压杆的稳定性分析与设计

l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
Pcr
Pcr
Pcr
一端固定 另端自由
Pcr
B
B
B
D
C
C
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
2 EI Pcr l 2
Pcr
2 EI (0.7l)
2ห้องสมุดไป่ตู้
Pcr
2 EI (0.5l )
2
Pcr
2 EI (2l)2
cr
Fpcr A
p
cr为临界应(c力 ri ti casltres)s p为材料的比例极限
对于某一压杆，当临界载荷FPcr尚未算出时，不能判断式(11-9)是否满足；当 临界载荷算出后，如果式(11-9)不满足，则还需采用超过比例极限的临界载
荷计算公式重新计算。这些都会给实际设计带来不便。
能否在计算临界载荷之前，预先判断压杆是发生弹性屈曲还是发生超过比例 极限的非弹性屈曲，或者不发生屈曲而只发生强度失效?为了回答这一问题， 需要引进长细比(slenderness ratio)的概念。
3.压杆失稳：
4.压杆的临界压力
临界状态
稳
对应的
定 平
过
衡
压力
临界压力:
不 稳 度定 平 衡 Pcr
在任意微小的外界扰动下，不稳定的平衡构形会转变 为其他平衡构形。不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在 外界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。这一过程 称为屈曲(buckling)或失稳(lost stability)。
其中:k 2 P EI
③微分方程的解： ④确定积分常数：
yAsix nBcoxs y(0)y(L)0
即:A A s0inkBL 0BcoksL0
0
1
0
sinkL coksL
sikn L0
kn P
L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2EImin L2
平 原来的平衡构形，外界扰动去除
衡 之后，构件仍旧能自动回复到初
始平衡构形，则称初始的平衡构
形是稳定的 (stable)。
不
稳 当载荷小于一定的数值时，
定 平
微小外界扰动使得某一平衡 构形偏离原来的平衡构形， 外界扰动去除之后，构件不
衡
能自动回复到初始平衡构形，
则称初始的平衡构形是不稳
定的 (unstable)。
细长杆：发生弹性屈曲，当外
加 载 荷 FP ＜ FPcr 时 ， 不 发 出 屈 曲 ； 当 FP ＞ FPcr 时 ， 发 生 弹 性 屈 曲 ， 即当载荷去除后，杆仍能由弯形 平衡构形回复到初始直线平衡 构 形。
中 长 杆 ： 发 生 弹 塑 性 屈 曲 。
当 外 加 载 荷 FP ＜ FPcr 时 ， 不 发 出 屈 曲 ； 当 FP ＞ FPcr 时 ， 它 发 生 屈 曲，但不再是弹性的，这是因为 压杆上某些部分已经出现塑性变 形，即当载荷去除后，杆不能完 全由弯形平衡构形回复到初始直 线平衡 构形。
非线性弹性稳定理论已经证明了：对于细长压杆，临界平衡 构形是稳定的。
使 杆 件 处 于 临 界 状 态 的 压 缩 载 荷 称 为 临 界 载 荷 (critical loading)，用FPcr表示。
11.1.3 三种类型的压杆的不同临界状态
不是所有受压杆件都会发生屈曲，也不是所有发生屈曲的 压杆都是弹性的。理论分析与试验结果都表明：根据不同的失 效形式，受压杆件可以分为三种类型，它们的临界状态和临界 载荷各不相同。
粗短杆：不发生屈曲，而发生
屈服(yield)。
11.2 细长压杆临界力的欧拉公式
一、两端铰支压杆的临界力:
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图， 从挠曲线入手，求临界力。
P x
M P
P x
w
P ①弯矩： M(x,y)Pw
②挠曲线近似微分方程：
w''M Pw EI EI
w''Pww''k2w0 EI
结构构件或机器零件在压缩载荷或其他特定载荷作用下发 生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称为平衡位置， 又称为平衡构形(equilibrium configuration)。
承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构 形——直线的平衡构形和弯曲的平衡构形。
稳 定
当载荷小于一定的数值时，微小 外界扰动使得某一平衡构形偏离
Pcr
2
EIm L2
i
n
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
11.2.2 其他刚性支承细长压杆临界载荷的 通用公式
不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡微 分方程和端部的约束条件都可能各不相同，确定临界载荷的表 达式亦因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。 对比方法：
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
C— 挠曲线拐点
2 EI Pcr l 2
长度系数μ =1 0.7 =0.5 =2
=1
11.3 长细比的概念 三类不同压杆的判断
11.3.1 长细比的定义与概念
前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这 就要求在临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时，其横截 面上的正应力小于或等于材料的比例极 限，即
以两端铰支的情况为依据，将其他约束的压杆的挠度曲线形状
与两端铰支压杆的挠度曲线形状比较，来推出不同约束条件下
的压杆临界应力公式。
Pcr (2ELI)m2in
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
临界力Pcr 欧拉公式
压杆的稳定性分析与设计
11.1 压杆稳定性的概念
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
不稳定平衡
微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置
11.1.1 平衡位置的稳定性和不稳定性
通常，屈曲将使构件失效，并导致相关的结构发生坍 塌(collapse)。由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性 后果。
2007年8月2日，美国明尼苏达州一座跨越密西西比河的大桥发生坍塌
11.1.2 临界状态与临界载荷
介于稳定平衡构形与不稳定平衡构形之间的平衡构形称为临 界平衡构形，或称为临界状态(critical state)。处于临界状态的 平衡构形，有时是稳定的，有时是不稳定的，也有时是中性的。