三角形的基本概念

三角形的基本概念 三角形的概念：如图，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．三角形的主要线段：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．这里我们要注意两点：一是一个三角形有三条角平分线，并且相交于三角形内部一点；二是三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．在三角形中，连结一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．这里我们要注意两点：一是一个三角形有三条中线，并且相交于三角形内部一点；二是三角形的中线是一条线段．从三角形一个顶点向它对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)．这里我们要注意三角形的高是线段，而垂线是直线． 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的这个性质在生产和生活中应用很广，需要稳定的东西都制成三角形的形状． 10.2. 三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：①三角形有三条线段；②三条线段不在同一条直线上； ③首尾顺次连接．以上三点表明三角形是封闭图形，如图就不是三角形．“三角形” 用符号“∆” 表示，顶点是C B A ,,的三角形记作“ABC ∆” ，读作“三角形ABC ” ． 10.3. 三角形的分类及角边关系10.3.1. 三角形的分类三角形按边的关系可以如下分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形角形底和腰不相等的等腰三等腰三角形不等边三角形三角形 三角形按角的关系可以如下分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧)()()(形有一个角为钝角的三角钝角三角形形三个角都是锐角的三角锐角三角形斜三角形形有一个角为直角的三角直角三角形三角形把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形．它是两条直角边相等的直角三角形．注意：一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角． 10.3.2. 三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形两边之差小于第三边． 三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形． ②当已知两边时，可确定第三边的范围． ③证明线段不等关系．10.3.3. 三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180． 推论：①直角三角形的两个锐角互余．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．注意：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．10.3.4. 三角形的面积三角形的面积＝21×底×高． 10.4. 全等三角形 10.4.1. 全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．夹边就是三角形中相邻两角的公共边．夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角．10.4.2. 全等三角形的表示和性质下图中的两个三角形能够完全重合，就是全等三角形，“全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于” ．下图中的ABC ∆和C B A '''∆全等，记作“ABC ∆≌C B A '''∆” ．注意:记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 因为能够重合的两条线段是相等的线段，能够重合的两个角是相等的角，所以全等三角形的对应边相等，对应角相等．这是全等三角形的性质．10.4.3. 三角形全等的判定 三角形全等的判定公理：三角形全等的判定公理有下面几个：(1)边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS ” )． (2)角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA ” )．这个公理还有下面的推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS ” )．(3)边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等．(可以简写成“边边边”或“SSS ” )． 三角形全等判定公理的选择：已知条件 可选择的判定公理 一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判断它全等时，还有HL 公理即斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写为“斜边、直角边”或“HL ”)．注意：①HL 公理是直角三角形独有的，它对一般三角形不成立；而一般三角形的全等判定公理同样适用于直角三角形．②有两边和其中一边的对角(直角或钝角)对应相等，则这两个三角形全等． 10.4.4. 全等变换只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换．全等变换包括以下三种：①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换．如图1，把ABC ∆沿直线BC 移动到C B A '''∆和C B A ''''''∆位置就是平移变换．②对称变换：将图形沿某直线翻折 180，这种变换叫做对称变换．如图2，将ABC ∆翻折180到ABD ∆位置的变换就是对称变换．③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换．如图3，将ABC ∆绕过A 点旋转180到ADE ∆的位置，就是旋转变换．这里我们应该知道，无论是平移变换，对称变换还是旋转变换，变换前后的两个图形全等，具有全等的所有性质．图1 图2 图310.5. 等腰三角形 10.5.1. 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)．即：在ABC ∆中，若AC AB =，则C B ∠=∠． 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60．等腰三角形的其它性质：1、 等腰三角形的三线合一性：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互 相重合．即只要知道其中一个量，就可以知道其它两个量．2、 等腰直角三角形的两个底角相等且等于45．3、 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可以为钝角(或直角)．4、 等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则a b<2． 5、 等腰三角形的三角关系：设顶角为A ∠，底角为C B ∠∠,，则有：B A ∠-=∠2180，2180AC B -=∠=∠ ．10.5.2. 等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．(简写成：等角对等边).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 注意：推论1，推论2常用于证明一个三角形是等边三角形；推论3常证明线段的倍分． 证明一个三角形是等腰三角形的方法：1、利用定义证明，有两边相等的三角形是等腰三角形．2、等腰三角形的判定定理：等角对等边．证明一个三角形是等边三角形的方法：1、利用定义证明：证明三条边相等．2、证明三角形三个角相等．3、证明它是等腰三角形并且已有一个角是60．等腰三角形性质等腰三角形判定中线 1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边(平分这个边的对角)，那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点距离相等 1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边(平分对边)那么这个三角形是等腰三角形2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形高线 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等 1、如果一个三角形一边上的高平分这条边(平分这条边的对角)那么这个三角形是等腰三角形2、有两条高相等的三角形是等腰三角形 角 等边对等角等角对等边边 底的一半<腰长<周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形10.6. 直角三角形； 10.6.1. 直角三角形的性质1、直角三角形两锐角互余． 即：︒=∠+∠⇒︒=∠9090B A C ．2、直角三角形中，︒30角所对的直角边等于斜边的一半． 即：AB BC C A 219030=⇒⎭⎬⎫︒=∠︒=∠．3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 即：AD BD AB CD AB D ACB ===⇒⎭⎬⎫︒=∠2190中点为．4、勾股定理：直角三角形两直角边b a ,的平方和，等于斜边c 的平方．即：222c b a =+．注意：此定理揭示了直角三角形三边关系，蕴含了数形结合思想，是从图形到数量的关系，常用来求线段的长．5、射影定理：直角三角形斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项．即：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=⋅=⇒⎭⎬⎫⊥︒=∠．，，AB BD BC AB AD AC BD AD CD AB CD ACB 22290 注意： 1、它是线段计算、比例求等积式或证明中的常用定理； 2、这个双垂直图形中还有：①两对等角(除直角)ACD B BCD A ∠=∠∠=∠，； ②三个相似三角形即ACD ∆∽CBD ∆∽ABC ∆；③由面积公式推导出来另一等积式：BC AC CD AB ⋅=⋅． 10.6.2. 直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形．2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 注意：它是“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”的逆定理．3、勾股定理逆定理：如果三角形三边长c b a ,,有下面关系：222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形． 注意：它是利用三角形边长的数量关系判断三角形形状，体现了数形结合思想． 10.6.3. 锐角三角函数的概念如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，我们把锐角A 的 ①对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ， 即：caA A =∠=斜边的对边sin ；②邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos ，即：cbA A =∠=斜边的邻边cos ； ③锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作A tan ，即：baA A A =∠∠=的邻边的对边tan ； ④锐角A 的邻边与对边之比叫做A ∠的余切，记作A cot ，即：abA A A =∠∠=的对边的邻边cot ． 说明：①当A ∠固定时，A ∠的正弦值，余弦值，正切值，余切值都是固定的，这与A ∠的两边长短无关． ②上面各式从整体看是一个等式，而右边是一个分式，因而具有等式、分式的性质，当已知式中两个量时，可求第三量．锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A ∠的锐角三角函数．说明：由于锐角三角函数都是线段的比值，因而都是正数，而且没有单位． 10.6.4. 特殊角度的三角函数值特殊角度()的三角函数值：三角函数︒0︒30︒45︒60︒90αsin0 2122 23 1 αcos1 23 22 21 0 αtan33 13－10.6.5. 各锐角三角函数之间的关系式各锐角三角函数之间的关系式： (1)互余关系：)90cos(sin A A -︒=，()A A -︒=90sin cos ，)90cot(tan A A -︒=，()A A -︒=90tan cot ．(2)平方关系：1cos sin 22=+A A ．(3)倒数关系：1)90cot(cot ,1)90tan(tan ,1cot tan =-︒=-︒=A A A A A A ． (4)相除关系：AAA A A A sin cos cot ,cos sin tan ==． 10.6.6. 锐角三角函数的增减性当角度在︒-︒900之间变化时，(1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)； (2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)； (3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)； (4)余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．10.6.7. 解直角三角形解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的工具：在Rt ∆ABC 中，90=∠C ，A ∠，B ∠，C ∠所对边分别为c b a ,,． 1、三边之间的关系：222c b a =+(勾股定理)． 2、锐角之间的关系：A ∠+B ∠=90． 3、边角之间的关系：c a A =sin ，c b A =cos ，b a A =tan ，a b A =cot ，c b B =sin ，c a B =cos ，abB =tan ，baB =cot ． 说明：①利用这些关系，知道其中的2个元素(至少有一个边)，就可以求出其余的3个未知元素．②已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，不一定全等．因此其边的大小不确定．直角三角形解法：直角三角形解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型： 1、已知一条直角边和一个锐角(如a ，A ∠)其解法为：)(cot ,sin ,9022a c b A a b Aac A B -=⋅==∠-=∠或 ； 2、已知斜边和一个锐角(如c ，A ∠)其解法为：)(cos ,sin ,9022a c b A c b A c a A B -=⋅=⋅=∠-=∠或 ；3、已知两直角边(如a ，b )，其解法为：A B A baA b a c ∠-=∠∠=+= 90,tan ,22得由；4、已知斜边和一直角边(如c ，a )，其解法为：A B A caA a c b ∠-=∠∠=-= 90,sin ,22得由．10.6.8. 解直角三角形的应用仰角、俯角：如图1，在我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．图1坡度、坡角：如图2，我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(或坡比)，用字母i 表示，即lh i =． 坡面与水平面的夹角叫坡角．坡度与坡角(若用α表示)的关系：αtan =i ．坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．图2 图3方向角：如图3，平面上，过观测点O 作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O 点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．例如，图中“北偏东30”是一个方向角，又如“西北”即指正西方向与正北方向所夹直角的平分线，此时的方向角为“北偏西 45”(或“西偏北45” )．例.1.在平面直角坐标系χογ中，已知点A （2，3），在坐标轴上找一点P ，使得∆AOP 是等腰三角形，则这样的点P 共有 个。