周期信号频域分析
离散周期信号的频域表示
相位频谱
2.离散周期信号的频谱
周期单位脉冲序列 求如图所示周期为3的周期单位脉冲序列的频谱。
解：
X[m]
2
x[k]e
j2 3
mk
j2 m0
1e 3
1
k 0
x[k]
1
X[m]
1
0 12
k
0 12
m
2.离散周期信号的频谱
例：求周期为3的序列 x[k]={,0,1,1,}的频谱。
解：
X[m]
4 X2[m]
1
1
m
2π N
m
m 0,1,, N 1
时域信号不同，虚指数序列 前面的加权系数X[m] 不同。
012
k
012
m
1. 离散周期信号的频域表示
IDFS
x[k] 1 N1 X [m]e jmk
N m0
2π m
mN
m 0,1,, N 1
DFS
X[m] N1 x[k]ejmk
k 0
解：
X[m]
3
x[k]e
j2πmk 4
10 X[m]
k0
X[0] x[0] x[1] x[2] x[3] 10
X[1]
x[0]
x[1]e
j2π 4
11
x[2]e
j2π 4
12
x[3]e
j
2π 4
13
2
2j
2 2 22 2
…
…
0 123
m
X[2]
x[0]
x[1]e
j2π21 4
x[2]e
j2π22 4
解：
1
X[m] 3 x[k]ejmk
信号与系统连续周期信号的频域分析
信号与系统连续周期信号的频域分析频域分析是信号与系统中一种重要的分析方法，用于研究信号的频谱特性。
连续周期信号是一种在时间域上具有周期性的信号，其频域分析包括傅里叶级数展开和频谱图表示。
傅里叶级数展开是一种将连续周期信号分解为若干个频率成分的方法。
对于周期为T的连续周期信号x(t)，其傅里叶级数展开可以表示为：x(t) = ∑[Cn * exp( j *2πn/T * t )]其中，Cn为信号中频率为n/T的分量的振幅，j为虚数单位。
通过计算信号的傅里叶系数Cn，可以得到信号的频率成分和其对应的振幅。
在频域分析中，经常使用的一个重要工具是频谱图。
频谱图是一种将信号在频域上进行可视化展示的方法，通过绘制信号的频谱，可以直观地观察到信号的频率信息。
频谱图中的横轴表示频率，纵轴表示振幅。
对于连续周期信号，其频谱图是离散的，只有在频率为基频及其倍数的位置上有分量值。
基频是连续周期信号的最低频率成分，其他频率成分都是基频的整数倍。
频谱图中的峰值代表了信号在不同频率上的能量分布情况，而峰值的高度代表了对应频率上的振幅大小。
通过分析频谱图，可以获得信号中各个频率成分的相对强度，从而对信号进行进一步的特征提取和处理。
在实际应用中，频域分析经常用于信号处理、系统建模和通信等领域。
例如，在音频处理中，通过频域分析可以实现音频信号的降噪、音乐特征提取和音频编码等任务。
在通信系统中，频域分析可用于频率选择性衰落信道的估计和均衡、多载波调制技术等。
总结起来，频域分析是信号与系统中对连续周期信号进行分析的重要方法。
通过傅里叶级数展开和频谱图表示，可以揭示信号的频率成分及其振幅特性，为信号处理和系统设计提供依据。
信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
第四章 周期信号的频域分析
c n = c n e − jϕ n 令： &
∞ 1 ∞ jnω t & & ∴ f (t ) = ∑ cn e = ∑ Fn e jnω t 2 n = −∞ n = −∞
& = 1 c 称为复傅里叶系数。 &n Fn 2
表明任意周期信号可以表示成 e jnω t 的线性组合， & 加权因子为 Fn 。
a− k e
− jkω0t
…
+ ak e
jkω0t
k 次谐波
例4－1：已知连续时间信号 f (t ) = 1 + cos ω0t + 2sin ( 3ω0t ) 求其傅立叶级数表示式及傅氏系数 ak ∞ 1 f (t ) = ∑ ak e jkω t 解： ak = ∫ f (t )e − jkω0t dt
不满足狄里赫利条件的周期信号
f (t )
狄里赫利条件 1 信号 f (t) 在任意一 个周期 T 内绝对可积
−2
f (t ) =
1 , 0 < t ≤1 t2
不满足条件 1
1
−1
0
1
2
t
2 信号 f (t) 在任意一
f (t )
个周期 T 内，只有有 限个极大和极小值点
3 信号 f (t) 在任意一
0
T1 T / 2
T
t
−T
−T1
0
T1
T
N =5
t
取 N =1, 5, 21, 81,用有限项傅氏级 数逼近连续时间周期脉冲信号 f (t)
ˆ f (t )
吉布斯（Gibbs）现象
信号的跳变点附近出现纹波 随项数增加，波纹峰值大小不 变，但被挤向信号的间断点处 信号连续点处傅氏级数收敛于信 号本身 信号跳变点处，傅氏级数收敛于 该处左极限和右极限的平均值
周期信号的频域分析
周期信号的频域分析周期信号是指在一定时间间隔内，信号的波形和幅度重复的一种信号。
频域分析是指将一个信号从时域（时间域）转换到频域（频率域），以便更好地理解信号的频率特性和频谱分布。
f(t) = a0 + ∑(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))其中，a0为直流分量，an和bn分别为傅里叶级数的系数，ω0 =2π/T为基础角频率。
要进行频域分析，首先需要计算出信号的傅里叶系数an和bn。
计算步骤如下：1.计算直流分量a0，即信号f(t)在一个周期内的平均值。
2. 计算余弦项的系数an，使用公式：an = (2/T) * ∫(f(t)*cos(nω0t)dt)其中，∫表示对t从0到T的积分。
3. 计算正弦项的系数bn，使用公式：bn = (2/T) * ∫(f(t)*sin(nω0t)dt)同样，∫表示对t从0到T的积分。
计算出所有的an和bn之后，可以得到信号f(t)的频谱分布。
频谱是指信号在频率域上的幅度分布，可以用幅度谱和相位谱来表示。
1. 幅度谱表示信号各个频率分量的幅度大小。
幅度谱可以通过计算an和bn的幅度来得到，即幅度谱A(f) = sqrt(an^2 + bn^2)。
2. 相位谱表示信号各个频率分量的相位差。
相位谱可以通过计算an 和bn的相位差来得到，即相位谱ϕ(f) = atan(bn/an)。
通过这些计算，我们可以获得信号在频域上的频谱分布，进一步分析信号的频率特性。
频域分析的应用十分广泛。
在通信系统中，频域分析可以用于分析信号的频率偏移、频率响应等问题，为系统的调试和优化提供依据。
在音频和视频信号处理中，频域分析可以用于音频信号的均衡和滤波，视频信号的去噪和增强等。
此外，频域分析还在图像处理、生物医学信号处理等领域得到广泛应用。
总之，周期信号的频域分析是一种将信号从时域转换到频域的方法，可以帮助我们更好地理解信号的频率特性和频谱分布。
通过计算傅里叶系数，可以得到信号的幅度谱和相位谱，从而分析信号在频域上的特性。
第13讲 周期信号的频谱及其特点
号的调制与解调等等。
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2
本章主要内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
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3
本章主要内容
3.6 周期信号的频谱 3.7 系统的频域分析 3.8 无失真传输系统与理想低通滤波器 3.9 取样定理及其应用 3.10 频域分析用于通信系统
0 0 20 30 40 50
0.15
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14
周期信号的单边频谱
已知周期信号 f(t)11c o ts2 1s in t
2 4 3 4 3 6
求其基波周期T，基波角频率0，画出它的单边频谱图。
解：将f(t)改写为： f(t) 1 1 c o t s2 1 c o t s 2 4 3 4 3 62
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13
周期信号的单边频谱
画出周期信号 f(t) 的振幅频谱和相位频谱。
f(t) 1 si0 n t 2 co 0 t sco 20 ts ( 4 )
f(t) 1 5 co 0 ts 0 .( 1) 5 c o 20 s t 4
Ak 5
k
0.25
1
1
0
0
20 30 40 50
相位频谱图描述各次谐波的相位与频率的关系。
根据周期信号展开成傅里叶级数的不同形式，频谱图又分 为单边频谱图和双边频谱图。
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8
周期信号的单边频谱
周期信号 f ( t ) 的三角函数形式的傅里叶级数展开式为
f(t)A0 Ancos(n1tn) n1
A n 与 n 1 的关系称为单边幅度频谱；
第四章周期信号频域分析
第四章周期信号频域分析信号分析是现代通信、电子、控制等领域中非常重要的一个方向。
在信号分析中，频域分析是一种非常常用和有效的手段。
本章将介绍周期信号的频域分析方法。
周期信号是指在时间轴上按照一定规律重复出现的信号。
周期信号可以表示为周期函数的形式，即y(t+T)=y(t)，其中T为信号的周期。
在频域分析中，我们希望能够将周期信号分解为一系列的频率组成的谐波分量，从而得到信号在不同频率上的能量分布情况。
常用的周期信号频域分析方法有傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析两种。
傅里叶级数分析是将一个周期信号表示为一系列谐波分量的和的形式。
假设一个周期信号f(t)的周期为T，可以将其分解为如下的傅里叶级数形式：f(t) = a0 + Σ(an * cos(n * ω0 * t) + bn * sin(n * ω0 * t))其中，a0表示信号的直流分量，an和bn分别表示信号在频率为n * ω0的正弦函数和余弦函数上的系数，n为谐波次数。
离散傅里叶变换分析是将一个有限长的离散时间信号表示为一系列复数形式的谐波分量的和，常用的离散傅里叶变换分析方法是快速傅里叶变换（FFT）。
假设一个有N个采样点的离散时间信号为x(n)，其离散傅里叶变换为X(k)，则有：X(k)=Σ(x(n)*e^(-j*2π*k*n/N))其中，k表示谐波次数，n为采样点的序号，N为采样点的总数。
傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析都可以用于分析周期信号的频域特性。
通过这些方法，我们可以得到周期信号在不同频率上的谐波分量的能量大小，从而了解信号的频谱特性。
在实际应用中，频域分析常用于信号处理、滤波、频率识别、通信系统设计等各个领域。
比如，在通信系统中，我们可以通过频域分析方法来实现信号的调制解调、滤波、信道均衡等操作。
在音频处理中，我们可以通过频域分析来进行音频变调、音频合成等操作。
总结起来，周期信号的频域分析可以帮助我们了解信号在不同频率上的分布情况，从而实现信号处理、频率识别等功能。
连续周期信号的频域分析_第一节连续时间信号的傅里叶级数展开、第二节傅里叶级数的基本性质
周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱
1
频域
频域（frequency domain）即频率域，是 指在对函数或信号进行分析时，分析其和 频率有关部份，而不是和时间有关的部份。 频域下的信号：信号在时域下的图形可以 显示信号如何随着时间变化，而信号在频 域下的图形（一般称为频谱）可以显示信 号分布在哪些频率及其比例。
2
连续信号的分解
1、连续信号分解为单位冲Hale Waihona Puke 信号的线性组合f (t )
f ( ) (t )d
利用单位冲激响应求解系统的输出信号 2、连续信号分解为一系列不同频率的正弦信号或 复指数信号的线性组合 利用频域特性求解系统的输出信号及系统函数
3
连续周期信号的频域分析
将信号表示为不同频率复指数分量的线性组合 意义：
0, i j i t j t dt K 0, i j t1
*
7
则称此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集
2.信号分解为正交函数
完备正交函数集
如果在正交函数集 1 t ,2 t ,...,n t 之外不存在函数
t2 * t i t dt 0 t1
2 t2 n
2
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，
2 写为： Ci Ci t2 2 2 2 C f ( t ) ( t ) C i i i (t ) dt 0 i t1
即
2 f (t )i (t )dt 2Ci i2 (t )dt 0
上的完备正交函数集。
周期信号的时域及其频域分析
周期信号的时域及其频域分析一、实验目的1、掌握multisim软件的应用及用虚拟仪器对周期信号的频谱测量2、掌握选频电平表的使用，对信号发生器输出信号（方波、三角波、矩形波等）频谱的测量二、实验原理周期信号的傅里叶级数分析法，可以把周期信号表示为三角傅里叶级数或指数傅里叶级数，其中周期信号应满足.1、周期信号表示为三角傅里叶级数f(t)=式中，为直流分量，和为n次谐波分量系数，T为周期，Ω=为角频率。
当n=1，cos(Ωt)和sin(Ωt)合成角频率为Ω=的正弦分量，称为基波分量，Ω称为基波频率；当n>1(n为整数)，cos(nΩt)和sin(nΩt)合成角频率为nΩ的正弦分量，称为n次谐波分量，nΩ称为谐波频率。
2、周期信号表示为指数傅里叶级数将一周期信号f(t)分解为谐波分量，即f(t)=其中，是第n次谐波分量的复数振幅。
三角傅里叶级数和指数傅里叶级数虽然形式不同，但是实际上它们是属于同一性质的级数，即都是将一周期信号表示为直流分量和谐波分量之和。
三、实验内容1、在multisim实现周期信号的时域频域测量及分析（1）、绘制测量电路（2）、周期信号时域、频域（幅度频谱）的仿真测量虚拟信号发生器分别设置如下参数：周期方波信号：周期T=100μs，脉冲宽度τ=50μs，脉冲幅度Vp=5V；.周期矩形信号：周期T=100μs，脉冲宽度τ=20μs，脉冲幅度Vp=5V；周期三角形信号：周期T=200μs，脉冲幅度Vp=5V。
采用虚拟示波器及虚拟频谱仪分别测量上述信号的时域、频域波形并保存测试波形及数据。
2、周期信号的时域、频域（幅度）频谱的测量信号发生器、示波器、选频电平表的连线如图所示。
信号发生器的输出信号分别为周期方波信号，周期矩形信号，周期三角波信号，参数设置同仿真设置。
采用示波器及选频电平表对信号发生器的输出信号分别测量，并将测量数据记录于表格中（依照V=10db/20，将所测量的幅度值由分贝换算为伏特）表格记录：（1）通过实验学会了用示波器测量信号的FFT变换，从而测出信号的频谱。
4_3 连续周期信号的频谱
x(t)不连续时，Cn按1/n的速度衰减 x(t)连续时，一阶导数不连续时，Cn按1/n2的速度衰减
连续周期信号的频谱特性
有效带宽
~ x (t )
集中信号大多数功率的频率范围
A T0
Cn
A
T0
O
2
2π
2π
2
T0
t
0
0 2 π T0
通常将包含主要谐波分量的频率范围 (0 ~ 2π/ ) 称为周期矩形信号的有效频带宽度 B 2p 信号的有效带宽和时域持续时间成反比。
Cn
n A Sa( 0 ) T0 2
周期矩形信号的频谱
连续周期信号的频谱
[例] 计算周期三角波信号指数形式的傅里叶级数展开式。
~ x (t )
-2 1
0
2
t
解:
1 Cn T0
T0 2 T 0 2
(t )e x
jn0t
dt
1 1 1 1 0 jn0 t jn0t jn0t x ( t )e d t ( t )e d t t e dt 0 1 2 1 2
Poisson求和公式
连续周期信号的频谱
~ x (t )
A
n A Cn Sa( 0 ) T0 2
2π
A T0
Cn
2π
T0
O
2
2
T0
t
0
周期矩形信号的时域波形
~ x (t )
周期矩形信号的频谱
Cn
1/ 2
周期信号的时域及其频域分析
周期信号的时域及其频域分析周期信号是指具有固定周期的信号，即在其中一时间区间内重复出现的信号。
对于周期信号的时域分析，主要包括以下几个方面：1.周期：周期信号的主要特征是具有固定的周期。
周期可以通过观察信号的周期性重复来确定，也可以通过计算信号的基波频率的倒数得到。
2.幅值：周期信号的幅值是指信号在各个周期中的最大值或最小值。
幅值可以表示信号的强度或振幅大小。
3.相位：周期信号的相位是指信号相对于一些参考点的位置。
相位可以用角度或时间来表示，通常用角度表示。
4. 周期谐波分解：周期信号可以用一组基本波形的线性组合来表示，这组基本波形称为谐波。
周期信号的谐波分解可以用Fourier级数展开来实现。
Fourier级数展开将周期信号分解为基频和各个谐波的叠加，其中基频是周期信号的最低频率分量，谐波是基频的整数倍。
对于周期信号的频域分析，主要包括以下几个方面：1.频谱：频谱是指信号的频率成分及其强度。
周期信号的频谱通常是离散的，只包含基波和谐波成分。
2.频率分量：频率分量是指信号中的各个频率成分。
周期信号中的频率分量由基频和谐波组成。
3.谱线：谱线是频谱图中的一条直线，代表一些频率成分的强度。
周期信号的谱线通常为离散的峰值。
4.谱分辨率：谱分辨率是指频谱分析能够区分不同频率分量的能力。
谱分辨率取决于采样频率和频率分辨率。
频域分析可以通过傅里叶变换来实现。
傅里叶变换能够将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱。
对于周期信号，可以使用傅里叶级数展开来进行频域分析，得到信号的频率成分及其强度。
综上所述，周期信号的时域分析主要关注周期、幅值和相位等特征，而频域分析则关注频率成分及其强度。
通过时域及频域分析，可以深入理解周期信号的性质和特点，从而更好地理解和处理周期信号。
2.2周期信号及其频谱
• 一般周期信号都满足这些条件.
t T
t
f t dt
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2.2 周期信号及其频谱 1，傅里叶级数的三角展开式：
x(t )
直流 分量
a0 2
(an cos n0t bn sin n0t )
n 1
(n 1,2, ,3,...)
变形为：
基波分量 n =1
图例：受噪声干扰的多频率成分信号
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2.2 周期信号及其频谱 大型空气压缩机传动装置故障诊断
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2.2 周期信号及其频谱 预备知识：（一）信号分解
为了便于信号的分析处理,可从不同角度讲信号分解为简 单信号的叠加,即为信号的分解与合成。 1， 直流分量与交流分量 在某些情况下，也可以把 信号分解为一个稳态分量 和交流分量，如图 (b)(C) 所示。稳态分量是一种有 规律的变化量，有时称为 趋势项；交流分量可能包 含了所研究过程的频率、 相位等信息，也可能是随 机噪声。
2.2 周期信号及其频谱 2 傅里叶级数的复指数展开式：
欧拉公式
复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为θ时，此点可表 示为 cos j sin j Im 欧拉公式 1 ej e j cos j sin sin ej 1 { 1 1 Re cos e j
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2.2 周期信号及其频谱 时域分析与频域分析的关系
幅值
信号频谱X(f)代表了信号在 不同频率分量成分的大小， 能够提供比时域信号波形更 直观，丰富的信息。
时域分析
频域分析
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2.2 周期信号及其频谱 时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化 情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示 信号的频率组成和各频率分量大小。
周期信号的频谱分析
周期信号的频谱分析周期信号是指在一定时间内重复出现的信号，其频谱分析是对周期信号在频域上的描述和分析。
频谱分析是信号处理领域中的重要内容，它能够揭示周期信号的频率成分以及它们在信号中的相对强度。
周期信号可以用正弦函数来表示，即一个频率为f的正弦波。
频谱分析的目的就是要确定这个周期信号中包含的各个频率成分。
为了进行频谱分析，我们通常使用傅里叶变换。
傅里叶变换可以将一个周期信号转换为一系列频率成分的复数表示。
傅里叶变换将一个周期信号分解成一系列复振幅和相位分量。
复振幅表示了信号中每个频率分量的强度，而相位则表示了每个频率分量的相对位置。
通过傅里叶变换，我们可以得到一个频谱图，它显示了信号中各个频率成分的幅度和相位信息。
在频谱图中，横轴表示频率，纵轴表示振幅。
每个频率成分对应的幅度可以通过幅度谱来表示，而相位信息则可以通过相位谱来表示。
通过分析频谱图，我们可以得到周期信号中的主要频率成分、频率分量的强度以及它们在信号中的相对位置。
频谱分析在信号处理领域中有着广泛的应用。
例如，它可以用于音频信号的处理与分析。
在音频信号中，不同的频率成分对应着不同的音调和音色。
通过频谱分析，我们可以识别音频信号中的主要频率分量，从而实现对音频信号的合成、去噪等处理操作。
另外，频谱分析也可以用于振动信号和通信信号的分析。
在振动信号分析中，频谱分析可以帮助我们了解结构的固有频率以及存在的振动模态。
而在通信信号分析中，频谱分析可以帮助我们了解信号的带宽和调制方式，从而实现信号的解调和解码。
总之，周期信号的频谱分析是对周期信号在频域上的描述和分析。
通过傅里叶变换，我们可以将周期信号分解成一系列频率成分，并通过频谱图来展示这些成分的幅度和相位信息。
频谱分析在信号处理领域中有着广泛的应用，对于理解和处理周期信号具有重要作用。
实验3-信号的频域分析
一，实验目的四，心得体会了解信号频谱和信号频域，掌握其特性。
一，实验原理实验主要分为四个部分，分别分析了连续和离散信号的周期、非周期情况下特性。
1.连续周期信号的频谱分析首先手算出信号的傅里叶级数，得出信号波形，然后通过代码画出信号波形图。
2.连续非周期信号的频谱分析先由非周期信号的时域信号得到它的频谱X（w），再通过MATLAB求出其傅里叶变换并绘出图形。
X=fourier(x)x=ifourier(x)①符号运算法syms t②数值积分法quad（fun，a，b）③数值近似法3.离散周期信号的频谱分析X=fft（x）4.离散非周期信号的频谱分析可以化为两个相乘的矩阵，从而由MATLAB实现。
三，实验内容（1）已知x（t）是如图周期矩形脉冲信号。
1）.计算该信号的傅里叶级数。
2）.利用MATLAB绘出由前N次谐波合成的信号波形，观察随着N的变化合成信号波形的变化规律。
3）.利用MATLAB绘出周期矩形脉冲信号的频谱，观察参数T和τ变化时对频谱波形的影响。
思考下列问题：①什么是吉伯斯现象？产生吉伯斯现象的原因是什么？②以周期矩形脉冲信号为例，说明周期信号的频谱有什么特点。
③周期矩形脉冲信号参数τ/T的变化，其频谱结构（如频谱包络形状、过零点、频谱间隔等）如何变化？（2）已知x（t）是如图所示矩形脉冲信号。
1）.求该信号的傅里叶变幻。
2）. 利用MATLAB绘出周期矩形脉冲信号的频谱，观察参数T和τ变化时对频谱波形的影响。
3）. 让矩形脉冲宽度始终等于一，改变矩形脉冲宽度，观察矩形脉冲信号时域波形和频谱随矩形脉冲宽度的变化趋势。
①比较矩形脉冲信号和周期矩形脉冲信号的频谱，两者之间有何异同。
②让矩形脉冲的面积始终等于一，改变矩形脉冲的宽度，观察矩形脉冲信号时域波形和频谱波形随矩形脉冲宽度的变化趋势。
（1）已知x（t）是如图所示的周期矩形脉冲信号①，计算该信号的傅里叶级数答：由图中x（t）波形可知信号为通过计算，可以知道所以x（t）的傅里叶级数为。
第四章 周期信号频域分析
4.1 连续周期信号的Fourier级数
1 1/2 1 3/2 jn t Cn 2 Ate dt 2 A(1 t )e jn t dt 2 1/2 2 1/2 4 Aj 2 2 sin(n / 2). n
因此，该信号的指数形式的Fourier级数为 4 Aj f (t ) sin( n / 2) e jn t . n 2 2 n , n 0 其三角形式的Fourier级数为
图4-3所示
15
4.1 连续周期信号的Fourier级数
图4-3所示
16
4.1 连续周期信号的Fourier级数
四、 信号的对称性和Fourier系数的关系 周期信号的对称性分为两类。
第一类：整个周期对称性(例如，奇函数或偶函数)； 第二类：前半周期和后半周期相同或成镜像关系。
下面，讨论不同的对称情况下，Fourier系数的性质。
信号的fourier级数可写为23半波镜像信号周期为t的信号ft若具有关系其在第一个周期内的值为图47半波镜像信号41连续周期信号的fourier级数则由图47可知t的fourier级数为41连续周期信号的fourier级数其中252542连续时间fourier级数的基本性质设ft是周期信号周期为t基波角频率为ft和其fourier系数c的对应关系记为设ft和gt均为周期为t的周期信号其fourier系数分别为的周期信号且有acbd上述结论可以推广到多个具有相同周期的信号
1 2 / T1 20
21
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号
信号的 Fourier级数可写为
f (t )
n
Cne
jn 1 t
第7章周期信号频域分析及MATLAB实现-文档资料
7.2.3 双边频谱
周期信号可以分解成一系列虚指数信号之和，并可以求得 相应的傅里叶系数
f( t) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱFe n
n
jn t
a a a t t 0 n jb n jn n jb n jn e e 2 n 2 2 1 1 j 1 F e a j b n A n n n
a 0 A 0 .2 5 0 F 0 2
A5 ≈ 0.09, A10 ≈ 0.063
A4 ≈ 0, A9 ≈ 0.05,
F 0 . 2 2 5 , F 0 . 1 5 9 , F 0 . 0 7 5 , F 0 1 2 3 4 F 0 . 0 4 5 , F 0 . 0 5 3 5 6
6
7.1 周期信号的傅里叶级数与信号的频谱
西华师范大学 物理与电子信息学院
2. 连续时间周期信号的傅里叶级数近似
用有限项的傅里叶级数求和来逼近原函数
f(t)的截断傅里叶级数表示
3. 符号积分函数int()求截断傅里叶级数及傅里叶表示 intf=int(f,v,a,b) 给出符号表达式 f 对指定变量v的定积分。
2 T
7-1a
2
7.1 周期信号的傅里叶级数与信号的频谱
西华师范大学 物理与电子信息学院
傅里叶系数：
2 2 a f() td t f() td t 0 0 T T 1
T 1
T 1 2 T 1 1 2
2 T 1 a f ()c t o sn td t n 0 T 1
N 1
3. Matlab命令
DTFS:
a
1 fft ( x ) N
(7.16) (7.17)
4-2信号的频域分析-周期信号频域分析
N=4
N=5
k 0123
k 01234
奇对称
f [k] f [k] f [N k]
N=4 3k
012
N=5 34 k
012
30
三、DFS的基本性质
4. 周期卷积定理
DFSf1[k] ~ f 2[k] DFS{ f1[k]}DFS{ f 2[k]}
DFSf1[k]
•
f 2 [k ]
1 N
响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦
信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通
过系统后，是衰减还是增强一目了然。
2
三、周期信号的频谱及其特点
1. 频谱的概念
周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和
f (t)
Cn
e jn0t
n=
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。
T
Cn
A / T
t
Cn
A
T
Sa( n0
2
)
2π
2π
0 2π / T
n 0
5
例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写出 信号的Fourier级数表示式。
3 2
1
Cn
4 3 2 1
n
3
2
1
0
1
2
3
解： 由图可知 C0 4 C1 3 C2 1 C3 2
f (t)
Cne jn0t
n
4 3(e j0t e j0t ) (e j20t e j20t ) 2(e j30t e j30t )
的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
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周期三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数展开式为
1 4 f (t ) cos n 0 t 2 2 m =1 [(2 m 1) π]
2π 0 π T
1 4 4 4 2 cos 0 t 2 cos 3 0 t cos 5 0 t 2 2 π 9π 25π
e
st
、 z n 是一切LTI系统的特征
函数。
H ( s ) 、 H ( z ) 分别是LTI系统与复指数信号相
对应的特征值。
H ( s) h(t )e dt
st
H ( z)
k
n h ( n ) z
只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征 函数。
对时域的任何一个信号 x(t )
因此， f (t)的指数形式傅里叶级数展开式为
f (t ) Cn e
n = jn0t
n 0 jn0 t A )e Sa( T n = 2
2π 0 T
例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的 傅里叶级数展开式。
f (t )
A
-T
0
1 (cos nπ 1) 2 (nπ)
2π 0 π T
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里 叶级数展开式。
f (t )
- 2 1
0
2
t
解:
2 /(nπ) 2 , n为奇数 1 Cn (cos nπ 1) 2 n0 (nπ) 1 / 2,
周期三角脉冲信号的指数形式傅里叶级数展开式为
例3
f (t ) 3 cos(0 t 4) 求 Cn 。
解: f (t ) 3 cos(0 t 4)
1 j(0t 4) j(0t 4) 3 e e 2 3 j4 j0t 3 j4 j0t e e e e 2 2
根据指数形式傅里叶级数的定义可得
x(t ) y(t ) a1H ( s1 )e a2 H (s2 )e a3 H (s3 )e
y (t ) ak H ( sk )e sk t
k
同理： x(n) ak Z kn
k
y(n) ak H ( Z k )Z kn
k
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 线性组合来表示？
例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的 傅里叶级数展开式。
f (t )
A
-T
0
T
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅里叶级数展开式。
n0 1 T 1 A jn0t jn0t C n 2T f (t )e dt 2 Ae dt Sa( ) T 2 T 2 T 2
信号与系统
Signals and Systems
主讲：王小川 xcwang@ 信息科学与技术学院
信号的频域分析
连续周期信号的频域分析 连续非周期信号的频谱 常见连续时间信号的频谱 连续时间Fourier变换的性质 离散周期信号的频域分析 离散非周期信号的频域分析
连续周期信号的频域分析
x(at ) bk ak
F
5. 相乘:
若x(t ) 和y(t ) 都是以 T 为周期的信号，且
F F y(t ) bk
F
x(t ) ak
1 则 x(t )gy (t ) Ck x(t ) y (t )e jk0t dt T T 1 也即 Ck al e jl0t gy(t )e jk0t dt T T l 1 Ck al y (t )e j ( k l )0t dt al bk l T T l l
f (t ) Cn e
n=
jn0t
1 2 j( 2 m 1)0t 2π e 0 π 2 m= [(2 m 1) π]2 T
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里 叶级数展开式。
f (t )
- 2 1
0
2
t
解:
由
f (t ) C0 2 Re( Cn e jn0t )
2π 0 T
例2
试计算图示周期三角脉冲信号的傅 里叶级数展开式。
f (t )
- 2 1
0
2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在
1 T /2 1 0 1 jn0t Cn T / 2 f (t )e dt (1 te jn0t dt 0 te jn0t dt ) T 2 1 0 jn0t 1 jn0t jn0t 0 jn0t 1 (te 1 e dt te 0 e dt ) 1 0 2 jn 0
证明见教 材(4-7)
n n
表明 Cn 的模关于 n 偶对称，幅角关于 n 奇对称。
Cn C n （实偶函数） 若 f (t ) 为实奇信号，则 Cn C n （虚奇函数）
若 f (t ) 为实偶信号，则
二、傅里叶级数的基本性质
(2) 纵轴对称信号
A
f(t)
f ( t ) = f ( t )
连续周期信号的频域分析
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 意义：
从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正 弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较 提供了途径。 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的 响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦 信号同时激励下的总响应,而且每个正弦分量 通过系统后的变化。
T / 2
0
T/ 2
t
1 Cn T
T /2
T / 2
f (t ) cos( n0t )dt
实偶对称
纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含 有直流项与余弦项。
二、傅里叶级数的基本性质
(3) 原点对称信号
A
T / 2
可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得 的。这说明 求。 特征函数 (Eigenfunction)
e
st
和 z n 符合对单元信号的第一项要
如果系统对某一信号的响应是该信号乘以一个
常数，则称该信号是这个系统的特征函数。
系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相
对应的特征值。
结论：
复指数函数
n 1
jn t C0 Cn e jn0t Cn e jn0t C0 2 Re( Cn e 0 ) n1
an jbn Cn 令 2 由于C0是实的，所以 b0= 0，故
a0 C0 2
一、周期信号的傅里叶级数展开
3. 三角形式傅里叶级数
a0 f (t ) (a n cos n 0 t bn sin n 0 t ) 2 n 1
物理含义：
周期信号f (t)可以分解为不同频率虚指数信号之和
一、周期信号的傅里叶级数展开
3. 三角形式傅里叶级数
若 f (t)为实函数，则有
1
Cn C n
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为
f (t ) C0 Cn e
n
n1
jn0t
Cn e jn0t
一、周期信号的傅里叶级数展开
1. 周期信号展开为傅里叶级数条件
T /2 T / 2
周期信号f (t)应满足Dirichlet条件，即：
(1) 在一个周期内绝对可积，即满足
f (t ) dt
(2) 在一个周期内只有有限个有限的不连续点；
(3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。
注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。
一、周期信号的傅里叶级数展开
2. 指数形式傅里叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为
f (t ) Cn e
n =
jn0t
其中
1 T C n 2T f (t )e jn 0t dt T 2
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量 n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量 n N 的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量
7.时域微分 8.时域积分:
则有
f ' (t ) jn0 Cn
F x(t ) Cn (其中C0 0)
Cn x(t )dt jnw0
t F
二、傅里叶级数的基本性质
9. 对称特性
(1) 若 f(t) 为实信号，则 Cn C
则 | C n || C n |
n
周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱
引言
LTI系统对复指数信号的响应
The Response of LTI Systems to Complex Exponentials
考查LTI系统对复指数信号 e 和
st
z
n
的响应
y ( n)
e
st
h(t )
F x(t ) y (t ) al bk l ak bk l
二、傅里叶级数的基本性质
6. 周期卷积性质
若 f1(t) 和 f2(t) 均是周期为T0的周期信号，且 f1 (t ) C1n , f 2 (t ) C 2n 则f1 (t ) * f 2 (t ) T0C1n C2n
若 f (t ) C n
则有
f (t t 0 ) e