平面向量的基本概念

平面向量的实际背景及基本概念
1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。

数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。

4.有向线段的三要素：起点，大小，方向 5.有向线段与向量的区别； （1）相同点：都有大小和方向
（2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段
比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。

②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线 段表示相同（等）的向量。

③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成 6.向量的表示方法： ①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：
AB ；
7.向量的模：向量AB 的大小（长度）称为向量的模，记作|AB |. 8.零向量、单位向量概念：
长度为零的向量称为零向量，记为：0。

长度为1的向量称为单位向量。

9.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0 ∥ａ。

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 10.相等向量
A(起点)
B
（终点）
a
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．． 向线段的起点无关．．．．．．．．. 11.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关） 说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。

（2）共线向量是可以相互平行的。

例1.判断下列说法是否正确，为什么？ （1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？
解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。

（2）不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。

（3）零向量 （4）零向量
（5）共线向量（平行向量 （6）长度相等且方向相同 （7）不一定，可以平行。

例2.下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.
B
A
O
D E
F
例3.如右图所示，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，
分别写出图中与向量 →
→→OC OB OA ,,相等的向量。

解：按照向量相等的定义可知：
→→→==DO CB OA OB DC EO ==→→→ OC AB ED FO ===→→→→
向量的加法运算及其几何意义
１．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２．三角形法则（记忆口诀：“首尾相接，从头指尾”） 3.三角形法则的来由
如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a
＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=
，规定：a + 0-= 0 + a
4.向量加法的
字母公式：
AB BC AC =→→→
+
5.平行四边形法则
图1
如图1,以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形,则以O 为起点的对角线OC 就是a 与b 的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 6.平行四边形法则与三角形法则的区别：
（1）平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起做出平行四边形，最终和向量的结果的起点
A
B
C
a +b
a +b
a
a
b
b
a
ｂ
b a+b
a
和两个分向量的起点是同一起点。

（2）三角形法则要求第一个向量终点和第二个向量的起点连接在一起，然后连接第一个向量的起点和第二个向量的终点组成三角形，最终和向量的结果是：由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。

7.一般结论
当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);
当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;
当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.
一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|.
二．例题讲解
例1、已知正方形ABCD的边长为1, = a, = b, = c,则| a+b+c|等于（）
A．0 B．3 C．2 D．22 .
解： D C
A
作出正方形ABCD的图形如上图所示，那么：
a+b=c,所以a+b+c=2c,所以|a+b+c|=|2c|=2|c|=22,所以选D.
例2.化简:(1)BC+AB;(2)DB+CD+BC;(3)AB+DF+CD+BC+FA.
例3.如图所示,已知矩形ABCD中,|AD|=43,设AB=a,BC=b,BD=c,试求向量a+b+c的模.
解:过D作AC的平行线,交BC的延长线于E,
∴DE∥AC,AD∥BE.
∴四边形ADEC为平行四边形.
∴DE=AC,CE=AD.
于是a+b+c=AB+BC+BD=DE+BD=BE=AD+AD=2AD,
∴|a+b+c|=2|AD|=83.
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。

①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑤共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。

2.（1）．判断下列式子是否正确，若不正确请指出错误原因.
①0=0②.b-b=0
（2）若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是___________.
（3）将所有共线向量移至同一起点，终点构成的图形是什么图形？___________
3．下列说法正确的是（）
A. 平行向量是方向相同的向量
B. 长度相等的向量叫相等向量
C. 零向量的长度为0
D. 共线向量是在同一条直线上的向量
4．若非零向量a与b共线，则以下说法下确的是（）
A. a与b必须在同一直线上
B. a与b平行，且方向必须相同`
C. a与b平行，且方向必须相反
D. a与b平行
=+，则四边形ABCD的形状一定是( )
1、在四边形ABCD中，若AC AB AD
(A) 平行四边形(B) 菱形(C) 矩形(D) 正方形
2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b，那么下列命题中错误的一个是（）
A、a与b为平行向量
B、a与b为模相等的向量
C、a与b为共线向量
D、a与b为相等的向量
3、下列命题中正确的是( )
A.单位向量都相等
B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C.若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b
D.对于任意向量a 、b ,必有|a +b |≤|a |+|b | 平面向量的加法运算
1、 用三角形法则和平行四边形法则分别画出→
→
+b a
2、下列命题中正确的是( ) A.单位向量都相等
B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C.若a ，b 满足|a |>|b |且a 与b 同向，则a >b
D.对于任意向量a 、b ,必有|a +b |≤|a |+|b |
3、已知正方形的边长为1，AB =a ，BC =b ，AC =c ,则|a +b +c |等于( )
A.0
B.3
C.2
D.22
4、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a 和
b ，那么下列命题中错误的一个是
A 、a 与b 为平行向量
B 、a 与b 为模相等的向量
C 、a 与b 为共线向量
D 、a 与b 为相等的向量
5、在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则四边形ABCD 的形状一定是 ( ) (A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形
6、已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ，BC =b ，AC =c ， 则++a b c 等于 ( )
7、如果a ，b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ） (A) a =b (B) 1⋅a b = (C) 2
2
≠a b (D) =a b。