大学物理第五章机械振动习题解答和分析

5-1 有一弹簧振子，振幅m A 2

100.2-⨯=，周期s T 0.1=，初相.4/3πϕ=试写出它的振动位移、速度和加速度方程。

分析 根据振动的标准形式得出振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。

解：振动方程为：]2cos[]cos[

ϕπ

ϕω+=+=t T

A t A x 代入有关数据得：30.02cos[2]()4

x t SI π

π=+ 振子的速度和加速度分别是：

3/0.04sin[2]()4

v dx dt t SI π

ππ==-+ 2223/0.08cos[2]()4

a d x dt t SI π

ππ==-+

5-2若简谐振动方程为m t x ]4/20cos[1.0ππ+=，求： （1）振幅、频率、角频率、周期和初相； （2）t=2s 时的位移、速度和加速度.

分析 通过与简谐振动标准方程对比，得出特征参量。

解：(1)可用比较法求解.根据]4/20cos[1.0]cos[ππϕω+=+=t t A x 得：振幅0.1A m =，角频率20/rad s ωπ=，频率1

/210s νωπ-==， 周期1/0.1T s ν==，/4rad ϕπ=

（2）2t s =时，振动相位为：20/4(40/4)t rad ϕππππ=+=+ 由cos x A ϕ=，sin A νωϕ=-，2

2

cos a A x ωϕω=-=-得 20.0707, 4.44/,279/x m m s a m s ν==-=-

5-3质量为kg 2的质点，按方程))](6/(5sin[2.0SI t x π-=沿着x 轴振动.求： （1）t=0时，作用于质点的力的大小；

（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置.

分析 根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。 解：（1）跟据x m ma f 2

ω-==，)]6/(5sin[2.0π-=t x 将0=t 代入上式中，得： 5.0f N =

（2）由x m f 2

ω-=可知，当0.2x A m =-=-时，质点受力最大，为10.0f N =

5-4为了测得一物体的质量m ，将其挂到一弹簧上并让其自由振动，测得振动频率

Hz 0.11=ν；而当将另一已知质量为'm 的物体单独挂到该弹簧上时，测得频率为

Hz 0.22=ν.设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量.

分析 根据简谐振动频率公式比较即可。 解：由m k /21π

ν=

，对于同一弹簧（k 相同）采用比较法可得：

m

m '

21=

νν 解得：'4m m =

5-5一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅m A 2

100.2-⨯=，周期T=0.5s ，当t=0时， （1）物体在正方向端点；

（2）物体在平衡位置，向负方向运动；

（3）物体在m x 2

100.1-⨯=处，向负方向运动； （4）物体在m x 2100.1-⨯-=处，向负方向运动. 求以上各种情况的振动方程。

分析 根据旋转矢量图由位移和速度确定相位。进而得出各种情况的振动方程。 解：设所求振动方程为：]4cos[02.0]2cos[ϕπϕπ

+=+=t t T

A x 由A 旋转矢量图可求出

3/2,3/,2/,04321πϕπϕπϕϕ====

（1）0.02cos[4]()x t SI π=（2）0.02cos[4]()2

x t SI π

π=+ （3）0.02cos[4]()3

x t SI π

π=+

（4）20.02cos[4]()3

x t SI π

π=+

题图5-5

5-6在一轻弹簧下悬挂0100m g =砝码时，弹簧伸长8cm.现在这根弹簧下端悬挂250m g =的物体，构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动4cm ，并给以向上的21cm/s 的初速度（令这时t=0）.选x 轴向下，求振动方程.

分析 在平衡位置为原点建立坐标，由初始条件得出特征参量。 解：弹簧的劲度系数l g m k ∆=/0。

当该弹簧与物体m 构成弹簧振子，起振后将作简谐振动，可设其振动方程为：

]cos[ϕω+=t A x

角频率为m k /=

ω代入数据后求得7/rad s ω=

以平衡位置为原点建立坐标，有：000.04,0.21/x m v m s ==- 据202

0)/(ωv x A +=

得：0.05A m =

据A

x 0

1

cos

-±=ϕ得0.64rad ϕ=±由于00v <,应取)(64.0rad =ϕ 于是，所求方程为：))(64.07cos(05.0m t x += 5-7 某质点振动的x-t 曲线如题图5－7所示.求： （1）质点的振动方程；

（2）质点到达P 点相应位置所需的最短时间.

分析 由旋转矢量可以得出相位和角频率，求出质点的振动方程。并根据P 点的相位确定最短时间。

00001cos()0,/2,03

1,3

2

56

50.1cos(

)63

20x A t t x A v t s t x t m P ωϕπ

ϕπ

π

ωπ

ωππ=+==>=-=-

=

∴

=

=-解：（）设所求方程为：从图中可见，由旋转矢量法可知；又故：（）点的相位为

0500.463

0.4p p p t t t s

P s

ππ

ωϕ∴+=

-==即质点到达点相应状态所要的最短时间为 题图5-7