《二项式定理》导学案2
高中数学《二项式定理》导学案
第一章计数原理第三节二项式定理（第1课时）一、学习目标1.理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.3.培养学生的自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简洁和严谨.【重点、难点】二项式定理；二项式定理的性质.二、学习过程【情景创设】二项式定理研究的是(a+b)n的展开式,如:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=?,(a+b)4=?,(a+b)100=?,那么(a+b)n的展开式是什么?这就是本节课我们将要学习的内容.【导入新课】问题1:(1)二项式定理:(a+b)n= (n∈N+).(2)错误!未找到引用源。
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= (n∈N+).问题2:二项展开式的通项和二项式系数在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式,展开式的第r+1项为(r=0,1,2…n),其中的系数错误!未找到引用源。
(r=0,1,2…n)叫作.问题3:使用二项展开式的通项要注意的问题①通项T r+1是第项,不是第r项;②通项T r+1的作用:处理与、、、等有关的问题.③二项展开式中二项式系数与展开项的系数是不同的概念.如:(a+2b)3=错误!未找到引用源。
a3+错误!未找到引用源。
a2·(2b)+错误!未找到引用源。
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(2b)3=a3+6a2b+12ab2+8b3,第三项的二项式系数为,第三项的系数为.问题4:使用二项式定理需要注意的问题二项式定理展开式中的a和b的位置不能颠倒,且包括a,b前面的,而且a的次数逐渐,b的次数逐渐,每一项的次数都为.答案：问题1:(1)错误!未找到引用源。
a n+错误!未找到引用源。
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1.3.1二项式定理(导学案)
百度文库 - 让每个人平等地提升自我！111§1.3.1 二项式定理一、学习目标1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程 二、新知探索引入：二项式定理研究的是nb a ）（+的展开式（一）探究3）（b a + 、4）（b a +的展开式 问题1：（a 1+ b 1）(a 2+b 2) (a 3+ b 3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 问题2：将上式中，若令a 1=a 2=a 3=a, b 1=b 2= b 3=b,则展开式又是什么？ 合作探究1：合并同类项后，为什么a 2b 的系数是3？ 问题3：4）（b a +的展开式又是什么呢？ 结论：4）（b a += C 04 a 4+ C 14 a 3b+ C 24 a 2 b 2+ C 34 a b 3+ C 44b 4（二）猜想、证明“二项式定理”问题4：nb a ）（+的展开式又是什么呢？ 合作探究2: (1) 将nb a ）（+展开有多少项？ （2）每一项中，字母a ，b 的指数有什么特点？ （3）字母“a ”、“b ”指数的含义是什么？是怎么得到的？ （4）如何确定“a ”、“b ”的系数？二项式定理：n b a ）（+=_____________________________________________________________(*N n ∈)(三)归纳小结：二项式定理的公式特征 （1）项数：_________项；（2）次数：字母a 按降幂排列，次数由____递减到____；字母b 按升幂排列，次数由___递增到___； （3）二项式系数：下标为___，上标由___递增至___；（4）通项:T k+1= ____________；指的是第k+1项，该项的二项式系数为_______；（5）公式所表示的定理叫___________，右边的多项式叫做nb a ）（+的二项展开式。
高中数学 1.3.1《二项式定理》导学案 新人教A版选修2-3
高中数学选修2-3 1.3.1《二项式定理》导学案姓名: 班级: 组别: 组名: 【学习目标】1.能记住二项式定理，并说出二项式定理中的公式特征2.会应用二项式定理解决简单问题【重点难点】重点：二项式定理中的公式特征难点：二项式定理的应用【学法指导】阅读教材、探究规律、分析例题、达标训练【知识链接】1．分类计数原理和分步计数原理2．排列、组合公式【学习过程】阅读教材第29页至第30页例1上面的内容，回答下列问题知识点一：探究（a+b）n的展开式问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？（a+b）4=问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？（1）将（a+b）n展开有多少项？（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？（3）二项式定理：()=+nba________________________________________________________________________阅读教材第30页例1至第31页的内容，回答下列问题知识点二：公式的运用【典例精析】例1.求6)12(x x -的展开式.分析：为了方便，可以先化简后展开.例2.①已知二项式10323⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，求展开式的第4项的二项式系数及第4项的系数； ②求n x x )2(2-的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1 （1）求n 的值； （2）求展开式中含23x 的项.小结：（1）某项的二项式系数及某项的系数的区别（2）求展开式中指定项的方法例3.已知在nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-333的展开式中，第6项为常数项, （1）求含2x 的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项.小结：求展开式中有理项的方法【基础达标】A1．在()103-x 的展开式中，6x 的系数为 （） A ．610C 27- B ．410C 27 C ．610C 9- D ．410C 9A2．已知（na a )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n 是 （）A ．10B ．11C ．12D ．13B3．92)21(x x -展开式中9x 的系数是 .B4.1231⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中常数项为 .C5. ()()10311x x +-的展开式中，含5x 项的系数是 .D6. 若()100a x +的展开式中98x 的系数是9900，求实数a 的值.【课堂小结】我收获的知识有：我积累的方法有：【当堂检测】A1.求（2a +3b ）6的展开式的第3项.B2.写出n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3321的展开式的第r+1项.B3.（x-1）10的展开式的第6项的系数是（ ）.A.610CB.610C - C.510C D.510C - 【学习反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是。
二项式定理导学案
二项式定理一、【学习内容】用通项公式求二项展开式的系数、常数项。
二、【学习目标】1、从特殊到一般理解二项式定理，掌握通项公式；2、正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念；3、培养数学能力，获得成功体验。
三、重点、难点：二项式定理及其通项公式的灵活运用。
四、【学习过程】（一）引入当n=2，3时，写出na)(+的展开式。
b2a+=_______________________________________(b)3a+= ______________________________________)(b思考：①展开式中有哪些类型的项？这些类型的项是如何得到的？②展开式中各项的系数代表什么？（二）自主学习1、二项式定理①=+n b a )（ 这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的________，它有______项，各项的系数_________叫二项式系数。
② 叫做二项展开式的通项，用 表示，即通项_______________；它表示展开式的第 项。
2、在二项定理中，令,,1x b a ==则n x )1+（= 3、试一试：=+6)1(x ________________________ 。
（1）展开式共有_____ 项，（2）展开式的通项公式是 ____________ ，（4）展开式中第4项的二项式系数是 ______，第4项系数是_______。
（三）小组合作1、求5)21(x -展开式的第4项？2、求5212）（xx -的展开式中，第3项的系数是多少？展开式的第3项的二项式系数是多少？3、求621）（xx +的展开式中，3x 的系数是多少？（四）大组交流1、求72(）xx x -的展开式中，4x 的系数是多少？2、求5）（x a +的展开式中，2x 的系数是10，则实数a 的值是多少？3、求5)12)((xx x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项是多少？（五） 成果展示 求522)11)(2(-+x x 的展开式中，常数项是多少？（六）总结反思 1、二项式定理2、 思想方法（七）作业：习题1.3第2题。
二项式定理(二)教案
二项式定理(二)教案教案标题：二项式定理(二)教案教学目标：1. 理解二项式定理的概念和公式。
2. 掌握二项式定理的应用方法，包括二项式展开和二项式系数的计算。
3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
教学准备：1. 教师准备：教师课件、二项式定理的相关练习题、黑板、粉笔等。
2. 学生准备：学生课本、笔记本、铅笔、橡皮等。
教学过程：Step 1：导入新知1. 教师通过提问和复习，回顾上节课所学的二项式定理的概念和公式。
2. 引导学生回忆二项式定理的应用场景，如多项式的展开和二项式系数的计算。
Step 2：学习新知1. 教师通过示例和解析，详细讲解二项式定理的应用方法。
2. 引导学生理解二项式定理的展开原理，如二项式系数的计算公式。
3. 教师提供多个练习题，让学生进行实际操作和计算，巩固二项式定理的应用技巧。
Step 3：拓展应用1. 教师引导学生思考和讨论，探索二项式定理在实际问题中的应用。
2. 教师提供相关实际问题，让学生运用二项式定理解决问题，并进行讨论和分享。
Step 4：归纳总结1. 教师帮助学生总结和归纳二项式定理的重要概念和应用方法。
2. 教师提供相关练习题，让学生进行自主练习和巩固。
Step 5：作业布置1. 教师布置相关作业，要求学生进行二项式定理的练习和应用题目。
2. 鼓励学生在作业中思考和解决问题，培养学生的独立思考和解决问题的能力。
Step 6：课堂小结1. 教师对本节课的重点内容进行总结和回顾。
2. 引导学生提出问题和疑惑，解答学生的疑问。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够理解和掌握二项式定理的概念、公式和应用方法。
同时，通过训练和实践，学生的逻辑思维和数学推理能力也得到了培养和提升。
在教学过程中，教师应注重引导学生思考和解决问题的能力，让学生在实际操作中发现问题、解决问题，提高学生的学习主动性和自主学习能力。
二项式定理优秀导学案
二项式定理教案一、教学目标：1．知识技能：（1）了解二项式定理是代数乘法公式的推广及推导过程；（2）理解并掌握二项式定理。
2．过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式3．情感、态度与价值观培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨二、教学重点、难点重点：用计数原理分析4)(b a +的展开式得到二项式定理。
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。
三、教学过程（一）问题引入：1.在n =1, 2, 3时，写出并研究()nb a +的展开式. ()1b a += b a + ()2b a += ()()b a b a ++=222b ab a ++， ()3b a +=()()()b a b a b a +++ 322333b ab b a a +++=2.思考：))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+= 问题：1)．4)(b a +展开后各项形式分别是什么？4a b a 3 22b a 3ab 4b2)．各项前的系数代表着什么？各项前的系数 就是在4个括号中选几个取b 的方法种数3)．你能分析说明各项前的系数吗？每个都不取b 的情况有1种，即04c ,则4a 前的系数为04c恰有1个取b 的情况有14c 种，则b a 3前的系数为14c恰有2个取b 的情况有24c 种，则22b a 前的系数为24c恰有3个取b 的情况有34c 种，则3ab 前的系数为34c恰有4个取b 的情况有44c 种，则4b 前的系数为44c则 44433422243144044)(b c ab c b a c b a c a c b a ++++=+（二）知识新授1.二项展开式定理：()+----∈++++++=+N n b a C b a C b a c b a c b ac a c b a n n n m m n m n n n n n n n n n n 0333222110)( 右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式m m n m n b a c -叫做二项展开式的通项，记作1+m T 即1C m n m m m n T ab -+= n n m n n n nc c c c c ,......,,......,,,210 叫做二项式系数注1）．二项展开式共有1+n 项，每项前都有二项式系数2）．各项中a 的指数从n 起依次减小1，到0为此各项中b 的指数从0起依次增加1，到n 为此特例：当x b a ==,1时有：n n n n r r n n n n x xc x c x c x c x +++++++=+--11221......1)1( 2. 二项式定理(公式)的特点（1）二项式系数规律：n n n n n C C C C ,,,,210（2）指数规律：对于a 为降幂排列，即01,,,a a a n n -；对于b 为升幂排列，即 n b b b ,,,10 ；每一项中b a ,的次数之和都是()()0,1,,1, -==++n n r n r r n（3）项数规律：展开式共有n+1项四、应用（例题）例1 求51⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的二项展开式. 解50554145323523251415050551111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x=53351510105xx x x x x +++++ 练习1 写出()42y x -的二项展开式.例2 求91()x x-的二项展开式中3x 的系数. 解 展开式的通项为()m m m mm m m x C x x C T 29999111--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. 依据题意，有329=-m .解得 3=m .所以，3x 的系数是()()84123789113393-=⨯⨯⨯⨯⨯-=-C . 例3 （1）求7(12)x +展开式的第4项；（2）求第4项的二项式系数及第4项的系数. 解 展开式的通项为37333333177C 1(2)C 2T x x -+=⨯⨯=⨯⋅33358280x x =⨯=.所以，第四项为3280x（2）第4项的二项式系数为3537=C ；第4项的系数 2802133737=⨯⨯-C注意:二项式系数为)2,1,0(n m C m n =项的系数为：二项式系数与数字系数的积. 练习2 (1)求6(23)a b +展开式的第3项.(2) 10(1)x -的展开式的第6项的系数（ ）.A.610CB.610C -C.510CD.510C -。
高中数学 1.5二项式定理导学案 苏教版选修2-3
1.5 二项式定理1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n an －1b ＋…＋C r n an －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)． 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a ＋b )n的二项展开式，它一共n ＋1项，其中C r n a n －r b r 叫做二项展开式的第r ＋1项(也称通项)，用T r ＋1表示，即T r ＋1＝C r n an －r b r. C r n (r ＝0,1，…，n )叫做第r ＋1项的二项式系数．预习交流1你是如何理解和记忆二项式定理的？提示：二项式定理是一个恒等式，左边是二项式幂的形式，右边是二项式的展开式，各项的次数都等于二项式的幂的次数为n ；字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0；字母b 按升幂排列，次数由0递增到n .2．二项式系数的性质及应用一般地，(a ＋b )n 展开式的二项式系数C 0n ，C 1n ，…，C nn 有如下性质：①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1；③当r ＜n －12时，C r n ＜C r ＋1n ，当r ＞n －12时，C r ＋1n ＜C r n ；④C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .预习交流2如何说明C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n ·C nn ＝0.提示：利用赋值法，令公式中的a ＝1，b ＝－1，展开就会得到上式．一、二项式定理求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．思路分析：直接利用二项式定理展开，注意每一项都符合通项公式，也可先将原式变形后再展开．解：解法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋C 14(3x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44(3x )0⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 解法二：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝ 3x ＋1 4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.求二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 10的展开式中的常数项．解：设第r ＋1项为常数项，则10C r (x 2)10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝10C r5202r x -·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r (r ＝0,1，…，10)，令20－52r ＝0得r ＝8，所以第9项为常数项，常数项为C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝45256.利用二项式定理求展开式中某特定项，通常的做法是先确定通项公式中的r 的值或取值范围，但要注意区分二项式系数、项的系数及项的关系．二、二项式系数的性质及应用如果(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝__________. 思路分析：比较展开式与a 1＋a 2＋…＋a 7结构，会发现当x ＝1时，含有a 1＋a 2＋…＋a 7，即(1－2)7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1，从而只要知道a 0即可．答案：－2解析：令x ＝0得(1－2×0)7＝a 0，∴a 0＝1.再令x ＝1，则有(1－2×1)7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7， ∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－a 0＝－1－1＝－2.设(1－2x )2 012＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 012x 2 012(x ∈R )． (1)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011的值．(2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 012|的值．解：(1)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012＝32 012.①令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 012＝(－1)2 012＝1.②由①②，得2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011)＝1－32 012，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011＝1－32 0122.(2)∵T r ＋1＝2012C r 12 012－r·(－2x )r＝(－1)r2012C r (2x )r，∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 012|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012＝32 012.求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值需根据展开式系数的特征来定，一般地，多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n的各项系数和为f (1)，奇数项系数和为f 1 －f －1 2，偶数项系数的和为f 1 ＋f －12.1．⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值为__________．答案：5解析：T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r ＝2n －r ·C r n ·x 3n －5r .令3n －5r ＝0，又∵0≤r ≤n ，r ，n ∈Z ，∴n 的最小值为5.2．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是__________． 答案：2解析：(1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x ＋12x ＋8x x )(1－3x )5，故(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中含x 的项为1×C 35(－3x )3＋12x C 05＝－10x ＋12x ＝2x . 3．⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于__________．答案：2解析：T r ＋1＝5C rx r⎝ ⎛⎭⎪⎫a x5－r ＝5C r a 5－r x 2r －5，令2r －5＝3，∴r ＝4.∴C 45·a ＝10，解得a ＝2.4．在⎝⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有多少项？解：T r ＋1＝20Cr (32x )20－r⎝⎛⎭⎪⎫－12r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22r ·(32)20－r ·20C r ·x 20－r. ∵系数为有理数，∴(2)r与2032r -均为有理数．∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除． ∴r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20， ∴r ＝2,8,14,20，∴符合题意的有4项．5．m ，n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．解：由题设知m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N *， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝18，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝17，…⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝1. x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171.∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156.。
高中数学 1.3.1二项式定理导学案2(无答案)新人教b版选修2-3
§1.3.1（2）二项式定理学习目标1.熟悉二项式定理的内容；学习过程【任务一】基础知识回顾二项式定理得内容=+n b a )(=+1r T【任务二】典型例题分析例1．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系数例2．已知n xx )2(2-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项例3.证明：n n n n n n C C C C 2210=+++例4．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++ （1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++.【任务二】课后作业1.62)的展开式中2x 的系数是（A ）120- （B ）120 （C ）60- （D ）60 2.41()x x -展开式中的常数项是 （A ）6 （B ）4 （C ）-4 （D ）-63.61()x x -的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 4.在251()x x-的展开式中，x 的系数为5.已知5(1)ax +的展开式中3x 的系数是10，则实数a 的值是6.61()x x+的二项展开式中，常数项为___ ___．7.5(12)x -的展开式中3x 项的系数为_ __．（用数字表示）8.5(21)x -的展开式中3x 项的系数是______．（用数字作答）9.若21()n x x+展开式中的二项式系数和为64，则n 等于 ，该展开式中的常数项为.10.91⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含5x 的项的系数为 (用数字作答).。
高中数学第一章计数原理5二项式定理导学案北师大版选修2_320171130327
§5 二项式定理自主整理1.(a+b)n=_______________________________________________________________.这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a+b)n 的二项展开式，（a+b)n的二项展开式有_______________项，其中各项的系数_______________称为二项式系数，_______________称为二项展开式的第_______________项，又称为二项式通项. 2.在二项式定理中，如果设a=1,b=x ，则得到公式：(1+x)n=____________________________________________________________.3.当n 依次取1,2,3,…时，(a+b)n展开式的二项式系数如下图所示：图中所示的表叫作二项式系数表，它有这样的规律：①表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数字的_______________，即_______________；②与首末两端“等距离”的两个二项式系数_______________，即_______________. 高手笔记1.二项展开式的项数为n+1项.2.各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n.3.字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.4.二项式的系数从C 0n ,C 1n ,一直到C 1-n n ,C nn .5.T r+1=C r n a n-r b r,可以表示（a+b)n的二项展开式中的任意一项，只要r 确定.6.T r+1是（a+b)n的二项展开式的第r+1项，而不是第r 项.7.二项式系数与项的系数是不同的，如(a+bx)n(a 、b∈C )的展开式中，第r+1项的二项式系数是C r n ，而第r+1项的系数为C .rr n r n b a- 名师解惑1.如何应用二项式的通项公式解题？剖析：通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数.（1）运用通项公式T r+1=C rr n r nb a -解题，一般都需先转化为方程（组）求出n 、r ，然后代入通项公式求解.（2）求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r ，再求所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和r 的取值范围及它们之间的大小关系. 2.二项展开式的性质剖析：（1）如果n 是偶数，则中间一项（第2n+1项）的二项式系数最大；如果n 为奇数，则中间两项（第n+21项与21+n +1项）的二项式系数相等并且最大. （2）所有二项式系数的和等于2n，即C 0n +C 1n +…+C nn =2n.(3)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等.即C 0n +2n C +…=C 1n +C 3n +…=2n-1.3.运用二项式定理解题时有哪些常用的方法？ 剖析：（1）赋值法.在(a+b)n展开式中令a=b=1，得C 0n +C 1n +…+C n n =2n;令a=1,b=-1得C 0n -C 1n +C 2n -C 3n + 0∴C 0n +C 2n +C 4n +…=C 1n +C 3n +C 5n +…=2n-1.这种由一般到特殊的方法是“赋值法”.（2）利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧. 讲练互动【例1】写出(x-y)11的展开式中：（1）通项T r+1;(2)二项式系数最大的项；（3）项的系数绝对值最大的项；（4）项的系数最大的项；（5）项的系数最小的项；（6）二项式系数的和；（7）各项的系数的和. 分析：本题的最大特点是展开式的二项式系数与项的系数有的相同，有的仅差一负号.因此，系数最大和最小的项可直接利用二项式系数最大和最小的项来解决.二项式系数的和可利用和为2n这一性质求解；各项系数的和可利用二项式定理或赋值法求解.解：（1）T r+1=(-1)r·C r11x11-r y r.(2)展开式中二项式系数最大的项为中间两项T 6=-C 511x 6y 5,T 7=C 611x 5y 6.(3)由于本题中系数绝对值最大的项就是二项式系数最大的项，因此，系数绝对值最大的项也是中间两项T 6=-C 511x 6y 5,T 7=C 611x 5y 6.(4)由（3）知，项的系数最大的项是T 7=C 611x 5y 6. (5)由（3）知，项的系数最小的项是T 6=-C 511x 6y 5.(6)展开式中，二项式系数的和为C 011+C 211111C ++…+C 1111=211.(7)展开式中，各项系数的和为C 311211111011C C C -+-+…+(-1)11C 1111=(1-1)11=011=0.绿色通道:本题是关于二项式系数性质应用的典型示例.此题起点较低，却包含了各种题型，在学习中应予以重视. 变式训练1.求（x 2-x 21)9展开式中的①第6项;②第3项的系数;③含x 9的项;④常数项. 解：①T 6=C 59(x 2)4(x 21-)5=1663-x 3.②T 3=C 29 (x 2)7(x21-)2=9x 12,∴第3项系数为9. ③首先利用通项公式去求含x 9的项是第几项，再求这一项，即知系数.设第r+1项，含x 9，则T r+1=C r9(x 2)9-r(x21-)r， x 的幂指数为2(9-r)-r=9,∴r=3.∴含x 9项为第4项，T 4=C 39（x 2)6(x 21-)3=x21-x 9. ④设常数项为第r+1项，T r+1=C r9(x 2)9-r ·(x21-)r ,则x 的幂指数为18-3r=0,即r=6,∴第7项为常数项，T 7=C 69（x 2)9-6(x 21-)6=1621.【例2】求(x 2+3x+2)5的展开式中含x 的项.分析：由x 2+3x+2=(x+1)(x+2),利用二项展开式求解.也可以利用组合数及乘法原理.解法一：（x 2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,含x 的项是(x+1)5展开式中的一次项与（x+2)5展开式中的常数项之积和(x+1)5展开式中的常数项与(x+2)5展开式中的一次项之积的代数和.∴含x 的项为C 45x·C 55·25+C 55·1·C 45x·24=240x.解法二：（x 2+3x+2)5展开式中的一次项是5个括号中有1个括号内取3x ，其他4个括号内取常数项2相乘得到的.即C 15·3x·C 44·24=240x.绿色通道:对于二项式的展开式问题有两种思路：一是转化为二项式（可因式分解）；二是利用组合及乘法原理（不能因式分解）.通常第二种思路更简捷. 变式训练2.求（1+x)6(1-x)5展开式中含x 3项的系数.解：（1+x)6(1-x)5=(1+x)(1-x 2)5. 在（1-x 2)5展开式中含x 2的项是C 15·15-1(-x 2)1,故(1+x)6(1-x)5的展开式中含x 3项的系数为C 15（-1）=-5.【例3】设(3x-1)8=a 8x 8+a 7x 7+…+a 1x+a 0.求： （1）a 8+a 7+…+a 1; (2)a 8+a 6+a 4+a 2+a 0.分析：有关求系数和的问题，一般采用“赋值法”，令二项式中的项取一个或几个值，得到一个或几个等式，然后再根据需要求得结果. 解：令x=0,得a 0=1.(1)令x=1，得(3-1)8=a 8+a 7+…+a 1+a 0①∴a 8+a 7+…+a 2+a 1=28-a 0=256-1=255. （2）令x=-1，得(-3-1)8=a 8-a 7+a 6…-a 1+a 0，②∴①+②得28+48=2(a 8+a 6+a 4+a 2+a 0), ∴a 8+a 6+a 4+a 2+a 0=21 (28+48)=32 896.绿色通道:“赋值法”的模式揭示了人们由“一般认识到特殊认识”的重要思维理念，揭示了“特殊存在于一般之中”的辩证关系. 变式训练3.求（1+2x+x 2)10(1-x)5展开式中各项系数的和. 解：（1+2x+x 2)10(1-x)5=(1+x)20(1-x)5=(C20+C 120x+C 220x 2+…+C2020x 20)［C 05+C 15(-x)+C 25(-x)2+…+C 55(-x)5］=A 0+A 1x+A 2x 2+…+A 25x 25.对于x 取任意给定的数，等式左右两边的值总相等，令x=1，则0=A 0+A 1+A 2+…+A 25.∴展开式中各项系数和为0.【例4】求（1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10展开式中x 2项的系数.分析：把(1+x)n (2≤n≤10且n∈N )展开，找全x 2项进行系数合并再进行处理. 解：∵（1+x)2=1+C 12x+C 22x 2，∴x 2的系数为C 22，(1+x)3=1+13C x+C 23x 2+C 33x 3.∴x 2的系数为C 23.同理：（1+x)4展开式中x 2项系数为C 24…(1+x)10展开式中x 2项系数为C 210.∴x 2项的系数为C 22+C 23+C 24+…+C 210=C 311=165.∴展开式中x 2项系数为165.绿色通道:综合运用二项式定理问题，灵活运用展开式的通项公式进行求解. 变式训练4.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6展开式中，x 2项的系数是______________.（用数字作答）解：C 22+C 23+…+C 26=C 33+C 23+…+C 26=C 37=35.【例5】用二项式定理证明： 32n+2-8n-9是64的倍数（n∈N ).分析：①变为二项式形式；②与64联系上. 证明：32n+2-8n-9=9n+1-8(n+1)-1=(8+1)n+1-8(n+1)-1=8n+1+C 11+n 8n+C 21+n 8n-1+…+C 11-+n n 82+n n +nn 1+8+C 12++n n -8(n+1)-1=82(8n-1+C 11+n +18n-2+…+C 11-+n n ).∵括号内每一项都是自然数，和为自然数，∴上式是64的倍数，即32n+2-8n-9是64的倍数.绿色通道:利用二项式定理可以求余数和证明整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系. 变式训练5.9192除以100的余数是多少？解法一：9192=(100-9)92=10092-C 192·10091·9+C 292·10090·92-…-C 9192·100·991+992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数.∵992=(10-1)92=1092-C192·1091+C292·1090-…+C9092·102-C9192·10+(-1)92=1092-C192·1091+C292·1090-…+C9092·102-920+1=(1092-C192·C9192+C292·1090-…+C9092·102-1 000)+81，∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.解法二：∵9192=(90+1)92=C092·9092+C192·9091+…+C9092·902+C9192·90+1，由于前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，由于C9192·90+1=8 281=8 200+81，∴被100除余81.。
1.3二项式定理导学案
1.3.1 二项式定理 导学案设计时间：2015年4月10 日 设计人 ：雷小芹 审核人：李军 备课组长：杨长路学习目标：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式能解决二项展开式有关的简单问题 学习重点：掌握二项式定理及展开式的通项公式学习难点：二项式定理的推导和通项公式的运用课前导学：一、二项式定理及相关概念1.二项式定理：(a+b)n=_______________________________.2.展开式：等号右边的多项式叫做(a+b)n 的___________，展开式中一共有______项.3.二项式系数：各项的系数______________二、二项展开式的通项1.(a+b)n 的通项：(a+b)n 展开式中第k+1项T k+1=_____________称为二项展开式的通项公式.2.(a －b)n 的通项：将-b 看成b 代入二项式定理中，得到(a －b)n ,展开式中第k+1项 T k+1=____________.判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响.( ) (2) 是(a+b)n 展开式中的第k 项.( ) (3)(a －b)n 与(a+b)n 的二项式展开式的二项式系数相同.( )思考：二项式系数与项的系数有什么区别？二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的值有关．【知识点拨】1.二项展开式的结构特征(1)项数：共有n ＋1项.(2)二项式系数：依次为(3)二项式系数 与展开式中项对应的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系 数有时可以为负.k n k kn C a b －012k nn n n n n C C C C C .⋯⋯，，，，，，k n C(4)每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幂、b 的升幂排列展开.2.对通项公式的理解(1)是第k+1项，而不是第k 项. (2)通项公式 主要用于求二项式的指数n 、求满足条件的项或系数，根据不同问题选择不同的解法.【典型例题】题型一 二项式定理的应用1.设S ＝(x-1)4＋4(x-1)3＋6(x-1)2＋4(x-1)＋1，它等于( )A.(x-2)4B.(x-1)4C.x 4D.(x ＋1)42.用二项式定理展开变式训练：用二项式定理展开题型二 利用通项公式求某些特定项或其系数1. 展开式中的常数项为( )A.80B.-80C.40D.-402.若的展开式中x 4的系数为7，则实数a=________. 求二项展开式的特定项常见题型及处理措施(1)求第k 项. (2)求常数项.对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项).(3)求有理项.对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的字母的指数恰好都 是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于 整数，再根据数的整除性来求解.(4)求整式项.求二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求 解方式与求有理项一致．k n k k k 1n T C a b +=－k n k kk 1n T C a b +=－2532(x )x -8(x k 1n k 1k 1k n T C a b .-+-－＝题型三 较复杂的展开式与公式逆用1.求42)43(-+x x 的展开式中含x 的系数2. 若［x 2-(a-1)x-1］5的展开式中没有x 的奇次幂项，则含x 8项的系数为( )A.5B.-5C.10D.-103．（x-1）5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=__________. 题型四 二项式定理与整除问题1. 试判断7777-1能否被19整除？2.9192除以100的余数是___________3求证：32n+2-8n-9(n ∈N *)能被64整除. 当堂检测1.若(a ＋b)n的展开式的第4项和第6项的二项式系数相等，则该展开式的项数是( )A.8B.9C.10D.112.已知f(x)=｜x+2｜+｜x-4｜的最小值为n,则二项式展开式中含x 2项的系数为( )A.15B.-15C.30D.-303.(1＋2x)5的展开式中，含x 2项的系数等于( )A.80B.40C.20D.104.若 则A －B ＝__________.5. 展开式的常数项为______.6.的展开式中x 3的系数为A,常数项为B ，若B=4A,求a 的值. BAB 128 2268 2725436163452777777A 3C 3C 3C 3B C 3C 3C 31+⋅⋅⋅⋅⋅⋅＝＋＋，＝＋＋＋，9x (3+6(x (a 0)->。
二项式定理复习课导学案
二项式复习课导学案 编制：迟德龙一、学习目标： 二、知识梳理： 1．二项式定理公式()na b += 叫做二项式定理，右边的多项式叫做()n a b +的 ，它一共有项，其中 叫做二项展开式的第1r +项，也称为通项，用1r T +表示，即1r T +＝ 2．二项式系数的性质()n a b +展开式的二项式系数01,,...nn n n C C C 有如下性质：（1） （2） （3） （4）（5）（6）3、赋值法求系数和 四、例题精选：考向一、展开二项式或公式逆用例1（1）（2009北京卷理）若5(12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b +=（ ）A ．45B ．55C ．70D ．80 （2）.计算:)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345-+-+-+-+-x x x x x = . 考向二、求指定项例2（1）（2009浙江卷理）在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10 C ．5- D ．5（2）（2009四川卷文）61(2)2x x-的展开式的常数项是 （用数字作答）（3）．(20XX 年高考天津卷理科5)在62x x ⎛⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154- B ．154 C ．38- D ．38例3（1） (20XX 年高考山东卷理科14)若6(a x 展开式的常数项为60，则常数a 的值为 . （2）(20XX 年高考浙江卷理科13)（13）设二项式)0()(6>-a xa x 的展开式中3x 的系数为A,常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是 。
例3（1）(2009湖南卷理)在323(1)(1)(1x x x +++++的展开式中，x 的系数为_____（2）（2001上海理，8）在代数式（4x 2－2x －5）（1＋21x）5的展开式中，常数项为 ． （3）（2002全国理，16）（x 2+1）（x －2）7的展开式中x 3项的系数是 . （4）（1995全国，6）在（1－x 3）（1+x ）10的展开式中，x 5的系数是（ ）A.－297B.－252C.297D.207例4、（1）（20XX 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））使得()3nx n N n x x +⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7（2）（20XX 年高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8考向三、求系数问题例5.已知7722107)21(x a x a x a a x ++++=-求（1）7210a a a a ++++ （2）721a a a +++（3）7531a a a a +++ （4）6620a a a a +++（5）26620)(a a a a +++-27531)(a a a a +++ 变式训练1、在10)32(y x -展开式中（1）求二项式系数和 （2）各项系数和（3）奇数项、偶数项的二项式系数和 （4）奇数项、偶数项的数和2、(20XX 年高考安徽卷理科12)（12）设()x a a x a x a x 2122101221-1=+++，则a a 1011+= .3、（1999全国理，8）若（2x ＋3）4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋ax 4，则（a 0＋a 2＋a 4）2－（a 1＋a 3）2的值为（ ）A.1B.－1C.0D.2 4、（2000年上海，9）在二项式（x －1）11的展开式中，系数最小的项的系数为 .5. 设(x 2+1)(2x+1)9=a 0+a 1(x+2)+a 2(x+2)2+…+a 11(x+2)11,则a 0+a 1+a 2+…+a 11= .五、能力提高1.（1997全国，16）已知（2x x a -）9的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为_____. 2.（1997上海，11）若（3x +1）n （n ∈N *）的展开式中各项系数的和是256，则展开式中x 2的系数是_____.3.（1995上海，13）若（x +1）n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋…＋1（n ∈N *），且a ∶b ＝3∶1，那么n =_____.4.若(x-2)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5= .(用数字作答) f(x)=a 0+a 1(1+x)+a 2(1+x)2+…+a 5(1+x)5,其中a 0,a 1,a 2,,a 5为实数,则a 3= .4．若6622106x a x a x a a )mx 1(+⋯+++=+，且63a a a a 6321=+⋯+++，则实数m 的值是__ 5. 5432)1x ()1x ()1x ()1x ()1x (-+---+---的展开式中2x 的系数 .6．如果(nx 的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是 .7.（2009重庆卷理）282()x x+的展开式中4x 的系数是（ ）A ．16B ．70C ．560D ．11208.(20XX 年高考重庆卷理科4) ()13nx +（其中n N ∈且6a ≥）的展开式中5x 与6x 的系数相等，则n =（A ）6 (B)7 (C) 8 (D)99. (20XX 年高考广东卷理科10)72()x x x-的展开式中，4x 的系数是______ (用数字作答).10、（20XX 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a （ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-1 11．（20XX 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））()()8411+x y +的展开式中22xy 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．16813．（20XX 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））6x ⎛⎝ 的二项展开式中的常数项为______.214、（20XX 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ,则=A ________.15、（20XX 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =16.（2002上海春，5）若在（xx 15-）n的展开式中，第4项是常数项，则n = . 9．设102100121013579(21),x a a x a x a x a a a a a -=++++++++则的值（ ）A ．10132+B ．10132-C ．10312-D ．—10132+。
《二项式定理》导学案
课题：二项式定理学习目标：1.通过代数的乘法，归纳总结出n b a )(+的展开式；2.会求二项展开式，并能运用二项展开式的通项解决简单问题。
学习重点：二项式定理学习难点：二项式定理的应用学习过程：一、情境问题情境：运用代数乘法展开下列各式=+2)(b a =+3)(b a =+4)(b a 问题：（1）?)(100=+b a ； （2）?)(=+n b a二、新知探究思考1：上述展开式的项在形式上什么特点？思考2：上述展开式的项和系数如何产生的？思考3：能否给出展开式n b a )(+的一般性的结论？思考4：在解决上述三个“思考”的过程中，你还有什么发现？三、建构数学1.二项式定理2.二项展开式的通项3.二项式系数与项系数四、数学运用例题1.展开5)21(x +与5)21(x -练习1.（1）求7)21(x +的展开式的第4项系数和第4项的二项式系数；（2）8)1(x x -的展开式中5x 的系数为例题2.求9)33(xx +的展开式常数项以及中间两项；练习2.求52)32(xx +的展开式中的一次项.例题3.已知n x x )1(66+展开式中的第二、三、四项的二项式系数成等差数列（1）求n 的值；（2）此展开式中是否存在常数项，为什么？练习3.在二项式n x x )21(4+的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项．．．.思考：若今天是星期一，则1008天后的这一天是星期几？五、课堂反馈1.5)1(x +的展开式共有 项，第4项为 ， 5)1(+x 展开式中第3项为 ；2.72）（y x -的展开式中第3项系数是 ；3.10)1(-x 的展开式中第6项的二项式系数是 ；4.6)1(xx +的展开式中的常数项是 ； 5.若n xx )1(32+展开式的各项系数之和为32，则=n . 六、课堂小结七、课后作业：1、学习案及课本35P 1、4、5、6、9、10.2、预习《1.5.2 二项式系数的性质及应用》八、课后反思。
二项式定理(2)导学案
主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间：课题：第一章§5二项式定理（第二课时）【学习目标】1.掌握二项式系数的四个性质。
2.灵活运用掌握展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。
【重点、难点】重点：二项式系数的性质难点：二项式系数的性质及其应用【学法指导】1、根据学习目标，自学课本p26-p27内容，限时独立完成导学案；2、用红笔勾出疑难点，提交小组讨论；3、带*号的为选做题。
【自主探究】不看不讲1、用杨辉三角展开a+b)2 = (a+b)3=(a+b)4 = (a+b)5 = (a+b)6=a) 二项式系数的性质：（1）对称性：(2)延续性、递推性：除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数之和；即（3）增减性与最大值：每一行中，二项式系数从两端向中间逐渐增大；当n 是偶数时，最大值是中间一项 ，是第 项;当n 是奇数时，最大值是中间两项 ，分别是第 项（4）二项式系数和的性质：在011*()()n n r n r r n n n n n n a b C C a b C a b C b n N --+=++++∈ 中，令a=1,b=1得二项式系数和012n n n n n C C C C ++++= ；令a=1,b=-1得024135n n n n n n C C C C C C +++=+++= 【合作探究】不议不讲1、 求（3-2x ）10展开式中二项式系数最大的项2、 n展开式中各项系数之和为243，求展开式的常数项3、 （1+2x ）n展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项4、已知n 展开式中偶数项的二项式系数之和为256，求含x 的项的二项式系数巩固提高】不练不讲1、 若21⎛⎫X + ⎪X ⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．10 B.20 C.30 D.1202、在2nX ⎛ ⎝的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 。
人教版选修 二项式定理(导学案)
§1.3.1二项式定理学习目标：1. 正确理解二项式定理及通项公式；2. 熟练地运用通项公式求指定项或有关系数；3. 通过对例题的分析、讨论、解答，进一步培养学生抽象思维和分析问题的能力以及运算能力。
知识梳理：1．二项式定理：公式()=+nb a 叫做二项式定理。
2．相关概念：(1)公式右边的多项式 叫做()nb a + 的二项展开式； (2)各项的系数 叫做二项式系数；(3)展开式中的 叫做二项展开式的通项，记作 ，它表示展开式的第 项；(4)在二项式定理中，如果设a ＝1，b ＝x ，则得到公式()=+nx 13.注意事项：(1)二项展开式中的字母b a ,不能交换位置。
即虽然()nb a +与()na b +的结果相同，但()nb a +与()na b +的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的。
如()3b a +的展开式中第2项是b a 23，而()3a b +的展开式中第2项是23ab ，两者是不同的。
(2) 二项式定理中，项的系数与二项式系数是有区别的。
二项式系数与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关；项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关。
典例精讲：典例一 ()nb a +的展开式的应用例1. 用二项式定理展开下列各式： (1)612⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x (2)()7q p +(3)()93b a + (4)722⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x(5）()321x x ++ （6） ()()4221x x x -++例2.化简下列各式： (1)()()5511x x-++ （2）42121421213232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x(3) ()()()()()151101101512345-+-+-+-+-x x x x x典例二 利用通项公式求二项展开式中的特定项或其系数 例3.（1） 求()721x +的展开式的第4项的系数； （2）求91⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中3x 的系数。
7.4.3二项式导学案(二)
7.4.3二项式导学案(二)学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与两项二项式和三项展开式简单问题.新课过程1.二项式定理及其相关概念二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n，称为二项式定理.二项式系数C k n(k＝0,1，…，n)＝C k n a n－k b k(k＝0,1，…n)通项T k＋1二项式定理(1＋x)n＝C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C k n x k＋…＋C n n x n 的特例2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)(1)对称性：C m n＝C n－m n；(2)性质：C k n＋1＝C k－1n＋C k n；考点精讲类型一两个二项式积的问题例1(1)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________.(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________.变式训练1(x2＋的展开式的常数项是________.类型二三项展开式问题例2＋1x＋的展开式中的常数项是________.变式训练2(x2－x－2)3的展开式中x3的系数为________.课堂训练1.在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，含x4y3项的系数为()A.210B.120C.80D.602.x2＋1x2－23的展开式中常数项为()A.－8B.－12C.－20D.20课堂小结课后作业1.已知(x＋2y)n(x＋y)的展开式中的系数和为162，则x－13x展开式中常数项为()A.－1B.－4C.1D.42.(1－x)2(1＋y)3的展开式中xy2的系数为()A.6B.3C.－3D.－63.(x2－3x＋2)5的展开式中，含x项的系数为()A.－240B.－120C.0D.1204.(x2－2)1＋2x5的展开式中x－1的系数为________.5.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m＝________.。
二项式定理导学案
1.3 二项式定理导学案（两课时）一、你知道本节课你要达到的要求吗？请看学习目标：掌握二项式定理有其推导方法以及二项展开式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单问题. 二、温故而知1、()()()112233a b a b a b +++新展开式中一共多少项？2、写出()3a b +的展开式：（什么是展开式：先分解因式在合并同类项再按某个字母的降幂或升幂排列）(a+b)3=________________________这种只有两个元素的展开叫做二项展开式。
三、自学能力培养从这里开始，反复阅读课本完成下列问题 问题:4()a b +的二项展开式是什么？研究：()()()()a b a b a b a b ++++展开式中：（1）全展开（每一项系数为1）共几项？（2）展开式中会出现哪些项？（展开式中每一项的系数都等于二项式的系数）则：4432234)(a b a a b a b ab b +=++++问题：每一项前面的系数各是什么？类比：(a+b)3=322333a a b ab b +++计算：2a b 在3()a b +的展开式中出现了几次？以b 来计算，2a b 中只有一个b 则出现的次数是13C 。
则40413222334444444()a b C a C a b C a b C ab C b +=++++ =_______________________________一般的，对于任意正整数*()n n N ∈，(a+b)n =____________________________________这个式子展开称为二项式展开，此公式所表示的定理称为二项式定理，右边展开后的式子称为是二项展开式。
其中各项的系数,(0,1,2)rnC r n =⋅⋅⋅称为是此项的二项式系数。
式子中r n r r nC a b -成为是二项展开式的通项，用1r T +表示，即1r n r rr n T C a b -+=。
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《二项式定理》导学案2
课前预习学案
一、预习目标
通过分析(a+b)2的展开式，归纳得出二项式定理;掌握二项式定理的公式特征并能简单应用。
二、预习内容
1、（a+b）2=
（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)=______________________________
（a+b）3=
（a+b）4=
2、二项式定理的证明过程
3、（a+b）n=
4、（a+b）n的二项展开式中共有______项，其中各项的系数______叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用T k+1表示，即通项为展开式的第k+1项：_____________________
5、在二项式定理中，若a=1，b=x，则有
（1+x）n=_______________________________________
课内探究学案
一、学习目标
1.用计数原理分析（a+b）3的展开式，进而探究（a+b）4的展开式，从而猜想二项式定理。
2.熟悉二项式定理中的公式特征，能够应用它解决简单问题。
3. 培养学生观察、分析、概括的能力。
二、学习重难点：
教学重点：二项式定理的内容及应用
教学难点：二项式定理的推导过程及内涵
三、学习过程
（一）探究（a+b）3、（a+b）4的展开式
问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？
问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？
合作探究一：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？
结论：（a+b）4= C a4+ C a3b+ C a2b2+ C a b3+ C b4
（二）猜想、证明“二项式定理”
问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？
合作探究二: (1) 将（a+b）n展开有多少项？
（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？
（3）字母“a”、“b”指数的含义是什么？是怎么得到的？
（4）如何确定“a”、“b”的系数？
二项式定理：
（三）归纳小结：二项式定理的公式特征
（1）项数：_______;（2）次数：字母a按降幂排列，次数由____递减到_____；字母b 按升幂排列，次数由____递增到______；
（3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____；
（4）通项:T k+1=__________；指的是第k+1项，该项的二项式系数为______；
（5）公式所表示的定理叫_____________，右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式。
（四）典型例题
例1 求的展开式（分析：为了方便，可以先化简后展开。
）
例2 ①的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。
②求的展开式中含的系数。