第1章微商培训教材

加减法求极限
乘除法求极限
由极限定义的函数 解 f(0)=1/2;
斜渐近线
综合题 = f(x/2n)sinx/[2nsin(x/2n)]
两边夹法则也是计算函数极限的一种重要方法.
1.4.3 第一个重要极限 (这里x以弧度为单位)
练习 证明
第一个重要极限的应用 证 令t=arcsinx,则x=sint,
1.5 函数的连续性 1.5.1 连续与间断的直观描述
1.5.2 连续与间断的定义
间断点的分类
1.5.3 初等函数的连续性
左右极限
定理 函数在某点极限存在的充分必要条件 是它在该点左右极限都存在且相等.
无穷大量与垂直渐近线
1.4.2 函数极限的运算与性质
四则运算中的不定式极限 (∞-∞型不定式)
(x→1近乎x = 1) 对于∞-∞型不定式极限,先通分变型后再求解.
四则运算法则的应用
函数极限的基本性质 定理(唯一性) 函数有极限则必唯一.
第1章 微商
重点：极限的计算
难点：两个重要极限的运用 等价无穷小的运用 分段函数在分段点处的性质
1.1 微积分研究什么？ 1.1.1 微积分与初等数学研究对象的比较
1.1.2 微积分研究的两类典型问题
1.2.4 数列极限
数列极限的精确定义(P6),用数列极限的精确 定义可以证明后面的运算法则和性质及以下结论.
1.7.2 无穷小量的比较
常用的等价无穷小
1.8 微商 1.8.1 微积分的典型问题之一 切线问题
1.8.2 微商概念
微商函数(或导函数)
sinx的微商
lnx, ex的微商
左右微商
定理 函数在某点微商存在的充分必要条件 是它在该点左右微商都存在且相等.
曲线的切线
1.8.3 可微性与连续性
数列极限的运算法则
数列极限的性质 定理(唯一性) 收敛数列的极限是唯一的.
定理(有界性) 收敛数列是有界的.
判断一个有界数列是发散的方法：设法找出 它的两个极限不同的收敛子序列.
数列极限存在的法则
单调有界法则 单调有界数列必有极限.
用单调有界法则可以证明
存在.
1.3 函数 1.3.1 函数概念
定理(介值定理) 闭区间上连续函数可以取 其最大值与最小值之间的一切值.
根的存在定理的应用 例 利用根的存在定理证明介值定理.
1.6 函数在无穷远处的极限
1.6.2 第二个重要极限 根据两边夹法则,
第二个重要极限的应用
幂指函数的极限 (1∞型不定式)
1.7 无穷小量及其比较 1.7.1 无穷小量
N N0 Ot
经济管理中的函数模型
需求函数 D(p)
成本函数 C(x)
O
p0
均衡价格
供给函数 C0 S(p)
保本点 收益函数R(x)
p
O
x0
x
收益函数R(x)=xp(x)= pD(p)
利润函数P(x)= R(x)C(x)
1.4 函数的极限
函数极限的精确定义(P29),用函数极限的精 确定义,可以证明后面的运算法则和性质及以下 结论.
严格单调连续函数的反函数必存在,而且也 是严格单调连续的.
连续函数的复合函数仍然是连续函数. 基本初等函数在其定义域内都是连续的. 任何初等函数在其定义区间内都是连续的.
初等函数连续性的应用 因此 a= 3.
1.5.4 闭区间上连续函数的性质
定理(最值定理) 闭区间上的连续函数必有 最大值和最小值.
隐函数：y= f(x)由方程F(x, y)=0确定.
参数方程函数：y= f(x)由
确定.
注意:一般不要去将隐函数或参数方程函数表 示为显函数 y= f(x).
Leabharlann Baidu
1.3.2 函数的运算
1.3.4 复合运算·复合函数
1.3.5 函数的几种特性
1.3.6 函数模型 指数增长模型 N(t)=N0ert
定理 若函数 f(x)在点 x0可微,则函数 f(x)在 点 x0必连续.
在点x0连续但不可微的函数.
y
y
O
x0
x
O
x0
x
左右微商法的应用
1.8.4 科赫(Koch)雪花曲线 科赫(Koch)雪花曲线是一条处处连续但处处
不可微的曲线.(P74)
第1章 重要概念与公式 两边夹法则 方程根 渐近线 微商概念 切线方程
基本初等函数
三角函数：y = sinx,cosx, tanx,cotx, secx,cscx
反三角函数：y = arcsinx,arccosx, arctanx,arccotx
其它函数 符号函数：sgn x =
分段函数：自变量在不同的范围内时,函数关 系由不同的解析式子给出.如sgn x.
整变量函数(数列)：y = f(n).