求二次函数解析式之对称式

求二次函数解析式之对称式

用“对称式”求抛物线解析式分为下面几种情况：

1.抛物线关于x 轴对称.抓住关于抛物线关于x 轴对称其对应点横坐标相同，而纵坐标互为

相反数.也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于x 轴对称的图象为

()'2y y ax bx c a 0=-=++≠

整理为()'2y ax bx c a 0=---≠.

结论：抛物线关于x 轴对称各项系数及常数项均互为相反数.

2.抛物线关于y 轴对称.抓住关于抛物线关于y 轴对称其对应点横坐标互为相反数，而纵坐

标相同.也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于y 轴对称的图象为

()()()'2

y a x b x c a 0=-+-+≠

整理为()'2y ax bx c a 0=-+≠.

结论：抛物线关于y 轴对称二次项系数及常数项相同，而一次项系数互为相反数.

3.抛物线关于原点对称.抓住关于抛物线关于原点对称其对应点横纵坐标均互为相反数，.

也就是图象()2y ax bx c a 0=++≠关于y 轴对称的图象为()()()'2

y y a x b x c a 0=-=-+-+≠

整理为()'2y ax bx c a 0=-+-≠.

结论：抛物线关于原点对称二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数相同.

例.下面的图是在《几何画板》中制作的抛物线2y x 2x 3=--自动生成的对称抛物线（红

色）：

4.关于直线x k =（k 是常数）和关于直线y h =（h 是常数）对称.

①.关于直线x k =（k 是常数）对称.根据轴对称的性质，对称点的横坐标和的一半等于k ，即，对称点的横坐标之和 =2k .若原抛物线配方成()()2

y a x m n a 0=++≠，则其关于直线x k =（k 是常数）对称的抛物线应表示为()()'2

y a 2k x m n a 0=-++≠，即()()'2

y a x 2k m n a 0=--+≠

（注意k 和m 都要变号,n 不变号）

②. 关于直线y h =（h 是常数）对称.根据轴对称的性质，对称点的纵坐标和的一半等于h ，

即，对称点的纵坐标之和 =2h .若原抛物线配方成()()2

y a x m n a 0=++≠，则其关于直线x k =（k 是常数）对称的抛物线应为()()'2

y 2h y a x m n a 0=-=++≠，即()()'2y a x m n 2h a 0=-+-+≠

（注意a 和n 都要变号, h 不变号）

例.下面的图是在《几何画板》中制作的抛物线()2y x 14=--自动生成的对称抛物线（红色）：

点评：利用“对称式”求二次函数的解析式关键是掌握对称的规律，是否变号如何加减.在

一些综合解答题的非关键步骤中，若要用关于某某对称的抛物线解析式，可以直接给出.

追踪练习：

1、分别写出．．．．

抛物线2y x 4x 1=-+-在坐标系中关于下列条件对称的抛物线解析式： ⑴.x 轴；⑵.y 轴；⑶.原点；⑷.直线x 3=；⑸.直线y 2=-.

2、若抛物线()2y a 3x 4x b 2=-+-+与抛物线2y 2bx 4x a =+-关于x 轴对称，求a b 、的值.

3、若抛物线()2y m 1x 4x n 2=++++与抛物线()2y n 2x 4x m 5=-+-+关于原点轴对称，求m n 、的值.

郑宗平 2015/8/27