考虑原子纵向位移单原子链横向振动压电控制
一维单原子链晶格振动解析步骤
一维单原子链晶格振动解析步骤一维单原子链模型是固体物理中的经典模型之一，用于描述晶体中原子的振动行为。
在这个模型中，原子由质量为m的核和劲度系数为K的弹性相互作用构成。
通过对一维单原子链的晶格振动进行分析，可以更好地理解固体中的声子模式和声子色散关系。
下面将介绍一维单原子链晶格振动解析步骤：第一步：建立模型首先，我们要建立一维单原子链的模型。
假设晶格常数为a，原子间距为a/2，一维晶格中的每个原子都沿着x轴定位。
原子间的相互作用由弹簧模型描述，即相邻原子间的相互作用劲度系数为K。
这个模型是一个简单的原子链模型，可以通过它来研究晶格振动的基本性质。
第二步：求解运动方程接下来，我们需要求解原子在这个一维单原子链中的运动方程。
假设第n个原子的位移为Un(t)，那么根据牛顿第二定律，可以得出该原子的运动方程为：m*Un’’(t) = -K*(Un(t+0) - 2*Un(t) + Un(t-0))上式中，Un’’(t)表示Un对时间的二阶导数，-K*(Un(t+0) -2*Un(t) + Un(t-0))表示受到的弹性相互作用力。
第三步：假设解的形式由于原子在一维单原子链中的振动属于谐振动问题，我们可以假设原子的位移满足解的形式为：Un(t) = An*exp(i*(k*n*a - ω*t))其中，An是振幅，k是波数，ω是角频率，n是原子的编号。
将这个解代入到运动方程中，可以得到关于角频率ω和波数k的关系式，即声子色散关系。
声子色散关系描述了声子的能量随波数变化的关系，是描述晶体中声子性质的重要工具。
第四步：得到声子色散关系将解的形式代入运动方程，我们可以得到关于角频率ω和波数k的关系式。
具体地，我们可以得到一维单原子链中的声子色散关系为：ω(k) = 2*sqrt(K/m)*|sin(ka/2)|声子色散关系描述了一维单原子链中的声子能量随波数变化的规律。
从这个关系式可以看出，一维单原子链中的声子有声学支和光学支两种振动模式，它们的能量随波数的变化方式不同。
高等固体物理第五章晶格振动与晶体热学性质
一维单原子链模型的振动既简单可解，又能较全面说明晶格振
动的特点。二维、三维振动的特点由一维结论推广得到。 一个
一维单原子链可以看作一个一维简单晶格。并满足三个假设，
（1）假定原子质量为m；
（2）原子限定在原子链方向运动, 偏离格点的位移用μn, μn+1…
表示；
（3）假定只考虑最近邻原子的相互作用。
。分别把上述两微分方程相加和相减，得:
d2(xdat2
xb)
k m(xa
xb
)
d2(xa dt2
xb
)
( k m
2K m )(xa
xb
)
Beihang University
2021/3/9
* 简正坐标和简正频率
d 2 q1 dt 2
k m
q1
d
2
q
2
dt 2
( k m
2K m
)q2
qq12
在理想情况下，不能脱离晶体格点平衡位置，晶格振动是在平衡位 置附近的微小振动。
Beihang University
2021/3/9
§5。2 一维单原子链
前面给出的简正坐标和简谐近似仅仅是解决问题的总的思 路，但真正求解晶格的振动模是很复杂的事。比如：要了解晶 格振动的物理模型、特征等。真正从微观结构导出力常数是固 体理论的内容，现在我们给出一种最简单的情况来讨论：一维 单原子链模型。
2021/3/9
原子的运动方程
只考虑相邻原子的作用，第n 个原子受到的作用力
固体物理（胡安）课后答案（可编辑）
固体物理(胡安)课后答案第一章晶体的结构及其对称性1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构,试问它是简单还是复式格子。
为什么?作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。
解:石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。
因为如图点A和点B的格点在晶格结构中所处的地位不同,并不完全等价,平移A→B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。
1.2在正交直角坐标系中,若矢量,,,为单位向量。
为整数。
问下列情况属于什么点阵?(a)当为全奇或全偶时;(b)当之和为偶数时。
解:当为全奇或全偶时为面心立方结构点阵,当之和为偶数时是面心立方结构1.3 在上题中若奇数位上有负离子,偶数位上有正离子,问这一离子晶体属于什么结构?解:是离子晶体,属于氯化钠结构。
1.4 (a)分别证明,面心立方(fcc)和体心立方(bcc)点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等,对fcc为,对bcc为(b)在金刚石结构中,作任意原子与其四个最近邻原子的连线。
证明任意两条线之间夹角θ均为解:(1)对于面心立方 (2)对于体心立方 (3)对于金刚石晶胞1.5 证明:在六角晶系中密勒指数为(h,k,l)的晶面族间距为证明:元胞基矢的体积倒格子基矢倒格矢:晶面间距1.6 证明:底心正交的倒点阵仍为底心正交的。
证明:简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体底心正交点阵的惯用晶胞如图: 初级晶胞体积: 倒易点阵的基矢: 这组基矢确定的面是正交底心点阵1.7 证明:正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。
证明:倒易点阵初级元胞的体积:是初基元胞的体积而由于而或:现在证明: 又令又:代入同理 1.8 从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。
解: 1.9 试解释为什么:(a)四角(四方)晶系中没有底心四角和面心四角点阵。
(b)立方晶系中没有底心立方点阵。
(c)六角晶中只有简单六角点阵。
解:(a)因为四方晶系加底心,会失去4次轴。
(b)因为立方晶系加底心,将失去3次轴。
固体物理学第三章
3 1 !(d d 3 U 3)r a 3 ..... .n 1 !.(d d .n U .n)r .a.n
简谐近似—— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项。
U (r) U (a ) (d)U 1(d 2 U ) 2 da r 2 !d2ra U(r)U(a)1 2(dd2U 2r)a2
此处N=5,代入上式即得：
ei(5a)q 1 5aqn2（n为整数）
由于格波波矢取值范围：
q
a
a
则：5n5
22
故n可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢：4,2,0,2,4
5a 5a 5a 5a
由于，2 sinqa
m2
代入，β，m及q值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
f du(d2u) d 2u 为恢复力常数
dr d2r
dr 2
周期边界条件
N 2 a l q l 为 整 N /2 h N 数 /2 且
3.1 一维单原子链的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
设原子链为一维，则：原子间距为a; 第n个原子的平衡位置为rn=na 第n个原子离开平衡位置的位移为xn
格波的应用：
晶体的弹性力常数β约为15N/m，若一个原 子的质量为6×10-27Kg，则晶格振动的最大圆频 率为ωm=1014弧度/秒，最大频率γm约为1013Hz即 10THz。THz波段在微波与红外光之间。
不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征， 可以作为这个材料的 “指纹”，THz谱技术作为 一种有效的无损探测方法，通过晶格振动频谱可 以鉴别和探测材料。
3.1.2 格波频率与波矢关系——色散关系
固体物理第7课晶格振动一维单原子链_OK
m
d 2xn dt2
(xn1
xn1 2xn )
xn Aei(tqna)
将xn代入上式若发现如果有下式成立
m 2 2 1 cos(qa) 4 sin 2 qa
2
(q) 2 sin qa 则满足振动方程
m 2 ω 和q的这种关系称为色散关系或色散曲线.
当
q
2
a
l： (q)min
0
：物质的线密度
16
短波
当q值较大时，即对于短波来说，晶体间隔相对于波长已 不具有连续性，晶体已不能作为连续介质来处理，则ω 是q的正弦函数．周期为２π/a。
17
3.1.4 周期性边界条件
波恩－卡门 周期性边界 条件
x1 xN 1 Aei(tqa) Aei[tq( N 1)a] eiqNa 1
波长不同，但是位移情况相同，即振动模式是相同的，
15
长波近似
(q) 2 sin qa
m 2
当q 0，即 时：
(q) q a (q) a 常数 即波速u 常数
m
q
m
此时波长比原子间隔大很多,此时格波可看成是在连续 介质中传播的弹性波
固体中纵波的波速：
u
Y 常数
Y：杨氏模量
的平面波，称之为格波。
10
比较
弹簧振子的简谐振动：
F
Kx
m
d2x dt 2
Kx
令2＝K
m
d2x dt 2
2x
0，其解为：x
Acos(t
)
（简谐振动）
连续介质中的简谐平面 波：
Ae i (t x )
A cos t
x u
Acost
x
(完整版)第四章晶格振动
➢研究的意义：利用晶格振动的理论解释晶
体的热学性质
➢研究的方法：
一维 格波 原子链 声子
三维 晶格
晶格振动与热 学性质之间的 关系
§1 一维原子链的振动
简谐近似：假设原子间的相互作用力仅存在于最近 邻原子之间，在简谐近似下，我们可以用 一个力 常数为k 的弹簧表示最紧邻原子间的相互作用。一 维情况下，原子的振动是纵向的。 一 独立简谐振动 二 简谐振动的耦合 （一）一维单原子链的振动 （二）一维双原子链的振动
—— 一维复式格子存在两种独立的格波
5 分析讨论
振动状态的传递
波矢q的取值
色散关系 两种格波的振幅 长波极限下的两种格波
1)振动状态的传递
Aei[t(2na)q] 2n
and
Be 2n1
i [t ( 2 n 1) aq ]
轻原子(质量为m)之间相互传递振动状态，相邻轻原 子之间的最小空间位相差为2qa。同样，相邻重原子 (质量为M)之间相互传递振动状态，其最小空间位相 差也是2qa。
5 讨论
un Aeiqnat
1） 格波与连续介质中弹性波的差别与联系
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为 的振动
➢ 差别：格波的空间坐标是离散的。
➢联系：在长波极限下，常用连续介质弹性波代替
较复杂的格波。（证明）
例1
证明在长波极限下，可用连续介质弹性波代 替较复杂的格波。
i[t (2n1)aq]
m2 A k(eiaq eiaq )B 2kA
M2B
k (eiaq
eiaq
)A
2kB
(2k m2 )A (2k cos aq)B 0
固体物理学_答案(黄昆)
《固体物理学》习题解答黄昆原著韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率，VcnV x =（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ，V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r8r34ar 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒=n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342ar342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r344ar344x 3333≈π=π⨯=π⨯=（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233晶胞的体积：V=332r 224a23a 38a 233C S ==⨯=⨯n=1232126112+⨯+⨯=6个74.062r224r 346x 33≈π=π⨯=（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r338r 348ar348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
三交互扩散系数达肯方程
⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-==Γ=RT G a RT G a RT G ZP a ZP a a D m m m exp exp 22612exp 6161612020222νννωνν自扩散系数：不依赖于浓度梯度的扩散所定义的扩散系数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=→∂∂*x C J D x C lim 0 考虑对于fcc 结构的纯金属的原子自扩散（空位机构），则要考虑P ν。
实际上P ν就等于系统平衡空位缺陷的浓度N ν：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-=RTG N fexp ν。
所以自扩散系数表为：⎪⎭⎫⎝⎛∆-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-=*RT G RTG Z a D m f exp exp 612ν。
它也是基于无序游动扩散过程。
(二)偏扩散系数偏扩散系数：几种离子同时进行扩散的多元系统中每个组元的扩散系数，严格说这儿扩散是处在化学位梯度条件下进行的。
偏扩散系数的热力学分析：例如CoO 和NiO 二元系统的扩散。
A 、令μ1、μ2表示1、2两点的化学位。
设μ1>μ2，且x∂∂μ是力的单位，也称化学位梯度，故作用在一个第i 组元粒子上的扩散力作用下粒子平均迁移速度v i 为：x N B v ii i ∂∂-=μ，式中B i 是在单位作用力作用下粒子的平均迁移速度，称绝对迁移率；N 是阿佛加德罗常数；B 、若i 组元的粒子浓度为C i ，则扩散通量J i 为：xN B C J i i i i ∂∂-=μ。
C 、对理想溶液系统有：i i i a RT ln 0μμ=。
式中μi0是i 组元折合到一摩尔纯物质的自由焓。
a i 是i 组元的活度。
因为活度系数γi =a i /C i，代入得：x C CkT B J i i ii i ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-=ln ln 1γ。
D 、与菲克第一定律比较得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=i i i i CkT B D ln ln 1γ，其中括号部分称为扩散系数的热力学因子。
固体物理一维单原子链ppt课件
方程解和振动频率
设方程组的解
naq — 第n个原子振动位相因子
得到
格波方程
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱 格波的意义
连续介质波
波数
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式 —— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波 —— 格波的波形图
&原子位移和简正坐标的关系: 第q个格波引起第n个原子位移
第n个原子总的位移
令
则:
原子坐标和简正坐标的线性变换
—— 线性变换为么正变换
Q简正坐标: 动能和势能的形式都有平方和的形式.
原子位移
为实数 ,则:
……(1)
—— N项独立的模式，具有正交性
……(2) ——正交性
证明1):
……(1)
同时可写为:
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特点
N很大，原子运动近似 为直线运动 处理问题时要考虑到 环链的循环性
设第n个原子的位移 再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移 则有 要求
—— h为整数
波矢的取值范围
波矢 h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值 每个波矢在第一布里渊区占的线度
采用波恩－卡曼边界条件:
波矢q:
x1
2h1 N1a1b1
x1
h1 N1
x2
2h2 N 2 a2b2
x2
h2 N2
x3
2h3 N3a3b3
x3
h3 N3
波矢空间一个点占据的体积
固体物理习题参考答案
固体物理第一次习题参考答案1．如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示刚球所占体积与总体积之比，证明结构 x简单立方 0.526x π=≈体心立方 30.688x π=≈ 面心立方 20.746x π=≈ 六角密排 20.746x π=≈ 金刚石 30.3416x π=≈解：设钢球半径为r ，立方晶系晶格常数为a ，六角密排晶格常数为a,c 钢球体积为V 1，总体积为V 2（1）简单立方单胞含一个原子，a r =2 52.06343321≈==ππa r V V（2）体心立方取惯用单胞，含两个原子，r a 43= 68.0833423321≈=⋅=ππar V V （3）面心立方取惯用单胞，含4个原子，r a =2 74.0623443321≈=⋅=ππar V V （4）六角密排与面心立方同为密堆积结构，可预期二者具有相同的空间占有率 取图示单胞，含两个原子，a r =2 单胞高度a c 38=（见第2题） 74.062233422321≈=⋅⋅=ππc a r V V （5）金刚石取惯用单胞，含8个原子，r a 2341= 34.01633483321≈=⋅=ππar V V2．试证六方密排密堆积结构中128() 1.6333c a =≈解： 六角密排，如图示，4个原子构成正四面体222)2332(2a a c =⋅+⎪⎭⎫⎝⎛ ⇒ a c 38=3．证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方，面心立方的倒格子是体心立方。
证：体心立方基矢取为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=++-=-+=)(2)(2)(2321k j i a a k j i a a k j i a a其中a 为晶格常数其倒格子基矢，按定义)(2)(21111114212)(223321j i b j i a kj ia a a a b+=+=--⋅=⨯Ω=πππ)(2)(2132k j b a a b +=⨯Ω=π)(2)(2213k i b a a b +=⨯Ω=π可见，体心立方的倒格子是晶格常数为a b π4=的面心立方。
波恩-卡曼周期性边界条件研究
波恩-卡曼周期性边界条件研究宫建平【摘要】Normal vibration frequency of the vibration equations is obtained by using the matrix diagonalization. The dispersion relation under the condition of the periodic boundary and the free boundary is determined. The proposed method can be applied to solve one dimensional diatomic chain and some more complex multi-degree-of-freedom systems.%利用矩阵对角化，求得振动方程组的振动频率，得出周期性边界条件和自由边界条件下的色散关系。
该方法可以运用于求解一维双原子链，以及更为复杂的一些多自由度系统。
【期刊名称】《晋中学院学报》【年(卷),期】2016(033)003【总页数】6页(P20-25)【关键词】简正振动;周期性边界条件;自由边界条件;色散关系【作者】宫建平【作者单位】晋中学院信息技术与工程学院，山西晋中030619【正文语种】中文【中图分类】O212.2一维单原子链晶格的振动是研究晶格振动的基础，在固体物理的教科书［1～4］中通常采用在波恩-卡曼周期性边界条件下得到其色散关系，从而引入格波及声子的概念.近年来，随着超晶格［5］等方面的研究，并在纳米量级上制备的量子器件，一维体系越来越受到人们的关注［6～12］.但这些纳米量级的器件，由于尺度很小，在波恩-卡曼周期性边界条件下得到的一维原子链晶格振动色散及振动模将出现一定的偏差.本文通过数值计算中矩阵对角化方法求得波恩-卡曼周期性边界条件、自由边界下的色散关系，对不同边界条件下一维单原子晶格振动的色散关系做了比较，发现在原子数较多时不同边界条件下的色散关系相吻合，但在原子数较少时不同边界条件下的色散关系有所差别.该方法可以运用于求解一维双原子链，以及更为复杂的一些多自由度系统上.N个质量为m的原子组成一维布拉维格，晶格常数为a，每个原胞中只含有一个原子.这种最简单的晶格称为一维单原子链.第n个原子偏离平衡位置的位移用un表示，在简谐近似与最近邻近似下，第n个原子的运动方程可写作采用周期性边界条件，对一维晶格，这个条件表示为描述格波振动的角频率ω与波矢q的关系为其中ωm为截止频率.根据周期性边界条件可知，q只能取式中，l是整数，因为q被限制在第一布里渊区，因而有即l只能在范围内取N个不同的值.也就是说对由N个原子组成的一维晶格，q只能有N个不同的值、N个不同的振动模式，或者说有N个不同的格波.假定N为偶数，即N=2k，l的取值为-k，-k+1，L，-1，0，1，L，k-1（其中k 为自然数），故q共有N=2k个值.即.显然最小（大）的q为假定N为奇数，即N=2k+1，l的取值为-k，-k+1，L，-1，0，1，L，k-1，k （其中k为自然数），故q共有此时最小（大）的q为不论总原子数N是偶数还是奇数，所取l均为整数.并且波矢应取相应的q.这样通过（3）式所计算出的ω才是正确的.将（1）改写为其中根据周期性边界条件可得到下列方程组写成矩阵形式为我们令根据（10）将（9）改写为（11）式两端同时左乘一正交变换矩阵S，（正交变换矩阵S满足 S S-1=S-1S=E，E为与S同维的单位矩阵）我们可以通过数值计算方法将A对角化，对角化后矩阵的对角线上诸元即为简正频率的平方.在正交变换矩阵S的作用下利用（13）式（12）式可改写成如下形式这里的Q1，Q2，Q3，LQN就是正则坐标，而ω1，ω2，ω3，L，ωN是对应的振动频率 .由（13）式得到的简正频率在图1图2中用黑色圆圈表示，而由（14）式得到的简正频率在图1、图2中用黑点表示.从图1和图2我们看出，在周期性边界条件下两者结果高度一致.说明我们采用的计算方法是正确的.下面使用同样的方法解决自由边界条件下的一维原子链.真实的一维原子链两端应该是自由边界条件，在自由边界条件下，原子链的左端原子将不再受到右端原子的作用，而右端原子亦不再受左端原子的作用.因此对于自由边界条件可得到下列方程组我们令根据（16）将（15）改写为（17）式两端同时左乘一正交变换矩阵S＇，（正交变换矩阵S＇满足S＇S＇-1=S＇-1S＇=E＇，E＇为与S＇同维的单位矩阵）在正交变换矩阵S＇的作用下利用（19）式（18）式可改写成如下形式这里的Q＇1，Q＇2，Q＇3，L，Q＇N是两端为自由边界下的简正坐标，而ω＇1，ω＇2，ω＇3，L，ω＇N是此时对应的简正频率.图3和图4分别给出了原子数是24和25时，采用自由边界条件下数值计算结果与采用周期性边界条件理论计算结果对比.当原子数为24时，左半部频率显然两者有差距，且采用自由边界条件下数值计算得到的结果均比周期性边界条件得到的频率要低，而右半部仍然基本一致.而当原子数为25时，右半部频率显然两者有差距，左半部仍相互重合.从图3图4的比较结果看,在原子数较少时，在自由边界条件和周期性边界条件下得到的结果是有差别的，并不一致.不过当我们增加原子数时，会发现两者的差别会逐渐缩小，并趋于一致.图5是原子数为100时两者的对比曲线，其中黑色点线为自由边界下数值计算的结果，而黑实线为采用周期性边界条件计算的结果，在左端仍可以看出两者不重合，但当原子数增加到1 000时,从图6看两曲线几乎完全重合.总的说来，如果在周期性边界条件下,不论原子数多少，理论计算与数值计算的结果总是相同的.但对于真实的一维原子链，两端为处于自由边界条件下且原子数较少时，数值计算的结果与采用波恩-卡曼周期性边界条件理论结果存在偏差.但随着原子数的增加,这种偏差在逐渐减小，甚至消失.说明在宏观尺度下，采用波恩-卡曼周期性边界条件处理问题是基本正确的，但当一维原子链的尺度较小，比如在纳米量级，则需要考虑自由边界条件与周期性边界条件两者的区别.上述分析计算方法也可以用到其他情况，比如两端固定的边界条件及一维双原子链情况.【相关文献】［1］王衿奉.固体物理教程［M］.济南∶山东大学出版社：2013，66～81.［2］黄昆，韩汝琦.固体物理学［M］.北京∶高等教育出版社，1988：82～86.［3］方俊鑫，陆栋.固体物理学［M］.上海∶上海科学技术出版社，1980：101～111.［4］马本，杨先发，王若桢.固体物理学［M］.北京∶高等教育出版社，1990.［5］夏建白，朱邦芬.半导体超晶格物理［M］.上海∶上海科学技术出版社，1995.［6］李正中.固体理论［M］.北京∶高等教育出版社，1985：25～26.［7］黄建平，王麓雅.一维单原子纳米颗粒的晶格振动量子化［J］.中国粉体技术，2001，7（6）∶5～7.［8］田强，张启义.不同边界条件下一维双原子链的晶格振动［J］.大学物理，2003，19（5）：8～10.［9］沈岩，李智强.自由边界双原子链的晶格振动［J］.大学物理，2002，21（3）：9～11. ［10］田强.晶格振动行波解和简正坐标［J］.大学物理，2002（5）：25～26.［11］华正和，徐顺松.自由边界单原子链的奇特驻波解［J］.淮阳师范学院学报自然科学版，2002，28（9）：51～54.［12］李书义.对一维双原子链晶格振动的讨论［J］.中国西部科技，2006（6）：4～6.。
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章
•
w
M M
将
us −1
d 2us = C (Vs −1 − us ) + 10C (Vs − us ) ， dt 2 d 2Vs = 10C ( us − Vs ) + C ( us +1 − Vs ) , dt 2
w
a/2
o
vs −1
. e h c 3 . w
c 10c
m o c
o
•
o
•
us
vs
当 当
k = k x ，且 k y = 0 时的 ω − k 图，和 kx = k y
时的 ω − k 图，如右图所示。
3.5 已知 Nacl 晶体平均每对离子的相互作用能为 U (r ) = −
马德隆常数 α ＝1.75，n＝9，平均离子间距 r0 = 2.82 Å 。 （1）试求离子在平衡位置附近的振动频率
(b)根据题意，
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
) = c[( μl +1,m + μl −1,m − 2μl ,m ) 的解， dt 2 + ( μl ,m +1 + μl ,m −1 − 2μl ,m )] M(
因为
d 2 μl , m
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
代回到运动方程得到
若 A、B 有非零的解，系数行列式满足：
w
两种不同的格波的色散关系：
w
. e h c 3 . w
-2-
m o c
——第一布里渊区
解答（初稿）作者 季正华
晶格振动对晶体的许多性质有影响
若A、B有异于零的解，则其行列式必须等于零，
即
2ks-m2 -2kscosqa
-2kscosqa 2ks-M2
得： 2={(m+M)[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
说明：频率与波矢之间存在着两种不同的色散关系， 即对一维复式格子，可以存在两种独立的格波（对于 一维简单晶格，只能存在一种 格波）。两种不同的格 波各有自己的色散关系：
四、 周期性边界条件（波恩—卡门边界条件）
由振动 波函数单值的要求，对波矢的取值范围进行了 限定:一维不喇菲格子，q介于(-/a, /a)之间;一维双原 子的复式格子，q介于(-/2a, /2a)之间.
波恩和卡门把边界对内部原子的振动状态的影响考虑成 如下面所述的周期性边界条件模型（包含N个原胞的环 状链作为有限链的模型）：
晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体在作振动， 其结果表现为晶格中的格波。
一般而言，格波不一定是简谐波，但可以展成为简 谐平面波的线性叠加。
当振动微弱时，即相当于简谐近似的情况，格波为简 谐波。此时，格波之间的相互作用可以忽略，可以认 为它们的存在是相互独立振动的模式。
例如：波矢q´ =/2a原子的振动同样可以当作波矢q =5/2a的原子的振动（ q -q´ =2/a）。
•
•••
红线： q =5/2a, =4a/5 两相邻原子振动的位相 差是2+ /2。
•
绿线： q´ =/2a，=4a
两相邻原子振动的位相
差是/2。
格波与一般连续介质波的比较
A：振幅； ：角频率； 0 1 2 3 4 n：1，2，3，4……N； aq：相邻原子的位相差； naq：第n个原子振动的位相差。 此式说明所有原子以相同的频率和相同的振幅振动。
第二章 晶体振动
1
该解表明：晶体中所有原子共同
参与的振动，以波的形式在整个
晶体中传播，称为格波。 从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质 弹性波中的 x 是可以连续取值的；而在格波中只能取 na 格点位 置这样的孤立值。 i t xq
所以，q 值的分布密度（单位长度上的模式数目）：
Na L q 2 2
L＝Na 为晶体链的长度。
第一布里渊区中波数 q 的取值总数等于晶体链的原胞个数，
即：晶格振动格波的总数 =N· 晶体链的总自由度数。 1=
2 2 Na ( q) N a a 2
至此，我们可以有把握的说找到了原子链的全部振动模。
m sin 1 aq 2
i t n 1aq
Ae
i t n 1aq
2 Ae
i t naq
—— 色散关系 Dispersion curves
这个结果与 n 无关，说明 N 个方程都有同样结果，即所有原 子都同时以相同的频率ω和相同的振幅 A 在振动，但不同的原 子间有一个相差，相邻原子间的相差是 qa 。 该结果还表示：只要ω和q 满足上述关系，试解就是联立方程 的解。通常把ω和 q 的关系称作色散关系。
解的物理意义： 格波
的整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。 2 如： ma na l ,(m, n, l 都是整数）。
2 原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相距 q
nq Ae
i t naq
q 有： um A exp i t maq A exp i t naq exp(i 2 l )
于是第n个原子的运动方程可写为：
3.1一维晶格振动
注意：晶格振动波矢只能取分立的值
由于
π π q a a 2 h 即 a Na a N N 所以 h 2 2
结论：由 N 个原胞组成的一维单原子链，波矢 q 可以取 N 个
不同的值，每个q对应一个格波，共有N个不同的格波。 波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目 每个q对应一种频率，即对应于一种振动模，即由N个原胞 组成的一维单原子链具有 N 种振动模 , 对应着该晶体中的自 由度数。
N个原子有限链 玻恩---卡门周期性边界条件
(2)波矢q的取值 考虑到链的循环性，晶体中任一个原子，当其原胞标数增 加N（N为晶体中原胞的个数 ）后，其振动情况复原。由玻 恩---卡门周期性边界条件，在由N个原胞组成的单原子链中：
n n N A exp[i(t naq)] A exp{ i[t (n N )aq]} exp(iNaq) 1 cos Naq i sin Naq 1 Naq 2h （h为任意整数）
2
aq 2 sin m 2
可以发现，上面的解与n无关，表明N个联立方程都归结
为同一个方程。只要ω与q之间满足上式的关系，我们给定的
试探解就表示了联立方程的解。 通常把ω与q之间的关系称为色散关系。或者把ω(q)作为q的
函数称为晶格振动谱，可以通过实验的方法测得或根据原子
间相互作用力的模型从理论上进行计算。
则有
1 u (r ) u (a) 2 2
在上述近似下，相邻原子间的相互作用力:
du du f dr d
β被称为弹性恢复力系数或力常数。弹性恢复力系数
下面考察第n个原子的经典运动方程,它受到左右两个近邻 原子对它的作用力： 左边第n-1个原子与它的相对位移和作用力：
纳米摩擦学——精选推荐
纳米摩擦学(nanotribology)或称微观摩擦学(microtribology )或分子摩擦学(molecular tribology)，它是在原子、分子尺度上研究摩擦界面上的行为、损伤及其对策。
主要研究内容包括纳米薄膜润滑和微观磨损机理，以及表面和界面分子工程，即通过材料表面微观改性或分子涂层，或者建立有序分子膜的润滑状态，以获得优异的减摩耐摩性能。
纳米摩擦学在学科基础、研究方法、实验测试设备和理论分析手段等方面与宏观摩擦学研究有很大差别。
宏观摩擦学通常是根据材料表面的性质在摩擦界面上的反应来表征其摩擦磨损行为，并应用连续介质力学包括断裂和疲劳理论作为分析的基础。
而纳米摩擦学则是由原子、分子结构出发，考察纳米尺度的表面和界面分子层摩擦学行为，其理论基础是表面物理和表面化学，采用的理论分析手段重要是计算机分子动力学模拟，实验测试仪器是各种扫描探针显微镜以及专门的微型实验装置。
纳米摩擦学的发展有着重要的理论意义和应用前景。
首先在理论研究方面，纳米摩擦学所采用的实验测量技术能够深入到原子、分子尺度揭示摩擦过程中的微观现象，而用于理论计算的分子动力学模拟方法可以同时考虑空间和时间尺度上的变化，将摩擦学现象作为微观的动态过程来分析。
由此可见，纳米摩擦学是在新的学科基础上采用新的研究方法，它比传统研究更加符合摩擦学现象的规律，对于完善摩擦学理论与应用具有重要作用}14} o其次，纳米摩擦学的研究还包括在纳米尺度上对摩擦表面构形和排布原子}15}，发展表面和界面分子工程。
由纳米超细颗粒制备的表面膜具有既不同于体相又不同于原子状态的独特性能。
另外，纳米厚度的润滑膜的性能也不同于粘性流体膜和吸附边界膜}m} o通过表面涂层或超薄膜润滑形成低剪切阻力和高承载能力的摩擦界面层，可构造出新的性能优异的摩擦学系统。
此外，纳米摩擦学研究有着广泛的应用前景。
随着精密机械和高科技设备的发展，特别是纳米技术所推动的新兴学科，例如纳米电子学、纳米生物学和微型机械的发展}17}都要求开展纳米摩擦学研究。
固体物理--第三章 晶格振动
三、周期性边界条件 周期性边界条件：
N n n
e
iNaq
1
2 q h Na
q的分布密度：
h =整数， N：晶体链的原胞数
Na L q const. 2 2
{
简约区中q的取值总数 ＝ q
2 N ＝晶体的原胞数 a 晶格振动的格波总数＝2N＝晶体的自由度数
2 1
两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波； －：声学波）
简约区：
a
q
a
π a
π a
对于不在简约区中的波数q’ ，一定可在简约区中 找到唯一一个q，使之满足：
2 q q G a
G 为倒格矢
二、光学波和声学波的物理图象 第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比
n m M n q0
离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这 种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。
对于单声子过程（一级近 似），电磁波只与波数相同的格
(q)
=c0q +
+(0)
波相互作用。如果它们具有相同
的形式在整个晶体中传播，称为格波。
q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。 2 则 q 与 q描述同一晶格振动状态 若 q q a
1 4a
例：
q1
q2
2
1
2 a
5
4
2
2a 5
2a
2
2 q2 q1 a
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
第9讲晶格振动一维单原子链
第九讲：晶体振动上一维单原子链简谐近似和简正坐标布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内原子之间存在相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶体中形成各种模式的波，称为格波。
只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，在简谐近似下，振动模式才是独立的。
由于晶体的平移对称性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。
通常用一系列独立的简谐振子来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。
势能和动能函数设简单晶格晶体包含N 个原子，平衡位置为R n ，偏离平衡位置的位移矢量为µn (t )，则原子的位置为()()R R n n n t t '=+µ。
将位移矢量µn (t )用分量表示，写成µi ( i = 1, 2, ..., 3N )。
N 个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级数：⋅⋅⋅++ +=∑∑==j i N i N j i j i i i V V V V µµ∂µ∂µ∂µ∂µ∂03131,20021 (3-1) 下标0表示为在平衡位置时所具有的值。
可以设V 0 = 0，而且在平衡位置相互作用力为零：0 0=i V ∂µ∂ (3-2) 忽略二阶以上的非简谐项可得：j i N j i ji V V µµ∂µ∂µ∂031,221∑==(3-3) N 个原子体系的动能函数为：∑==Ni ii m T 31221µ(3-4)简正坐标 为了使问题简化，引入简正坐标N Q Q Q 321 , , ,⋅⋅⋅简正坐标和原子的位移坐标 µi 之间通过正交变换相互联系：∑==Nj jij i i Qa m 31µ (3-5)引入简正坐标后体系的势能函数和动能函数为：∑==Ni iQT 31221(3-6)∑==N i ii QV 312221ω (3-7)由于动能函数T 是正定的，根据线性代数的理论，总可以找到这样的正交变换，使势能函数和动能函数同时化为平方项之和。
《固体物理·黄昆》第四章(3)
波矢的数值在
之间的振动方式的数目
频率在
之间，纵波数目
频率在
之间，横波数目
频率在
之间，格波数目
频率在
间，格波数目
频率分布函数
格波总的数目
晶体总的热容
晶体总的热容
令
德拜温度
德拜热容函数
德拜热容函数
在高温极限下
晶体总的热容 —— 与杜隆－珀替定律一致
晶体热容 低温极限
晶体热容
—— T3成正比
—— 德拜定律 —— 温度愈低时，德拜模型近似计算结果愈好 —— 温度很低时，主要的只有长波格波的激发
C): X射线散射
A): 中子非弹性散射
入射晶体时中子的动量和能量
出射晶体后中子的动量和能量
能量守恒
动量守恒 倒格子矢量 声子的准动量
—— 中子的能量 ____ 0.02~0.04 eV —— 声子的能量 ____ ~10 –2 eV 两者具有相同的数量级
测得各个方位上入射中子和散射中子的能量差
光子与声子的作用过程满足
能量守恒
动量守恒
—— 固定入射光的频率和入射方向，测量不同方向的散 射光的频率，可以得到声子的振动谱
1) 光子与长声学波声子相互作用 —— 光子的布里渊散射 长声学波声子
光子的频率 注意:一般而言,可见光光子的波矢 ~108 m-1，w=1016Hz
因此与之相互作用的声子的波矢: ~108 m-1
—— 确定声子的频率 根据入射中子和散射中子方向的几何关系 —— 确定声子的波矢
—— 得到声子的振动谱
—— 从反应堆出来的慢中子的能量与声子的能量接近，容易 测定中子散射前后的能量变化，直接给出声子能量的信息
局限性：不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况
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考虑原子纵向位移单原子链横向振动压电控制
刘灿昌 巩庆梅 马驰骋 周继磊 姜瑞瑞 周长城
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压量子极限 考虑原子链的边界条件与振动结构的对称性利用非线性方程组的迭代方法得到原子的纵向位移 研究
发现纳米线轴向张力与链的长度是影响单原子链纳米线的固有角频率和共振频率的主要因素通过控制单原子链两端
的压电块轴向位移可以改变原子链的轴向张力和单原子链的长度从而改变原子链的固有频率 研究为单原子链谐振
器和滤波器等分子器件研发制造提供理论基础和计算方法
关键词 单原子链压电控制量子极限迭代方法
中图分类号 '"$:'"$#!!!文献标志码 +
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基 金 项 目 国 家 自 然 科 学 基 金 <:<#<"$< 山 东 省 自 然 科 学 基 金 h)$%:#,+%%=
收稿日期 $%:# ?%= ?:$!修改稿收到日期 $%:# ?%; ?$% 第一作者 刘灿昌 男博士副教授:@#% 出生
高频 纳 电 子 机 械 系 统 *QG7AS8TFOU7PTFLQGIFQ8 3XKOTP*SB3 振荡器 的 制 备 是 十 余 年 来 极 为 活 跃 的研究课题 )7NHT课题 组= 制 备 出 超 过 十 亿 赫 兹 的 *SB3 振荡器 5LQKOT等< 制成的碳纳 米 管 谐 振 器基频达到了千兆赫兹 随着碳纳米管等新结构出 现碳纳米管振荡器的基频得到较大提高由于碳纳 米管在生长上无法控制难以批量制备阻碍了在实 际电路中的应用> 目前高频振荡器的核心部件 纳米结构因存在尺寸效应量子效应# 和材料缺陷 等原因限制了振荡器性能的提高制约电子技术的 发展因而迫切需要一种新结构以满足高基频高
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!!近年来随着电子材料制造由二维降至一维单原 子链作为一种理想的一维导体具有亚纳米尺寸量子化 电导高长宽比和弹性模量特殊的光学和电磁响应等特 点广泛应用于光学和电子学等纳米器件的制造 单原 子链还具有终极大的比表面积电导开关和负微分电阻 等特性: ?$ 是纳米电子器件的重要组成部分"
山东理工大学!交通与车辆工程学院山东!淄博!$<<%=@
!!摘!要 近年来随着纳米制造业的发展一维材料因其优异的物理性能广泛应用于各类力电光热纳米器件 基
于弦振动理论研究了考虑原子纵向位移的单原子链纳米线横向振动控制方法针对单原子链类弦结构采用模态叠加法
建立了单原子链横向振动的动力学方程提出了一种单原子链横向振动固有角频率的计算方法并得到了轴向力控制电
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