二次函数的解析式有三种形式a顶点式yaxh2k在

小结：（1）二次函数的解析式有三种形式，a 顶点式：y=a(x -h)2+k,在知道顶点的情况下，设成这种形式。b 交点式：y=a(x -x 1)(x -x 2),已知二次函数与x 轴的交点坐标的情况下。

c 一般式：y=a x 2+b x +c,在已知二次函数上任意3点坐标的情况下。

（2）二次函数与圆，三角形结合在一起的题目，几何图形的基本作用是通过计算线段长度计算坐标，计算长度的基本方法是相似和全等。

（3）求抛物线与直线的交点坐标的方法是联立一次函数的解析式和二次函数的解析式，解一元二次方程。

（4）存在性问题的解法，通常是假设存在解，将这个解求出来或者是推出与条件相矛盾，即不成立。

3、思路分析：（1）图像经过原点，代入原点的坐标即可求出m 的值。

（2）配方求出顶点坐标，然后列不等式求m 的范围。

（3）将顶点横坐标代入直线的解析式，求出纵坐标，然后代入到二次函数的表达式（这儿用顶点式）中。 解：（1）∵函数y 的图像过原点，∴m 2－1＝0.

解得m ＝1或 m ＝－1.

当m ＝1时，此函数的解析式为y ＝x 2－3x 令y ＝0，得x ＝0或x ＝3.

∴该函数图像与x 轴的解析式为y ＝x 2＋x .

当m ＝-1时，此函数的解析式为y ＝x 2+x

令y ＝0，得x ＝0或x ＝－1，

∴该函数图像与x 轴的另一交点坐标是（－1，0）或者（3，0）.

（2）函数y ＝x 2－（2m ＋1）x ＋m 2－1的顶点坐标是（

4

54,212--+m m ）. ∵它在第四像限 ∴21452104540212->⇒⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧->->⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->+m m m m m . （3）对于（1）中函数y ＝x 2

＋x ＝（x ＋21）2－41的图像，其顶点坐标是（－21，－41），它恰在直线y ＝2

1x 上，故无需平移；对于（1）中函数y ＝x 2－3x ＝（x －23）2－49的图像，其顶点坐标是（23，－4

9）,它在直线y ＝21x 的下方，把x ＝23代入直线的解析式得y ＝4

3.故应把函数y ＝x 2－3x 的图像向上平移，使其顶点坐标为（23，4

3） ∴平移后的二次函数的解析式（顶点式）为y ＝（x －23）2＋43.

即y ＝x 2－3x ＋3.故所求函数的解析式是y ＝x 2＋x 和y ＝x 2

－3x ＋3.

4、思路分析：（1）已知任意三点坐标， 设成一般式，解三元一次方程组，求出解析式。令y=0，解一元二次方程，即可解出与x 轴交点坐标。

（2）求出MN 的坐标，则圆的半径就可以求出来了，然后根据切割线定理求出切线的长度。

（3）求直线OD 的解析式，关键是求D 点的坐标，也即求出D 点到x 轴和y 轴的距离。题目中有切线，通常情况下连接将切与圆心连起来。在直角三角形中求相关线段的长度。

（4）M ，N ，P 三点构成直角三角形，M,N,P 三点均可能是直角顶点。显然因MN 是直径，当D 与P 重合时，△MNP 是直角三角形。当M,N 为直角顶点时。即过M,N 点作垂线,垂线与OD 的交点坐标即为P 点坐标。 解：（1）设所求的二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，

∵抛物线经过A （4，－3），B （2，1）和C （－1，－8）三点， ∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++=++=-.8,241,4163c b a c b a c b a 解之，得⎪⎩

⎪⎨⎧-==-=3,41c b a ∴抛物线为y ＝－x 2＋4x －3，

令y ＝0，得－x 2

＋4x －3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3.∴抛物线与x 轴的交点坐标为M （1，0），N （3，0）.

（2）过原点O 作⊙G 的切线，切点为D .易知OM ＝1，ON ＝3.由切割线定理，得OD 2＝OM ·ON ＝1×3.∴OD ＝3，即所求的切线OD 长为3.

（3）连结DG ，则∠ODG ＝90°，DG ＝1.∵OG ＝2，∴∠DOG ＝30°.过D 作DE ⊥OG ，垂足为E ，则DE ＝OD ·sin 30°＝

23，DE ＝OD ·cos 30°＝2

3. ∴点D 的坐标为D （23，23）或（23，－23）.从而直线OD 的解析式为y ＝±33x .（4）在直线OD 上存在点P ，使△MNP 是直角三角形.分为三种情况：

a D 点为直角顶点时，P 点与D 点重合，所求P 点的坐标为（

23，23）或（2

3，－23） b M 点为直角顶点时，P 点横坐标与M 点相同，所求P 点坐标为（1，±33） c N 点为直角顶点时，P 点横坐标与N 点相同，所求P 点坐标为（3，±3），

5、思路分析：（1）抛物线与x 轴由两个交点，等价于方程2x 2－4x ＋m=0有不同的两个根，即方程的判别式大于零，解不等式即可。

（2）将抛物线的解析式配方，即可求出顶点C 的坐标;设A 点坐标为(x 1,0),B 点坐标为(x 2,0).

AB 的长度=|x 1-x 2|,|x 1-x 2根据根与系数的关系求出x 1,x 2.

(3)假设△BDC 与△EOF 可能全等，根据两三角形全等，得到BD 的长度，解关于m 的方程即可。

（1） ∵ 抛物线y ＝2x 2－4x ＋m 与x 轴交于不同的两个点，∴ 关于x 的方程2x 2—4x ＋m ＝0有两个不相等的实数根．∴ △＝（—4） 2—4·2m ＞0，∴ m ＜2．

（2）由y ＝2x 2－4x ＋m ＝2（x —1）2＋m －2，得顶点C 的坐标是（1，m －2）．由2x 2—4x ＋m ＝0，设A 点坐标为(x 1,0),B 点坐标为（x 2,0）

由根与系数的关系得，x 1+x 2=2,x 1x 2=

2m .

m

24- 也可以解方程x 1＝1-

m 2421-或x 2＝1+m 2421-． ∴ AB ＝（1＋

m 2421-）—（1—m 2421-）＝m 24-． （3）可能．

证明：由y ＝2x ＋1分别交x 轴、y 轴于点E 、F ，得E （－

22，0），F （0，1）． ∴ OE ＝22，OF ＝1．而BD ＝m 242

1-，DC ＝2－m ．当OE ＝BD ，得m 242122-=，解得m ＝1．此时OF ＝OC ＝1．

又∵ ∠EOF ＝∠CDB ＝90°，∴ △BDC ≌△EOF ．∴ △BDC 与△EOF 有可能全等．

6、思路分析:：根据抛物线的对称性，已知AB=10,可以求出A,B 两点的坐标分别是A （-6，0）B （4，0）.设出抛物线的交点式：y=a(x +6)(x -4),解出a 需列出一个方程。由△ABC 的面积为15，可求出C 点坐标，又可列出一个方程，解出a.对于(3)，可假设存在点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似。然后由相似关系求出相关线段的长度，要确定P 点的坐标，当然要由P 点向x 轴,y 轴作垂线。 当然，根据对应角不同，P 点的坐标可能有多个。

解：（1）设A(x 1,0)B(x 2,0)

∵抛物线顶点的横坐标为－1，

∵A 、B 两点间的距离为10，

∴x 1=-1-5= -6, x 2=-1+5= 4,

A(-6,0),B(4,0)