交集、并集、补集、全集

交集、并集、补集、全集
一、学习内容：
1.理解交集、并集、全集与补集的概念。

2.熟悉交集、并集、补集的性质，熟练进行交、并、补的运算
二、例题
第一阶梯
例1、什么叫集合A、B的交集？并集？
答案：
交集：A∩B={x | x∈A , 且x∈B}
并集：A∪B={x | x∈A , 或x∈B}
说明：
上面用描述法给出的交集、并集的定义，要特别注意逻辑联结词"且"、"或"的准确意义，在交集中
用"且"在并集中用"或交、并运算有下列推论：
例2、什么叫全集？补集？
答案：
在研究集合与集合的关系时，相对于所研究的问题，存在一个集合I，使得问题中的所有集合都是I的
子集，我们就把集合I看作全集，全集通常用I表示。

补集：。

说明：
全集和补集都是相对的概念。

全集相对于所研究的问题，我们可以适当地选取全集，而补集又相对于
全集而言。

如果全集改设了，那么补集也随之而改变。

为了简化问题可以巧设全集或改设全集，"选
取全集"成为解题的巧妙方法。

补运算有下列推论：①；②；③。

例3、(1)求证：，。

(2)画出下列集合图（用阴影表示）：
①；②；③；④。

提示：
(1)证明两个集合M和P相等可分两步完成：第一步证明"由x∈M T x ∈P"；第二步证明"由x∈P
Tx∈M "。

(2)利用（1）的结果画③、④。

答案：
说明：
(1)中的两个等式是集合的运算定律，很容易记住它，解题时可以应用它。

这个证明较难，通常不作
要求。

但其证明是对交、并、补运算及子集的很好练习。

(2)中的四个集合图也是集合的图示法的很好练习。

图(1)叫做"左月牙"，图2叫做"右月牙"。

画图3、
图4时要利用集合的两个运算律来画。

第二阶梯
例1、已知A={x | 2x4＋5x3－3x2=0}，B={x | x2＋2|x|－15=0}，求A∩B，A∪B。

[提示]
先用列举法化简集合A和B。

[答案]
由2x4＋5x3－3x2=0得x=0，或2x2＋5x－3=0，
∴x=0，或x=－3，或x=，
∴A={－3，0， }
由x2＋2|x|－15=0得|x|=3或|x|=－5，
∴x= ±3，即得B={－3，3}。

∴A∩B={－3}，A∪B={－3，0，，3}
例2、设全集I={2，3，a2＋2a－3} , A={2 , |2a－1|} , ={5} , 求实数a的值。

答案：
说明：
例3、设全集I={1，2，3，…9}，={3，8}， ={2，5}，={1，2，3，5，6，7，8}，
求集合A，B。

[答案]
说明：
例4、设A={x | x>5或x<－1} , B={x | a≤x≤a＋3}，试问实数a为何值时，
(1) A∩B=φ；(2) A∩B≠φ；(3) A B。

答案：
说明：
数形结合在集合中有两个方法：一是画集合图，如例3；二是利用坐标系，如本例画数轴（数轴是
一维的坐标系）。

这两个方法总括为集合的图示法，即寻求集合与图形的对应，找到直觉。

从而把
抽象的集合问题具体化和形象化
此外，本题之（二）的解法是补集法，省去了多少烦恼！
第三阶梯：
例1、设全集I={(x , y) | x , y∈R}，集合M={(x , y) | }，N={(x , y) |y=3x－2}，那
么等于（）。

(A) φ (B) (2 , 4) (C) {(2 ,
4)} (D) N
提示：
先等价化简集合M，再用坐标平面内的点集理解集合M与N的关系。

答案：
，
∴M={(x , y)| y=3x－2，且x≠2}，
∴N=M∪{(2 , 4)}
∴={(2 , 4)}，故选（C）。

说明：
本题是数形结合法的范例，用点集来理解抽象的集合M、N的关系就十分清晰、直观。

解题的关键是
分清M和N的关系，当找到N=M∪{(2 , 4)}时，问题便迎刃而解。

此外，注意单元素集合{(2,4)}和元素
（2, 4）不同，所以选（B）是错误的。

例2、据统计我校高中一年级的100名学生中，爱好体育的学生有75人，爱好文艺的学生有56人，试问文
艺、体育都爱好的学生最多有多少人？最少有多少人？
提示：
利用集合图列出各种爱好者的人数间的函数关系。

答案：
设A={爱好体育的学生}，B={爱好文艺的学生}，
则A∩B={文艺、体育都爱好的学生}，
A∪B={爱好文艺或爱好体育的学生}。

我们把有限集合M的元素个数记作card(M)，card(A)=75，
card(B)=56，card(A∩B)=y , card(A∪B)=x。

于是由集合图（图7）
得 x=75＋56－y (75≤x≤100)
即 y=131－x (75≤x≤100)
∴31≤y≤56。

答：文艺、体育都爱好的学生最多有56人，最少有31人。

说明：
关于有限集合的并、交的元素个数的问题，用图解法解决具有无比的优越性。

一般地，对于任意两个有限集合A , B有
card(A∪B)=card(A)＋card(B)－card(A∩B).
其道理可由图8看出来。

对于任意的三个有限集合A，B，C，有
card(A∪B∪C)
=card(A)＋card(B)+card(C)－ card(A∩B)－
card(B∩C)－ card(C∩A)＋ card(A∩B∩C)
其道理可由图9看出来。

三、练习题
A组
一、选择题
(1．已知全集I={0,－1 ,－2 ,－3 ,－4}，集合M={0,1,－2}，N ={0,－3,－4}，则=
A.{0}
B.{－3，－4}
C.{－1，－
2} D. φ
(2．设全集为R，集合M={x | f(x)=0}，P={x | g(x)=0}，S={x | h(x)=0}，则方程
的解集是（）
A. M∩P∩N
B.M∩P
C.M∩P∩
S D.M∩P∩
(3．已知集合P、M满足P∩M={1，2}，P∪M={1，2，3，4，5}，全集I=N，则(P ∪M)∩( )为（）
A.{1，2，3}
B.{2，3，4}
C.{3，4，
5} D.{1，4，5}
(4．设I是全集，集合P、Q满足P∈Q，则下面结论中错误的是
A.P∪Q=Q
B.
C.
D.
(5．满足{1，2}∪M={1，2，3}的所有集合M有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D. 4个
二、填空题
1、设A={梯形}，B={平行四边形}，C={矩形}，D={菱形}，E={正方形}，则(A∩
B) ∪(B∩C)∪(D∪E)=
.
2、设x,y∈R，集合A={(x,y)|4x－y－3=0},B={(x,y)|2x－3y＋11=0} , 则A∩B= .
3、全集I={1，2，3，4}，子集A和B满足：={1}，A∩B={3}，={2}，
则A= 。

4、集合A={1，x2}，且={1，3，x}，则实数x的取值范围
是。

5、某班48名学生中，有13人爱打篮球又爱唱歌，有29人不爱唱歌，有16人不爱打篮球。

则不爱打篮球
又不爱唱歌的学生数为。

答案：
一、选择题
1—5 B，D，C，D，D
二、填空题
1、D
2、{(2 , 5)}
3、{3 , 4}
4、{0 , － , }
5、10
B组
一、选择题
1．集合{1，2，3}的子集共有（）
A．7个 B．8个 C．6个 D．5个
2．下列命题或记法中正确的是（）
A．R+∈R B．Z- {x|x0,x∈Z}
C．空集是任何集合的真子集 D．
3．同时满足{1}A{1，2，3，4，5}，且A中所有元素之和为奇数的集合A 的个数是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A B，则a的取值范围是（） A． B． C． D．
5．六个关系式：（1）{a,b}={b,a};(2){a,b}{b,a}；（3）；（4）{0}=；
（5）{0}；
（6）0∈{0}。

其中正确的个数为（）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个及3个以下
6．集合M={x|x=3k-2，k∈Z}，P={y|y=3l+1,l∈Z}，S={y|y=6m+1,m∈Z}之间的关系是（）
A．S P M B．S=P M C．S P=M D．S P=M
二、填空题
7．已知集合P={x|x2=1},集合Q={x|ax=1},若Q P，那么a的值是________。

8．设S={x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A={x|x是平行四边形}，则CsA=________.
9．求满足条件{x|x2+1=0,x∈R}的集合M的个数。

答案：
一、1．B 2．D 3．C 4．A 5．C 6．C
二、7．0、或—1 8．{x|x是梯形}
9．{x|x2+1=0,x∈R}=，又{x|x2-1=0,x∈R}={-1,1},其非空子集为{-1}，{1}，{-1，1}。

所以满足条件{x|x2+1=0,x∈R}M{x|x2-1=0}的集合M共3个.。