4-1 齐次性和叠加定理
习题四4-1用叠加定理求题4-1图示电流源两端的电压。解电压源
习题四4- 1用叠加定理求题4— 1图示电流源两端的电压u题4— 1图 解：电压源单独作用时如图（b ）所示，贝U6 6u a一 5 = 5Vu b- 2 = 2 V1 54 2而u‘ = u b - u a = 2 - 5 = -3V当电流源单独工作时，如图（c ）所示，则4Q 与2Q 并联，1Q 与5Q 并联然后两并联电路再串联，所以‘‘58u''=+ 国 12=26V <6 6丿所以由叠加定理u =u'+u''= _3 + 26 =23V4—2用叠加定理求题4 — 2图示电路中的I Xb2Q4Q -- □ -------------- 1Q 12A(b)2Q解：电压源单独作用时的电路如图（b）所示，则5 3 I x 41 x = 24 解得I x = 2A电流源单独作用时的电路如图（c）所示，图中虚线为网孔电流，则5I''x 36 I''x 4I“x=0 解得I”x=「1.5A所以I x=I'x T'X=2-1.5=0.5A4 —3图示电路中的独立电压源和独立电流源发出的4 —3用叠加定理求题功率。
4Q(b)+O 2V4Q i'' ii'°2i''(c)i''4Q+2V(b) 3Q41x41(c)x4Q2Ai4Q题4 —3图解：电流源单独作用时的电路如图（b）所示，则i1 =2A i，=0则u；=4i；-2i< 8V电压源单独作用时的电路如图（b）所示，则，，2 ,, ,,i i 0.5A i - -i i = 0.5A4则u，，= 2 _ 2i，，= 1V所以由叠加定理h =i；• i；=2—0.5=1.5A5 = u1 u；，= 8 1 = 9V可得电压源和电流源的功率分别为P2V一2i；一3WP2A=2u；=18W4-4题4—4图示电路中，N R为电阻网络，由两个电流源供电。
第四章 网络定理
a
－
1K 0.5 i1 u (b)
i b+
列方程：
2.5i1 i u 1Ki1
解得： Ro 0.4K 41
如果要用开短路法，求短路电流。
i1 1K
a
+
10V 1K 0.5 i1
iSC
(c)
-
列方程：1.5i1 iSC
i1
10 1K
解得： iSC 15mA 42
例：图(a)电路中，N为有源线性二端
25
端口电压电流关联
u Roi uoc
26
证明如下:。
端口支路用电流源i 替代,如图(a)，根
据叠加定理，电流源单独作用产生
u’=Roi [图(b)]，网络内部全部独立电
源共同作用产生u”=uoc [图(c)]。由此
得到
u u' u" Roi uoc
27
例6 求图(a)网络的戴维南等效电路。
isc
i2
i3
iS2
R1 R1 R2
iS1
uS R3
iS2
求Ro，图(b)求得
Ro
(R1 R2 )R3 R1 R2 R3
画出诺顿等效电路，如图(c)所示。
33
含源线性电阻单口网络的等效电路 只要确定uoc,isc或Ro 就能求得两种等 效电路。
34
戴维南定理和诺顿定理注意几点：
1. 被等效的有源二端网络是线性
2.求电阻Ro 图b网络的独立
电压源置零,
得图c，设端口 电压为u'，端 上电流为 i '
1 2 - 6 i1’ +
i’ +
4
u’
i1’
电路分析基础第五版第4章
中产生的电流；
产生的电流。
即：由两个激励产生的响应可表示为每一个激 励单独作用时产生的响应之和。这就是电路理 论中的“叠加性”。
叠加定理：在线性电路中，求某支路(元件)的电压 或电流(响应)等于每个独立源(激励)分别单独作用 时，在该支路产生电压或电流的代数和。
适用范围：多电源激励线性电路。
分析方法： （1）设电压、电流的参考方向。 （2）画子图：每个独立源单独作用时的电路图。 电压源不作用视为短路，电流源不作用视为开路， 其它线性元件照搬。
6
先求出ab支路（ 电流ix 所流经的支路）以外电
a ix
b
18V 20
路其余部分就端口ab而
6
3
言的戴维宁等效电路。
c
o (a)
3
6
+
a + uoc - b
18V
6
3
（1）求开路电压uoc， 即断开ab支路后，求 ab之间的电压，如图 （b）所示。
o (b)
uoc = uab=uao- ubo
设想音频放大器（功放）提供恒定功率，
思考
若同时外接多个扬声器，那么以不同的方
式连接，会有什么样的音响效果?
另外，当人们在收听音乐时，偶尔会发生
生失真现象.这又是什么引起的，该如何遭
免呢?
§4-1 叠加定理
线性电路— 由线性元件和独立源构成的电路。
1、线性电路的齐次性 齐次定理：线性电路中所有激励（独立源） 都增大或缩小K倍（K为实常数），响应也将 同样增大或缩小K倍。
利用叠加定理分别求出 1
电压源和电流源单独作
用时的短路电流 isc和isc
如图(b)、(c)所示。
a
电路定理
i
i a u b uoc
Req
a
u b
38
N
4-3 戴维南定理和诺顿定理
1. U oc的求法 1) 测量: 将ab端开路，测量开路处的电压U oc 2) 计算: 去掉外电路，ab端开路，计算开路电压U oc 2. Ro的求法
U ' I 'U ' ' I ' 'U ' I ' 'U ' ' I '
P' U ' I ' P'' U '' I ''
P P ' P ' '
功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数。
16
4-1 线性电路补充性质-齐性原理
性质2: 齐次性
——齐性原理（homogeneity property)
u3 u3 u3
8
4-1 叠加定理
u3 u3 u3
10V
i1 6
R1
us
10i1
i2
R2 4
u3
4A is
=
i1
i1
R1
us
i2
10i1
u3
R1
i2
10i1
R2
+
R2
(b) 电流源单独作用
iS
u3
9
(a) 电压源单独作用
若已知其端电流，可用一个电流源来代替，此电流 源的电流的大小和参考方向均与已知的端电流相同。
第4章电路定理th
电流源单独作用时：电压源短路，电路等效如图， 由分流公式（注意方向）得：
南 京 工 业 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院 通 信 系
I2 4Ω 3Ω
4Ω 4Ω 6A I2 6Ω 3Ω
6A 4Ω 6Ω
I 2 4 A
根据叠加定理，电流为：
I I1 I 2 3 A
第 4-15 页
设I1=1A，则利用OL，KCL， KVL逐次求得
306V 2Ω c 2Ω b 2Ω a 2Ω I7 I6 I5 I4 I3 I2 1Ω US 1Ω 1Ω d I1 1Ω
Ua =(2+1)I1 = 3V I2 = Ua /1 = 3A I3 = I1+ I2 = 1+3 = 4A Ub =2I3+ Ua = 2×4+3 =11V I4 = Ub /1 = 11A I5 = I3+ I4 = 4+11 = 15A
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4.1 齐次定理和叠加定理 一、齐次定理 二、叠加定理 4.2 替代定理 一、替代定理 二、替代定理应用举例
4.3 等效电源定理 一、戴维宁定理 二、诺顿定理 三、等效内阻的计算 四、定理的应用举例 4.4 最大功率传输定理 4.5 特勒根定理和互易定理 一、特勒根定理 二、互易定理
4.1 齐次定理和叠加定理
对于一些未知结构(黑盒子)电路，利用性质进行分析,用叠 加定理求解更为方便。
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例2 如图电路，N是含有独立源的线性电路，已知 当us = 6V，iS= 0时，开路电压uo= 4V； 当us = 0V，iS= 4A时，uo= 0V； 当us = -3V，iS= -2A时，uo= 2V； 求当us = 3V，iS= 3A时的电压uo
电工学 第四章
u1 i1 i b1 u b1 i b ub
三、三点说明
1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路； 既适用于电阻电路，也适用于动态电路； 2.替代后电路必须有唯一解
2.5A
？ 2 ＋ 1A + ？ ＋ 5 10V 5V 5V － 1.5A － －
例 1 利用戴维宁定理求电流 i 。 4V + 1 a
6V 3 12V 6
b
i
1
步骤：(1) 选择断开点，将原电路分解为两个一端口网络；
(2) 求不含未知量的一端口的戴维宁等效电路； 求开路电压：应用前面学过的方法 求输入电阻：①② (3) 用等效电路代替原一端口网络，求解等效后的电路。
每个独立源单独作用：只有当前独立源作用， 其他独立源都不作用； 其他独立源都不作用—— 电压源不作用，电压值为零，用短路线代替； 电流源不作用，电流值为零，用开路代替。
记为 y = y(1) + y(2) + … + y(N) = k1xS1 + k2xS2 + … + kNxSN = kixSi
U3 = U3(1)+ U3(2) + U3(3) + U3(4)
G1US1 G 2 US2 IS1 IS2 G1 G 2 G 3
与所有独立源（US1, US2, IS1，IS2）共同作用时的结果 相同，叠加定理成立。
例2
用叠加定理求电压 U。
4 9V 4 2A 6
3
+ uo
若 N 与 NE 等效 io
NE
+ uo
N1
N1
io'
电路分析基础-电路的若干定理
第4章 电路的若干定理 (Circuit Theorems )4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)4. 2 替代定理 (Substitution Theorem )4.3 戴维南定理和诺顿定理(Thevenin -Norton Theorem )4. 5＊特勒根定理 (Tellegen’s Theorem )4. 6 互易定理 (Reciprocity Theorem )4. 7＊对偶原理 (Dual Principle )4.4 最大功率传输定理(Maximum Power Transfer Theorem )4.1 叠加定理 (Superposition Theorem )一、线性电路的齐次性和叠加性线性电路：由线性元件和独立源构成的电路。
1.齐次性（homogeneity)(又称比例性，proportionality)电路x (t )y (t )+-+-齐次性：若输入x (t ) → 响应y (t ) ，则输入K x (t) → K y (t ) 电路K x (t )K y (t )+-+-2.叠加性（superposition)若输入x 1(t ) → y 1(t )(单独作用） , x 2(t ) → y 2(t ) … x n (t ) → y n (t )则x 1(t ) 、x 2(t ) … x n (t ) 同时作用时响应y (t )= y 1(t )+ y 2(t )+ … +y n (t )注： x 1(t ) … x n (t ) 可以是不同位置上的激励信号电路x 1(t )y (t )+-+-x 2(t )x n (t )++--3.线性=齐次性+叠加性(t) →y1(t)(单独作用）若输入x1x2(t) →y2(t)…x n(t) →y n(t)则:K1x1(t) +K2x2(t) +…+K n x n(t) →K1y1(t)+ K2y2(t)+ … + K n y n(t)注：齐次性是一种特殊的叠加性。
电路分析04-1
13
注
意：
网络中只有一个独立源时，可应用齐性原理， 网络中只有一个独立源时，可应用齐性原理，即响应 与激励成线性比例关系； 与激励成线性比例关系； 网络中存在多个独立源，可应用叠加定理。单独作用 网络中存在多个独立源，可应用叠加定理。 时可单个或分组进行， 时可单个或分组进行，而每一个子电路都比原电路简 单； 网络中含有受控源时，受控源如同电阻一样看待。即 网络中含有受控源时，受控源如同电阻一样看待。 每次独立源单独作用时，受控源都保留。 每次独立源单独作用时，受控源都保留。 叠加定理除了用来计算电路外，还可用来证明其它定 叠加定理除了用来计算电路外， 或分析一些参数不明的电路。 理；或分析一些参数不明的电路。其响应是各独立源 的线性组合的概念特别重要。 的线性组合的概念特别重要。
解之： 解之： Rx = 2
3
§2
叠加定理
线性电路的特性： 线性电路的特性： –响应是激励的线性函数，即它包含两层意思： 响应是激励的线性函数，
齐次性： f (k x)=k f (x) k为常数 齐次性： 可加性： f (x1 + x2)= f (x1 ) + f (x2 ) 可加性：
– 合成为叠加性：
y =α1Us1 +α2Us2 ++ β1Is1 + β2Is2 + = ∑αiUsi + ∑α j Isj
i=1 j =1 n m
即响应为各独立源的线性组合。 即响应为各独立源的线性组合。 适用范围：线性电路。 适用范围：线性电路。
7
例题 1
Is 2
用叠加定理求解
IS1单独作用时： 单独作用时：
f (k1 x1 +k2 x2 )=k1 f (x1 ) +k2 f (x2 ) +k
叠加定理与齐次定理的关系及应用
叠加定理与齐次定理的关系及应用姓名：常永娟学号：20075042095院系：物理电子工程学院专业：电子信息工程指导老师：余本海职称：副教授摘要：讨论了线性电路中叠加定理和齐次定理的证明及应用，并讨论了两者之间的关系，即：齐次定理可从叠加定理推出，电路满足叠加定理也一定满足齐次定理，同时说明了应用两个定理时应注意的问题。
关键词：线性电路；叠加定理；齐次定理The relationship between Superposition theorem andHomogeneous theorem and its application Abstract：The proof and applications of Superposition theorem and Homogeneous theorem are discussed respectively in this paper．And the relationship between Superposition theorem and Homogeneous theorem has been proven too，namely：The Homogeneous theorem may promote from the Superposition theorem．The Superposition theorem is satisfied in the electric circuit certainly to be also Homogeneous theorem is satisfied．Account for some problems we should notice when we use the Superposition theorem or the Homogeneous theorem．Key Words：Linear circuit ；the Superposition theorem ；the Homogeneous theorem引言叠加定理与齐次定理在线性电路分析中起着重要作用，它们是分析线性电路的基础，线性电路中很多定理都与叠加定理及齐次定理有关。
简述叠加定理和齐次定理
简述叠加定理和齐次定理
叠加定理（Superposition principle）是一个物理学原理，它指出在线性系统中，如果系统对于输入的响应满足线性叠加的条件，则多个输入的响应可以通过将每个输入的响应分别计算然后相加得到。
在电路学中，叠加定理可以用来简化复杂的电路分析。
根据叠加定理，可以将多个电源或信号源的作用分解为独立的部分，并分别计算每个部分产生的效应，最后将它们相加得到整个系统的响应。
齐次定理（Homogeneity principle）是线性系统理论中的一个基本原则。
它指出，如果将输入信号的振幅（倍数）进行缩放，系统的输出信号的振幅（倍数）也会以相同的比例进行缩放。
简而言之，齐次定理表明线性系统对于输入信号的幅度具有比例性。
齐次定理的应用非常广泛，特别是在线性差分方程、微分方程和物理系统的研究中。
通过使用齐次定理，可以简化复杂系统的分析和计算，并帮助研究者更好地理解系统的行为和性质。
Chapter4电路定理
a
c
a
R1 Rab R2 i3i3 R3
R5
+ ++
uS1 uab uS2
R4RRcd6
– ––
b
b
d
例2 求图示电路的等效发电机。
解：
iSc
40 20
40 40
60 20
3
1A
Req 20 // 40 // 20
1
1 1
1
8
20 40 20
20Ω
40Ω
20Ω 3A
＋
25V
20
U
－
－
用结点电压法
o
1'
uao
1 5
1 20
1 4
25 5
3
U 4
uao
16
U 2
由 I uao U
4
U 32 8I
＋ 8 I ＋1
4A
32V
－
U
－
1'
I ＋1
8 U
－
1'
i
ia
a +
Req
+
uoc=Reqisc
Nu
+
-b
uoc
-
u isc -
3.定理的应用
（1）开路电压uoc和短路电流iSc的计算
戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开 路电压uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。诺顿等效 电路中电流源电流等于将外电路短路时的短路电流iSc，电流源 方向与所求短路电流的方向有关。计算uoc、 iSc的方法视电路 形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。
邱关源—电路—教学大纲—第四章-1
图 4-2（a） 解：第一步 10V 电压源单独作用时如图 4-2（b） 。
' Ix
+ 10V _
2Ω
+ U' _
图 4-2（b）
1Ω
+
' 2_ Ix
（受控源须跟控制量作相应改变）
' ' 3I x + 2I x = 10 ' U ' = 3I x = 6V
⇒
' Ix = 2A
第二步 3A 电流源单独作用时如图 4-2（c） 。
N
+ UK _
N
+ UK _
IK
图 4-7(a) IK + UK _
图 4-7(b) IK + _
N
IK
N
IK UK
RK =
UK IK
图 4-7(c) 证明：对图 4-7(c)根据网孔分析法有第 k 个网孔电流方程为：
图 4-7(d)
Rk1 I1 + Rk2 I 2 + L + Rkk I k + L = −U k Rk1 I1 + Rk2 I 2 + L + ( Rkk + Rk ) I k − Rk I k + L = −U k Rk1 I1 + Rk2 I 2 + L + ( Rkk + Rk ) I k + L = −U k + Rk I k = 0
I S1 = I S2 = 20A 时， U x = 160V
例 5 ：电路如图 4-6 所示。已知 R1 = R3 = R5 = 60Ω ,
R2 = R4 = 80Ω , R6 = 10Ω ，
线性网络的几个定理
1(
0.5
2 )U2
0.5U1
I SC
2 2
1,
RS
UOC I SC
5Ω
当RL=Rs=5时RL获得最大功率
Pmax
UO2C 4RS
52 45
1.25W
要点：求最大功率时通常要应用戴维南定理对问题进行
化简，再应用最大功率传输定理得出问题的解。
例题3 图示电路中，已知当R=2Ω时，I1=5A，
I2=4A。求当 R = 4Ω时，I1 和I2 的值。
=IS2=1A, R1=2Ω,R2=R3=R4=R5=
R6=1Ω, 用网孔分析法求I1, I2。
解：
3I2 I1 0 I1 0.75A
I2 3I1 2
I2 0.25A
第四章 总结
戴维南等效电路
U UOC R0 I
诺顿等效电路
I
I SC
U R0
等效电源定理的应用： 对已知结构和参数的复杂二端网络进行化简； 计算二端网络中某一支路的电压和电流，或当二端网络
1
2
i i' i'' 2 6 8 A
2
2
2
pR2 i22 R2 826 384 W
p'R2 22 6 24 W
p''R2 62 6 216 W p'R2 p''R2 240 W 384 W（错）
结论：电阻的功率不能用叠加定理直接求得。
例 接续上例，试求两电源对该电路提供的总功率。并
0
RS RL 0， RL RS
最大功率传递定理的表述
若一个实际电源模型为一个可变负载电阻RL提供
能量。只有当负载电阻RL等于电源内电阻Rs时,负
第7讲 齐次定理、叠加定理、替代定理
例1
求u2 和i
10Ω
6Ω uS R1 + + 12 u2 N1 解： N1的VCR
R2 0.5i 1A
i +
5Ω
20Ω
i1
+
10V
u
5Ω
N2
R3
u (i is i) R2 (i is ) R1 u s iR3 28 16i
us ( R1 R2 )is R1 R3 (1 ) R2 i
i′2 = u′be R2 =5A
i′1 = i′2+ i′3=8A u′s= R1 i′1 + u′be =26V i5=auS= 0.5 V， ubd= buS = 4 V
is 1 a S us 26 ubd 8 4 a b us 26 13
2、叠加定理
在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中 各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电 压)的代数和。是线性电路的根本属性。
电压源（us=0)
短路
不作用的 电流源 (is=0) 开路
图2.5 - 3(a)是含有两个独立电源的电路。用回路法分析， 选
网孔为独立回路，其回路方程为
(R1+ R2) I1 + R2 I2 =US (2.5 - 4)
( 2) 1 (2) 1
)
( R2 ( I2( 1 ) I 22 ) ) U S
比较(2.5 - 4)与(2.5 - 7)两式可见， 它们左边各项系数相同，
右边各项也都相同。如果图2.5 - 3(a)、(b)、 (c)三个电路都具 有惟一解，即 0 则有
I1 I1(1) I1( 2) I2 I
第四章 电路定理
∴k =
I5 1 = US 80Leabharlann ∴当US =120V时, 时S
反向时( 不变) 是原来的0.5倍 例4-3 当iS和uS1反向时(uS2不变), uab 是原来的 倍, - 反向时( 不变) 是原来的0.3倍 当iS和uS2反向时(uS1不变), uab 是原来的 倍, 反向时( 均不变) 是原来的几倍? 问: 仅iS反向时(uS1 , uS2均不变), uab 是原来的几倍? 解: ∵uab = k1iS + k2uS1 + k3uS2 设原来的uab为x ,
∴ i ′ = 6 A u ′ = 3i ′ = 18 V
(3)由图 -2c电路,列出KVL方程: 2 i ′′ 1i ′′ 3 ( i ′′ + 6 ) = 0 (3)由图4- 电路,列出KVL方程: 由图 电路 KVL方程
∴ i ′′ = 9 A
u ′′ = 3 ( i ′′ + 6 ) = 9 V
现以图4 所示电路加以说明: 现以图 - 1a所示电路加以说明 所示电路加以说明
′ i1 = i1′ + i1′, u 2 = u ′ + u ′′ 2 2
i1
is
图4-1a
图4-1b
图4-1c
证明: (对此例加以验证) 证明: 对此例加以验证)
∵ ( R1 + R 2 ) i1 + R 2 i S = u S
8 4 I = × 12 + A = 7A 4+4 4+4
2002年春节摄于成都人民公园
§4-3 戴维南定理 -
由第二章知道,不含独立电源的一端口网络, 由第二章知道,不含独立电源的一端口网络,可以用一个 电阻等效,不会影响外电路. 电阻等效,不会影响外电路.
第四章 线性电路的几个定理
第四章 线性电路的几个定理
i0 + uoc
i
RO
i +
+
i
+
N
u
N
u
uoc
No
RO
(a)
图4-5 戴维南定理分析图
(b)
在二端网络端口上外加电流源i ,根据叠加定 理，端口电压可以分为两部分组成。一部分由电 流源单独作用(网络内全部独立电源置零)产生的电 压u’=Roi [图(b)]，另一部分是由网络内部全部独 立电源共同作用（外加电流源置零(i=0)，即二端 网络开路时）产生的电压u”=uoc [图(c)]。由此得 到
路的方程，是以电压或电流为变量的线性代数方 程。独立电源作为电路的激励，在激励作用下产 生的各支路电流和电压称为电路的响应。电路响 应与激励之间的这种线性关系称为叠加性，它是
线性电路的一种基本性质。
第四章 线性电路的几个定理
4.1 叠加定理 叠加定理是线性电路中一个十分重要的定理，它适 用于多个独立电源作用的线性电路。 内容：任一线性电路中任一支路的电流或电压都可 以看成是电路中各个独立电源单独作用时在这条支 路时所产生的电流分量或电压分量的和。
uS
+
iS
N
u2
_
图4-3例4-2电路图
第四章 线性电路的几个定理
对受控源的处理：受控源不是独立电源，它不能 脱离独立电源单独对电路起作用；各独立源单 独作用时，受控源应保留在电路中,列写电路方 程时将受控源当独立电源看待。 【例4-3】 如图所示，用叠加定理求 i1 。
i1
+
4 4
i1
+
4 4
10V
i1
+
电路4章
I'
Us
R2
U'
1、当US单独作用时，此时IS=0，电流源断开。如图：
1 I U S K3U S R1 R2
2、当IS单独作用，此时US=0，电压源短路。如图：
R1 I I S K4 I S R1 R2
"
R1
I"
1 R1 I US IS K U K I 3 S 4 S R1 R2 R1 R2
is
i1
含 独 立 源 由叠加定理
i 1"
is单独作用： 无 独 立 源
i1 i1 i1 Kis i1
is
i1'
K 6 i1 19 A i1 6is 19 11A
4-3 替代定理 一、定理： 在任意集中参数电路中，若第k条支路的电 压Uk和电流Ik已知，则该支路可用下列任一元件 组成的支路替代: （1） 电压为Uk的理想电压源，方向与UK相同； （2） 电流为Ik理想电流源，方向与IK相同。 替代后电路中各支路的电压和电流不变。 说明：1、被替代支路可以为非线性的；
I
I isc 5mA
I I 0.5
a isc b
I 0.5
求uoc：
U oc (6 4) 0.5 10 15V
I
U oc Ro 3k I sc
0.5
0.5
a +
uoc
b
小结：
1、等效电源的方向； 2、含受控源单口有源网络不一定同时存在两种等电 源，只有内阻不为零时，才同时存在两种等效电路。 3、含源单口网络应为线性网络； 4、等效内阻Ro求法： （1）电阻等效变换法（除源）； 不含受控源，除源后为一电阻网络。 （2）外加电源法 （除源）； 含受控源，除源后只有用外加电源法求内阻。
[电路分析]叠加定理和齐次定理
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叠加定理和齐次定理一、叠加定理图 4.1-1 （ a ）所示电路中，有两个激励，即独立电压源和独立电流源，现欲求 R1 支路上的电流。
用网孔电流法求解。
设网孔电流分别为，其方向都为顺时针方向，如图 4.1-1 （ a ）所示。
网孔方程为解方程得，网孔电流为所以， R1 支路电流为其中，可以看成是当时的的值，则可看成是当时的的值。
如图 4.1-1 （ b ）、（ c ）。
令则其中， k1 ， k2 是由电路的结构和元件的参数决定的。
对于线性电路， R1 、 R2 、 R3 都是常数，不会随着电路中激励的数目和大小的改变而改变，所以 k1 ， k2 也不会随激励的改变而改变，即为常数。
i 是激励的一次线性函数。
叠加定理（ superposition theorem ）由线性元件组成的线性电路，当 n 个激励共同作用时，在某条支路上产生的响应，等于各个激励单独作用时产生的响应的代数和。
其中，表示 n 个激励（独立电压源或独立电流源）， r 表示某条支路上产生的响应（电压或电流）。
都是常数，其大小由电路的结构和元件的参数决定。
应用叠加定理时应注意的问题1 ．叠加定理是线性电路的一个重要性质，因此只适用于线性电路，对于非线性电路则不能使用。
2 ．当某个激励单独作用时，其他激励均取 0 。
将独立电压源取 0 ，是把电压源短路，将独立电流源取 0 是把电流源开路。
3 ．受控源虽然带有电源的性质，但不直接起激励作用，因此，在叠加定理中，受控源一般不单独作用，而是把受控源当电路元件处理。
当独立源单独作用时，受控源应保留在电路中。
4 ．叠加定理只适用于计算电压或电流，而不适用于计算功率，因为功率与电压、电流之间的关系不是线性关系。
例 4.1-1 图 4.1-2 （ a ）所示电路，试用叠加定理求 3 Ω电阻上的电压 U 及功率。
解：电路中有两个独立源共同激励。
1 、当 12V 电压源单独激励时，电流源应视为 0 ，即把电流源开路，如图 4.1-2 （ b ）所示。
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I2 I1
I3
US －
.
I2 I' R2
.
I I'1 R1 + US －
.
I4 I' I I'3 R3 R4
R4 0.4A I 4 0.2A I2 R3 R4 IS 单独作用时：
US 0.6A R1 R2 R3 // R 4
I1
R2 R3 // R4 I S I1 1.5A I S 1.5A I 2 R1 R2 R3 // R4
3.ex
注意问题 1. 叠加定理只适用于线性网络。 2. 网络中的响应是指每一个电源单独作用时响应的代数和， 注意电流的方向和电压的极性。
3. 独立源可以单独作用：当电压源单独作用，电流源不作用时， 电流源为零（开路）处理；当电流源单独作用，电压源不作用时， 电压源为零（短路）处理。 4. 独立源可以单独作用，受控源不可以单独作用，独立源 单独作用时受控源要保留。 5. 直流电路求功率不能用叠加定理，只能求出总电流和总 电压，然后再完成功率的计算。
i3
R3 + us3 –
当一个电源单独作用时，其余 电源不作用，就意味着取零值。即 对电压源看作短路，而对电流源看 作开路。即如左图：
=
i1'
R1
i3' i2'
R2
R3
i1''
i3'' i2'' R2 + us2 –
R3
i1'''
i3''' i2''' R
2
us1 –
+
+
R1
+
R1
R3
+
–
us3
三个电源共同作用 = us1单独作用 因此 i1=i1'+i1"+i1"' i3=i3'+i3"+i3"'
U = U(1) +U(2) =－0.5+12.5=12(V)
应用举例
2.图示电路中，已知：R1 =50，R2 = R3 = 30，R4 = 60， US = 60V，IS = 3 A。用叠加原理求各未知支路电流。 R 解：US 单独作用时： . .
2
R1 +
I1
I2 IS
I3 R3
I4 R4
Y H m xm
M
3.1.1
叠加定理
叠加定理在线性电路的分析中起着重要的作用，它是分析线性 电路的基础。线性电路中很多定理都与叠加定理有关。
叠加定理内容:
在线性电阻电路中，任一支路电流(或支路电压)都是电路中各
个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电压)的叠加。
i1 R1 us1 – + i2 ia R2 + – us2 ib
例4：如图电路，A为有源电路，当 US=4V时，I3=4A；当US=6V时， I3=5A；求当US=2V时，I3为多少？ 解：由线性定理，I3可表示为
Us
A
I3
I 3 = G1 U S +
i =1
GU
i
n
Si
+
j =1
m
k j I Sj
由于A内电源不变，上式又可写为 I3 = G1×US+I0 式中I0为A内所有电源产生的分量，由给出的条件得
用齐性定理分析梯形电路特别有效。
例3. 已知：RL=2，R1=1，R2=1，us=51V。求电流 i 。
R1 21A us + + 21V – + R2 '=34V u – s – R1 8A R1 3A + 3V – 5A R2 i i'=1A + 2A RL 2V –
+ 8V – 13A R2
.
I" 2
I3
R4 1A I2 R3 R4
0.5A I4
.
R1 I"1
.
R2 R3 R4 I" I" 3
叠加得 ： I1 = I1'+I1" = 2.1 A I2 = I2'－I2" =－0.9 A
IS
.
.
4
I3 = I3'－I3" =－0.6 A I4 = I4'－I4" =－0.3 A
1.设
I ' 5 1 A U ' 4 12V
I5=1A,求Us等于多少.
I ' 4 12 / 4 3 A
I' 3 I' 4 I' 5 4 A
I' 1 I' 2 I' 3 6 A
U ' 3 6 I ' 3 24V
U ' 1 5 I ' 1 30V
=
Ux=Ux1+Ux2+Ux3
Ux1=H1Us
+
Ux2=H2Is 0=0+4H2+H3
+
Ux3=H3
∴ 当Us=3V,Is=3A时 Ux=3*1/3+3*(-1/2)+2 =1.5 V
解：由叠加定理 ：Ux=H1Us+H2IS+H3
代入已知条件，得: 4=6H1+0+H3
2=-3H1-2H2+H3
解得：H1=1/3; H2=-1/2; H3=2
例2. 求电压Us。
+ 10V –
I1 6
+ 10 I1– + Us 4 –
4A
解: (1)10V电压源单独作用： (2)4A电流源单独作用：
I1' 6
+
4
10 I1'
+ 10V –
– +
Us'
I1'' 6
–
4
10 I1'' + – U+ '' –
s
4A
Us"= -10I1"+2.44 = -10 (-1.6)+9.6=25.6V 共同作用： Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
各分电路中都不予更动。
例1. 求图中电压u。
6 + 10V – 6 + 10V – 6 + 4 u –
4A
+ 4 u'' –
=
+ 4 u' –
解:
(1) 10V电压源单独作用，4A电流源开路 u'=4V (2) 4A电流源单独作用，10V电压源短路
+
u"= -42.4= -9.6V 4A 共同作用：u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
+ us2单独作用 + us3单独作用
i2=i2'+i2"+i2"'
使用叠加定理应注意以下几点:
1.叠加定理只适用于线性电路。 电压源为零—用短路替代 2.一个电源作用，其余电源为零 电流源为零—用开路替代
3.计算功率不能应用叠加定理(因为功率为电压和电流的乘积)。 4.计算电压u、电流 i 在叠加时要注意各分量的方向。 5.含受控源(线性)电路亦可用叠加定理，在应用叠加定理时只 适用于独立源作用，受控源以及电路中所有电阻应始终保留在
例题说明叠加定理 (二) 电路如图所示，用叠加定理求Ix.
=
解：（1）电流源单独作用时： ' ' ' 2 I 3 I 1 2 I 由KVL x x x 0 ' I 解得： x 0.6 A (2).电压源单独作用时：
+
由KVL 解得：
2 1I x'' 2I x'' 10 0
U ' 2 U ' 3 U ' 4 36V I ' 2 U ' 2 / 18 2 A
故得： U ' S U ' 1 U ' 2 66V 2.求电路中各电流，电压 ∵Us=165V 得增长系数K=US/U’S = 165/66=2.5(倍) 由齐次性定理可知，电路中各电流，电压都相应增大2.5倍， ∴ I5=2.5A ; U4=30V ; I4=7.5A ; U3=60V ; I3=10A ; U2=90V ; I2=5A ; U1=75V I1=15A;
I 2A
'' x
(3).电压源，电流源共同作用时 由叠加定理得：
' '' Ix Ix Ix 0.6 2 1.4 A
应用举例 例（补充）:下图的电路N是含有独立源的线性电阻电路。 已知：当Us=6V,Is=0时，开路端电压Ux=4V;当 Us=0V,Is=4A时， Ux=0V;当Us=-3V,Is=-2A时，Ux=2V;求当Us=3V,IS=3A时的Ux。
线性电路
由线性元件及线性独立源组成的电路为线性电路。 线性是线性电路的基本性质，它包括齐次性（或比例性）
和可加性（或叠加性）。
一.齐次原理
在单激励的线性电路中，激励增大多少倍，响应也增大相 同倍数。
图示含义：
X Y 2X 2Y KX KY
N
实验演示：