用Mathematic计算弹性地基梁
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Ca lcula tion of ela stic grade beam w ith M a thema tic sof tware
M IAO Q iang (T a iyuan U n iversity of Science and T echno logy, T a iyuan 030024, Ch ina)
2 按温克尔假定计算基础梁的基本 方程
因钢筋混凝土的弹性模量 E 不很准确, 而泊松 系数 Λ 又很小, 在计算中认为 Λ 等于零, 亦即不将 基础梁区分为平面应力问题与平面变形问题。 2. 1 基础梁的挠度曲线微分方程
图 1 表示一等截面的基础梁, 梁宽 b= 1。 根据 温克尔假定, 地基反力用 (1) 式表达。 角变、位移、弯 矩、剪力及荷载的正方向均如图 1 所示。
解此题先求出 Α, 然后确定初参数 y 0、Η0、M 0、 Q 0。 根据梁左端的边界条件知 y 0= 0,M 0= 0, Η0、Q 0 两个参数根据梁右端弯矩为零和跨中截面剪力为零
2 个条件确定。 将初参数 y 0、Η0、M 0、Q 0 代入 In [ 2 ]、In [ 3 ]、In
[ 4 ]、In [ 5 ]可得梁截面的弯矩M 、剪力 Q 及地基反 力 Ρ, 利用M a them a tic 的作图命令可做出梁的弯矩 图、剪力图与地基反力图 (图 5)。
计算基础梁的计算方法有 3 种假设。 (1) 地基反力按直线分布的假定 地基反力假定按直线分布, 未知量只有 2 个, 即 梁两端的地基反力, 当两端的地基反力求出后, 沿梁 长任何点的地基反力就很容易求得。 然后利用静力 平衡条件可算出任何截面的弯矩和剪力。 按地基反力为直线分布的假定计算基础梁时, 完全没有考虑地基的物理力学性质和基础梁的变 形, 故和实际情况有较大的差异。只有在初步估算基 础梁的截面与基础梁的刚度较大时可以采用。
EJ
dΗ
dx
=
-
EJ
d d
2y x2
,
Q =
dM dx
=-
EJ
d 3y dx 3
(3)
将式 (3) 代入 (2) , 并注意 Ρ= Ky , 则得:
4
d 4y dx 4
Baidu Nhomakorabea
+
4Α4y =
4Α4q (x ) (式中令 Α=
K
K 4E J
)
(4) 式 (4) 就是基础梁的挠度曲线微分方程。
为了便于计算, 在上式中用变数 Αx 代替 x , 则 得
它的一般解是由齐次解和特解组成。所谓齐次解是式
d
d 4y
(Αx ) 4
+
4y =
0
(6)
在M a them a tic 中输入下列式子:
In [ 1 ]: = t= D So lve [ y ’’’’[ x ]+ 4y [ x ] = = 0, y [ x ], x ]; t= t . x →Αx ;
图 3 一等截面基础梁的正方向
60
苗 强. 用M a them a tic 计算弹性地基梁
下列式子为解题过程: In [ 2 ]: = t1 = {y , Η,M , Q }= Co llect [ Sim p lify [ { t, D [ t, x ], EJ D [ t, {x , 2} ], - EJ D [ t, {x , 3} ]} ], {A 1, A 2, A 3, A 4} ]; b= So lve [ {y 0, Η0, M 0, Q 0 } = = t1 . x →0, {A 1, A 2, A 3, A 4} ]; t1= t1 . b; t1= t1 . E J →K a4; t1= ta= Co llect [ S im p lify [ t1, { y 0, Η0,M 0, Q 0} ] ]; 3. 2 荷载引起的附加项
计算机技术 西北水电·2005 年·第 4 期
文章编号: 1006—2610 (2005) 04—0058—03
用M a them a t ic 计算弹性地基梁
苗 强
(太原理工大学, 太原 030024)
摘 要:M athem atic 是著名的数学软件, 在计算方面有其独特的优势。 用数学软件解算弹性地基梁, 采用温克尔假 定的计算方法, 具有计算准确、迅速、方便的特点。 关键词:M athem atic; 弹性地基梁; 计算方法 中图分类号: TV 222. 2 文献标识码: B
以图 3 为例, 当初参数 y 0、Η0、M 0、Q 0 已知时, 就 可用上式计算荷载 P 以左各截面的位移 y、角变 Η、 弯矩M 和剪力Q。但在计算荷载 P 右方各截面的这 些量值时, 还须在上式中增加由于荷载引起的附加 项。 下面说明求解附加项的方法。
(1) 集中荷载引起的附加项 在图 3 中, 将坐标原点移到荷载 P 的作用点, 仍可用式 In [ 2 ]计算荷载 P 引起的右方各截面的位 移, 角变、弯矩及剪力。 因为仅考虑 P 的作用, 故在 它的作用点处的 4 个初参数为: y x 1= 0, Ηx 1= 0, M x 1= 0, Q x 1= - P , 输入: In [ 3 ]: = tp = t1 . {y 0→0, Η0→0, M 0→0, Q 0→ - P} (2) 力矩M 引起的附加项 与上式同理, 将坐标原点移到力矩M 的作用 点, 此点的 4 个参数为: y x 2= 0, Ηx 2= 0, M x 2= M , Q x 2= 0, 输入: In [ 4 ]: = tm = t1 . {y 0→0, Η0→0,M 0→M 1, Q 0→ 0} (3) 分布荷载 q 引起的附加项 参照图 3, 设求坐标为 x (x ≥x 4) 截面的位移、角 变、弯矩和剪力。将分布荷载看成是无限多个集中荷 载 q0d u , 输入: In [ 5 ]: = tq1= In teg ra te [ tp , {x , x 1, x 2} ]; tq2= In teg ra te[ tp . p →pp x, {x , x 3, x 4} ] 综 合 In [ 2 ]、In [ 3 ]、In [ 4 ]、In [ 5 ]就可以计算按 温克尔假定的基础梁的方程。
弹性压缩系数 K 是使单位面积的地基产生单
位沉陷时所需的力。这个假定的实质, 是将地基看成
为无限多个各自孤立的弹簧, 弹性压缩系数 K 相当
于弹簧常数。
(3) 地基为弹性半无限体 (或弹性半无限平面)
的假定
这个假定认为地基是均匀的、各向同性的弹性
半无限体, 可用弹性理论的方法计算地基的沉陷量,
以确定地基反力的大小。
y 0、角变 Η0、弯矩M 0 和剪力 Q 0, 它们的正方向如图 中 3 所示。
在 M a them etic 中按 (3) 式求 (7) 式的各阶导 数, 并施用于梁的左端, 梁左端的边界条件是 x = 0, 可解得常数项 A 1 至 A 4, 将 4 个常数项代入式 (7) , 消去 EJ , 可得出用初参数表示的微分方程的齐次 解, 再按式 (3) 逐次求导数, 可求出用初参数表示的 位移 y、角变 Η、弯矩M 和剪力 Q。
4 计算实例
4. 1 例题 1 图 4 所示基础梁, 长度 l= 12 m , 宽度 b= 0. 6
图 4 基础梁
m , EJ = 504 000 kN. m 2, 地基的弹性压缩系数 K = 210 000 kN m 3。梁的两端简支于刚性支座上, 全梁 上有均布荷载 q0。作梁的弯矩图、剪力图并求地基反 力。
Abstract: T heM a them a tic is a so rt of fam ou s m a them a tica l softw a re, w ith a un ique advan tage in ca lcu la tion. T he m a them a ti2 ca l softw a re w ith W ink ler’s hypo thesis is u sed to ca lcu la te ela stic g rade beam accu ra tely, qu ick ly and conven ien tly. Key W ords: M a them a tic; ela stic g rade beam ; ca lcu la tion
1 概 述
在建筑结构中, 常采用基础梁, 它的作用是将柱 的荷载传给地基。在软土地基上的房屋建筑中, 砖墙 的基础有时也要做成基础梁。在地下结构的计算中, 更广泛采用基础梁的理论, 如隧洞衬砌属于平面变 形问题, 其直墙部分按基础梁计算, 地铁通道等衬砌 结构也是平面变形问题, 计算时也用到基础梁的理 论。
收稿日期: 2005206222 作者简介: 苗强 (1975利工程设计工作.
) , 男, 山西省长子县人, 工程师, 从事水
(2) 温克尔假定
温克尔假定认为地基反力的大小与该点的地基
沉陷量成正比, 即
Ρ= Ky
(1)
式中: Ρ 为任一点的地基反力 (kN m 2) ; y 为相应点
的地基沉陷量 (m ) ; K 为弹性压缩系数 (kN m 3)。
b = Pa rt [ Pa rt [ t, 1 ], 1 ]; t= y [ Αx ] . b; t = Sim p lify
[ Exp ToT rig [ t ] ]; t = t . {C [ 1 ]→ (A 1 + A 3) 2, C [ 4 ]→ (A 2 - A 4) 2, C [ 2 ]→ (A 1- A 3) 2, C [ 3 ]→ (A 2+ A 4) 2}; t= Sim p lify [ t ]; t= Exp and [ t ] . - A 4→A 4;
M a them a tic 是美国W o lfram 研究公司开发的
符号计算系统, 1988 年发布了M a them a tic 系统的
1. 0 版, 1999 年推出了M a them a t ic4. 0 版。
M a them a tic 是最大的单应用程序之一, 它内容
丰富、功能强大的函数覆盖了初等数学、微积分和线
性代数等众多的数学领域。 它包含了数学多方向的
新方法和新技术; 它包含的近百个作图函数, 是数据
可视化的最好工具。 现已在工程领域、计算机科学、
西北水电·2006 年·第 1 期
59
生物医学、金融和经济、数学、物理、化学和社会科学 等范围得到应用。 尤其在科研院所和高等院校广为 流行。
温克尔假定的弹性地基梁计算方法, 现有的文 献往往是用查表法计算或用编程的方法来计算, 本 文用M a them a tic 来进行计算, 从中可体会到这种软 件的强大功能, 它减轻了设计与科研工作中的数学 推导过程的工作。
d
d 4y
(Αx ) 4
+
4y =
4 K
q
(Αx
)
(5)
按温克尔假定计算基础梁, 可归结为求解微分 方程 (5)。 当 y 解出后, 再由式 (3) 就可求出角变 Η、 弯矩M 和剪力 Q。 将 y 乘以 K 就得地基反力。 2. 2 挠度曲线微分方程的齐次解
式 (5) 是一个常系数、线性、非齐次的微分方程,
(7)
式中 A 1、A 2、A 3、A 4 为常数。
式 (7) 便是微分方程 (5) 的齐次解, 本文后面将
计算弹性地基梁中的短梁, 以定出齐次解中的 4 个
常数项与附加项 (荷载影响)。这样求得的解, 就相当 于微分方程的齐次解与特解之和。
3 按温克尔假定计算短梁
3. 1 初参数的引用 如图 2 所示一等截面的基础梁, 设左端有位移
图 1 一等截面基础梁角变、位移、弯矩、 剪力及荷载的正方向
从图 1 中的基础梁取一微段如
∑ 图 2 所示, 根据平衡条件 Y = 0,
∑M = 0 得:
图 2 基础梁的微段
dQ dx
=
d 2M dx 2
=
Ρ2q (x )
(2)
不计剪力对梁挠度的影响, 则由材料力学得:
Η=
d d
y x
,
M
=-
上面各式子的含义可参阅有关M a them a tic 的 使用手册。
按 Sh ift 和 En ter 键, 可得:
O ut[1 ]=
A 1 co s[ x Α]co sh [ x Α]+ A 2 co sh [ x Α] sin [ x Α]+ A 3 co s
[ x Α]sinh [x Α]+ A 4 sin [x Α]sinh [x Α]
M IAO Q iang (T a iyuan U n iversity of Science and T echno logy, T a iyuan 030024, Ch ina)
2 按温克尔假定计算基础梁的基本 方程
因钢筋混凝土的弹性模量 E 不很准确, 而泊松 系数 Λ 又很小, 在计算中认为 Λ 等于零, 亦即不将 基础梁区分为平面应力问题与平面变形问题。 2. 1 基础梁的挠度曲线微分方程
图 1 表示一等截面的基础梁, 梁宽 b= 1。 根据 温克尔假定, 地基反力用 (1) 式表达。 角变、位移、弯 矩、剪力及荷载的正方向均如图 1 所示。
解此题先求出 Α, 然后确定初参数 y 0、Η0、M 0、 Q 0。 根据梁左端的边界条件知 y 0= 0,M 0= 0, Η0、Q 0 两个参数根据梁右端弯矩为零和跨中截面剪力为零
2 个条件确定。 将初参数 y 0、Η0、M 0、Q 0 代入 In [ 2 ]、In [ 3 ]、In
[ 4 ]、In [ 5 ]可得梁截面的弯矩M 、剪力 Q 及地基反 力 Ρ, 利用M a them a tic 的作图命令可做出梁的弯矩 图、剪力图与地基反力图 (图 5)。
计算基础梁的计算方法有 3 种假设。 (1) 地基反力按直线分布的假定 地基反力假定按直线分布, 未知量只有 2 个, 即 梁两端的地基反力, 当两端的地基反力求出后, 沿梁 长任何点的地基反力就很容易求得。 然后利用静力 平衡条件可算出任何截面的弯矩和剪力。 按地基反力为直线分布的假定计算基础梁时, 完全没有考虑地基的物理力学性质和基础梁的变 形, 故和实际情况有较大的差异。只有在初步估算基 础梁的截面与基础梁的刚度较大时可以采用。
EJ
dΗ
dx
=
-
EJ
d d
2y x2
,
Q =
dM dx
=-
EJ
d 3y dx 3
(3)
将式 (3) 代入 (2) , 并注意 Ρ= Ky , 则得:
4
d 4y dx 4
Baidu Nhomakorabea
+
4Α4y =
4Α4q (x ) (式中令 Α=
K
K 4E J
)
(4) 式 (4) 就是基础梁的挠度曲线微分方程。
为了便于计算, 在上式中用变数 Αx 代替 x , 则 得
它的一般解是由齐次解和特解组成。所谓齐次解是式
d
d 4y
(Αx ) 4
+
4y =
0
(6)
在M a them a tic 中输入下列式子:
In [ 1 ]: = t= D So lve [ y ’’’’[ x ]+ 4y [ x ] = = 0, y [ x ], x ]; t= t . x →Αx ;
图 3 一等截面基础梁的正方向
60
苗 强. 用M a them a tic 计算弹性地基梁
下列式子为解题过程: In [ 2 ]: = t1 = {y , Η,M , Q }= Co llect [ Sim p lify [ { t, D [ t, x ], EJ D [ t, {x , 2} ], - EJ D [ t, {x , 3} ]} ], {A 1, A 2, A 3, A 4} ]; b= So lve [ {y 0, Η0, M 0, Q 0 } = = t1 . x →0, {A 1, A 2, A 3, A 4} ]; t1= t1 . b; t1= t1 . E J →K a4; t1= ta= Co llect [ S im p lify [ t1, { y 0, Η0,M 0, Q 0} ] ]; 3. 2 荷载引起的附加项
计算机技术 西北水电·2005 年·第 4 期
文章编号: 1006—2610 (2005) 04—0058—03
用M a them a t ic 计算弹性地基梁
苗 强
(太原理工大学, 太原 030024)
摘 要:M athem atic 是著名的数学软件, 在计算方面有其独特的优势。 用数学软件解算弹性地基梁, 采用温克尔假 定的计算方法, 具有计算准确、迅速、方便的特点。 关键词:M athem atic; 弹性地基梁; 计算方法 中图分类号: TV 222. 2 文献标识码: B
以图 3 为例, 当初参数 y 0、Η0、M 0、Q 0 已知时, 就 可用上式计算荷载 P 以左各截面的位移 y、角变 Η、 弯矩M 和剪力Q。但在计算荷载 P 右方各截面的这 些量值时, 还须在上式中增加由于荷载引起的附加 项。 下面说明求解附加项的方法。
(1) 集中荷载引起的附加项 在图 3 中, 将坐标原点移到荷载 P 的作用点, 仍可用式 In [ 2 ]计算荷载 P 引起的右方各截面的位 移, 角变、弯矩及剪力。 因为仅考虑 P 的作用, 故在 它的作用点处的 4 个初参数为: y x 1= 0, Ηx 1= 0, M x 1= 0, Q x 1= - P , 输入: In [ 3 ]: = tp = t1 . {y 0→0, Η0→0, M 0→0, Q 0→ - P} (2) 力矩M 引起的附加项 与上式同理, 将坐标原点移到力矩M 的作用 点, 此点的 4 个参数为: y x 2= 0, Ηx 2= 0, M x 2= M , Q x 2= 0, 输入: In [ 4 ]: = tm = t1 . {y 0→0, Η0→0,M 0→M 1, Q 0→ 0} (3) 分布荷载 q 引起的附加项 参照图 3, 设求坐标为 x (x ≥x 4) 截面的位移、角 变、弯矩和剪力。将分布荷载看成是无限多个集中荷 载 q0d u , 输入: In [ 5 ]: = tq1= In teg ra te [ tp , {x , x 1, x 2} ]; tq2= In teg ra te[ tp . p →pp x, {x , x 3, x 4} ] 综 合 In [ 2 ]、In [ 3 ]、In [ 4 ]、In [ 5 ]就可以计算按 温克尔假定的基础梁的方程。
弹性压缩系数 K 是使单位面积的地基产生单
位沉陷时所需的力。这个假定的实质, 是将地基看成
为无限多个各自孤立的弹簧, 弹性压缩系数 K 相当
于弹簧常数。
(3) 地基为弹性半无限体 (或弹性半无限平面)
的假定
这个假定认为地基是均匀的、各向同性的弹性
半无限体, 可用弹性理论的方法计算地基的沉陷量,
以确定地基反力的大小。
y 0、角变 Η0、弯矩M 0 和剪力 Q 0, 它们的正方向如图 中 3 所示。
在 M a them etic 中按 (3) 式求 (7) 式的各阶导 数, 并施用于梁的左端, 梁左端的边界条件是 x = 0, 可解得常数项 A 1 至 A 4, 将 4 个常数项代入式 (7) , 消去 EJ , 可得出用初参数表示的微分方程的齐次 解, 再按式 (3) 逐次求导数, 可求出用初参数表示的 位移 y、角变 Η、弯矩M 和剪力 Q。
4 计算实例
4. 1 例题 1 图 4 所示基础梁, 长度 l= 12 m , 宽度 b= 0. 6
图 4 基础梁
m , EJ = 504 000 kN. m 2, 地基的弹性压缩系数 K = 210 000 kN m 3。梁的两端简支于刚性支座上, 全梁 上有均布荷载 q0。作梁的弯矩图、剪力图并求地基反 力。
Abstract: T heM a them a tic is a so rt of fam ou s m a them a tica l softw a re, w ith a un ique advan tage in ca lcu la tion. T he m a them a ti2 ca l softw a re w ith W ink ler’s hypo thesis is u sed to ca lcu la te ela stic g rade beam accu ra tely, qu ick ly and conven ien tly. Key W ords: M a them a tic; ela stic g rade beam ; ca lcu la tion
1 概 述
在建筑结构中, 常采用基础梁, 它的作用是将柱 的荷载传给地基。在软土地基上的房屋建筑中, 砖墙 的基础有时也要做成基础梁。在地下结构的计算中, 更广泛采用基础梁的理论, 如隧洞衬砌属于平面变 形问题, 其直墙部分按基础梁计算, 地铁通道等衬砌 结构也是平面变形问题, 计算时也用到基础梁的理 论。
收稿日期: 2005206222 作者简介: 苗强 (1975利工程设计工作.
) , 男, 山西省长子县人, 工程师, 从事水
(2) 温克尔假定
温克尔假定认为地基反力的大小与该点的地基
沉陷量成正比, 即
Ρ= Ky
(1)
式中: Ρ 为任一点的地基反力 (kN m 2) ; y 为相应点
的地基沉陷量 (m ) ; K 为弹性压缩系数 (kN m 3)。
b = Pa rt [ Pa rt [ t, 1 ], 1 ]; t= y [ Αx ] . b; t = Sim p lify
[ Exp ToT rig [ t ] ]; t = t . {C [ 1 ]→ (A 1 + A 3) 2, C [ 4 ]→ (A 2 - A 4) 2, C [ 2 ]→ (A 1- A 3) 2, C [ 3 ]→ (A 2+ A 4) 2}; t= Sim p lify [ t ]; t= Exp and [ t ] . - A 4→A 4;
M a them a tic 是美国W o lfram 研究公司开发的
符号计算系统, 1988 年发布了M a them a tic 系统的
1. 0 版, 1999 年推出了M a them a t ic4. 0 版。
M a them a tic 是最大的单应用程序之一, 它内容
丰富、功能强大的函数覆盖了初等数学、微积分和线
性代数等众多的数学领域。 它包含了数学多方向的
新方法和新技术; 它包含的近百个作图函数, 是数据
可视化的最好工具。 现已在工程领域、计算机科学、
西北水电·2006 年·第 1 期
59
生物医学、金融和经济、数学、物理、化学和社会科学 等范围得到应用。 尤其在科研院所和高等院校广为 流行。
温克尔假定的弹性地基梁计算方法, 现有的文 献往往是用查表法计算或用编程的方法来计算, 本 文用M a them a tic 来进行计算, 从中可体会到这种软 件的强大功能, 它减轻了设计与科研工作中的数学 推导过程的工作。
d
d 4y
(Αx ) 4
+
4y =
4 K
q
(Αx
)
(5)
按温克尔假定计算基础梁, 可归结为求解微分 方程 (5)。 当 y 解出后, 再由式 (3) 就可求出角变 Η、 弯矩M 和剪力 Q。 将 y 乘以 K 就得地基反力。 2. 2 挠度曲线微分方程的齐次解
式 (5) 是一个常系数、线性、非齐次的微分方程,
(7)
式中 A 1、A 2、A 3、A 4 为常数。
式 (7) 便是微分方程 (5) 的齐次解, 本文后面将
计算弹性地基梁中的短梁, 以定出齐次解中的 4 个
常数项与附加项 (荷载影响)。这样求得的解, 就相当 于微分方程的齐次解与特解之和。
3 按温克尔假定计算短梁
3. 1 初参数的引用 如图 2 所示一等截面的基础梁, 设左端有位移
图 1 一等截面基础梁角变、位移、弯矩、 剪力及荷载的正方向
从图 1 中的基础梁取一微段如
∑ 图 2 所示, 根据平衡条件 Y = 0,
∑M = 0 得:
图 2 基础梁的微段
dQ dx
=
d 2M dx 2
=
Ρ2q (x )
(2)
不计剪力对梁挠度的影响, 则由材料力学得:
Η=
d d
y x
,
M
=-
上面各式子的含义可参阅有关M a them a tic 的 使用手册。
按 Sh ift 和 En ter 键, 可得:
O ut[1 ]=
A 1 co s[ x Α]co sh [ x Α]+ A 2 co sh [ x Α] sin [ x Α]+ A 3 co s
[ x Α]sinh [x Α]+ A 4 sin [x Α]sinh [x Α]