安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷一及详细答案

2014年安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷一

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．

1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）

A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3

考点：解一元一次不等式组．

专题：计算题．

分析：先解不等式组，然后根据不等式的解集，得出m的取值范围即可．

解答：解：由x+7＜4x﹣2移项整理得：

﹣3x＜﹣9，

∴x＞3，

∵x＞m，

又∵不等式组的解集是x＞3，

∴m≤3．

故选C．

点评：主要考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求m的范围．

2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）

A．B．C．0.3 D．

考点：特殊角的三角函数值．

分析：本题中直角三角形的角不是特殊角，故过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，根据三角形内角和定理可求出∠DAC及∠ADC的度数，再由特殊角的三角函数值及勾股定理求解即可．

解答：解：过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，

∵△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，

∴∠BAC=75°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°，

∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°，

∴AC=AD，

又∵∠ABC=∠BAD=15°

∴BD=AD，

∵BC=1，

∴AD+DC=1，

设CD=x，则AD=1﹣x，AC=（1﹣x），

∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，

解得：x=﹣3+2，

∴AC=（4﹣2）

=2﹣

故选B．

点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，解答此题的关键是构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求（已知）非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．

（2）求（已知）锐角三角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．

3．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）

A．到CD的距离保持不变B．位置不变

D．随C点移动而移动

C．

等分

考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．

专题：探究型．

分析：连OP，由CP平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，所以有OP∥CD，则OP⊥AB，即可得到OP平分半圆APB．

解答：解：连OP，如图，

∵CP平分∠OCD，

∴∠1=∠2，

而OC=OP，有∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OP∥CD，

又∵弦CD⊥AB，

∴OP⊥AB，

∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点．

故选B．

点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理的推论．

4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）

A．2﹣1 B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣2

考点：函数最值问题．

分析：

首先把y=+两边平方，求出定义域，然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，最后求差．

解答：

解：∵y=+，

∴y2=4+2=4+2×，

∵1≤x≤5，

当x=3时，y的最大值为2，当x=1或5时，y的最小值为2，

故当x=1或5时，y取得最小值2，

当x取1与5中间值3时，y取得最大值，

故y的最大值与最小值的差为2﹣2，

故选D．

点评：本题主要考查函数最值问题的知识点，解答本题的关键是把函数两边平方，此题难度不大．

5．（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）

A．B．C．D．

考点：线段的性质：两点之间线段最短；几何体的展开图．

专题：压轴题；动点型．

分析：此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．

解答：解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．

故选D．

点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力．

6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）

A．6圈B．6.5圈C．7圈D．8圈

考点：直线与圆的位置关系．

分析：根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，则圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，再加上在三边作无滑动滚动时要转6圈，这样得到它回到原出发位置时共转了7圈．

解答：解：圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，

∵等边三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，

∴圆转了6圈，

而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数，

圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，

∴圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，

∴圆回到原出发位置时，共转了6+1=7圈．

故选C．

点评：

本题考查了直线与圆的位置关系，弧长公式：l=（n为圆心角，R为半径）；也考查了旋转的性质．

7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；

④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

考点：二次函数图象与系数的关系．

专题：图表型．

分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，错误；

②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，错误；

③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，正确；

④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，

即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，正确；

⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，

而当x=m时，y=am2+bm+c，

所以a+b+c＞am2+bm+c，

故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），正确．

③④⑤正确．