《机械振动基础》PPT课件
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机械振动基础
固有频率及固有周期
n
def
k m
只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关， 而与运动的初始条件无关，所以称为固有频率。
Tn
def
2
n
2
m k
固有周期
例 图示的直升机桨叶 经实验测出其质量为m， 质心C距铰中心O距离 为l。现给予桨叶初始 扰动，使其微幅摆动， 用秒表测得多次摆动 循环所用的时间，除 以循环次数获得近似 的固有周期，试求桨 叶绕垂直铰O 的转动惯量。
def
e nt e n ( t Td )
n Td
2 1
2
2
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
e. 自由振动中含有的阻尼信息提供了由实验确 定系统阻尼的可能性。通常，可根据实测的 自由振动，通过计算振幅对数衰减率来确定 系统的阻尼比。
Vmax
1 mg( R r ) 2 , m 2
Tref
3 m( R r ) 2 2 m 4
Vmax n T ref
2g 3( R r )
2.3 粘性阻尼系统的自由振动
k (u+ s) cu k m c
s
k m f (t )
c u u
b
m O mg f (t )
c
这种性质称为等时性。
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
c. 阻尼固有频率和阻尼固有周期是阻尼系统自 由振动的重要参数。当阻尼比很小时，它们 与系统的固有频率、固有周期差别很小，甚 至可忽略。 d. 为了描述振幅衰减的快慢，引入振幅对数衰 减率。它定义为经过一个自然周期相邻两个 振幅之比的自然对数
ln
单自由度系统在外激励作用下振动的微分方程
机械振动基础第三章PPT
2015年11月28日
模态函数
i i ( x) ci sin( x), i 1,3,5,... 2l
19
3.2 杆的纵向振动 例： 一均质杆，左端固 定，右端与一弹簧 连接。
k
0
x
l
推导系统的频率方程。
2015年11月28日
20
3.2 杆的纵向振动 解：
边界条件：
0
k
l
x
u (l , t ) u (0, t ) 0 ku (l , t ) ES x (0) 0 k (l ) ES (l , t ) x l l k sin ES cos 得出： c2 0 a0 a0 a0
连续系统的振动
• 实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量 与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。 • 由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标， 因此连续体是具有无限多自由度的系统。
• 连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运 动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组 ，它是偏微分方程。
ia0 , l ix i ( x) ci sin l
(i 0,1,2,)
(i 0,1,2,)
3.2 杆的纵向振动
（2）两端自由
特征：自由端的轴向力为零 边界条件 ： ES 得： 得出：
u (l , t ) u (0, t ) ES 0 0 x x (l ) 0 (0) 0
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程 。
10
2015年11月28日
2015年11月28日
11
3.2 杆的纵向振动 • 固有频率和模态函数
模态函数
i i ( x) ci sin( x), i 1,3,5,... 2l
19
3.2 杆的纵向振动 例： 一均质杆，左端固 定，右端与一弹簧 连接。
k
0
x
l
推导系统的频率方程。
2015年11月28日
20
3.2 杆的纵向振动 解：
边界条件：
0
k
l
x
u (l , t ) u (0, t ) 0 ku (l , t ) ES x (0) 0 k (l ) ES (l , t ) x l l k sin ES cos 得出： c2 0 a0 a0 a0
连续系统的振动
• 实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量 与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。 • 由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标， 因此连续体是具有无限多自由度的系统。
• 连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运 动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组 ，它是偏微分方程。
ia0 , l ix i ( x) ci sin l
(i 0,1,2,)
(i 0,1,2,)
3.2 杆的纵向振动
（2）两端自由
特征：自由端的轴向力为零 边界条件 ： ES 得： 得出：
u (l , t ) u (0, t ) ES 0 0 x x (l ) 0 (0) 0
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程 。
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2015年11月28日
2015年11月28日
11
3.2 杆的纵向振动 • 固有频率和模态函数
机械振动基础一章的PPT
模型建立起来了，实际 问题化成了数学问题。
5
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
实际 系统
简化系统
离散模型 连续体模型
2019年9月22日
简化系统
有限元 模型
对于振动问题的适应性强，应用范围广，
能详细给出各种数值结果，并通过图像
6
显示还可以形象地描述振动过程。
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
2019年9月22日
静平衡位置
29
1.2 无阻尼系统的自由振动
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
u0
m h
u0 2gh
则自由振动振幅为 ：
l/2
0
l/2
静平衡位置
2
a
u02
u0
0
2 2h
u
梁的最大扰度：
2019年9月22日
max A
• 单自由度系统
仅需一个独立坐标来描述的系统。
������ 注意：对于实际系统，当考虑问题的深度、广度
不2019年9月22日
3
1.1 概述
• 构成机械振动系统的基本元素
构成振动系统的基本元素有惯性(质量) 、恢复性（弹簧）和阻尼（阻尼器）。 惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。 恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。 阻尼就是阻碍物体运动的性质。
从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是 贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。
2019年9月22日 4
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
2019年9月22日
分析复杂的实际问题， 发现其中的可以用数学 语言来描述的关系或规 律，把这个实际问题化 成一个数学问题，这就 称为建模。
5
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
实际 系统
简化系统
离散模型 连续体模型
2019年9月22日
简化系统
有限元 模型
对于振动问题的适应性强，应用范围广，
能详细给出各种数值结果，并通过图像
6
显示还可以形象地描述振动过程。
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
2019年9月22日
静平衡位置
29
1.2 无阻尼系统的自由振动
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
u0
m h
u0 2gh
则自由振动振幅为 ：
l/2
0
l/2
静平衡位置
2
a
u02
u0
0
2 2h
u
梁的最大扰度：
2019年9月22日
max A
• 单自由度系统
仅需一个独立坐标来描述的系统。
������ 注意：对于实际系统，当考虑问题的深度、广度
不2019年9月22日
3
1.1 概述
• 构成机械振动系统的基本元素
构成振动系统的基本元素有惯性(质量) 、恢复性（弹簧）和阻尼（阻尼器）。 惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。 恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。 阻尼就是阻碍物体运动的性质。
从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是 贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。
2019年9月22日 4
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
2019年9月22日
分析复杂的实际问题， 发现其中的可以用数学 语言来描述的关系或规 律，把这个实际问题化 成一个数学问题，这就 称为建模。
物理第4章机械振动ppt课件
（1)振动的周期；
（2）通过平衡位置时动能；
（3）总能量；
（4）物体在何处其动能和势能相等？
解 (1) 因
故
得
(2)因通过平衡位置时速度为最大，故
将已知数据代入，得
(3)总能量
(4)当
时，
由
得
[例4.5]已知SHM，A= 4 cm， = 0.5 Hz，t =1s时x =-2cm且向x正向运动，写出振动表达式。
由图可见初相
或
则运动方程为
（2）图（a）中点P的位置是质点从A/2处运动到正向的端点处。 对应的旋转矢量图如图所示。
当初相取
时，
点 P的相位为
（3）由旋转关量图可得
则
例4.4 质量为0.10kg的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为 ，求：
不同频率
1. 同方向同频率的简谐振动的合成
⑴.分振动 :
x1=A1cos( t+ 1)
⑵.合振动 :
合振动是简谐振动, 其频率仍为
x =A cos( t+ )
x2=A2cos( t+ 2)
设 x = x1+ x2
x =A cos( t+ )
A
A1
A2
y
x
o
1
2
Ax
Ay
Ax = A1cos1 + A2cos2
的相位与第一个振动的相位差为
，第一个振动的振幅为0.173m。求
第二个振动的振幅及两振动的相位差。
解：采用旋转矢量合成图求解。如图所示，取第一个振动的旋转矢量A1沿Ox
轴，即令其初相为零；按题意，合振动的旋转矢量A与A1之间的夹角
（2）通过平衡位置时动能；
（3）总能量；
（4）物体在何处其动能和势能相等？
解 (1) 因
故
得
(2)因通过平衡位置时速度为最大，故
将已知数据代入，得
(3)总能量
(4)当
时，
由
得
[例4.5]已知SHM，A= 4 cm， = 0.5 Hz，t =1s时x =-2cm且向x正向运动，写出振动表达式。
由图可见初相
或
则运动方程为
（2）图（a）中点P的位置是质点从A/2处运动到正向的端点处。 对应的旋转矢量图如图所示。
当初相取
时，
点 P的相位为
（3）由旋转关量图可得
则
例4.4 质量为0.10kg的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为 ，求：
不同频率
1. 同方向同频率的简谐振动的合成
⑴.分振动 :
x1=A1cos( t+ 1)
⑵.合振动 :
合振动是简谐振动, 其频率仍为
x =A cos( t+ )
x2=A2cos( t+ 2)
设 x = x1+ x2
x =A cos( t+ )
A
A1
A2
y
x
o
1
2
Ax
Ay
Ax = A1cos1 + A2cos2
的相位与第一个振动的相位差为
，第一个振动的振幅为0.173m。求
第二个振动的振幅及两振动的相位差。
解：采用旋转矢量合成图求解。如图所示，取第一个振动的旋转矢量A1沿Ox
轴，即令其初相为零；按题意，合振动的旋转矢量A与A1之间的夹角
机械振动基础知识培训PPT(86张)
设 t 0 时 x ， x 0 ， v v 0 x A nconst ()
x0Asin; v0Ancos
A
x02v022 n
,tannx0
v0
PAG 15
§4-1 单自由度系统的自由振动
例4-1 如图所示，质量为m = 0.5kg的物块沿光滑斜面无初速度 滑下。当物块下落高度h = 0.1m时撞于无质量的弹簧上并与弹
x
mg
方程解表示为 xC 1co nts C 2sin n t
C1、C2为积分常数，由初始条件确定
PAG 7
§4-1 单自由度系统的自由振动
方程解表示为 xC 1co nts C 2sin n t
设A C12C2 2
tanC1
C2
l0 st
微分方程的解 xAsi nnt()
弹性力F
h
PAG 16
§4-1 单自由度系统的自由振动
⑷ 系统振动的固有频率
物块沿x轴的运动微分方程 mdd22 xtmsgink(0x)
0
mgsin
k
mdd2t2x kx
固有频率与斜面倾角β无关
固有频率 n
k 0.81000
m
0.5
PAG 12
§4-1 单自由度系统的自由振动
固有频率的确定方法：
方法一: n
k m
方法二：弹簧质量系统平衡时 mgkst
k m
g
st
n
g
st
方法三：已知系统的运动微分方程 Add2t2x Bx0
n
B A
PAG 13
§4-1 单自由度系统的自由振动
机械振动基础 ppt课件
2. 常力只改变系统的静平衡位置，不影响系 统的固有频率、振幅和初相位，即不影响系统的振 动。在分析振动问题时，只要以静平衡位置作为坐 标原点就可以不考虑常力。
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.2 自由振动的响应分析 二、有阻尼自由振动
§2.1 振动概述 2.1.1 机械振动及其分类
3. 按系统特性（自由度数目）分类： → 单自由度系统的振动； → 多自由度系统的振动； → 弹性体振动。
4. 按描述系统的微分方程分类： → 线性振动； → 非线性振动。
§2.1 振动概述 2.1.1 机械振动及其分类
5. 按振动位移的特征分类： → 扭转振动； → 直线振动。
机电设备故障诊断
机电设备故障诊断
(Remote Fault Diagnosis)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
机电设备故障诊断
第二章 机械振动基础
本章内容：
○ 振动概述 ○ 机械振动系统的建模基础 ○ 机械系统的自由振动响应 ○ 机械系统的强迫振动响应
§2.1 振动概述 “大振动”现象
坐汽车、火车、轮船时的振动，有时会使人颠簸得难受
J
D
扭振模型
n Kt J
n ——系统扭转振动的固有频率
其中， Kt ——扭转刚度 J ——转动惯量
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.1 自由振动的响应分析 几点重要结论：
1. 单自由度系统的无阻尼自由振动是一种简 谐振动，其振动频率只取决于系统本身的结构特性 (因此称之为固有频率)，而与初始条件无关；振动 的振幅和初相位与初始条件有关。
家里的冰箱电扇空调因振动而产生的噪音使人心烦意乱
§2.1 振动概述 “大振动”现象
印尼海啸汶川大地震美国新奥尔良唐山地震遗址 飓 风
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.2 自由振动的响应分析 二、有阻尼自由振动
§2.1 振动概述 2.1.1 机械振动及其分类
3. 按系统特性（自由度数目）分类： → 单自由度系统的振动； → 多自由度系统的振动； → 弹性体振动。
4. 按描述系统的微分方程分类： → 线性振动； → 非线性振动。
§2.1 振动概述 2.1.1 机械振动及其分类
5. 按振动位移的特征分类： → 扭转振动； → 直线振动。
机电设备故障诊断
机电设备故障诊断
(Remote Fault Diagnosis)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
机电设备故障诊断
第二章 机械振动基础
本章内容：
○ 振动概述 ○ 机械振动系统的建模基础 ○ 机械系统的自由振动响应 ○ 机械系统的强迫振动响应
§2.1 振动概述 “大振动”现象
坐汽车、火车、轮船时的振动，有时会使人颠簸得难受
J
D
扭振模型
n Kt J
n ——系统扭转振动的固有频率
其中， Kt ——扭转刚度 J ——转动惯量
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.1 自由振动的响应分析 几点重要结论：
1. 单自由度系统的无阻尼自由振动是一种简 谐振动，其振动频率只取决于系统本身的结构特性 (因此称之为固有频率)，而与初始条件无关；振动 的振幅和初相位与初始条件有关。
家里的冰箱电扇空调因振动而产生的噪音使人心烦意乱
§2.1 振动概述 “大振动”现象
印尼海啸汶川大地震美国新奥尔良唐山地震遗址 飓 风
《机械振动教学》课件
质量块
质量块。质量块的质量大小和分布对系统的动态特性有 重要影响。
阻尼器
阻尼器是机械振动系统中的阻尼元件，它能够吸收和消耗 振动的能量，从而减小振动的幅值。常见的阻尼器有油阻 尼器、橡胶阻尼器等。
02
机械振动的数学模型
建立振动方程
确定振动系统的自由度
振动应用领域的拓展
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展，振动控制在航空航天领域的应用将得到进一步拓展，涉及结构健康监测、减振降噪等 方面的应用。
新能源领域
新能源领域如风能、太阳能等涉及到大量机械振动问题，未来振动控制将在新能源领域发挥重要作用，涉及风力发电 机组振动控制、太阳能电池板减振等领域。
混合控制法
总结词
结合主动和被动控制方法的优点，以提高振 动控制的效率和效果。
详细描述
混合控制法综合了主动和被动控制法的优点 ，既通过主动施加控制力来抵消原始振动， 又通过改变系统结构或增加阻尼来降低系统 的振动响应。这种方法可以实现更好的振动 控制效果，但同时也需要更高的成本和更复 杂的控制系统。
描述机械振动的物理量
描述机械振动的物理量包括位移、速度、加速度、角频率、周期等。这些物理 量在振动分析中具有重要意义，可以帮助我们了解振动的特性和规律。
机械振动的分类
自由振动和受迫振动
根据外界对振动系统的影响，机械振动 可分为自由振动和受迫振动。自由振动 是指系统在没有外界干扰力作用下的振 动，其振动的频率和振幅只取决于系统 本身的物理性质；受迫振动则是在外界 周期性力的作用下产生的振动，其频率 和振幅取决于外界力和系统本身的物理 性质。
振型
描述系统在不同频率下的振动形态。
模态分析
通过分析系统的模态参数，了解系统的动态特性。
质量块。质量块的质量大小和分布对系统的动态特性有 重要影响。
阻尼器
阻尼器是机械振动系统中的阻尼元件，它能够吸收和消耗 振动的能量，从而减小振动的幅值。常见的阻尼器有油阻 尼器、橡胶阻尼器等。
02
机械振动的数学模型
建立振动方程
确定振动系统的自由度
振动应用领域的拓展
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展，振动控制在航空航天领域的应用将得到进一步拓展，涉及结构健康监测、减振降噪等 方面的应用。
新能源领域
新能源领域如风能、太阳能等涉及到大量机械振动问题，未来振动控制将在新能源领域发挥重要作用，涉及风力发电 机组振动控制、太阳能电池板减振等领域。
混合控制法
总结词
结合主动和被动控制方法的优点，以提高振 动控制的效率和效果。
详细描述
混合控制法综合了主动和被动控制法的优点 ，既通过主动施加控制力来抵消原始振动， 又通过改变系统结构或增加阻尼来降低系统 的振动响应。这种方法可以实现更好的振动 控制效果，但同时也需要更高的成本和更复 杂的控制系统。
描述机械振动的物理量
描述机械振动的物理量包括位移、速度、加速度、角频率、周期等。这些物理 量在振动分析中具有重要意义，可以帮助我们了解振动的特性和规律。
机械振动的分类
自由振动和受迫振动
根据外界对振动系统的影响，机械振动 可分为自由振动和受迫振动。自由振动 是指系统在没有外界干扰力作用下的振 动，其振动的频率和振幅只取决于系统 本身的物理性质；受迫振动则是在外界 周期性力的作用下产生的振动，其频率 和振幅取决于外界力和系统本身的物理 性质。
振型
描述系统在不同频率下的振动形态。
模态分析
通过分析系统的模态参数，了解系统的动态特性。
机械振动Part05 83页PPT文档
5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定
在振动测量中，常用 增益Lx表示振幅与基准 振幅相比增大（或减 少）的量。若以最大 振幅为基准，则在半 功率点处的增益为：
Lx1l0gX X 0 20 2 (m1a)x 1l0gX X 0 20 2 (m1a)x (d)B
5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定
当t1为 n 倍准周期时， /n就是对数衰减率。
4 2n2 2
5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定
固有频率的确定
测量第一个和第n+1个极大值出现的时间间隔 nτd ，
n
d
2 n 1
2
例1 某系统自由振动衰减曲线中相邻的四个极大值分别为：x1=11.8mm, x2=10mm, x3=8.475mm, x4=7.182mm, t4 - t1=0.6s。求系统的阻尼比和固有
X0X0max 2为曲线上的点1、2
半功率带宽
与1、2点对应的频率为 和1 ， 2频率差
幅频响应曲线
21
5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定
固有频率的确定
1.
对具有粘性阻尼的系统
n
X0 n
F0 k
1
2
X0max
由半功率点的定义
X1X22F 20kk
1.334 1.594 1.885 2.232 2.657 3.197
nt1
A 1e A
Rt1
0.761 0.70 3.756
0.934 0.65 4.965
1.26 0.60 5.235
A 0.55 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.19
可修改《机械振动基础》课件第一章02.ppt
非齐次方程通解：
u(t)
u
(t)
u* (t )
a1
cos nt
a2
sin
nt
f0
2mn
t
cos nt
1.6 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动
0.03
0.02
=50 rad/s, f=2sin(50t), m=10kg n
0.01
u, m
0.00
-0.01
-0.02
-0.03
0
1
2 t, s 3
4
【思考】：实际系统在共振时，其振幅会是无限大么？
U1 U2 U1
1
x2 x1
1 e2
e2 1 2 4 2
2!
U 2 4 2 2
U
2!
证毕。
STOP
复习
填空：
1. 系统阻尼比的定义是：
cc
c
cc 2 mk 2mn
2. 阻尼振动频率的定义是：d
n 1 2
3. 对数衰减率为： 2
判断对错：
1. 单自由度欠阻尼系统的自由振动具有等时性，所以是周期运动； ╳
上次课复习
填空：
1.无阻尼单自由度系统的固有频率 n
k m
其单位是 rad/s
2.无阻尼单自由度系统的固有频率 n 2 fn
3.简谐振动的三要素： 振幅 、 频率 和 初相位
上次课复习
4.两个频率不同的简谐振动的合成，如果两频率比为 有理数 时，合成 振动为周期振动.
5.单自由度无阻尼振动系统的自由振动解为：
t2
= 10rad/s, = 4% n
u = 0.0m, du(0)/dt =2.0 m/s 0
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代入拉格朗日方程得：
2 3m(Rr)mg0
p
2g 3( R r)
第15-2节
单自由度系统的自由振动
1、无阻尼自由振动
弹簧质点系统
➢自由振动: 质点仅在弹性恢复力作用下运动
Fkx m xkx x p2x 0
p
k m
l0 O x
Fmx
xt0x0, xt0x0
xAsin(pta)
A x02xp022,
物块的运动方程为： x 3 5 .1 s in (4 0 t 0 .0 8 7 )m m
2. 单自由度系统的衰减振动
衰减振动
➢ 质点在弹性恢复力及阻力作用下运动
m xkxcx
m xcxkx0
x2nxp2x0
n
c 2m
k
c fk
o
m
x
➢ 利用特征根法，有
fc
v mg
et
22np20
np1i p1p2n2
st
初始条件：x02m m , x00
F
st
xO
mg x
A x02(x0/p)22mm
arctan(px0/x0)2
系统的振动规律 x2cos70t(m m )
例3
质量m = 0.5kg的物块沿光滑斜面( = 30°)
无初速下滑。当物块下落高度h = 0.1m时撞 于无质量的弹簧(k = 0.8kN/m)上不再分离。 求物块的运动规律。
单自由度定常保守系统的平衡位形q = q0：
V q
V(q) 0
在考虑微振动时，可以认为q - q0和 q 都是一阶 小量。
单自由度系统微振动的线性化方程
对于单自由度定常约束系统
T 1 m(q)q2 2
m ( q ) m ( q 0 ) m ( q 0 ) ( q q 0 )
保留到二阶小量
T
1 2
Ah
例3
以物块的静平衡
位置O为坐标原
点，建立坐标系。
受力图如图示。
物块的运动微分
方程为：
x
解
x
o
A
h
F
O
mg N
m x m gsin k(0x) x p2x 0 p40rad/s
初始条件为：x 0 0 3 .0 6 m m ,x 02 g h 1 .4 m /s
A x 0 2 x 0 2 /p 2 3 5 . 1 m m , a r c t a n ( p x 0 / x 0 ) 0 . 0 8 7 r a d
k m(q0)
V(q0) m(q0)
例1
质量为m长为l的均质杆OA悬挂在O点处， 可绕O轴摆动。质量为M的滑块用刚度系数 为k的弹簧连接，并可沿杆OA滑动，如所示。 杆OA铅直位置是系统的平衡位置。忽略摩 擦力。求系统微幅振动的固有频率。
例1
解
取为广义坐标。
xhtan xhsec2
T 1 1 m l22 1 M h 22 s e c 4 1 ( 1 m l2 M h 2 )2
xAsin(pt)s sm kg
坐标原点取在静平衡位置
m xm gk(sx)
k
mxkx
mxkx0
O'
k
l0
O
s
m x l0
s
xAsin(pta)
m
x
返回
固有频率的计算方法
运动微分方程法
x p2x 0
静变形法
p k kg g
m mg s
能量法 xAsin(pt)
T1mA2p2cos2(pt) V1kA2sin2(pt)
O
R 固定
r
E
C
例2
解
完整、理想约束系统
O
vC (Rr)
R
vC Rr
rr
固定
r
E
C
T1 2m v C 21 2JC23 4m (R r)2 2
V m g (R r )(1 c o s) 1 2 m g (R r )2
L T V 4 3 m (R r ) 22 1 2 m g (R r )2
tanpx0
x0
运动特性
xAsin(pt)
x
振率 圆 固 初 幅 频有 相
位
xo
A
o
t
p
T
➢ 简谐性 ➢ 周期与初始条件无关
T 2π
m k
➢ 振幅与初位相取决于初始条件
➢ 常力的影响: 振动中心移到静平衡位置
➢ 固有频率的计算方法
常力对自由振动的影响
坐标原点取在弹簧原长
mxmgkx
mxkxmg
第十四章
机械振动基础
振动是工程中常见的现象 汽车在不平的路面上颠簸 发动机运转 结构物受阵风、波浪或地震的作用
振动的灾害 噪声 降低机器及仪表的精度 缩短仪器的寿命 造成结构物的破坏
振动的利用 振动送料 振动打桩 振动杀虫
振动的控制
振动的分类:
自由振动 :外界激励停止后系统的振动 强迫振动 :系统在外界激励作用下的振动 自激振动 :系统在自身运动诱发出来的激励作
2 3 2
2 3
V 1 k h 2 t a n 2 m g 1 l( 1 c o s) 1 ( k h 2 1 m g l)2
2
2
22
d dt
L
L
0
(1m l2M h 2) (kh 21m g l)0
3
2
2 0
6kh2 3mgl
2ml2 6Mh2
例2
已知：m, r, R； 求：匀质圆柱体微摆动的周期。
用下产生和维持的振动 参激振动 :系统本身的参数随时间周期性变化
而产生的振动 随机振动 :系统在随机激励作用下的振动
单自由度系统振动 多自由度系统振动 连续系统振动
线性振动 非线性振动
第15-1节
单自由度振动的线性化方程
单自由度系统的微振动
微振动 — 质系在它的稳定平衡位形附近的 微幅振动。也称为线性振动。
Tmax Vmax
p k1 k2 m
例2
无重弹性梁
如图所示，在无重弹性梁的中部防置质量为 m的物体，其静变形为2 mm。如将物块在梁 未变形位置处无初速释放，求系统的振动规 律。
F
st
xO
mg x
例2
解
此无重弹性梁相 当于弹簧，其静 变形相当于弹簧 的静变形，故：
p g 70 rad/s
m(q0
)q2
m ( q 0 ) —广义惯性系数
V(q0) 0
V ( q ) V ( q 0 ) V ( q 0 ) ( q q 0 ) 1 2 V ( q 0 ) ( q q 0 ) 2 保留到二阶小量
V(q)V(q0)1 2k(qq0)2 k V(q0) 广义刚度系数
由拉格朗日方程得：
m (q0)qk(qq0)0
2
2
Tmax Vmax
p k m
返回
例1
并联弹簧系统的固有频率
运动微分方程法 (以静平衡位置为原点)
m x(k1k2)x0
p k1 k2 m
静变形法
s
mg k1 k2
p g k1 k2
s
m
k1
k2
st
P
能量法 (以静平衡位置为势能零点)
ห้องสมุดไป่ตู้Tmax
1 mp2A2 2
Vmax 12(k1 k2)A2
2 3m(Rr)mg0
p
2g 3( R r)
第15-2节
单自由度系统的自由振动
1、无阻尼自由振动
弹簧质点系统
➢自由振动: 质点仅在弹性恢复力作用下运动
Fkx m xkx x p2x 0
p
k m
l0 O x
Fmx
xt0x0, xt0x0
xAsin(pta)
A x02xp022,
物块的运动方程为： x 3 5 .1 s in (4 0 t 0 .0 8 7 )m m
2. 单自由度系统的衰减振动
衰减振动
➢ 质点在弹性恢复力及阻力作用下运动
m xkxcx
m xcxkx0
x2nxp2x0
n
c 2m
k
c fk
o
m
x
➢ 利用特征根法，有
fc
v mg
et
22np20
np1i p1p2n2
st
初始条件：x02m m , x00
F
st
xO
mg x
A x02(x0/p)22mm
arctan(px0/x0)2
系统的振动规律 x2cos70t(m m )
例3
质量m = 0.5kg的物块沿光滑斜面( = 30°)
无初速下滑。当物块下落高度h = 0.1m时撞 于无质量的弹簧(k = 0.8kN/m)上不再分离。 求物块的运动规律。
单自由度定常保守系统的平衡位形q = q0：
V q
V(q) 0
在考虑微振动时，可以认为q - q0和 q 都是一阶 小量。
单自由度系统微振动的线性化方程
对于单自由度定常约束系统
T 1 m(q)q2 2
m ( q ) m ( q 0 ) m ( q 0 ) ( q q 0 )
保留到二阶小量
T
1 2
Ah
例3
以物块的静平衡
位置O为坐标原
点，建立坐标系。
受力图如图示。
物块的运动微分
方程为：
x
解
x
o
A
h
F
O
mg N
m x m gsin k(0x) x p2x 0 p40rad/s
初始条件为：x 0 0 3 .0 6 m m ,x 02 g h 1 .4 m /s
A x 0 2 x 0 2 /p 2 3 5 . 1 m m , a r c t a n ( p x 0 / x 0 ) 0 . 0 8 7 r a d
k m(q0)
V(q0) m(q0)
例1
质量为m长为l的均质杆OA悬挂在O点处， 可绕O轴摆动。质量为M的滑块用刚度系数 为k的弹簧连接，并可沿杆OA滑动，如所示。 杆OA铅直位置是系统的平衡位置。忽略摩 擦力。求系统微幅振动的固有频率。
例1
解
取为广义坐标。
xhtan xhsec2
T 1 1 m l22 1 M h 22 s e c 4 1 ( 1 m l2 M h 2 )2
xAsin(pt)s sm kg
坐标原点取在静平衡位置
m xm gk(sx)
k
mxkx
mxkx0
O'
k
l0
O
s
m x l0
s
xAsin(pta)
m
x
返回
固有频率的计算方法
运动微分方程法
x p2x 0
静变形法
p k kg g
m mg s
能量法 xAsin(pt)
T1mA2p2cos2(pt) V1kA2sin2(pt)
O
R 固定
r
E
C
例2
解
完整、理想约束系统
O
vC (Rr)
R
vC Rr
rr
固定
r
E
C
T1 2m v C 21 2JC23 4m (R r)2 2
V m g (R r )(1 c o s) 1 2 m g (R r )2
L T V 4 3 m (R r ) 22 1 2 m g (R r )2
tanpx0
x0
运动特性
xAsin(pt)
x
振率 圆 固 初 幅 频有 相
位
xo
A
o
t
p
T
➢ 简谐性 ➢ 周期与初始条件无关
T 2π
m k
➢ 振幅与初位相取决于初始条件
➢ 常力的影响: 振动中心移到静平衡位置
➢ 固有频率的计算方法
常力对自由振动的影响
坐标原点取在弹簧原长
mxmgkx
mxkxmg
第十四章
机械振动基础
振动是工程中常见的现象 汽车在不平的路面上颠簸 发动机运转 结构物受阵风、波浪或地震的作用
振动的灾害 噪声 降低机器及仪表的精度 缩短仪器的寿命 造成结构物的破坏
振动的利用 振动送料 振动打桩 振动杀虫
振动的控制
振动的分类:
自由振动 :外界激励停止后系统的振动 强迫振动 :系统在外界激励作用下的振动 自激振动 :系统在自身运动诱发出来的激励作
2 3 2
2 3
V 1 k h 2 t a n 2 m g 1 l( 1 c o s) 1 ( k h 2 1 m g l)2
2
2
22
d dt
L
L
0
(1m l2M h 2) (kh 21m g l)0
3
2
2 0
6kh2 3mgl
2ml2 6Mh2
例2
已知：m, r, R； 求：匀质圆柱体微摆动的周期。
用下产生和维持的振动 参激振动 :系统本身的参数随时间周期性变化
而产生的振动 随机振动 :系统在随机激励作用下的振动
单自由度系统振动 多自由度系统振动 连续系统振动
线性振动 非线性振动
第15-1节
单自由度振动的线性化方程
单自由度系统的微振动
微振动 — 质系在它的稳定平衡位形附近的 微幅振动。也称为线性振动。
Tmax Vmax
p k1 k2 m
例2
无重弹性梁
如图所示，在无重弹性梁的中部防置质量为 m的物体，其静变形为2 mm。如将物块在梁 未变形位置处无初速释放，求系统的振动规 律。
F
st
xO
mg x
例2
解
此无重弹性梁相 当于弹簧，其静 变形相当于弹簧 的静变形，故：
p g 70 rad/s
m(q0
)q2
m ( q 0 ) —广义惯性系数
V(q0) 0
V ( q ) V ( q 0 ) V ( q 0 ) ( q q 0 ) 1 2 V ( q 0 ) ( q q 0 ) 2 保留到二阶小量
V(q)V(q0)1 2k(qq0)2 k V(q0) 广义刚度系数
由拉格朗日方程得：
m (q0)qk(qq0)0
2
2
Tmax Vmax
p k m
返回
例1
并联弹簧系统的固有频率
运动微分方程法 (以静平衡位置为原点)
m x(k1k2)x0
p k1 k2 m
静变形法
s
mg k1 k2
p g k1 k2
s
m
k1
k2
st
P
能量法 (以静平衡位置为势能零点)
ห้องสมุดไป่ตู้Tmax
1 mp2A2 2
Vmax 12(k1 k2)A2