+++y y y y e xd y x d y e e xd x x xd xdx e ，即0sin )](sin )(sin )[1()cos (=++-+xdy e e xd x d e y xe x d yyyy，也即0)1(sin )sin ()1()cos (=-+-+y xd e x e d y xe x d y y y ，故0)sin )1(cos (=-+x e y xe x d yy，得到方程的通解为c e x y x x y=-+]sin )1(cos [，这里c 为任意常数．16．0)53()24(3=+++xdy ydx y xdy ydx x ．解改写方程为 05324342=+++dy xy dx y dy x xydx ，可看出y x 2=μ是一个积分因子，用它乘方程两边有053244352423=+++dy y x dx y x ydy x dx y x ，分项组合就有，0)()(5324=+y x d y x d ，故方程的通解为c y x y x =+5324，其中c 为任意常数．17．试导出方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 分别具有形为)(y x +μ和)(xy μ的积分因子的充要条件．解设)(y x +μ是0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子⇔0),()(),()(=+++dy y x N y x dx y x M y x μμ是恰当方程 ⇔xN y M ∂∂=∂∂)()(μμ ⇔NM y x xNy M y x d y x d -+∂∂-∂∂-=++)()()()(μμ ⇔NM y x xNy M -+∂∂-∂∂-)()(μ应为y x +的函数)(y x f +．又设)(xy μ是0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子⇔0),()(),()(=+dy y x N xy dx y x M xy μμ是恰当方程⇔xN y M ∂∂=∂∂)()(μμ ⇔xMyN xy xNy M xy d xy d -∂∂-∂∂=)()()()(μμ ⇔)()()(xy xMyN xy xNy M ϕμ=-∂∂-∂∂． 18．设),(y x f 及yf∂∂连续，试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x 的积分分子．证明 “⇒”即例4．“⇐” 若方程0),(=-dx y x f dy 有反依赖于x 的积分因子，则)()(x p yfx N y M -=∂∂-=∂∂-∂∂ 仅与x 有关，所以)()()(),(x Q y x p dy x p dy y fy x f +==∂∂=⎰⎰，其中)(x Q 是x 的任意连续函数．从而方程为0)]()([=+-dx x Q y x p dy ，即)()(x Q y x p dxdy+=是线性方程． 19．试证齐次方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 当0≠+yN xM 时有积分因子yNxM +=1μ．证明将方程两端同乘以N 1，得0=+dy dx N M ，即0)(=+dy dx xy g ．设xyu =，则ux y =，从而0)(=++xdu udx dx u g ，或0])([=++xdu dx u u g ，这是可分离变量方程，取积分因子])([11u u g x +=μ，则有0])(1[ln =++⎰du uu g x d ，得到通解为c du u u g x =++⎰)(1ln ，其中c 为任意常数．积分因子为yN xM xy N M x Nu u g x N N +=+⋅=+⋅==1][11])([1111μμ，通解可写为c xyd yN xM N x =++⎰)(ln ，c 为任意常数．20．设函数)(u f ，)(u g 连续、可微且)()(u g u f ≠，试证方程0)()(=+dy xy xg dx xy yf有积分因子1)])()([(--=xy g xy f xy μ．证明以1)])()([(--=xy g xy f xy μ乘以方程两边，有0)]()([)()(=-+xy g xy f xy dyxy xg dx xy yf ，或0)]()([))((=--+y dy xy g xy f xy xdy ydx xy f ，即0)ln )]()([)((=--⎰y du u g u f u u f d )(xy u =，因而方程0)()(=+dy xy xg dx xy yf 有积分因子1)])()([(--=xy g xy f xy μ．21．假设方程（2.43）中的函数),(,),(y x N y x M 满足关系)()(y Mf x Nf xNy M -=∂∂-∂∂ 其中)(,)(y g x f 分别为x 和y 的连续函数，试证方程（2.43）有积分因子))()(exp(⎰⎰+=dy y g dx x f μ．证明因为yMy g M y M y M M y ∂∂+=∂∂+∂∂=∂∂μμμμμ)()(，xNx f N x N x N N x ∂∂+=∂∂+∂∂=∂∂μμμμμ)()(，所以0][)]()([)()(=∂∂-∂∂+-=∂∂-∂∂xNy M x Nf y Mg N x M y μμμμ，即)()(N xM y μμ∂∂=∂∂，从而方程0=+Ndy Mdx μμ是恰当方程，故方程（2.43）有积分因子))()(exp(⎰⎰+=dy y g dx x f μ．22．求出Bernoulli 方程的积分因子．解 Bernoulli 方程为n y x Q y x P dx dy )()(+= )1,0(≠n ，以ny n --)1(乘方程两边，并令u yu=-1，化为关于dx du u ,的一阶线性方程)()1()()1(x Q n u x P n dxdu-+-=，后者有积分因子⎰--dx x P n e )()1(，从而Bernoulli 方程的积分因子⎰-=--dxx P n ne yn )()1(1μ． 23．设),(y x μ是方程（2.43）的积分因子，从而求得可微函数),(y x U ，使得)(Ndy Mdx dU +=μ．试证),(~y x μ也是方程（2.43）的积分因子的充要条件是)(),(~U y x μϕμ=，其中)(t ϕ是t 的可微函数．证明 “⇐”若),(y x μ是方程（2.43）的积分因子，且)(Ndy Mdx dU +=μ，则))(()()()()(~0⎰==+=+=dU U d dU U U Ndy Mdx Ndy Mdx ϕϕϕμμ，所以c dU U =⎰)(ϕ为（2.43）的通解，故)(),(~U y x μϕμ=亦是方程（2.43）的积分因子，其中)(t ϕ是t 的可微函数．“⇒”设dV Ndy Mdx =+22μμ，则M xV2μ=∂∂，N y V 2μ=∂∂．由Ndy Mdx dU μμ+=，则M xUμ=∂∂，N y U μ=∂∂，得到yU x UN M y V x V ∂∂∂∂==∂∂∂∂，所以，0=∂∂∂∂∂∂∂∂yU x U yV x V，因而存在函数)(t Φ，使得)(U V Φ=，由此得 ))(())(()(Ndy Mdx U Ndy Mdx U dU U dV +Φ'=+Φ'=Φ'=μμμ )(2N d y M d x+=μ，得到)()(2U U μϕμμ=Φ'=．24．设),(,),(21y x y x μμ是方程（2.43）的两个积分因子，且21μμ不恒为常数，求证c =21μμ（任意常数）是方程（2.43）的通解．证明由于21,μμ是方程（2.43）的两个积分因子，由上题结论)(21U ϕμμ=，其中)(2Ndy Mdx dU +=μ，这里)(t ϕ是t 的可微函数．由于)(21U ϕμμ=不恒为常数，故有)(U ϕ'不恒为零，由此在c U =)(ϕ两边微分得0)()(2=+'Ndy Mdx U μϕ，因此得到，0)(2=+Ndy Mdx μ，所以c U =)(ϕ是方程（2.43）的解，又c U =)(ϕ中含有一个任意常数，故c U =)(ϕ即c =21μμ（任意常数）是方程（2.43）的通解．25．假设第19题中微分方程还是恰当的，试证它的通解可表为c y x yN y x xM =+),(),(（c 为任意常数）．证明由于方程是恰当的，故11=μ即是一个积分因子，而由第19题yNxM +=12μ也是积分因子，且yN xM +=21μμ不恒为常数，所以由第24题所证结论，就知道它的通解为c y x yN y x xM =+),(),(，c 为任意常数．§2.4 一阶隐方程与参数表示习题2.4求解下列方程： 1．y y x '+='13．解解出31y y x ''+=，设p y ='，方程为31ppx +=，两边对y 求导，有 dydpp p p )23(134+-=，即dp p p dy )23(23+-=，所以c p pp ++=2232，因此得原方程的通解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=c p py pp x 223,11223（p 为参数），c 为任意常数．2．0)1(33='--'y x y ．解设31t y ='-，则31t y -='，21t t x -=．由dt t tt dx y dy )21)(1(23---='=，得c t t t y ++-=52521，从而通解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=-=c t t t y t tx 522521,1，（t 为参数），c 为任意常数． 3．y e y y ''=2．解设p y ='，则原方程为pe p y 2=，两边对x 求导有，dxdppep p p)2(+=，即dp e p dx p )2(+=，解得c e p x p ++=)1(，所以通解为⎪⎩⎪⎨⎧=++=ppep y c e p x 2,)1( （p 为参数），c 为任意常数． 4．a y y 2)1(2='+（a 为常数）．解解出212y a y '+=，p y ='，则原方程为212pay +=，两边对x 求导有， dx dpp p a p ⋅⋅+-=2)1(222，或dp p a dx 22)1(4+-=，解得c p a papx +-+-=arctan 2122，所以通解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-+-=2212,arctan 212p a y c p a p ap x （p 为参数），c 为任意常数． 5．122='+y x ．解设t x cos =，t y sin ='，则由tdt dx y dy 2sin -='=，得c t t y ++-=2s i n 4121，所以通解为⎪⎩⎪⎨⎧++-==c t t y t x 2sin 4121,cos （t 为参数），c 为任意常数． 6．22)2()1(y y y '-=-'．解令yt y ='-2，则有t t y -=1，所以21t y +='，dt ty dy dx 21-='=，由此解出c tx +=1，于是求得通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=tt y c t x 1,1 （t 为参数），或消去参数t 得c x c x y +--=1，c 为任意常数．习题2.5求下列方程的解：1．1cos sin =+x dx dyx y ．解原方程为x y x dx dy sec tan +⋅-=，由y x dxdy⋅-=tan ，得到x c y cos =，设原方程的解是x x c y cos )(=，代入原方程得出x x c 2sec )(='，即c x x c +=tan )(，因此原方程的通解为x c x y cos sin +=，c 为任意常数．2．ydy x xdy ydx 2=-．解方程两边同乘以21x ，有ydy xxdy ydx =-2，凑微分得0)21(2=+x yy d ，故得通解c xyy =+221，这里c 为任意常数． 3．1sin 4-=-x e dxdy y ．解改写为0sin 4=-+xdx dx e dy e yy，两边乘以xe 并凑微分得0)sin 4(=-⎰xdx e e e d x y x ，所以c xdx e e e xy x +=⎰sin 4，即c x x e e e xy x +-=)cos (sin 2，其中c 为任意常数．4．xyx ydx dy -=．解这是齐次方程．设x y u =，则ux y =，dxdu x u dx dy +=，代入原方程化为 uuu dx du x-=1．分离变量求解得，c uux 22ln =+，即2)ln 21(y c y x -=，这里c 为任意常数．5．0)(22=-+dy e x dx y xye yx yx ．解变形为yxe x y x y dx dy -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2，这是齐次方程．设x y u =，则ux y =，dx du x u dx dy +=，代入化原方程为u e u dxdux 12-=，分离变量求解得x c e u ln 1=+-，即c e x y x=+ln ，其中c 为任意常数．6．0)1(=-+xdy ydx xy ．解变形为02=-=yxdy ydx xdx ，凑微分得0)21(2=+y xy d ，所以原方程的通解为c yxy =+221，其中c 为任意常数． 7．0)2()122(=-++-+dy y x dx y x ．解变形为2)(1)(2-+-+-=y x y x dx dy ，设u y x =+，则dxdudx dy =+1，代入原方程后得，21-+-=u u dx du ，解之得c x u u +-=+-1ln 3，即c y x y x +++=+1ln 2，这里c 为任意常数．8．32x y x y dx dy +=．解这是2=n 的Bernoulli 方程．令1-=y z ，有311xz x dx dz --=，解这个一阶线性方程，得x cxz +=21，即x c x y +=211，这里c 为任意常数． 9．23-+=x y dxdy．解先解y dxdy3=，得到x ce y 3=，设原方程的解是x e x c y 3)(=，代入原方程后得，x e x x c 3)2()(--='，所以c e x x c x +--=-3)53(91)(，得到x ce x y 3)53(91+--=是原方程的通解，这里c 为任意常数．10．21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy dx dy x ．解设p dxdy=，则p p x +=1，两边对y 求导得dy dp p p )11(12+-=，从中就可解出c p p y +-=ln 212，所以通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=c p p y p px ln 21,12（p 为参数），c 为任意常数．11．312+++-=y x y x dx dy ．解改写并分项组合，有0)1()3()(2=+-+=+dx x dy y ydx xdy ，凑微分，得0)21331(22=--++x x y y xy d ，所以，c x x y y xy =--++2221331是方程的通解，这里c 为任意常数． 12．x y xe dxdy e =+-)1(．解原方程即y x xe dx dy +=+1，设u y x =+代入方程得u xe dxdu=，这是分离变量方程．解出c e x u =+-221，即得原方程的通解为c e x y x =++-)(221，这里c 为任意常数．13．02)(22=-+xydy dx y x ．解设xy N y x M 2,22-=+=，则y x N y y M 2,2-=∂∂=∂∂，x N x Ny M 2-=∂∂-∂∂仅与x 有关，故方程有积分因子2)2(1xedxx =⎰=-μ，用它乘方程两边并分项组合有， 0222=-+x xydy dx y dx ，即0)(2=-x y x d ，所以c xy x =-2，或cx y x =-22是原方程的通解，其中c 为任意常数． 14．1++=y x dx dy．解由y dxdy =，解得x ce y =，设原方程的解为x e x c y )(=，代入有xe x x c -+=')1()(，即c ex x c x++-=-)2()(，所以通解为)2(+-=x ce y x ，其中c 为任意常数．15．xy e dx dy x y+=．解设u x y =，则ux y =，dx du x u dx dy +=，代入化原方程为u e dxdu x =，分离变量解之得c e x u=+-ln ，即c ex xy=+-ln ，其中c 为任意常数．16．y e dxdyx -=++21)1(．解分离变量得112+=--x dx e dy y ，两边积分得通解12+=-x c e y，c 为任意常数． 17．0)1()(2=++-dy x y dx y x ．解改写为1111-+-+=y xxy x dx dy ，这是1-=n 的Bernoulli 方程．设2y z =，则原方程化为一阶线性方程xx z x dx dz +-+=1212，解之得2)1(12+++=x c x z ，因此得原方程的通解为22)1(12+++=x c x y ，这里c 为任意常数．18．0)1(24322=-+dy y x dx y x ．解 )1(2,4322-==y x N y x M ，则y x xN y x y M 226,8=∂∂=∂∂，y M x Ny M 21-=-∂∂-∂∂只与y 有关，故有积分因子yedyy 1)21(=⎰=-μ，用它乘以方程并分项组合有02)24(21213232=-+-dy y dy y x dx y x ，凑微分得，0)434(21233=-y y x d ，所以通解为c y y x =-212333，或c y y x =-)3(3，其中c 为任意常数．19．0422=+-⎪⎭⎫⎝⎛x dx dy y dx dy x ．解解出y y x y '+'=2)4(2，设p y ='，则原方程为pp x y 2)4(2+=，两边对x 求导有，dxdpp x p p p )221(2422-++=，或dp pxdx =，解得cp x =，所以通解为⎪⎩⎪⎨⎧+==)4(2,2p c y cp x （p 为参数），或消去参数p ，得2242c x cy +=，c 为任意常数．另外还有042=-p ，或x y 2±=也是解．20．1]1[22=⎪⎭⎫⎝⎛-dx dy y ．解令t dxdysin =，代入方程有1)sin 1(22=-t y ，即t y sec ±=．由于dt tdt t t t y dy dx 2cos 1sin tan sec ±=±='=，所以1tan c t x +±=，得到原方程的通解为⎩⎨⎧±=+±=ty c t x sec ,tan 1 （t 为参数），消去参数t 得1)(22++=c x y ，其中c 为任意常数．21．0)1()1(=-++dy yxe dx e yx yx ．解设u y x =，则yu x =，dy duy u dy dx +=，代入原方程化简得uu e u e dy du y ++-=1，分离变量求解得c y e u u=+)(，即c yex yx=+是原方程的通解，其中c 为任意常数．22．0324223=-+dy yx y dx y x ．解设42233,2y x y N y x M -==，则x N y x y M ∂∂=-=∂∂46，故为恰当方程．由于)()(2),(323y yx y dx y x y x u ϕϕ+=+=⎰，其中)(y ϕ是y 的待定可微函数，再由422423)(3y x y y y x y u -='+-=∂∂ϕ，得到21)(y y ='ϕ，即有y y 1)(-=ϕ，因此得到方程的通解为c y yx y x u =-=1),(32，即322cy y x =-，这里c 为任意常数．23．0)1(2=++-dy y x ydx ．解变形为dy y xdy ydx )1(2+=-，看出有积分因子21y =μ，用21y =μ乘以方程两边并凑微分得)1()(y y d y xd -=，即得方程的通解是c yy y x +-=1或cy y x =+-12，这里c 为任意常数．24．0)]([22=-+-xdy dx y x x y ．解变形为dx y x x xdy ydx )(22+=-，看出有积分因子221yx +=μ，用它乘以方程两边并凑微分得)2()(arctan 2x d y x d =，得方程的通解是c x y x +=2arctan 2，或其等价形式)2tan(2c x y x +=，其中c 为任意常数． 25．0=-+x e dxdydx dy．解设p dxdy=，则p e p x +=，两边对y 求导有dy dp e p p )1(1+=，即dp e p dy p )1(+=，由此得到c e p p y p +-+=)1(212，所以方程的通解为 ⎪⎩⎪⎨⎧+-+=+=ce p p y e p x pp )1(21,2 （p 为参数），c 为任意常数． 26．0)()32(2232=++++dy y x dx y y x xy ．解设2232,32y x N y y x xy M +=++=，则x x Ny x x y M 2,222=∂∂++=∂∂，1=∂∂-∂∂N xNy M 与y 无关，所以方程有积分因子x dx e e =⎰=1μ，以之乘方程的两边，分项组合得到0)3()2(2322=++++dy e y dx e y dy e x dx ye x dx xye x xxxx，即。

《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第三章

第三章习题3-11．设s =12gt ２，求2d d t s t =．解：22221214()(2)2lim lim 22t t t g g ds s t s dt t t t →→=-⨯-==--21lim (2)22t g t g →=+=2．设f (x )=1x，求f '(x 0)(x 0≠0)．解：1211()()()f x x x x--'''===00201()(0)f x x x '=-≠3．试求过点（3，8）且与曲线2y x =相切的直线方程。

解：设切点为00(,)x y ，则切线的斜率为002x x y x ='=，切线方程为0002()y y x x x -=-。

由已知直线过点(3,8),得00082(3)y x x -=-(1)又点00(,)x y 在曲线2y x =上，故200y x =(2)由(1),(2)式可解得002,4x y ==或004,16x y ==，故所求直线方程为44(2)y x -=-或168(4)y x -=-。

也即440x y --=或8160x y --=。

4．下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么：(1)0limx ∆→00()()f x x f x x-∆-∆=A ;(2)f (x 0)=0,0limx x →0()f x x x-＝A ；(3)0limh →00()()f x h f x h h+--=A ．解：(1)0000000()()[()]()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x xx →-→--+--'=-=-- 0()A f x '∴=-(2)000000()()()limlim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=--- 0()A f x '∴=-(3)000()()limh f x h f x h h→+-- 00000[()()][()()]lim h f x h f x f x h f x h→+----=000000()()[()]()lim lim h h f x h f x f x h f x h h →-→+-+--=+-000()()2()f x f x f x '''=+=02()A f x '∴=5．求下列函数的导数：(1)y；(2)y；(3)y2．解：(1)12y x==11221()2y x x -''∴===(2)23y x-=225133322()33y x x x ----''∴==-=-=(3)2152362y x x xx-==15661()6y x x -''∴===6．讨论函数y在x =0点处的连续性和可导性．解：00(0)x f →==000()(0)0lim lim 0x x x f x f x x →→→--===∞-∴函数y =在0x =点处连续但不可导。

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解

第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若li m n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n nn n n n n nn++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11ne +，n =1,2,…；(2) x 1,x n +1n =1,2,…. 证：（1）略。

《微积分》上册部分课后习题答案

微积分上册一元函数微积分与无穷级数第2章极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )．证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim．解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→．解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限．证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解：原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→．解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =．解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1）原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2）原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='．解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=，又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解：令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '；（3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy．解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =．解（1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足（1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解（1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解本文将详细解答曹定华《微积分》修订版第二章的课后习题。

第二章主要涉及导数的基本概念和基本公式，包括导数定义、可导性、导数计算公式等。

本章共计43道习题，以下将一一解答。

2.1 导数的定义及其物理隐含义习题2.11. 求函数f(x)=3x2+2的导数。

根据导数公式，对于幂函数y=xn，其导数为y’=nxn-1。

因此，对于本题中的函数f(x)=3x2+2，其导数为f’(x)=6x。

2. 求函数f(x)=x3-5x+1在x=2处的导数。

同样地，根据导数公式，对于幂函数y=xn，其导数为y’=nxn-1。

因此，对于本题中的函数f(x)=x3-5x+1，其导数为f’(x)=3x2-5。

将x=2代入，则得到f’(2)=3*(22)-5=7。

习题2.21. 用导数的定义证明函数f(x)=2x在任意一点处的导数为2。

根据导数的定义，对于函数f(x)在x=a处的导数，有f’(a)=lim(h->0) [(f(a+h)-f(a))/h]。

因此，代入本题中的函数f(x)=2x，得到f’(a)=lim(h->0) [(2(a+h)-2a)/h]，化简可得f’(a)=2。

因此，函数f(x)=2x在任意一点处的导数均为2。

2. 求f(x)=x2+3x的可导性，并说明理由。

对于函数f(x)=x2+3x，在任意一点x处的导数为f’(x)=2x+3。

因此，对于任意值x，均存在导数f’(x)。

因此，函数f(x)在定义域内可导。

2.2 基本导数公式习题2.31. 求函数f(x)=sin(x)在x=π/6处的导数。

根据导数公式，对于正弦函数y=sin(x)，其导数为y’=cos(x)。

因此，对于本题中的函数f(x)=sin(x)，其导数为f’(x)=cos(x)。

将x=π/6代入，则得到f’(π/6)=cos(π/6)=√3/2。

2. 求函数f(x)=2x在x=0处的导数。

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第九章习题详解

第9章习题9-11. 判定下列级数得收敛性:(1) (a ＞0); (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) .解:(1)该级数为等比级数,公比为,且,故当,即时,级数收敛,当即时,级数发散、(2)发散、(3)就是调与级数去掉前3项得到得级数,而调与级数发散,故原级数发散、(4)而,就是公比分别为得收敛得等比级数,所以由数项级数得基本性质知收敛,即原级数收敛、(5)于就是故,所以级数发散、(6)不存在,从而级数发散、(7)级数发散、(8),故级数发散、2. 判别下列级数得收敛性,若收敛则求其与:(1) ; (2) ※ ;(3) ; (4) .解:(1)都收敛,且其与分别为1与,则收敛,且其与为1+=、(2)121112111211121122322342345212n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L故级数收敛,且其与为、(3),而,故级数发散、(4),而,故不存在,所以级数发散、3※. 设 (U n ＞0)加括号后收敛,证明亦收敛.证:设加括号后级数收敛,其与为S 、考虑原级数得部分与,并注意到,故存在,使又显然对一切成立,于就是,就是单调递增且有上界得数列,因此,极限存在,即原级数亦收敛、习题9-21. 判定下列正项级数得收敛性:(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) (a ＞0); (6) (a , b ＞0);(7) (a ＞0); (8) ;(9) ; (10) ※ ;(11) ; (12) ;(13) ※ ; (14) ;(15) ; (16) .解:(1)因为而收敛,由比较判别法知级数收敛、(2)因为,故原级数发散、(3)因为,而发散,由比较判别法知,级数发散、(4)因为,而就是收敛得级数,由比较判别法知,级数收敛、(5)因为而当时,收敛,故收敛;当时,= 发散,故发散;当时,故发散;综上所述,当时,级数发散,当时,收敛、(6)因为而当时, 收敛,故收敛;当时,发散,故而由, ,故也发散;当时,故发散;综上所述知,当时,级数发散;当b >1时,级数收敛、(7)因为而发散,故级数发散、(8)因为而收敛,故级数收敛、(9)因为由达朗贝尔比值判别法知,级数发散、(10)因为,由达朗贝尔比值判别法知,级数发散、(11)因为1357(21)(23)4710(31)lim lim 4710(31)(34)357(21)n n n nU n n n U n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+L L L L ,由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛、(12)因为,由达朗贝尔比值判别法知,级数收敛、(13)因为由知由达朗贝尔比值判别法知,级数收敛、(14)因为,由柯西根值判别法知级数收敛、(15)因为而就是收敛得等比级数,它得每项乘以常数后新得级数仍收敛,由比较判别法得极限形式知,级数收敛、(16)因为而与(12)题类似地可证级数收敛,由比较判别法知级数收敛、2. 试在(0,+∞)内讨论x在什么区间取值时,下列级数收敛:(1) ; (2) .解:(1)因为由达朗贝尔比值判别法知,当时,原级数发散;当时,原级数收敛;而当时,原级数变为调,它就是发散得、综上所述,当时,级数收敛、(2)因为,由达朗贝尔比值判别法知,当即时,原级数发散;当即时,原级收敛、而当即时,原级数变为,而由知发散,综上所述,当时,级数收敛、习题9-31. 判定下列级数就是否收敛,如果就是收敛级数,指出其就是绝对收敛还就是条件收敛:(1) ; (2) ;(3) ; (４) ;(5) ; (6) ;(7) .解:(1)这就是一个交错级数, ,由莱布尼茨判别法知、又,由,及发散,知级数发散,所以级数条件收敛、(2)因为,故而收敛,故亦收敛,由比较判别法知收敛,所以级数绝对收敛、(3)因为而级数收敛,由比较判别法知收敛,因此,级数绝对收敛、(4)因为而收敛,由比较判别法得极限形式知,级数收敛,从而级数绝对收敛、(5)因为,而级数收敛得等比级数;由比值判别法,易知级数收敛,因而收敛,由比较判别法知级数收敛,所以原级数绝对收敛、(6)当x为负整数时,级数显然无意义;当x不为负整数时,此交错级数满足莱布尼茨判别法得条件,故它就是收敛得,但因发散,故原级数当x不为负整数时仅为条件收敛、(7)因为由比值判别法知收敛(),从而由比较判别法知收敛,所以级数,绝对收敛、2. 讨论级数得收敛性(p＞0).解:当时,由于收敛,故级数绝对收敛、当时,由于,由莱布尼茨判别法知交错级数收敛,然而,当时,发散,故此时,级数条件收敛、综上所述,当时,原级数条件收敛;当p>1时,原级数绝对收敛、3※. 设级数及都收敛,证明级数及也都收敛.证:因为而由已知及都收敛,故收敛,从而收敛,由正项级数得比较判别法知也收敛,从而级数绝对收敛、又由及,以及收敛,利用数项级数得基本性质知,收剑,亦即收敛、习题9-41. 指出下列幂级数得收敛区间:(1) (0!=1); (2) ;(3) ; (4) .(5) ; (6) .解:(1)因为,所以收敛半径,幂级数得收敛区间为、(2)因为,所以收敛半径、当x=e时,级数,此时,因为就是单调递增数列,且<e所以>1,从而,于就是级数当x=e时,原级数发散、类似地,可证当x=-e时,原级数也发散(可证),综上所述,级数得收敛区间为(-e,e)、(3)因为,所以收敛半径为r=2、当时,级数就是收敛得p一级数(p=2>1);当x=-2时,级数就是交错级数,它满足莱布尼茨判别法得条件,故它收敛、综上所述,级数得收敛区间为[-2,2]、(4)此级数缺少偶次幂得项,不能直接运用定理2求收敛半径,改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间、令,则、当时,即时,原级数绝对收敛、当时,即时,级数发散,从而发散,当时,级数变为;当时,级数变为;它们都就是交错级数,且满足莱布尼茨判别法得条件,故它们都收敛、综上所述,级数得收敛区间为[-1,1]、(5)此级数为(x+2)得幂级数、因为、所以收敛半径,即时,也即时级数绝对收敛、当即或时,原级数发散、当时,级数变为就是收敛得交错级数,当x=0时,级数变为调与级数,它就是发散得、综上所述,原级数得收敛区间为[-4,0)、(6)此级数(x-1)得幂级数故收敛半径、于就是当即时,原级数绝对收敛、当即或时,原级数发散、当时,原级数变为就是调与级数,发散、当时,原级数变为,就是收敛得交错级数、综上所述,原级数得收敛区间为、2. 求下列幂级数得与函数:(1) ; (2) ;(3) ; (4) .解:(1)可求得所给幂级数得收敛半径r=1、设,则又当x=1时,原级数收敛,且在x=1处连续、(2)所给级数得收敛半经r=1,设,当时,有于就是又当时,原级数发散、故(3)可求所给级数得收敛半径为1、令令,则所以;所以且、当时,级数为与,它们都收敛、且显然有、故、(4)可求得所给级数得收敛半径为r=1且时,级数发散,设,则于就是,即、所以3. 求下列级数得与:(1) ; (2) ;(3) ; (4) .解:(1)考察幂级数,可求得其收敛半径,且当时,级数得通项,,因而,故当时,级数发散,故幂级数得收敛区间为(-1,1)、设,则令,则、再令,则、故,从而有、于就是取,则、(2)考察幂级数,可求得收敛半径r=1,设令,则、即、于就是,从而取则(3)考察幂级数,可求得其级数半经为r=1,因为令,则、所以,于就是取,得、(4)考察幂级数,可求得其收敛半径r=1、设则、又设则、从而,取,则习题9-51. 将下列函数展开成x得幂级数:(1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5).解:(1)(2)(3)(4)(5)2. 将下列函数在指定点处展开成幂级数,并求其收敛区间: (1) ,在x0＝１; (2) cos x,在x0=;(3) ,在x0=1; (4) , 在x0＝３.解:(1)因为,而即)、所以、收敛区间为:(-1,3)、(2)πππ2π2 cos cos()cos cos()sin sin() 333333 x x x x⎡⎤=+-=---⎢⎥⎣⎦收敛区间为、(3)由且得,故收敛区间为(-1,3)(4)因为而由得、故收敛区间为(0,6)、。

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解

第二章习题2-11•试利用本节定义5后面的注(3)证明：若lim X n =a,则对任何自然数 k ，有lim x n+k =a.nnX n aX n k aX n =(-1)n，说明上述结论反之不成立证：所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1)1(n 1)21(2n)2=0；limn2n =0.n!证: (1)因为丄~~2n 1~~2n1 (n 1)21 (2n)2而且li mn证：由lim X na ，知n0， N 1，当n N 1时，有N ，设nN 时(此时n k NJ 有由数列极限的定义得lim XX n k a •2•试利用不等式AB 说明：若 lim nX n =a,则 lim1nX n I =|a|.考察数列Q lim XX n a0, N,使当 n N 时,X nX nX nN,使当nN 时，有X nX n aX n由数列极限的定义得 lim X nn考察数列X n (1)n ，知lim x n 不存在,X nlim X nlim 丄亠L 丄 n n 2 (n 1)2(2n)22n lim 0 n n!4.禾U 用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) X n = -n 1， n= 1,2,…；e n1 ⑵ X 1= 2,x n+1= 2X n ,n =1,2,… 证：(1)略。

(2)因为X 12 2，不妨设X k 2，贝y X k 12X k2g2 2故有对于任意正整数 n ,有X n 2，即数列人有上界，又 X n 1 X nX nC 2 ；人)，而 X . 0, X . 2 ,所以X n 1 X n 0 即 X n 1 X n ,即数列是单调递增数列。

综上所述，数列 X n 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。

习题2-2(2)因为04，而且 lim 40 ,nnn所以，由夹逼定理得证：先证充分性：即证若lim f (X )lim f (x) a ，则 lim f(x)aXX QX X)X x由 lim f(X ) a 及 lim f(x) a 知：X XX X g0, 1 0,当0 X g X1时，有 1 f (x) a20当0 X X g2时，有 f(x)ao取 min 1, 2，则当0 X g X或0 xX g时，有 f(x)a而 0 X o X 或 0 XX 。

[VIP专享]微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第四章习题详解

1
上连续. 又
即 f (x) 在 x 0 处右连续,在 x 2 处左连(2 0) lim f (x) lim (x 1) 1 f (2),
x0
x0
f (0 0) lim f (x) lim (1 x) 1 f (0),
所以 f (x) 在 x 1 处连续,而且
x1
x1
f (1 0) lim f (x) lim(x 1) 0,即f (1 0) f (1 0) f (1) 0,
x1
x1
f (1 0) lim f (x) lim(1 x) 0,
显然 f (x) 在 (0,1), (1, 2) 内连续,又
0 x 1 1 x 2
1 x x 1
x 1
f (x)
(2)
即存在 0 (1,1) ,使 f ( ) 0 .
int level(BinTreeNodlesevt}r*Beutsl,icnBt(rtrTuiontrcaoTetgtert,_eyapNnpetg)oy;oeN_pddinoeeodtd;fde*esreafc*ttrphsB*au{l)ti;cilrn/duh/tT;ciB/lr/tdo1eiTt;u1ea//NcnrNgoto_loiu(fdn(dtnbe*oetpivdlt{(roe(e}TbidpEititrcfrl(ero!-pbmu>tintrTvritgaey-l(>hlpbulteeie,rtrf=xdt)e,=apr{xkextta,)rt;ru{;k,kr)sd+n;tra+;u1t;ac}0txyBpieTNxv},ooidi{ndet&m*lkac)hi}nil(de)}l;s/e/ js+tr}+uj;cBf+BtoB.+Bid.r.L(;+adikTe+taanN=;t[agojB]e[tdkh=l.se+L+eA1e*+]nr.i;dfc=g(d.-[d;{aiB]1a/it;f/a.;t(dkaA[}ia[]>.kBtdB<}=a];aii.T[BLjt+;aNke.+d[Loni;-]aed-g>t)netahg,B[jt*]+h.)wBd+]{avhi;T=otilareiAedi[n(Be.i{dtm;.<Laive=etAoarngi.0[dLgie],e;jt2Ch=n(o{Sg-0ut9q1h,n/kAL])/t)/iL/[;2s1/e1AtA…aABBmf"…,.S(h+Bq"mniLT6m+irsnet8]e&mhBTen),amidn+dtn&a2Ot*acx(7o10u)n+t)0x{11*ixf=0( nT+o1)d*{ex2i_1f c(+(o!uT2/xn/-*10>tx+l2+cxh=1il;+dnx)o&2/d/h&e=tt_(pn!c:To0o//-duw>1enrw*_c2t/wchx-oi0.1ldu;xon)/)1c*t;cinx6o42.1ucleonfmtt+d/+5ap;t-a5//r7iLg9Cihs4ot8lNuet5nmof9ttdreLp4iegme.=h*ap3tMfAmBol(a[aTrTlit]ex(-;(><i2)nAlccetl[ha0i]}ise=l=ds1,0}A…Tc;[yoine2pu<-nT6ein=-yH>12tp)(]Te;v;enn[Co1-A-ti1o3m1d[u]nA)pHin-[/;in(tv-kL21]ene;]1reyais=A+)nef=[+(t-nm(k1Ta])eAT-p){y>nyA;r-p%c2eh…1iAld3e[2,1]3c,2e1oi20Vn0(u3e=bt×n4i{)n3t1a5)B0);,5b20A}{7,B(2ce[2a150,(l0)ds0cn(a20e,a)]×ie[13j1)1cnr2,a17Af2e0A4,i58g2jtB]b1u(B03}(a5r4,21[En)]06a1B;=07A51([}{0]b937S<A/3)56/HaL([06C0c,sT1b3)]uo[A.>81A0c5u,493]cBn<B0.]=taC5H[L8(0,A1De(4g]k/,Aa5>2EBef0,[)Fy,<]*4C[G)G]b[=2B1,,DHk)g+[]e>,I1AEJy,/[<(,81%C1c]-[8,a5bD1)]C>3C]B,D1<[D1]2Bd62,GFc3E>=41A,V5</1I5EdH475,Gf1231>01+0*J5,91<420G4+0e*30G241,7W1d+*787>13P031,4*9<1L74=41f=0+,515a24953>**/546,17<5+15=0g37413,2*0c5572>/4+517,5<6451*g524,0d+3>956,*5<0315f9+2,3e5W12>14P,12*<3L157g+=56,52f13053>105*693}64*1,{73+80217+9596510*77046873+1*71249264+*9503182+79012*176208590=*2092+8123169831731237*793}W2+531P352L5*0313173+s3T3125158*,21T2052=5,2…915W063…303P5,LTS Tini k1i(2i={a1b,2c,d…e…fg}S0)1,1k10in1i011k11k10n+1kk1Pn21>r+0ikm…00…11+1k0s1=0n11+n21K…ru…snkas1l ns,s=nk,nk a11a121a02K1)aru2s2kaa=2l203*:9(a1i+03/1jA2-03aB(3a131+Aa12=3B+42[…0+]3A…+a3aij1+n3inn149-+iH10-41au+jnfi84+fnm4+16a5B8n+58F1544):52=5706305306.986,2T76:0150,D811:00148110683171,F10ST6:06D413S024H515,1H12:007412101402H*1291u60+22f{f7m4*63a2+n58307*71836+21102*72306+722774*0674128+493}*()4+86*312=513219 5:13/5671(130+7822+6261+p03a1+341352+401143,41)p0=83,21a.8425,913,,p66331:121,0A1a24B13G,,CP4pJ9AD3KG21EHD12AFDaJ3GBH,EPaDHKBApGIBM3J2HEKIF1AJMCKCAEFCMFIIM

微分几何(第三版)第二章课后题答案[1]

第二章曲面论§ 1曲面的概念1.求正螺面r ={ u cos v ,u sin v , bv }的坐标曲线.解u-曲线为r ={u cos v0,u sin v0,bv 0}= {0,0 , bv0} + u { cos v0, sinv0,0}, 为曲线的直母线；v-曲线为r ={ u0cos v , u0 sin v ,bv }为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面r ={ a (u+v) , b (u-v ) ,2uv }的坐标曲线就是它的直母线。

证u-曲线为r ={ a (u+v。

), b (u-v。

)，2u v o}={ a v。

，b v。

，0}+ u{a,b,2 v。

} 表示过点{ a v。

，b v。

,。

}以{a,b,2 v。

}为方向向量的直线;v-曲线为「= {a ( u0 +v) , b ( u 0 -v ) ,2 u 0 v} = {a u。

，b u。

，。

} +v{a,-b,2 u。

} 表示过点(a u。

, b u。

，。

)以{a,-b,2 u。

}为方向向量的直线。

3.求球面r ={acos ；：sin「,a cos；： sin ;:, a si n二}上任意点的切平面和法线方程。

saa. n解r ={ -a sin 二cos「，-a sinsin ：:,acos「：} , r .匸{-a cossin ：:, a coscos 「,0}x - a cos、：cos「y - a cos 二sin「z - a sin 二任意点的切平面方程为- a sin 二cos ：：「：-a sinsin「 a cos=0「a cos、：sin「 a cos、：cos「0即xcos ：cos + ycos ：sin + zsin 二-a = 0 ；x a cos、：cos「y a cos、：sin「z a sin 二。

cos 二cos「cossin「sin 二2 24.求椭圆柱面令斗=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 a b 曲面只有一个切平面。

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第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11ne +，n =1,2,…；(2) x 1,x n +1n =1,2,…. 证：（1）略。

（2）因为12x =<，不妨设2k x <，则1222k x +=<=故有对于任意正整数n ，有2n x <，即数列{}n x 有上界，又 1n n x x +-=，而0n x >,2n x <，所以 10n n x x +-> 即 1n n x x +>，即数列是单调递增数列。

综上所述，数列{}n x 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。

习题2-21※. 证明：0lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .证：先证充分性：即证若0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==，则0lim ()x x f x a →=. 由0lim ()x x f x a -→=及0lim ()x x f x a +→=知： 10,0εδ∀>∃>,当010x x δ<-<时，有()f x a ε-<，20δ∃>当020x x δ<-<时，有()f x a ε-<。

取{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<或00x x δ<-<时，有()f x a ε-<，而00x x δ<-<或00x x δ<-<就是00x x δ<-<，于是0,0εδ∀>∃>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<，所以 0lim ()x x f x a →=.再证必要性：即若0lim ()x x f x a →=，则0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==, 由0lim ()x x f x a →=知，0,0εδ∀>∃>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<，由00x x δ<-<就是 00x x δ<-<或00x x δ<-<，于是0,0εδ∀>∃>，当00x x δ<-<或00x x δ<-<时，有()f x a ε-<.所以 0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→== 综上所述，0lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .2. (1) 利用极限的几何意义确定0lim x → (x 2+a ),和0lim x -→1e x； (2) 设f (x )= 12e ,0,,0,xx x a x ⎧⎪<⎨⎪+≥⎩，问常数a 为何值时，0lim x →f (x )存在.解：（1）因为x 无限接近于0时，2x a +的值无限接近于a ，故20lim()x x a a →+=.当x 从小于0的方向无限接近于0时，1e x的值无限接近于0，故1lim e 0xx -→=. （2）若0lim ()x f x →存在，则00lim ()lim ()x x f x f x +-→→=，由（1）知 22lim ()lim()lim()x x x f x x a x a a +--→→→=+=+=， 1lim ()lim e 0xx x f x --→→== 所以，当0a =时，0lim ()x f x →存在。

3. 利用极限的几何意义说明lim x →+∞sin x 不存在.解：因为当x →+∞时，sin x 的值在-1与1之间来回振摆动，即sin x 不无限接近某一定直线y A =，亦即()y f x =不以直线y A =为渐近线，所以lim sin x x →+∞不存在。

习题2-31. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.解：例1：当0x →时，tan ,sin x x 都是无穷小量，但由sin cos tan xx x=（当0x →时，cos 1x →）不是无穷大量，也不是无穷小量。

例2：当x →∞时，2x 与x 都是无穷大量，但22xx=不是无穷大量，也不是无穷小量。

例3：当0x +→时，tan x 是无穷小量，而cot x 是无穷大量，但tan cot 1x x =不是无穷大量，也不是无穷小量。

2. 判断下列命题是否正确：(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量； (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量； (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；(6) y =x sin x 在(-∞，+∞)内无界，但lim x →∞x sin x ≠∞；(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量； (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解：（1）错误，如第1题例1；（2）正确，见教材§2.3定理3；（3）错误，例当0x →时，cot x 为无穷大量，sin x 是有界函数，cot sin cos x x x =不是无穷大量；（4）正确，见教材§2.3定理2；（5）错误，例如当0x →时，1x 与1x -都是无穷大量，但它们之和11()0x x+-=不是无穷大量；（6）正确，因为0M ∀>，∃正整数k ，使π2π+2k M >，从而ππππ(2π+)(2π+)sin(2π+)2π+2222f k k k k M ==>，即sin y x x =在(,)-∞+∞内无界，又0M ∀>，无论X 多么大，总存在正整数k ，使π>k X ，使(2π)πsin(π)0f k k k M ==<，即x →+∞时，sin x x 不无限增大，即lim sin x x x →+∞≠∞；（7）正确，见教材§2.3定理5；（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。

零是无穷小量，但其倒数无意义。

3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.(1) f (x )=234x -,x →2; (2) f (x )=ln x ，x →0+，x →1,x →+∞； (3) f (x )= 1e x,x →0+，x →0-； (4) f (x )=2π-arctan x ,x →+∞;(5) f (x )=1x sin x ,x →∞; (6) f (x )= 21xx →∞.解：（1）22lim(4)0x x →-=因为，即2x →时，24x -是无穷小量，所以214x -是无穷小量，因而234x -也是无穷大量。

（2）从()ln f x x =的图像可以看出，1lim ln ,limln 0,lim ln x x x x x x +→→+∞→=-∞==+∞，所以，当0x +→时，x →+∞时，()ln f x x =是无穷大量；当1x →时，()ln f x x =是无穷小量。

（3）从1()e xf x =的图可以看出，110lim e ,lim e 0x xx x +-→→=+∞=，所以，当0x +→时，1()e xf x =是无穷大量；当0x -→时，1()e xf x =是无穷小量。

（4）πlim (arctan )02x x →+∞-=， ∴当x →+∞时，π()arctan 2f x x =-是无穷小量。

（5）当x →∞时，1x是无穷小量，sin x 是有界函数，∴ 1sin x x是无穷小量。

（6）当x →∞时，21x∴习题2-41.若0lim x x →f (x )存在，0lim x x →g (x )不存在，问0lim x x →［f (x )±g (x )］, 0lim x x →［f (x )·g (x )］是否存在，为什么?解：若0lim x x →f (x )存在，0lim x x →g (x )不存在，则（1）0lim x x →［f (x )±g (x )］不存在。

因为若0lim x x →［f (x )±g (x )］存在，则由()()[()()]g x f x f x g x =--或()[()()]()g x f x g x f x =+-以及极限的运算法则可得lim x x →g (x )，与题设矛盾。

（2）0lim x x →［f (x )·g (x )］可能存在，也可能不存在，如：()sin f x x =，1()g x x=，则0limsin 0x x →=，01lim x x →不存在，但0lim x x →［f (x )·g (x )］=01lim sin 0x x x →=存在。