89《圆锥曲线-抛物线》基础知识--教师版

三.抛物线

注意:牢记抛物线的定义,在解题时,要善于应用几何上或代数上的意义。 1.特别注意:

1)2

y ax = 与2

2x py =这类不同形式之间的区别和对应关系

2y ax =的焦点为),41,

0(a F 准线方程为a y 41=

;2

2x py =的焦点为),2,0(p F 准线方程为2

p y -= 2)抛物线my x mx y ==2

2,的焦点,准线

mx y =2的焦点为),0,4(m F 准线为4m x -=; my x =2的焦点为),4,0(m F 准线为4m

y -=

2.参数p 的含义:焦点到准线之间的距离

3.c bx ax y ++=2

的焦点,准线,顶点,对称轴:配方得a

b c a b x a y 4)2(2

2-++= 顶点为)4,2(2a b c a b --, 对称轴a b x 2-= 焦点为)414,2(2a b ac a b F +--, 准线为a

b a

c y 4142--=

4.抛物线的重要结论:

如图所示,过抛物线px y 22

=(p>0)的焦点F 作直线l 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点。

1结论:过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 的弦长p x x AB ++=21 2结论:若直线L 的倾斜角为θ,则弦长θ

2sin 2p

AB =

焦点F 到直线L 的距离为θsin 2

⨯=

p

d 焦点三角形FAB 的面积为θ

sin .22

p S FAB

=

∆

评注:由此式可知,过焦点的弦中通径长最短。

3结论:(1)221p y y -=

(2)4221p x x = 4

3.)3(2

2121p y y x x OB OA -=+=

4结论:以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切

评注:易证得,椭圆中以焦点弦为直径的圆与相应的准线相离,双曲线中以焦点弦为直径的圆与相应的准线相交 过焦点弦AB 的端点B A ,分别作准线l 的垂线,垂足依次为11,B A ,则有下列结论:如图

5结论:连接A 1F 、B 1 F ,则 A 1F ⊥B 1F

焦点弦AB 的中点为M ,AB 的中点M 作准线l 的垂线,垂足为1M ,则有下列结论:如图

6结论:(1)AM 1⊥BM 1 (2)M 1F ⊥AB 7结论:(1)A 、O 、B 1 三点共线;

(2)B,O,A 1 三点共线;

(3)设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1,则BB 1平行于X 轴; (4)设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1,则AA 1平行于X 轴

8结论:

p

FB FA 211=+ 9结论:(1)过抛物线22(0)y px p =>上某点00(,)P x y 的切线斜率为0

;p

k y =

(2) 过抛物线2

2(0)x py p =>上某点00(,)P x y 的切线斜率为0

.x k p

=