福建专升本考试数学模拟试题及答案
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专升本考试数学专业
《高等数学》模拟试题
一．填空题(每小题2分，共10分)
1． 已知()x x x f 212+=+,则=⎪⎭
⎫
⎝⎛x f 1 2． 设函数()⎩⎨⎧≥+<=0
,30,52x a x x e x f x 如果()x f 在x=0处连续，则a=
3． 如果函数()x f y =在闭区间[]b a ,上连续，且()x f 在()b a ,内可导，则在()b a ,内存在ξ，使得()=ξ'
f 4． 若
()()c x F dx x f +=⎰，则()=-⎰dx x f 32 5． ⎰+∞
-=0
2dx xe x 二．计算题(每小题6分，共36分)
1. x
x x x 20sin 1sin 1lim -+→. 2. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--→x x x x ln 11lim 1. 3. 设1arctan 2+=x e y ，求dy.
4. 设()x y y =是由方程x x y e
xy 2sin ln 2=+确定的函数，求/y . 5.
⎰dx x x ln . 6. dx x x ⎰++1
021
1. 三．应用题（本题10分）
试求内接于半径为R 的圆的周长最大矩形的边长。
四．证明题（本题4分）
试证：当x>1时，有xe e x
>成立。
五、（本题10分）
计算行列式6741
212
060311512
-----的值 六、（本题10分）
已知A=1/2(B+I), 且A 2=A ，证明：B 可逆 并求 B -1
七、（本题10分）
求向量α1=（1，-2，4，-1）/ α2=（-4，8，-16，4）/ α3=（-3，1，-5，2）/ α4=（2，3，1，-1）/ 的秩
八、（本题10分）
求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--++-=-+-+-=+-+-=+-+-0549322281
30549504372025354321
5432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系
数学专升本线性代数模拟试题答案与评分标准
五、（本题10分）
计算行列式674
1212
060311512
-----的值 解： 67412
1206
0311
512-----=27
评分说明：求行列式的值方法多种多样，根据考生的解答，如果所用方法正确，只是计算粗心，给予6分。
六、（本题10分）
已知A=1/2(B+I), 且A 2=A ，证明：B 可逆 并求 B -1
证明：因为A 2=A 即[1/2（B+I ）]2=1/2（B+I ）
1/4（B 2+2B+I 2）=1/2（B+I ）
I 2=I
所以 B 2=I ………………………………………………（8分）
即 BB =I 所以 B 可逆，且 B -1=B ………………………（10分）
七、（本题10分）
求向量α1=（1，-2，4，-1）/ α2=（-4，8，-16，4）/ α3=（-3，1，-5，2）/ α4=（2，3，1，-1）/ 的秩
解：
由⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------12411516431822341→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----1100770075002341→⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----7500770011002341→⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000200011002341 ……………………………………………（8分） 所以向量组的秩为3 ………………………………………………（10分）
八、（本题10分）
求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--++-=-+-+-=+-+-=+-+-0549322281
30549504372025354321
5432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系
解：
由⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------192283549514137212531→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------237104614202371012531→⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡----00000000002371012531→⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----0000000000237105112601 ……………………（6分） 得方程组的一般解为⎩⎨⎧++-=++-=5
432543123751126x x x x x x x x 令X 3=1, X 4=0 X 5=0得一解X 1=(-26,-7,1,0,0)
/ 令X 3=0, X 4=1 X 5=0得一解X 2=(11,3,0,1,0)/
令X 3=0, X 4=0 X 5=1得一解X 3=(5,32,0,0,1)/
于是得所求的一个基础解系为
（-26，-7，1，0，0）/ (11,3,0,1,0)/ (5,32,0,0,1)/ ……………（10分）