河北师大点集拓扑第二章教案

第二章 拓扑空间与连续映射
一、教学目的与要求
本章是点集拓扑学的基础知识，在本章中建立了点集拓扑学许多最基本的概念，为学习点集拓扑 学的核心内容打下基础。本章应掌握的概念有：度量空间、开集、邻域、拓扑空间、映射在一点连续、 连续映射、度量诱导的拓扑、可度量化空间、同胚、拓扑不变性质、邻域系、聚点、孤立点、闭集、 闭包、内点、内部、边界点、边界、基、子基、邻域基、邻域子基、序列、序列的极限点、收敛、子 序列。 学生还应该掌握：典型的拓扑和度量空间的例子、开集和邻域的性质、连续映射和同胚映射 的性质、（集合的）内部的性质内部和边界和闭包之间关系、连续映射的等价条件（分别用开集、闭 集、邻域来描述）、邻域系的性质和判定方法、基的判定法和子集族成为基（或子基）的条件、映射 在一点连续的性质和判定法则、拓扑空间和度量空间中序列的性质。
2.1 度量空间与连续映射
首先,我们从在数学分析中学过的连续函数出发, 抽象出度量和度量空间的概念.
定义 2.1.1 设 X 是一个集合, ρ : X × X → R .如果对于任何 x, y, z ∈ X ,有 (1) (正定性) ρ(x, y) ≥ 0, 并且 ρ(x, y) = 0当且仅当 x = y ; (2) (对称性) ρ(x, y) = ρ( y, x) ;
(2) 对于点 x∈ X 的任意两个球形邻域，存在 x ; 的一个球形邻域同时包含于两者
(3) 如果 y∈ X 属于 x∈ X 的某一个球形邻域，则 y 有一个球形邻域包含于 x 的
那个球形邻域. 定义 2.1.3 设 A 是度量空间 X 的一个子集. 如果 A 中的每一个点有一个球形邻域包
含于 A (即对于每一个 a∈ A, ε 存在实数 > 0 使得 B(a,ε ) ⊂ A)，则称 A 是度量空间
如果映射 f 在 X 的每一个点 x∈ X 处连续，则称 f 是一个连续映射 . 定理 2.1.4 设 X 和Y 是两个度量空间， f : X →Y ，以及 x0 ∈ X . 则下述条
件 (1) 和 (2) 分别等价于条件 (1)∗ 和 (2)∗ ： (1) f 在点 x0 处是连续的 . (1)∗ f (x0) 的每一个邻域的原像是 x0 的一个邻域 . (2) f 是连续的 .
例 2.1.4 离散的度量空间.
设 ( X , ρ) 是一个度量空间.称 ( X , ρ) 是离散的，或者称 ρ 是 X 的一个离散度量，
如 果 对 于 每 一 个 x∈ X , 存 在 一 个 实 数 δ x > 0 使 得 ρ(x, y) > δ x 对 于 任 何
y∈ X , y ≠ x.
例如我们假定 X 是一个集合, 定义 ρ:X×X →R 使得对于任何
X 中的一个开集. 例 2.1.5 实数空间 R 中的开区间都是开集.
定理 2.1.2 度量空间 X 中的开集具有以下性质：
(1) 集合 X 本身和空集 Φ 都是开集; (2) ; 任意两个开集的交是一个开集 (3) 任意一个开集族(即有开集构成的族)的并是一个开集。 U X X . 定义 2.1.4 设 x 是度量空间 中的一个点， 是 的一个子集 如果存在一个开集 V 满足条件： x∈V ⊂U ,则称U 是点 x 的一个邻域 . U 定理 2.1.3 设 x 是度量空间 X 中的一个点 . 则 X 的子集 是 x 的一个邻域的充 U 分必要条件是 x 有某一个球形邻域包含于 . 定义 2.1.5 设 X 和Y 是两个度量空间， f : X →Y , 以及 x0 ∈ X . 如果对于 f (x0) 的任一个球形邻域 B( f (x0),ε) ，存在 x0 的某一个球形邻域 B(x0,δ ), 使得 f (B(x0,δ )) ⊂ B( f (x0),ε) ，则称映射在点 x0 处是连续的 .
η = {U ⊂ X |U ′ 是 X 的一个有限子集} ∪{φ} 我们可以证明η 是 X 的一个拓扑，称之为 X 的有限补拓扑. 拓扑空间 ( X ,η) 称为
一个有限补空间. 例 2.2.5 可数补空间
设 X 是一个集合.令
η = {U ⊂ X |U ′ 是 X 的一个可数子集} ∪{φ} η 通过与例 2.2.4 中完全类似的做法容易验证 是 X 的一个拓扑，称之为 X 的可数补拓扑. 拓扑空间 ( X ,η) 称为一个可数补空间.
时，迳称集合 X η 是一个拓扑空间.此外 的每一个元素都叫做拓扑空间 ( X ,η) (或 X )
中的一个开集. 现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴.
η ρ 定义 2.2.2 设 ( X , ) 是一个度量空间.令 ρ 为由 X 中的所有开集构成的集族.根 η η 据定理 2.1.2，( X , ρ ) 是 X 的一个拓扑.我们称 ρ 为 X 的由度量 ρ 诱导出来的拓扑.
定义 2.2.3 设 ( X ,η) 是一个拓扑空间.如果存在 X 的一个度量 ρ 使得拓扑η 即
η ρ 是由度量 诱导出来的拓扑 ρ ，则称 ( X ,η) 是一个可度量化空间.
现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射.
定义 2.2.4 设 X 和Y 是两个拓扑空间， f : X →Y .如果Y 中每一个开集U 的
ρ 此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间 ( X , ) 的拓扑时，指的就是拓
η η 扑 ρ ；在称度量空间 ( X , ρ) 为拓扑空间时，指的就是拓扑空间 ( X , ρ ) .
度量空间是拓扑空间中最为重要的一类.于此，我们在举出一些拓扑空间的例子.
例2.2.1
平庸空间
设 X η 是一个集合.令 ={X ,φ}.容易验证，η 是 X 的一个拓扑，称之为 X 的平
4/4
理论/讲授、讨论
2.6,2.7
4/4
理论/讲授
习题课
4/4
练习/讲授、讨论
四、教学过程
在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空 间, 将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射. 然后将两者再度抽 象, 给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射. 随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题 如邻域, 闭包, 内部, 边界, 基和子基, 序列等等.
∞
H ={x = (x1, x2,…) xi ∈ R,i ∈ Z+; ∑ xi2 < ∞} i =1
定义 ρ : H × H → R 如下：对于任意
x = (x1, x2,…), y = ( y1, y2,…)∈H
令
ρ(x, y) =
∞
∑ (xi − yi )2
i =1
则偶对 (H , ρ) 是一个度量空间.这个空间特别地称为 Hilbert 空间.
i =1
. 容易验证 ρ 是 Rn 的一个度量 , 因此偶对 (Rn, ρ) 是一个度量空间 这个度量空间
. 特别地成为 n 维欧式空间 这里定义的度量 ρ, 称为 Rn 的通常度量 , 并且称 Rn 为 n 维欧
氏空间.
例 2.1.3 Hilbert 空间 H .
记 H , 为平方收敛的所有实数序列的集合 即
(1) X ,φ ∈η ;
(2) 若 A, B∈η ，则 A∩ B∈η;
∈η (3) 若η1 ⊂η ，则 ∪ A∈η1 A
，
则称η 是 X 的一个拓扑.
如果η 是集合 X 的一个拓扑，则称偶对 ( X ,η) 是一个拓扑空间，或称集合 X 是一 η η 个相对于拓扑 而言的拓扑空间；或者当拓扑 早已约定或在行文中已有说明而无须指出
例 2.2.3 设 X ={a,b,c}. 令 η ={φ,{a},{a,b},{a,b,c}}
容易验证，η 是 X η 的一个拓扑，因此 ( X , ) 是一个拓扑空间.这个拓扑空间既不是平庸
空间又不是离散空间. 例 2.2.4 有限补空间
X 设 是一个集合.首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每 次提起.因此在后文对于 X 的每一个子集 A ，它的补集 X − A我们写为 A′ .令
x, y∈ X , 有
ρ(x, y) = x = y 或 ρ(x, y) =1, x ≠ y
容易验证 ρ 是 X 的一个离散的度量，因此度量空间是离散空间.
定义 2.1.2 设 ( X , ρ) 是一个度量空间， x∈ X . 对于任意给定的ε > 0, 集合 {y∈ X ρ(x, y) < ε}
(2)∗ Y 中的每一个开集的原像是 X 中的一个开集 .
作业：P50 1, 2, 3, 4, 5, 7
2.2 拓扑空间与连续映射
现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质(定理 2.1.2)出发来建立 拓扑空间的概念.
定义 2.2.1 设 X 是一个集合,η 是 X 的一个子集族.如果η 满足如下条件：
(3) (三角不等式) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ( y, z),
则称 ρ 是集合 X 的一个度量. 如果 ρ 是集合 X 的一个度量, 则称偶对 ( X , ρ) 是一个度量空间 , 或称 X 是一个对
于度量 ρ 而言的度量空间. 有时，或者度量 ρ 早有约定，或者在行文中已有交代 , 不提它不
原象 f −1(U ) 是 X 中的一个开集，则称 f 是从 X 到Y 的一个连续映射，或简称映射 f
连续.
定理 2.2.1 设 X ,Y 和 Z 都是拓扑空间.则 (1)恒同映射 iX : X → X 是一个连续映射； (2)如果 f : X →Y 和 g :Y → Z 都是连续映射，则 g f : X → Z 也是连续映
二、教学重点与难点
教学重点：拓扑空间和连续映射、导集、闭集、闭包、基与子基、拓扑空间中的序列。 教学难点：拓扑空间概念的建立、导集概念和基与子基概念的建立等。
三、课时安排与教学方法
教学内容 （计划／实际）课时数 课程类型／教学方法
2.1,2.2
4/4
理论/讲授
2.3,2.4
4/4
理论/讲授
2.5,习题课
记作 B(x,ε ), 或 Bε (x) ，称为一个以 x 为中心，以ε 为半径的球形邻域，简称
为 x 的一个球形邻域，有时也称为 x 的一个ε − 邻域. 定理 2.1.1 度量空间 ( X , ρ) 的球形邻域具有以下基本性质：
(1) 每一点 x∈ X 至少有一个球形邻域，并且点 x ; 属于它的每一个球形邻域
射.
定义 2.2.5 设 X 和Y 是两个拓扑空间.如果 f : X →Y 是一个一一映射，并且 f 和 f −1 :Y → X 都是连续的，则称 f 是一个同胚映射或同胚.
定理 2.2.2 设 X ,Y 和 Z 都是拓扑空间.则 (1)恒同映射 iX : X → X 是一个同胚； (2)如果 f : X →Y 是一个同胚，则 f −1 :Y → X 也是一个同胚； (3)如果 f : X →Y 和 g :Y → Z 都是同胚，则 g f : X → Z 也是一个同胚. 定义 2.2.6 设 X 和Y 是两个拓扑空间.如果存在一个同胚 f : X →Y ，则称拓扑 空间 X 与拓扑空间Y 是同胚的，或称 X 与Y 同胚，或称 X 同胚于Y .
庸拓扑；并且我们称拓扑空间 ( X ,η) 为一个平庸空间.在平庸空间 ( X ,η) 中，有且仅有
两个开集，即 X 本身和空集φ .
例 2.2.2 离散空间
设 X η 是一个集合.令 = p( X ) η ，即由 X 的所有子集构成的族.容易验证， 是 X 的一个拓扑，称之为 X 的离散拓扑；并且我们称拓扑空间 ( X ,η) 为一个离散空间.在 离散空间 ( X ,η) 中， X 的每一个子集都是开集.
, 至于引起混淆，这时我们称 X 是一个度量空间. 此外 对于任意两点 x, y ∈ X , 实数 ρ(x, y) 称为从点到点的距离.
例 2.1.1 实数空间 R .
对 于 实 数 集 合 R, 定 义 ρ : R× R → R 如 下 ： 对 于 任 意 x, y ∈ R, 令
ρ(x, y) = x − y .容易验证 ρ 是 R 的一个度量, 因此偶对 (R, ρ) 是一个度量空间.这个
度量空间特别地称为实数空间或直线. 这里定义的度量 ρ, 称为 R 的通常度量 , 并且常常略
而不提，称为实数空间 .
例 2.1.2 n 维欧氏空间 Rn.
对于任意 x = (x1, x2,…, xn ), y = ( y1, y2,…, yn )∈ Rn, 令
ρ(x, y) =
n
∑ (xi − yi )2