2013年合工大超越数学五套卷数二(含答案)
2013考研模考测试卷答案(数学二)
2013考研模考测试卷数学二答案答题注意事项1. 考试要求考试时间：180分钟满分：150分.2. 基本信息学员姓名:____________ 分数: ___________一、选择题(1～8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 设)(x f 在0=x 的某邻域内连续,且当0→x 时,)(x f 与m x 为同阶无穷小.又设0→x 时，dt t f x F nx ∫=)()(与k x 为同阶无穷小,其中m 与n 为正整数.则k = ( )(A) .n m + (B) .2m n + (C) .n mn + (D) .1−+n mn 【答案】(C).【解析】由0→x 时)(x f 与m x 为同阶无穷小,知存在常数0≠A ,当0→x 时mAx x f ~)(,从而nmnAx x f ~)(.于是.0lim )(lim )(lim 01100≠=⋅→−−→→k nnm x k n n x k x xx x k An kx nx x f x x F 洛 故.n nm k +=所以选(C).(2) 设()()f x g x 在0x 处可导,且00()()0f x g x ==,0000()()0,(),()f x g x f x g x ′′′′′′=>存在,则 ( )(A)0x 不是()()f x g x 的驻点. (B)0x 是()()f x g x 的驻点,但不是它的极值点. (C)0x 是()()f x g x 的驻点,且是它的极大值点. (D)0x 是()()f x g x 的驻点,且是它的极小值点. 【答案】(D).【解析】设()()()x f x g x ϕ=,则()()()()()x f x g x f x g x ϕ′′′=+,()()()2()()()()x f x g x f x g x f x g x ϕ′′′′′′′′=++,所以0()0x ϕ′=,0x 是()x ϕ的驻点.又由000()2()()0x f x g x ϕ′′′=>,知()x ϕ在0x 点取得极小值.故答案为(D). (3) 函数222sin y x x π=−的不可导点个数为 ( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】(A).【解析】函数可能的不可导点为x π=±,因为222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ−−→−′==− 222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ++→−−′==−所以y 在π处可导.又 222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ−−→−−−′−==+222()sin ()lim 0,x x xy x ππππ++→−−′−==+所以y 在π−处可导.故y 处处可导.故正确答案为(A). (4) 在下列微分方程中,以xx x x C C y 22221e 21e )(−−++=（其中21,C C 为任意常数）为通解的是 ( ) (A) 244e xy y y −″−′+=. (B) 244e .xy y y −″+′+=(C) 244e x y y y −″+′−=. (D) 244exy y y −″−′−=.【答案】(B).【解析】设所求微分方程为)(x f qy py y =+′+″,其对应齐次微分方程的特征方程的根为221−==r r ,因而特征方程为0)2(2=+r ,即0442=++r r ,故对应的齐次微分方程为044=+′+″y y y ．非齐次微分方程对应的特解为xx 22e 21−,代入微分方程)(44x f y y y =+′+″的左边,得 x x x x x x x x x x x x y y y 2222222222***e e 2)e 4e 4(e 2e 4e 44"−−−−−−−=+−++−=+′+,即得x x f 2e )(−=,所以所求微分方程为x y y y 2e 44−=+′+″．所以选(B).(5) 设),(y x f 有连续的偏导数,且))(,(xdy ydx y x f +−−为函数),(y x u 的全微分,则 ( )(A) 21(,)(,)xf x y yf x y ′′−−=−−. (B) 21(,)(,).xf x y yf x y ′′−−−=−−(C) 21(,)(,).yf x y xf x y ′′−−=−− (D) 21(,)(,)yf x y xf x y ′′−−−=−−. 【答案】(C).【解析】由于dy y x xf dx y x yf du ),(),(−−+−−=,即),,(),,(y x xf y u y x yf x u −−=∂∂−−=∂∂所以222(,)(,)(1)(,)(,),uf x y yf x y f x y yf x y x y∂′′=−−+−−−=−−−−−∂∂ 211(,)(,)(1)(,)(,).uf x y xf x y f x y xf x y y x ∂′′=−−+−−−=−−−−−∂∂由于x y u y x u ∂∂∂∂∂∂22,连续,所以xy u y x u ∂∂∂=∂∂∂22,于是得21(,)(,).yf x y xf x y ′′−−=−−故应选(C). (6) 设222{(,)|,0}D x y x y R R =+≤>,常数0λ≠.则二重积分cos sin ()r r De e rdrd λθλθθ−−∫∫的值 ( ) (A) 为零.(B) 为正. (C) 为负.(D) 当0λ>时为正,当0λ<时为负.【答案】(A).【解析】由极坐标化为直角坐标，及轮换对称性,知()()x y y x DDI e e d e e d λλλλσσ−−=−=−∫∫∫∫, 所以 2()()2()x x y y x xDDDI e e d e e d e e d λλλλλλσσσ−−−=−+−=−∫∫∫∫∫∫. 又因为被积函数是x 的奇函数,区域D 关于y 轴对称,所以()0xx Dee d λλσ−−=∫∫.从而知0I =,故答案为(A).(7) 下列叙述正确的是 ( )(A) 若两个向量组的秩相等，则此两个向量组等价.(B) 若齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解，则矩阵A 与B 的行向量组等价. (C) 若向量组12,,,s ααα"可由向量组12,,,t βββ"线性表示，则必有s t <.(D)若向量组12,,,s ααα"与向量组2,,s αα"均线性相关，则1α必不可由2,,s αα"线性表示. 【答案】(B) .【解析】本题可用排除法，对于(A)选项，例如110α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，101β⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，1α与1β秩相等，但1α与1β并不等价，可排除A 选项；又如111α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠， 212α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，321α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，可由110β⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，201β⎛⎞=⎜⎟⎝⎠线性表示，但32>，可排除(C)选项；又如111α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠， 201α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，310α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，422α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则1234,,,αααα与234,,ααα均线性相关，且1α可由234,,ααα线性表示，可排除(D)选项，只有(B)选项为正确答案．事实上，易证方程组0Ax =与0A x B ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠同解，则()A r A r B ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，因此B 的行向量组可由A 的行向量组线性表示，同理可证A 的行向量组可由B 的行向量组线性表示，因此A 与B 的行向量组等价．故选(B)(8) 已知210200120,021001010A B ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠，则A 与B ( ) (A) 等价、相似、合同. (B) 不等价、不相似、不合同.(C) 等价、相似、不合同. (D) 等价、不相似、合同. 【答案】(D).【解析】由于()3,()3r A r B ==，所以A 与B 等价.A 与B 均为实对称矩阵，若特征值相同，则A 与B 相似，否则A 与B 不相似.由于()()()()()()()()2102112011311212002102122(1(1101E A E B −−−−−=−−=+=+−−−−+−−−−=−−=−=−−+−−−−λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ所以A 的特征值为1,3,1A =−λ，B的特征值为2,1B =λ，因此A 与B 不相似.由于A 与B 的正负惯性指数是相同的，正惯性指数为2，负惯性指数为1，所以A 与B 合同. 所以选择 (D).二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设四次曲线432y ax bx cx dx f =++++经过点(0,0),并且点(3,2)是它的一个拐点. 过该曲线上点(0,0)与点(3,2)的切线交于点(2,4).则该四次曲线的方程为y = .【答案】4324284227273x x x x −++. 【解析】曲线432y ax bx cx dx f =++++经过点(0,0),所以0.f = (1)又因为经过点(3,2),所以 3812793 2.|x ya b c d f ==++++= (2)又因为点(3,2)是拐点,所以 233(1262)1081820.||x x y ax bx c a b c ==′′=++=++=(3)又因为经过点(0,0)的切线斜率为422=,所以 320(432)2;||x x y ax bx cx d d ==′=+++== (4)经过点(3,2)的切线斜率为42223−=−−,所以 3233(432)108276 2.||x x y ax bx cx d a b c d ==′=+++=+++=−(5)联立(1)-(5),解得0f =,2d =,43c =,2827b =−,427a =.即求得4324284227273y x x x x =−++. (10) 曲线x x x x y −++=sin 22的斜渐近线方程为 .【答案】.12−−=x y【解析】因为lim limx x y xx x →−∞→−∞=xx x x x x x −++−=−∞→2sin 21lim,2−=lim (2)lim )x x y x x →−∞→−∞+=+limx =limx =,1−=所以斜渐近线方程为：.12−−=x y (11)2225x dx x x −=++∫ .【答案】2131ln(25)arctan 222x x x C +++−+.【解析】222221313ln(25)25252(1)2x dx dx x x dx x x x x x +=−=++−++++++∫∫∫原式2131ln(25)arctan 222x x x C +=++−+. (12) 曲线322y x x x =−++与x 轴所围成的图形的面积A = . 【答案】3712. 【解析】令3220y x x x =−++=,得1,0,2x =−. 当10x −<<时,0y <；当02x <<时,0y >,于是021037(0)12A y dx ydx −=−+=∫∫. (13) 设函数()f u 具有连续导数,且函数(,)z z x y =由方程22()y z xf z y +=−确定,则z zx z x y∂∂+=∂∂ . 【答案】y .【解析】对两边求全微分,得2222()()(22).dy dz f z y dx xf z y zdz ydy ′+=−+−−为书写方便,设22u z y =−,并解出dz 得 ()12().12()12()f u xyf u dz dx dy xzf u xzf u ′+=−′′−− 于是()12()z f u x xzf u ∂=′∂− ,12().12()z xyf u y xzf u ′∂+=−′∂− 从而 .z zxz y x y∂∂+=∂∂(14) 设A 是54×矩阵，B 是四阶矩阵，满足2AB A =，*B 是B 的伴随矩阵．若A 的列向量线性无关，则()*r B= ．【答案】4.【解析】由2AB A =可得(2)A B E O −=，故()(2)4r A r B E +−≤． 由于A 的列向量线性无关，所以()4r A =． 由此可得(2)0r B E −=，即2B E O −=，2E B =． 故()4r B =．由矩阵秩和伴随矩阵秩之间的关系，可得()*4r B=．三、解答题(本题共9小题,满分94分. 请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分10分)已知1,0,(),01,1arctan ,1,1x x f x ax b x x x −<⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪>−⎪⎩在它的定义域上连续,求常数a 和b .【解析】000112lim ()lim lim 2x x x axa f x x x−−−→→→−−===−, …… 3分0lim ()x f x b +→=,1lim ()x f x a b −→=+, …… 5分111lim ()lim arctan 12x x f x x π++→→==−,…… 6分(0)f b =,(1)f a b =+.…… 8分所以()f x 在0x =处连续⇔2a b −=；()f x 在1x =处连续2a b π⇔=+. 解之,a π=,2b π=−.…… 10分(16) (本题满分10分)设()f x 是[],a a −上的连续偶函数(0)a >，且()0f x >，()()d aaF x x t f t t −=−∫，求()F x 在[],a a −上的最小值. 【解析】()()()()()d d x aax F x x t f t t t x f t t −=−+−∫∫ ()()()()()()d d d x x aax x x t f t t x t f t t t x f t t −−−=−+−+−∫∫∫ ()()()()()()d d d d xxxaax x x x t f t t x f t t tf t t t x f t t −−−−=−+−+−∫∫∫∫令t u =−，则()()()()()()d ()d d x x xaa a x t f t t x u f u u x u f u u −−−=+−−=−+∫∫∫ ()()()()()()0d 2d d x xxaaF x x t f t t x f t t t x f t t ∴=−++−−∫∫∫()()02d 2d xxax f t t tf t t =−∫∫…… 4分()()()()()02d 222d x xF x f t t xf x xf x f t t ′=+−=∫∫ …… 6分令()0F x ′=得0x =()()0f x >因又()()()()20200F x f x F f ′′′′==>， …… 8分 故()F x 在0x =处取得极小值. 由于()F x 在()a a −，内可导，且只有一个驻点，所以()F x 在0x =处的极小值即函数的最小值. 此最小值为()() 002d aF tf t t =∫． …… 10分(17) (本题满分10分)求微分方程2xy y x ′′′+=满足初始条件(1)1y =,1(1)2y ′=的特解. 【解析】令p y ′=,则有dp y dx ′′=,原方程化为2dpx p x dx+=再化为21,dp p dx x +=…… …… 3分 解得,2221112211.3dx dx x xC x p e dx C e x dx C x x −⎡⎤∫∫⎡⎤=⋅+⋅=+⋅=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫ …… 6分 于是12.3C dy x dx x=+ 再分离变量积分得通解,212.6C x y C x=−+ …… 8分 由(1)1y =,1(1),2y ′=得2121211166|x C x C C C x =⎛⎞=−+=−+⎜⎟⎝⎠,且112111.233|x C x C x =⎛⎞=+=+⎜⎟⎝⎠ 解得116C =,21C =.所以满足初始条件(1)1y =,1(1)2y ′=的特解为21*166x y x =−+. …… 10分(18) (本题满分10分)已知(42)(42),(0,0)0dz x dx y dy z =−−+=，求(z z x y =，）在区域2218D x y +≤：上的最大值与最小值.【解析】 由(42)(42),(0,0)0dz x dx y dy z =−−+=,知242,4()zx z x x y xϕ∂=−=−+∂, 又2()(42),()4zy y y y y C yϕϕ∂′==−+=−−+∂，所以2244z x x y y C =−−−+ 又由(0,0)0,0z C ==，所以2244z x x y y =−−− ……4分420420x yz x z y =−=⎧⎨=−−=⎩得驻点(2,2)−. ……6分 设22(,,)4418(18)F x y x y x y λλ=−−++−，由22()420420180x y F x x F y F x y λλλ=+=⎧⎪=−+=⎨⎪=+−=⎩ 得驻点(3,3),(3,3)−−. ……8分 而(2,2)8,(3,3)6,(3,3)42f f f −=−=−=−，则(,)z z x y =在区域22:18D x y +≤上的最大值为8，最小值为-42. ……10分 (19) (本题满分10分)设()22,,u f x y xyz =,函数(),z g x y =由方程()xyzxy ee z t dt z ϕ+−=∫确定,其中f 可微,ϕ连续,且1ϕ≠.求u u xy x y∂∂−∂∂. 【解析】 因132,u z xf y z x f x x ∂∂⎛⎞′′=++⎜⎟∂∂⎝⎠ 232,u z yf x z y f y y ⎛⎞∂∂′′=++⎜⎟∂∂⎝⎠…… 4分在方程()xyzxy ee z t dt z ϕ+−=∫中,令,xy v e z t =+−则,dv dt =−且当t z =时,;xy v e =当xy t e =时,,v z =则上述方程化为().xyze v dv z ϕ=∫……5分 两边对x 求偏导,得()(),xy xyz z z e e y x x ϕϕ∂∂⋅−⋅=∂∂ ()(),1xy xye e y z x z ϕϕ⋅∂=∂− …… 6分同理可得()().1xy xye e xz y z ϕϕ⋅∂=∂− …… 8分将z x ∂∂,z y ∂∂代入u x ∂∂,u y ∂∂的表达式,得()22122.u u x y x f y f x y∂∂′′−=−∂∂ …… 10分 (20) (本题满分11分)设平面区域{}(,)0,0D x y x y ππ=≤≤≤≤,计算积分cos()DI x y d σ=+∫∫.【解析】积分区域关于x y π+=对称,被积函数cos()x y +对于u x y =+满足cos()cos()u u ππ+=−, 所以,1cos()2cos()DD I x y d x y d σσ=+=+∫∫∫∫,其中{}1(,)|,0,0D x y x y x y π=+≤≥≥.…… 3分又因为区域1D 被直线2x y π+=分为12σσ和,1(,)|,0,02x y x y x y πσ⎧⎫=+≤≥≥⎨⎬⎩⎭,2(,)|,0,02x y x y x y πσπ⎧⎫=≤+≤≥≥⎨⎬⎩⎭, 在1σ内cos()0x y +>；在2σ内cos()0x y +<.故122[cos()cos()]I x y d x y d σσσσ=+−+∫∫∫∫…… 6分 1122[2cos()cos()]x y d x y d σσσσσ+=+−+∫∫∫∫…… 8分202[2(1sin )sin ]2.x dx xdx πππ=−+=∫∫…… 11分(21) (本题满分11分)(I) 设k为正整数,42()xkxt e F x dt e −=+∫∫,证明()F x 存在唯一的零点,记为k x ；(II) 证明21limnkn k x→∞=∑存在,且其极限值小于2.【解析】(I)(0)0,F =<∫ (1)分41021()0,t k F dt ke −=+>∫∫ …… 2分故至少存在一个零点记为k x ,10k x k<<.…… 3分又4()0,x kx F x eke −′=> …… 4分故至多存在一个零点.所以正好存在唯一零点k x ,且10k x k<<.…… 5分(II)222112211111,(1)nnn nkk k k k x k k k k ====<=+<+−∑∑∑∑ …… 7分所以2211111((1)1nnk k k k k k ==+=+−−−∑∑111 2.n =+−< …… 9分又因为21n k k x =⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑随n 而单调增加,由单调有界定理知,21lim nk n k x →∞=∑存在,其极限值小于2. …… 10分(22) (本题满分11分)线性方程组(a)12341234123420233035240x x x x x x x x x x x x ++−=⎧⎪++−=⎨⎪++−=⎩，(b)124123020x x mx x nx x ++=⎧⎨++=⎩(I)求线性方程组(a)的通解；(II),m n 取何值时，方程组(a)与(b)有非零公共解； (III),m n 取何值时，方程组(a)与(b)同解. 【解析】(I)对(a)的系数矩阵做初等行变换：121112112313011135240000−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠令341,0x x ==，解得121,1x x ==−，()11,1,1,0,Tξ=− 令340,1x x ==，解得123,1x x ==−，()23,1,0,1T ξ=−， 基础解系为：()11,1,1,0,Tξ=−()23,1,0,1Tξ=−.则(a)的通解为112212,,x k k k k ξξ=+为任意常数. …… 3分(Ⅱ)对(a)和(b)的联合方程组的系数矩阵做初等行变换：1211121123130111352401111100111120021112111211011101110000003300200020033000m m n n n n m m nn −−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→−−−−⎜⎟⎜⎟−−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→→−−⎜⎟⎜⎟++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠所以当3n =或2m =−时，联合方程组有非零解，该非零解既满足方程组(a)，又满足方程组(b)，所以该非零解就是方程组(a)与方程组(b)的公共解. …… 7分(Ⅲ)若方程组(a)与(b)同解，则将方程组(a)的基础解系代入(b)中，应该满足(b)中的方程，即110310,2,312030m m n n n −=−+=⎧⎧⇒=−=⎨⎨−+=−=⎩⎩. 因为两方程组系数矩阵秩相等，当2,3m n =−=时，所以方程组(a)与(b)同解. …… 11分 (23) (本题满分11分)设A 为3阶方阵，123,,λλλ是A 的三个不同特征值，对应的特征向量分别为123,,ααα，令123.βααα=++(I)证明2,,A Aβββ线性无关；(II)若3232,AA A βββ=−求A 的特征值，并计算行列式.A E +【解析】(I)令21230k k A k A βββ++=，由22,,1,2,3,i i i i i i A Ai ===αλααλα知()()()2221123211223331122330,k k k ++++++++=αααλαλαλαλαλαλα…… 2分即 ()()()2221213111223221233330,k k k k k k k k k ++++++++=λλαλλαλλα由题设123,,ααα分别是三个不同特征值123,,λλλ的对应特征向量，则必线性无关，即有2121312122322123330,0,0,k k k k k k k k k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩λλλλλλ…… 4分因其行列式211222233110,1≠λλλλλλ所以1230,k k k ===故2,,A A βββ线性无关. …… 5分 (II) 由()()()()223222,,,,,,32000,,103,012A A A A A A A A A A A A ==−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠βββββββββββββ令()2,,P A A βββ=，则P 可逆，且1000103,012P AP B −⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟−⎝⎠即~.A B ……8分因()()()200132331,012E B −=−−=+−=+−−+λλλλλλλλλλ得B 的三个特征值为1230,3, 1.λλλ==−=由~A B 知，A 的三个特征值也为1230,3, 1.λλλ==−=……10分再由()11,PA E P P AP EB E −−+=+=+知100113 4.011A EB E +=+==−−…… 11分。
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（C）与 x 同阶但不等价无穷小
（A）2
f
(x)
f x是由方程 cosxy ln y x
sin x, x [0, )
2,
（B）1 （C）-1
，
x [ ,2 ]
３．设
４．设函数
F ( x)
（B）比 x 低阶的无穷小
（D）与 x 等价无穷小
1
确定，则
x
f (t)dt 则（
x
x
e
（B） a 2
５．设函数 z y f xy，其中 f 可微，则 x z z （ ）
x
e
，且反常积分
（A） 2 yf '(xy) （B） 2 yf '(xy) （C） 2 f (xy) （D） 2 f (xy)
y x y
6．设 Dk 是圆域 D (x, y) | x2 y 2 1的第 k 象限的部分，记 I k ( y x)dxdy ，则（ ）
1 a 1
（A） a 0,b 2
（C） a 2,b 0
0 0 0
（B） a 0 ， b 为任意常数
（D） a 2 ， b 为任意常数
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
9． lim 2 ln(1 x) x
Aij aij 0(i, j 1,2,3) ，则 A =
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
当 x 0 时，1 cos x cos 2x cos 3x 与 ax n 是等价无穷小，求常数 a, n ．
2013年全国硕士研究生入学统一考试(数二)试题及答案
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小 （2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n →∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<<（5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩上对应于1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x xy e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与n ax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案解析
2013考研数学二真题ঞㄨḜ解析ZZZ ZHQGXHGX FRP一、选择题1.设cos x -1=x sin ()x α，其中｜()x α｜<2π，则当x →0时，()x α是（）而()0lim 0x F x πππ−−→′==−∫∫，()()()0lim 2xx f t dt f t dtF x ππππ++→−′==−∫∫，()()(),F F F x ππ−+′′≠∴∵在x π=处不可导。
故()F x 在x π=处连续但不可导。
4.设函数f (x )=1,1,(1)11,.ln(1)x e x x e x xαα⎧<<⎪−−⎪⎨⎪≥⎪+⎩若反常积分∫∞+1f (x )d x 收敛，则（）解：[]21320,0,()0,(()0),D I I I y x d y x σ===+−>+−>∫∫∵[]44()0,(()0),D I y x d y x σ=+−<+−<∫∫∵所以选（B ）。
7.设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则(A)矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价(B)矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价(C)矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价(D)矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价答案：（B ）解：1212(,,,)(,,,),(1)n n i i A A i n βββγγγβγ==≤≤⋯⋯，即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示。
⎪⎪⎩⎭10.设函数(),xf x −=∫则y =f (x )的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数______|0==y dydx解：=0y 即=-1x，=0y dy dx dx dy。
故32xxx y e exe =−+−。
14.设A=()ij a 是3阶非零矩阵，｜A ｜为A 的行列式，Aij 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==,则｜A ｜=______________答案：-1解：2*3*=-,=(-1)=-=0=-1T ij ij A a A A A A A A A =−⇒⇒或。
2013考研数学一数学二(真题及答案)word版
2013考研数学一~二真题及答案解析1.已知极限0arctan limk x x xc x →-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（） A.12,2k c ==-B. 12,2k c ==C. 13,3k c ==-D. 13,3k c ==答案:D解析：用洛必达法则2221121000011arctan 1111limlimlim lim (1)kk k k x x x x x xx x x cx kx kx x k x ---→→→→--+-+====+因此112,k c k -==，即13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ）A. 2x y z -+=-B. 0x y z ++=C. 23x y z -+=-D. 0x y z --= 答案:A 解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=-切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。
3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰，令1()s i n n n S x b n x π∞==∑，则（ ）A .34 B. 14 C. 14- D. 34-答案:C解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，它的傅里叶级数为()s x ，它是以2为周期的，则当(1,1)x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()s x f x =。
91111()()()()44444s s s f -=-=-=-=-。
2013年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)
2013年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知i为虚数单位，则复数=()A.+iB.-+iC.-iD.--i【答案】C【解析】试题分析：两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．复数===-i，故选C．2.已知集合A={x∈R||x|≥2}，B={x∈R|x2-x-2＜0}且R为实数集，则下列结论正确的是()A.A∪B=RB.A∩B≠∅C.A⊆(∁R B)D.A⊇(∁R B)【答案】C【解析】试题分析：先分别求出集合A，B，然后求出集合A∪B，A∩B以及∁R B，利用集合中元素的关系去判断各选项之间的关系．集合A={x∈R||x|≥2}={x∈R|x≥2或x≤-2}，B={x∈R|x2-x-2＜0}={x∈R|-1＜x＜2}．所以A∪B={x∈R|x＞-1或x≤-2}，所以A错误．所以A∩B=∅，所以B错误．∁R B={x∈R|x≥2或x≤-1}，所以A⊆(∁R B)，所以C正确，D错误．故选C．3.某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的表面积为()A.92+14πB.82+14πC.92+24πD.82+24π【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．据此即可得出该几何体的表面积．由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．∴该几何体的表面积=5×4×3+4×4×2+π×22+2π×5=92+14π．故选A．4.若α是第四象限角，tan(+α)=-，则cos(-α)=()A. B.- C. D.-【答案】D【解析】试题分析：根据α是第四象限角，tan(+α)=-=＜0，可得+α仍是第四象限角，故cos(-α)=sin(+α)．再由+=1，求得sin(+α) 的值，即可求得cos(-α)的值．∵α是第四象限角，tan(+α)=-=＜0，∴+α仍是第四象限角，∴cos(-α)=sin(+α)．再由+=1，求得sin(+α)=-，可得cos(-α)=-，故选D．5.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A.6B.5C.4D.3【答案】B【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算i值，并输出满足条件S＞20的第一个i值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量k的值的变化情况进行分析，不难给出答案．程序在运行过程中各变量的值如下表示：si是否继续循环循环前11/第一圈12是第二圈23是第三圈64是第四圈245否故最后输出的i值为：5，故选B．6.设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①②③④其中，真命题是()A.①④B.②③C.①③D.②④【答案】C【解析】试题分析：对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行，而m⊥α，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确对应④m有可能在平面α内，故不正确，故选C7.从1到1O这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：所有的取法有=120种，其中一个数是另两个数之和的取法用力矩发求得共计20种，由此求得一个数是另两个数之和的概率．所有的取法有=120种，其中一个数是另两个数之和的取法有(1，2，3)、(1，3，4)、(1，4，5)、(1，5，6)、(1，6，7)、(1，7，8)、(1，9，10)、(2，3，5)、(2，4，6)、(2，5，7)、(2，6，8)、(2，7，9)、(2，8，10)、(3，4，7)、(3，5，8)、(3，6，9)、(3，7，10)、(4，5，9)、(4，6，10)，共计20种，故其中一个数是另两个数之和的概率是=，故选A．8.已知实数x，y满足，则x+2y的取值范围为()A.[12，+∞)B.[0，3]C.[0，12]D.[3，12]【答案】C【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，则，平移直线根则，分析取得最优解的点的坐标，然后求出此目标函数的最大值和最小值即可．设z=x+2y，则，作出不等式对应的平面区域如图(阴影部分)，平移直线，由平移可知，当直线经过点D时，直线的纵截距最小，此时z最小，当直线经过点B时，直线的纵截距最大，此时z最大，由，得，即B(4，4)，代入z=x+2y，得z的最大值为z=4+2×4=12．由，得，即D(4，-2)，代入z=x+2y，得z的最小值为z=4-2×2=0，所以x+2y的取值范围为[0，12]．故选C．9.已知a=[(sin)2-]dx：，则(ax+)9展开式中，关于x的一次项的系数为()A.-B.C.-D.【答案】A【解析】试题分析：先求定积分得到a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得关于x的一次项的系数．已知a=[(sin)2-]dx=[-]dx=dx=(-sinx)=-，则(ax+)9=-，故它的展开式的通项公式为T r+1=-••x-r=-•2r-9•x9-2r．令9-2r=1，解得r=4，故关于x的一次项的系数为-×2-5=-，故选A．10.过双曲线-=1(a＞0，b＞0)的左焦点F(-c，0)(c＞0)，作倾斜角为的直线FE交该双曲线右支于点P，若=(+)，且•=0则双曲线的离心率为() A. B.+1 C. D.【答案】B【解析】试题分析：判断出E为PF的中点，据双曲线的特点知原点O为两焦点的中点；利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF；通过勾股定理得到a，c的关系，求出双曲线的离心率．在R t△PFF′中，OE=OF=c．∵=(+)，∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，则PF′=2OE=c，∵•=0，∴OE⊥PF∴PF′⊥PF∵PF-PF′=2a∴PF=PF′+2a=2a+c在R t△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2即(2a+c)2+c2=4c2所以离心率e==+1．故选B．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.随机变量ξ-N(10，100)，若P(ξ＞11)=a，则P(9＜ξ≤ll)= ．【答案】1-2a【解析】试题分析：根据P(ξ＞11)=a，且正态分布曲线是以μ=10为对称轴，得到P(ξ＜9)=P(ξ＞11)=a，根据对称性即可求出要求的概率．∵P(ξ＞11)=a，且正态分布曲线是以μ=10为对称轴，∴P(ξ＜9)=P(ξ＞11)=a，∵P(9＜ξ≤ll)=1-2P(ξ＞11)=1-2a．故答案为：1-2a．12.在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系x0y的O点为极点，0x为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为．若直线l与曲线C交于A，B两点，则AB= ．【答案】【解析】试题分析：把直线l的参数方程化为直角坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线方程和曲线方程联立方程组，求出x1+x2=，x1•x2=-．再利用弦长公式求出结果．直线l的参数方程为(t为参数)，消去参数化为直角坐标方程为y=x+．曲线C的极坐标方程即ρ2=2ρ[+]=+，即x2+y2=x+y．把直线的方程代入化简可得4x2-x-=0，∴x1+x2=，x1•x2=-．∴AB=|x1-x2|=2=2×=，故答案为．13.已知函数f(x)=e x-ae-x，若f′(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】[3，+∞)．【解析】试题分析：先求导数f′(x)，要使f′(x)≥2恒成立，则将不等式进行转化为含参数恒成立问题．函数的导数f'(x)=e x+ae-x，所以由f′(x)≥2得，，即成立．设t=e x，则t＞0，则函数，因为t＞0，所以当时，y有最大值3，所以a≥3．即实数a的取值范围是[3，+∞)．故答案为：[3，+∞)．14.已知数列{a n}满足a n•a n+1•a n+2•a n+3=24，且a1=1，a2=2，a3=3，则a1+a2+a3+…+a2013= ．【答案】5031【解析】试题分析：由已知，a n•a n+1•a n+2•a n+3=24，以n+1代n，得出a n+1•a n+2•a n+3•a n+4=24，两式相除可推断出a n+4=a n，进而可知数列{a n}是以4为周期的数列，只要看2013是4的多少倍，然后a1=1，a2=2，a3=3，求出a4，而2013是4的503倍余1，故可知S2013=503×(1+2+3+4)+1答案可得．解答：依题意可知，a n•a n+1•a n+2•a n+3=24，以n+1代n，得出a n+1•a n+2•a n+3•a n+4=24，两式相除可推断出a n+4=a n，∴数列{a n}是以4为周期的数列，求得a4=4∴S2013=503×(1+2+3+4)+1=5031故答案为：5031．15.若以曲线y=f(x)任意一点M(x，y)为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点N(x1y1)，以点N为切点作切线l1，且，则称曲线y=f(x)具有“可平行性”．下列曲线具有可平行性的编号为．(写出所有满足条件的函数的编号)①y=x3-x②y=x+③y=sina④y=(x-2)2+lnx．【答案】②③【解析】试题分析：根据导数的几何意义，将定义转化为：“方程y′=a(a是导数值)至少有两个根”，利用：y′=-1时，x的取值唯一判断①不符合；对于②和③分别求出导数列出方程化简后判断；对于④求出导数化简后，再由△=0时解唯一判断④不符合．由题意得，曲线具有可平行性的条件是：方程y′=a(a是导数值)至少有两个根，①、由y′=3x2-1知，当y′=-1时，x的取值唯一，只有0，不符合题意；②、由y′=1-=a(x≠0且a≠1)，即=1-a，此方程有两不同的个根，符合题意；③、由y'=cosx和三角函数的周期性知，cosx=a(-1≤a≤1)的解有无穷多个，符合题意；④、由y'=2x-4+(x＞0)，令2x-4+=a，则有2x2-(4+a)x+1=0，当△=0时解唯一，不符合题意，故答案为：②③．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f(x)=msinx+cosx(I)若m=2，f(α)=，求cosα；(II)若f(x)最小值为-，求f(x)在[-π，]上的值域．【答案】解：(I)若m=2，f(α)=，则由函数f(x)=msinx+cosx，可得2sinα+cosα=．再由cos2α+sin2α=1，求得cosα=-，或cosα=1．(II)若f(x)=msinx+cosx的最小值为-=-，∴m=1，或m=-3(舍去)．∴f(x)=msinx+cosx=sinx+cosx=sin(x+)．∵x∈[-π，]，可得x+∈[-，]．又sin()=sin(+)=sin cos+cos sin=，故sin(x+)∈[-1，]，故函数f(x)的值域为[-，]．【解析】(I)由条件可得2sinα+cosα=．再由cos2α+sin2α=1，求得cosα的值．(II)若f(x)=msinx+cosx的最小值为-=-，求得m的值，可得f(x)=sin(x+)．再由x∈[-π，]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f(x)的值域．17.某校在全校学生中开展物理和化学实验操作大比拼活动，活动要求：参加者物理、化学实验操作都必须参加，有50名学生参加这次活动，评委老师对这50名学生实验操作进行评分，每项操作评分均按等级采用5分制(只打整数分)，评分结果统计如下表：(I)若随机抽取一名参加活动的学生，求“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”学生被抽取的概率；(II)从这50名参赛学生中任取1人，其物理实验与化学实验得分之和为ξ，求ξ的数学期望．【答案】解：(I)从表中可以看出，“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”学生数为6名，所以“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”学生被抽取的概率为=；(II)ξ的所有可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，则ξ的分布列为∴Eξ=2×+3×+4×+5×+6×+7×+8×+9×+10×= ．【解析】(I)从表中可以看出，“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”学生数为6名，由此可求概率；(II)确定ξ的所有可能的取值，求出概率，即可得到分布列与期望．18.在几何体ABCDE中，AB=AD=BC=CD=2，AB丄AD，且AE丄平面ABD，平面BD丄平面ABD(I)当AB∥平面CDE时，求AE的长；(II)当AE=2+时，求二面角A-EC-D的大小．【答案】解：(Ⅰ)设AE=a，如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，E(0，0，a)，取BD中点T，连CT，AT，则CT⊥BD，又平面CBD⊥平面ABD，∴CT⊥平面ABD，∴CT∥AE，∵CD=BC=2，BD=2，∴CD⊥CB，∴CT=，∴C(1，1，)，=(2，0，0)，=(0，-2，a)，=(1，-1，)，设平面CDE的一个法向量为=(x，y，z)，则有，则-2y+az=0，x-y+z=0，取z=2，则y=a，x=a-2，所以=(a-2，a，2)，∵AB∥平面CDE，∴=0，∴a-2=0，所以a=2；(Ⅱ)∵a=2+，∴由上述(Ⅰ)易知平面CDE的一个法向量，BD⊥AT，BD⊥AE，∴BD⊥平面ACE，则平面AEC的一个法向量为=(-2，2，0)，故cos＜，＞=，所以θ=，故二面角A-EC-D的大小为．【解析】(Ⅰ)设AE=a，如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，E(0，0，a)，取BD中点T，连CT，AT，求出平面CDE的一个法向量为，根据AB∥平面CDE可得=0，由此可求出a值，即AE长；(Ⅱ)转化为求两平面法向量的夹角，由(Ⅰ)易知平面CDE的一个法向量，可证平面AEC的一个法向量为=(-2，2，0)，利用向量夹角公式即可求得，注意二面角与向量夹角的关系；19.已知椭圆：+=1(a＞b＞0)的长轴长为4，且过点(，)．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设A，B，M是椭圆上的三点．若=+，点N为线段AB的中点，C(-，0)，D(，0)，求证：|NC|+|ND|=2．【答案】(Ⅰ)解：由题意：2a=4，所以a=2，∵橢圆：+=1过点(，)，∴∴b2=1∴所求椭圆方程为；(II)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，∵=+，∴M(，)∴∴∵点N为线段AB的中点∴N(，)∴=∴线段AB的中点N在椭圆上∵椭圆的两焦点为C(-，0)，D(，0)，∴|NC|+|ND|=2．【解析】(I)利用椭圆长轴长为4，且过点(，)，求出几何量，即可求椭圆的方程；(II)证明线段AB的中点N在椭圆上，利用椭圆的定义，即可得到结论．20.在数{a n}中，a1=1，a2=，a n+1-a n+a n-1=0(n≥2，且n∈N*)(I)若数列{a n+1+λa n}是等比数列，求实数λ；(Ⅱ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅲ)设S n=求证：S n＜．【答案】(I)解：由数列{a n+1+λa n}是等比数列，可设a n+1+λa n=μ(a n+λa n-1)(n≥2)∴a n+1+(λ-μ)a n-λμa n-1=0，∵a n+1-a n+a n-1=0，∴，∴λ=-或λ=-3；(II)解：由上知，n≥2时，a n-a n-1=3n-1①∴a n-3a n-1=②由①②可得；(III)证明：由(II)知，＞0，∵a n-3a n-1=，∴a n＞3a n-1∴(n≥2)∴S n＜=-＜∴S n＜．【解析】(I)由数列{a n+1+λa n}是等比数列，可设a n+1+λa n=μ(a n+λa n-1)，根据条件即可得到结论；(II)n≥2时，a n-a n-1=3n-1①，a n-3a n-1=②，从而可求数列的通项；(III)证明(n≥2)，利用放缩法，可得结论．21.已知函数f(x)=xlnx．(I)若函数g(x)=f(x)+x2+ax+2有零点，求实数a的最大值；(II)若∀x＞0，≤x-kx2-1恒成立，求实数k的取值范围．【答案】解：(I)∵函数g(x)=f(x)+x2+ax+2有零点，∴g(x)=xlnx+x2+ax+2在(0，+∞)上有实数根．即-a=lnx+x+在(0，+∞)上有实数根．令h(x)=，(x＞0)，则′=．解h′(x)＜0，得0＜x＜1；解h′(x)＞0，得x＞1．∴h(x)在(0，1)上单调递减；在(1，+∞)上单调递增．∴h(x)在x=1时取得极小值，即最小值h(1)=3．∴-a≥3，解得a≤-3．∴实数a的最大值为-3．(II)∵∀x＞0，≤x-kx2-1恒成立，∴lnx≤x-1-kx2，即．令g(x)=x-1-lnx，x＞0．′=，令g′(x)＞0，解得x＞1，∴g(x)在区间(1，+∞)上单调递增；令g′(x)＜0，解得0＜x＜1，∴g(x)在区间(0，1)上单调递减．∴当x=1时，g(x)取得极小值，即最小值，∴g(x)≥g(1)=0，∴k≤0，即实数k的取值范围是(-∞，0]．【解析】(I))由函数g(x)=f(x)+x2+ax+2有零点，即g(x)=xlnx+x2+ax+2在(0，+∞)上有实数根．即-a=lnx+x+在(0，+∞)上有实数根．令h(x)=，(x＞0)，利用导数求出h(x)的最小值，则-a≤h(x)min．(II))由已知∀x＞0，≤x-kx2-1恒成立⇔．令g(x)=x-1-lnx，x＞0．利用导数得出g(x)的最小值即可．。
安徽省合肥市2013届高三数学二模试题 理(含解析)新人教A版
2013年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知i为虚数单位，则复数=（）A．+i B．﹣+iC．﹣iD．﹣﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．解答：解：复数===﹣i，故选C．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（3分）（2013•合肥二模）已知集合A={x∈R||x|≥2}，B={x∈R|x2﹣x﹣2＜0}且R为实数集，则下列结论正确的是（）A．A∪B=R B．A∩B≠∅C．A⊆（∁R B）D．A⊇（∁R B）考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：探究型．分析：先分别求出集合A，B，然后求出集合A∪B，A∩B以及∁R B，利用集合中元素的关系去判断各选项之间的关系．解答：解：集合A={x∈R||x|≥2}={x∈R|x≥2或x≤﹣2}，B={x∈R|x2﹣x﹣2＜0}={x∈R|﹣1＜x＜2}．所以A∪B={x∈R|x＞﹣1或x≤﹣2}，所以A错误．所以A∩B=∅，所以B错误．∁R B={x∈R|x≥2或x≤﹣1}，所以A⊆（∁R B），所以C正确，D错误．故选C．点评：本题的考点是利用集合元素之间的关系去判断两个集合之间的关系．3．（3分）（2013•临沂二模）某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A．92+14πB．82+14πC．92+24πD．82+24π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．据此即可得出该几何体的表面积．解答：解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．∴该几何体的表面积=5×4×3+4×4×2+π×22+2π×5=92+14π．故选A．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．4．（3分）若α是第四象限角，tan（+α）=﹣，则cos（﹣α）=（）A．B．﹣C．D．﹣考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：根据α是第四象限角，tan（+α）=﹣=＜0，可得+α仍是第四象限角，故 cos（﹣α）=sin（+α）．再由+=1，求得 sin（+α）的值，即可求得cos（﹣α）的值．解答：解：∵α是第四象限角，tan（+α）=﹣=＜0，∴+α仍是第四象限角，∴cos（﹣α）=sin（+α）．再由+=1，求得 sin（+α）=﹣，可得cos （﹣α）=﹣，故选D．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于中档题．5．（3分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．6B．5C．4D．3考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算i值，并输出满足条件S＞20的第一个i值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量k的值的变化情况进行分析，不难给出答案．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： s i 是否继续循环循环前 1 1/第一圈 1 2 是第二圈 2 3 是第三圈 6 4 是第四圈 24 5 否故最后输出的i值为：5，故选B．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．（3分）设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①②③④其中，真命题是（）A．①④B．②③C．①③D．②④考点：命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．专题：证明题．分析：对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．解答：解：对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行，而m⊥α，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确对应④m有可能在平面α内，故不正确，故选D点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．（3分）从1到1O这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：所有的取法有=120种，其中一个数是另两个数之和的取法用力矩发求得共计20种，由此求得一个数是另两个数之和的概率．解答：解：所有的取法有=120种，其中一个数是另两个数之和的取法有（1，2，3）、（1，3，4）、（1，4，5）、（1，5，6）、（1，6，7）、（1，7，8）、（1，9，10）、（2，3，5）、（2，4，6）、（2，5，7）、（2，6，8）、（2，7，9）、（2，8，10）、（3，4，7）、（3，5，8）、（3，6，9）、（3，7，10）、（4，5，9）、（4，6，10），共计20种，故其中一个数是另两个数之和的概率是=，故选A．点评：本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．8．（3分）已知实数x，y满足，则x+2y的取值范围为（）A．[12，+∞）B．[0，3] C．[0，12] D．[3，12]考点：简单线性规划．专不等式的解法及应用．分作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，则，平移直线根则析：，分析取得最优解的点的坐标，然后求出此目标函数的最大值和最小值即可．解解：设z=x+2y，则，作出不等式对应的平面区域如图（阴影部分），答：平移直线，由平移可知，当直线经过点D时，直线的纵截距最小，此时z 最小，当直线经过点B时，直线的纵截距最大，此时z最大，由，得，即B（4，4），代入z=x+2y，得z的最大值为z=4+2×4=12．由，得，即D（4，﹣2），代入z=x+2y，得z的最小值为z=4﹣2×2=0，所以x+2y的取值范围为[0，12]．故选C．本题主要考查线性规划的内容，利用目标函数的几何意义是解决此类问题的关键．点评：9．（3分）已知a=[（sin）2﹣]dx：，则（ax+）9展开式中，关于x的一次项的系数为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：二项式定理；微积分基本定理．专题：计算题；概率与统计．分析：先求定积分得到a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r 的值，即可求得关于x的一次项的系数．解答：解：已知a=[（sin）2﹣]dx=[\frac{1﹣cosx}{2}﹣]dx= dx=（﹣sinx）=﹣，则（ax+）9 =﹣，故它的展开式的通项公式为 T r+1=﹣••x﹣r=﹣•2r﹣9•x9﹣2r．令9﹣2r=1，解得r=4，故关于x的一次项的系数为﹣×2﹣5=﹣，故选A．点评：本题主要考查求定积分的值，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．10．（3分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作倾斜角为的直线FE交该双曲线右支于点P，若=（+），且•=0则双曲线的离心率为（）A．B．+1 C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分判断出E为PF的中点，据双曲线的特点知原点O为两焦点的中点；利用中位线的性析：质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF；通过勾股定理得到a，c的关系，求出双曲线的离心率．解答：解：在Rt△PFF′中，OE=OF=c．∵=（+），∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，则PF′=2OE=c，∵•=0，∴OE⊥PF∴PF′⊥PF∵PF﹣PF′=2a∴PF=PF′+2a=2a+c在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2即（2a+c）2+c2=4c2⇒所以离心率e==+1．故选B．点评：本小题主要考查双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c的关系，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置）11．（5分）随机变量ξ﹣N（10，100），若P（ξ＞11）=a，则P（9＜ξ≤ll）= 1﹣2a ．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．分根据P（ξ＞11）=a，且正态分布曲线是以μ=10为对称轴，得到P（ξ＜9）=P（ξ析：＞11）=a，根据对称性即可求出要求的概率．解答：解：∵P（ξ＞11）=a，且正态分布曲线是以μ=10为对称轴，∴P（ξ＜9）=P（ξ＞11）=a，∵P（9＜ξ≤ll）=1﹣2P（ξ＞11）=1﹣2a．故答案为：1﹣2a．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题解题的关键是看出正态曲线的对称轴，在对称轴两侧对应的数据的概率相等．12．（5分）在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系x0y的O点为极点，0x为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为．若直线l与曲线C交于A，B两点，则AB= ．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：计算题；压轴题．分析：把直线l的参数方程化为直角坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线方程和曲线方程联立方程组，求出 x1+x2=，x1•x2=﹣．再利用弦长公式求出结果．解答：解：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为y=x+．曲线C的极坐标方程即ρ2=2ρ[+]=+，即 x2+y2=x+y．把直线的方程代入化简可得 4x2﹣x﹣=0，∴x1+x2=，x1•x2=﹣．∴AB=|x1﹣x2|=2 =2×=，故答案为．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，把参数方程化为普通方程的方法，弦长公式的应用，属于基础题．13．（5分）已知函数f（x）=e x﹣ae﹣x，若f′（x）≥2恒成立，则实数a的取值范围是[3，+∞）．．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：先求导数f′（x），要使f′（x）≥2恒成立，则将不等式进行转化为含参数恒成立问题．解答：解：函数的导数f'（x）=e x+ae﹣x，所以由f′（x）≥2得，，即成立．设t=e x，则t＞0，则函数，因为t＞0，所以当时，y有最小值3，所以a≥3．即实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．点评：本题的考点是导数的计算，以及含参数不等式的恒成立问题．最值恒成立问题往往转化为最值恒成立．14．（5分）已知数列{a n}满足a n•a n+1•a n+2•a n+3=24，且a1=1，a2=2，a3=3，则a1+a2+a3+…+a2013= 5031 ．考点：归纳推理；数列的求和．专题：计算题．分析：由已知，a n•a n+1•a n+2•a n+3=24，以n+1代n，得出a n+1•a n+2•a n+3•a n+4=24，两式相除可推断出a n+4=a n，进而可知数列{a n}是以4为周期的数列，只要看2013是4的多少倍，然后a1=1，a2=2，a3=3，求出a4，而2013是4的503倍余1，故可知S2013=503×（1+2+3+4）+1答案可得．解答：解答：解：依题意可知，a n•a n+1•a n+2•a n+3=24，以n+1代n，得出a n+1•a n+2•a n+3•a n+4=24，两式相除可推断出a n+4=a n，∴数列{a n}是以4为周期的数列，求得a4=4∴S2013=503×（1+2+3+4）+1=5031故答案为：5031．点评：本题主要考查了数列的递推式和数列的求和问题．本题的关键是找出数列的周期性．15．（5分）若以曲线y=f（x）任意一点M（x，y）为切点作切线l，曲线上总存在异于M 的点N（x1y1），以点N为切点作切线l1，且l∥l1，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”．下列曲线具有可平行性的编号为②③．（写出所有满足条件的函数的编号）①y=x3﹣x②y=x+③y=sina④y=（x﹣2）2+lnx．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，将定义转化为：“方程y′=a（a是导数值）至少有两个根”，利用：y′=﹣1时，x的取值唯一判断①不符合；对于②和③分别求出导数列出方程化简后判断；对于④求出导数化简后，再由△=0时解唯一判断④不符合．解答：解：由题意得，曲线具有可平行性的条件是：方程y′=a（a是导数值）至少有两个根，①、由y′=3x2﹣1知，当y′=﹣1时，x的取值唯一，只有0，不符合题意；②、由y′=1﹣=a（x≠0且a≠1），即=1﹣a，此方程有两不同的个根，符合题意；③、由y'=cosx和三角函数的周期性知，cosx=a（﹣1≤a≤1）的解有无穷多个，符合题意；④、由y'=2x﹣4+（x＞0），令2x﹣4+=a，则有2x2﹣（4+a）x+1=0，当△=0时解唯一，不符合题意，故答案为：②③．点评：本题考查了导数的几何意义，关键是将定义正确转化为：曲线上至少存在两个不同的点，对应的导数值相等，综合性较强，考查了转化思想．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）已知函数f（x）=msinx+cosx（I）若m=2，f（α）=，求cosα；（II）若f（x）最小值为﹣，求f（x）在[﹣π，]上的值域．考点：两角和与差的正弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（I）由条件可得2sinα+cosα=．再由 cos2α+sin2α=1，求得cosα 的值．（II）若f（x）=msinx+cosx的最小值为﹣=﹣，求得m的值，可得 f（x）=sin（x+）．再由 x∈[﹣π，]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的值域．解答：解：（I）若m=2，f（α）=，则由函数f（x）=msinx+cosx，可得2sinα+cosα=．再由 cos2α+sin2α=1，求得cosα=﹣，或cosα=1．（II）若f（x）=msinx+cosx的最小值为﹣=﹣，∴m=1，或m=﹣3（舍去）．∴f（x）=msinx+cosx=sinx+cosx=sin（x+）．∵x∈[﹣π，]，可得 x+∈[﹣，]．又sin （）=sin （+）=sin cos +cos sin =，故sin（x+）∈[﹣1，]，故函数f（x）的值域为[﹣，]．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17．（12分）某校在全校学生中开展物理和化学实验操作大比拼活动，活动要求：参加者物理、化学实验操作都必须参加，有50名学生参加这次活动，评委老师对这50名学生实验操作进行评分，每项操作评分均按等级采用5分制（只打整数分），评分结果统计如下表：物理得分值y学生数化学的分值x1分2分3分4分5分1分 1 3 1 0 12分 1 0 7 5 13分 2 1 0 9 34分 1 2 6 0 15分0 0 1 1 3（I）若随机抽取一名参加活动的学生，求“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”学生被抽取的概率；（II）从这50名参赛学生中任取1人，其物理实验与化学实验得分之和为ξ，求ξ的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．分析：（I）从表中可以看出，“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”学生数为6名，由此可求概率；（II）确定ξ的所有可能的取值，求出概率，即可得到分布列与期望．解答：解：（I）从表中可以看出，“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”学生数为6名，所以“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”学生被抽取的概率为=；（II）ξ的所有可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，则ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10P∴Eξ=2×+3×+4×+5×+6×+7×+8×+9×+10×=．点评：本题考查概率知识的运用，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（12分）在几何体ABCDE中，AB=AD=BC=CD=2，AB丄AD，且AE丄平面ABD，平面BD丄平面ABD（I）当AB∥平面CDE时，求AE的长；（II）当AE=2+时，求二面角A﹣EC﹣D的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．专题：综合题；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）设AE=a，如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），取BD中点T，连CT，AT，求出平面CDE的一个法向量为，根据AB∥平面CDE可得=0，由此可求出a值，即AE长；（Ⅱ）转化为求两平面法向量的夹角，由（Ⅰ）易知平面CDE的一个法向量，可证平面AEC的一个法向量为=（﹣2，2，0），利用向量夹角公式即可求得，注意二面角与向量夹角的关系；解答：解：（Ⅰ）设AE=a，如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），取BD中点T，连CT，AT，则CT⊥BD，又平面CBD⊥平面ABD，∴CT⊥平面ABD，∴CT∥AE，∵CD=BC=2，BD=2，∴CD⊥CB，∴CT=，∴C（1，1，），=（2，0，0），=（0，﹣2，a），=（1，﹣1，），设平面CDE的一个法向量为=（x，y，z），则有，则﹣2y+az=0，x﹣y+z=0，取z=2，则y=a，x=a﹣2，所以=（a﹣2，a，2），∵AB∥平面CDE，∴=0，∴a﹣2=0，所以a=2；（Ⅱ）∵a=2+，∴由上述（Ⅰ）易知平面CDE的一个法向量，BD⊥AT，BD⊥AE，∴BD⊥平面ACE，则平面AEC的一个法向量为=（﹣2，2，0），故cos＜，＞=，所以θ=，故二面角A﹣EC﹣D的大小为．点评：本题考查利用空间向量求二面角、判定线面平行，考查学生的运算求解能力，考查学生推理论证能力，属中档题．19．（13分）已知椭圆：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且过点（，）．（I）求椭圆的方程；（II）设A，B，M 是椭圆上的三点．若=+，点N为线段AB的中点，C （﹣，0），D （，0），求证：|NC|+|ND|=2．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）利用椭圆长轴长为4，且过点（，），求出几何量，即可求椭圆的方程；（II）证明线段AB的中点N 在椭圆上，利用椭圆的定义，即可得到结论．解答：（Ⅰ）解：由题意：2a=4，所以a=2，∵橢圆：+=1过点（，），∴∴b2=1∴所求椭圆方程为；（II）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∵=+，∴M（，）∴∴∵点N为线段AB的中点∴N（，）∴=∴线段AB的中点N 在椭圆上∵椭圆的两焦点为C （﹣，0），D （，0），∴|NC|+|ND|=2．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆定义的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（13分）在数{a n}中，a1=1，a2=，a n+1﹣a n+a n﹣1=0（n≥2，且n∈N*）（I）若数列{a n+1+λa n}是等比数列，求实数λ；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）设S n =求证：S n ＜．考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（I）由数列{a n+1+λa n}是等比数列，可设a n+1+λa n=μ（a n+λa n﹣1），根据条件即可得到结论；（II）n≥2时，a n ﹣a n﹣1=3n﹣1①，a n﹣3a n﹣1=②，从而可求数列的通项；（III ）证明（n≥2），利用放缩法，可得结论．解答：（I）解：由数列{a n+1+λa n}是等比数列，可设a n+1+λa n=μ（a n+λa n﹣1）（n≥2）∴a n+1+（λ﹣μ）a n﹣λμa n﹣1=0，∵a n+1﹣a n+a n﹣1=0，∴，∴λ=﹣或λ=﹣3；（II）解：由上知，n≥2时，a n ﹣a n﹣1=3n﹣1①∴a n﹣3a n﹣1=②由①②可得；（III）证明：由（II）知，＞0，∵a n﹣3a n﹣1=，∴a n＞3a n﹣1∴（n≥2）∴S n＜=﹣＜∴S n＜．点评：本题考查数列的通项，考查等比数列的运用，考查数列与不等式的联系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（13分）已知函数f（x）=xlnx．（I）若函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，求实数a的最大值；（II）若∀x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立，求实数k的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（I））由函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，即g（x）=xlnx+x2+ax+2在（0，+∞）上有实数根．即﹣a=lnx+x+在（0，+∞）上有实数根．令h（x）=，（x＞0），利用导数求出h（x）的最小值，则﹣a≤h（x）min．（II））由已知∀x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立⇔．令g （x）=x﹣1﹣lnx，x＞0．利用导数得出g（x）的最小值即可．解答：解：（I）∵函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，∴g（x）=xlnx+x2+ax+2在（0，+∞）上有实数根．即﹣a=lnx+x+在（0，+∞）上有实数根．令h（x）=，（x＞0），则=．解h′（x）＜0，得0＜x＜1；解h′（x）＞0，得x＞1．∴h（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．∴h（x）在x=1时取得极小值，即最小值h（1）=3．∴﹣a≥3，解得a≤﹣3．∴实数a的最大值为﹣3．（II）∵∀x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立，∴lnx≤x﹣1﹣kx2，即．令g（x）=x﹣1﹣lnx，x＞0．=，令g′（x）＞0，解得x＞1，∴g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减．∴当x=1时，g（x）取得极小值，即最小值，∴g（x）≥g（1）=0，∴k≤0，即实数k的取值范围是（﹣∞，0]．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、等价转化的方法等是解题的关键．。
2013年数二-真题+答案
1 E A a
1
2
a
1 a (2 (b 2) 2b 2a 2 )
b
a
1
从而可知 2b 2a 2b ，即 a 0 ， b 为任意常数，故选择（B） ．
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
（A） a 0, b 2 （C） a 2, b 0 （B） a 0 ， b 为任意常数 （D） a 2 ， b 为任意常数
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
ln(1 x) x 9． lim 2 x 0 x
该选（A） ． 6． 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
4
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2
I k ( y x)dxdy
Dk
k
( k 1) k
2 d (sin cos ) r dr 2 0
10 ． 设 函 数 f ( x)
1
．
1
x 1
1 e t dt ， 则 y f ( x) 的 反 函 数 x f
( y) 在 y 0．
11．设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r cos 3 图形的面积为 12．曲线上 ．
n
16． （本题满分 10 分） 设 D 是由曲线 y
3
x， 直线 x a ( a 0) 及 x 轴所转成的平面图形， V x ,V y 分别是 D 绕 x
轴和 y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若 10V x V y ，求 a 的值． 17． （本题满分 10 分）
合工大-超越-数学二-18年
（4） 积分I
4
tan
x
ln(1
etan x )dx
（
）
4
（A） 0
（B）1
（C）
4
（D）1 4
（5） 设F(x)
1 ex2
dv
x2 ln v
f
(u )du, 其中f
(x)为连续函数，则 lim x0
F(x) 等于 （ x3
）
（A） 2 f (0)
（Ⅱ）求极限 lim
1 n
xn (1 x)n dx.
n 0
（16）（本题满分 10 分）设有二阶微分方程 y (4x e2 y )( y)3 0.
（Ⅰ）视 x为y 的函数，变换此方程；
（Ⅱ）求此方程的通解.
（17）（本题满分 10 分）抛物线 y 3 x2与直线y 2x交于A, B两点，M是抛物线 AB 上的动点，
2018 年全国硕士研究生入学统一考试超越考研数学（二）模拟一
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）设 lim ax3 bx2 cx d 4, lim ax3 bx2 cx d 2,当 1,2时，
1
dx
x (ex e y3 e y3 )dy
1 0
.
（10）设函数 f (x) (x [x]) sin 2x, 其中[x] 为取整函数，则 f (100) ( 2017 )
.
2
（11） 设y
f
( x)由
t
2
x t2 y sin
2013考研数二真题解析
）
（A） 2 （B） 2
【答案】（D）
（C） 2 0
（D） 0 2
【解析】
f
(x)=
(
x
1 1) 1
,
1 x ln 1
x
,
1 x e xe
e
因为 f (x)dx f (x)dx f (x)dx ，
1
1
e
当1 x e 时，
e
f (x)dx
1
e 1
(x
1 1) 1
故当 k
2 时，
, 2
，此时有 I2
2 3
0. 故正确答案选 B。
（7）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB C ，且 B 可逆，则（ ）
（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 （D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价 【答案】（B）
【解析】由题意可得：
Vx
a
1
(x3
)2 dx
3
a
5 3
0
5
Vy 2
a
1
x x3dx
6
7
a3
0
7
因为：Vy 10Vx
所以
6
7
a3
10
3
a
5 3
a
7
7
5
7
（17）（本题满分 10 分）
设平面内区域 D 由直线 x 3y, y 3x 及 x y 8 围成.计算 x2dxdy 。 D
【解析】 x2dxdy x2dxdy x2dxdy
D