高中数学-函数综合测试题

高中数学-函数综合测试题
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．已知全集U R =，集合{}Z x x x A ∈≤=,1|, {}02|2=-=x x x B ,则图中的阴影部分表示的集合为(B )
A.{}1-
B.{}2
C.{}2,1
D. {}2,0
2. 函数)13lg(13)(2++-=x x
x x f 的定义域为
（B ）
A.),31(+∞-
B. )1,31(-
C. )31,31(-
D. )3
1,(--∞ 3．下列各式正确的是（C ）
A ． 3334<
B . 6log 4log 5.05.0<
C . 33) 2
1 () 21 (>- D . 4.1lg 6.1lg <
4.已知函数()1
,1,,1,2,32
f x x αα⎧⎫
=∈-⎨⎬⎩
⎭
,若()f x 是区间(),-∞+∞上的增函
数,则α的所有可能取值为( A )
(A){}1,3 (B)1
,1,2,32
⎧⎫⎨⎬⎩⎭
(C){}1,2,3 (D)11,,1,22
⎧⎫
-⎨⎬⎩
⎭
5．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是(A )
A ．f (a ＋1)>f (2)
B ．f (a ＋1)<f (2)
C ．f (a ＋1)＝f (2)
D ．不能确定
解：由y ＝f (x )的图象及已知可得0<a <1，所以1<a ＋1<2，由于函数f (x )为偶函数，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．
6．如果一个函数)(x f 满足：①定义域为R ；
②任意12,x x R ∈，若120x x +=，则12()()0f x f x +=； ③任意x R ∈，若0t >，)()(x f t x f >+。

则)(x f 可以是（ C ）A ．y x =- B ．x y 3= C ．3x y = D ．3log y x =
7.设函数()f x =c
x b
ax ++2
的图象如下图所示，则a 、b 、c 的大小关系是 （B ） 11
-1
-1
O
x
y
A.a ＞b ＞c
B.a ＞c ＞b
C.b ＞a ＞c
D.c ＞a ＞
b
解：f （0）=c
b =0，∴b =0.f （1）=1，∴
c
a
+1=1. ∴a =c +1.
由图象看出x ＞0时，f （x ）＞0，即x ＞0时，有c
x ax
+2
＞0，∴a ＞0
.又f （x ）= x
c x a +
，当x ＞0时，要使f （x ）在x =1时取最大值1，
需x +x
c ≥2
c ，
当且仅当x =c =1
时.∴c =1，此时应有f （x ）=2
a =1.∴a =2.
8. 函数()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2b
x a
=-
对称。

据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程
[]2
()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是（D ） A. {}1,2 B
{}1,4 C {}1,2,3,4 D {}1,4,16,64
解：∵f （x ）=ax 2+bx+c 的对称轴为x=，方程m[f （x ）]2+nf （x ）
+p=0的解为y 1，y 2
则必有y 1=ax 2+bx+c ，y 2=ax 2+bx+c
那么从图象上看，y=y 1，y=y 2是一条平行于x 轴的直线，它们与f （x ）有交点
则方程y 1=ax 2+bx+c 的两个解x 1，x 2要关于直线x=对称，即2
（x 1+x 2）=
同理方程y 2=ax 2+bx+c 的两个解x 3，x 4也要关于直线x=对称，即2（x 3+x 4）=
，
在C 中，可以找到对称轴直线x=2.5，也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解
所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}
而在D 中，{1， 4，16，64}，找不到对称轴，故选D ． 二、填空题（每小题5分） 9.幂函数()
f x x （
为实常数）的图象过点(4,2)，那么(16)f 的值
为 . 4
10.函数()1(1)3(01)m f x og x m 且恒过定点 .(2,3) 11.已知x y x 62322=+，则22y x +的最大值为 . 4
解：由 x y x 6232
2=+得2233.2
y x x =-+2230,30,0 2.2
y x x x ≥∴-+≥∴≤≤
又,2
9)3(21323
22222+--=+-=+x x x x y x
∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.42
9
)32(212=+--
12..已知函数
|lg |,010()113
,103
3x x f x x x <≤⎧⎪
=⎨-+>⎪⎩.若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==若c N ∈，则abc =
.
11,12
解：画图知01,110,10a b c <<<<>，且：()()()|lg ||lg ||lg |(0,1)f a f b f c a b c ==⇔==∈，∴1
113lg lg (0,1)10133
3
ab a b c c =⎧-==-+∈⇒⎨
<<⎩
，故(10,13)abc c =∈，.
三、解答题（共3个小题，满分40分） 13.（本小题满分13分）下列各式的值
（1）(
)(
2
02
41
33
3
22210283-⎡⎤⎛⎫-⨯⨯-+-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
（2
）3
12
1log 24lg 539-⎛⎫-- ⎪
⎝⎭
(1)88 （6分） (2)13
6
-
（7分） 14．（本小题满分13分）已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝2log a (2x ＋t )(t ∈R )，其中x ∈[0，15]，a ＞0，且a ≠1. (1)若1是关于x 的方程f (x )－g (x )＝0的一个解，求t 的值；
(2)当0＜a ＜1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求t 的取值范围． 解：(1)由题意得f (1)－g (1)＝0，即log a 2＝2log a (2＋t )， 解得t ＝－2＋2或t ＝－2－2(舍去)，∴t ＝－2＋ 2.
(2)不等式f (x )≥g (x )恒成立，即1
2log a (x ＋1)≥log a (2x ＋t )(x ∈[0，15])恒成立，
它等价于x ＋1≤2x ＋t (x ∈[0，15])，即t ≥x ＋1－2x (x ∈[0，15])恒成立．
令x ＋1＝u (x ∈[0，15])，则u ∈[1，4]，x ＝u 2－1， x ＋1－2x ＝－2(u 2
－1)＋u ＝－2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫u －142＋178，
当u ＝1时，x ＋1－2x 的最大值为1. 15．（本小题14分）已知函数x
x f 11)(-=(x >0)． （I ）0,()()a b f a f b <<=当且时，求11a
b
+的值；
（II ）是否存在实数a ，b （a <b ），使得函数()y f x =的定义域、值域
都是[a ，b ]？若存在，请求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由．
15．解：（I ） ∵x>0，∴1
1,x 1,x
(x)11,0x 1.x
f ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩
∴f (x )在（0，1）上为减函数，在(1,)+∞上是增函数． 由0<a <b ，且f (a )=f (b )，可得 0<a <1<b 和b
a
1111-=-．即
2b
1
a 1=+． （II ）不存在满足条件的实数a ，
b ． 若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数的定义域、值
域都是[a ，b]，
则a>0， 而1
1,x 1,x
()11,0x 1.x
f x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩
①当)1,0(b ,a ∈时，1x
1
)x (f -=
在（0，1）上为减函数．
故⎩⎨⎧==.a )b (f ,b )a (f 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=- a.
1b
1,b 1a 1
解得 a=b ． 故此时不存在适合条件的实数a ，b ． ② 当),1[b ,a +∞∈时，1f (x)1x
=-在(1,)+∞上是增函数．
故⎩⎨⎧==.b )b (f ,a )a (f 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=- b.
b
11,a a
1
1
此时a ，b 是方程01x x 2=+-的根，此方程无实根．故此时不存在适合条件的实数a ，b ．
③ 当)1,0(a ∈，),1[b +∞∈时,由于]b ,a [1∈,而]b ,a [0)1(f ∉=, 故此时不存在适合条件的实数a,b ． 综上可知，不存在适合条件的实数a ，b ．。