数学分析定积分

与 S 的差距就会越来越小.
i 1
问题是：
(1) 如何刻画分割越来 越细？
n
(2) 如何刻画 f (i )Δxi 越来越逼近于 S ? i 1
下面依次讨论这两个问题.
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(1) 对于一般的 T : a0 x0 x1 L xn b, 不能 用 n 来表示分割 T 越来越细,因为可能某些
区间 [ xi1 , xi ]的长度不趋于 0 . 要保证每个区间 [xi1 , xi ]的长度趋于0, 需引入分割 T 的细度(模):
T max Δxi i 1, 2,L , n.
则当 T 0 时,就能保证分割越来越细.
n
(2) 要刻画 f (i )Δxi 能无限逼近 S, 需对任意
x x81 b
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y 一分为 n
y f x
S( A)
O a x1
xi1 xi
i
xn1 b
x
可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形
的面积.
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如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的 过程呢？ 这可以分三步进行. 1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形
n
n
S( A) S i f (i )Δxi .
i 1
i 1
n
上述和式 f (i )Δxi 称为积分和或黎曼和.
i 1
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3. 逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是
n
矩形，因此黎曼和 f (i )Δxi 与曲边梯形的面积
i 1
n
S 总有差别. 当分割越来越细时，和式 f (i )Δxi
n
f (i )xi J ,
i 1
则称 f 在 [a, b] 上可积，并称 J 为 f 在 [a,b]上的
定积分,记作 J
b
n
a
f ( x)dx
lim
T 0
i 1
f (i )Δxi .
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其中称 f 为被积函数, [a, b] 为积分区间, x 为积

0
x 2dx

lim
T 0
i2Δxi
i 1
存在. 为方便起见,令
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Tn
:0
1 n
2 n

n 1 1, n 1,2, n
,
则
Tn

max
1 i n
Δxi
＝
1 n

0
n


,
取
i

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n
1


i
1, n
i n
,
i
1,2,
A1 , A2 , , An , 即在 [a, b] 上找到 n 1 个分点 { x1, x2 , L , xn1},
a x1 x2 L xn1 b,
a x1 x2
xn1 b
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为方便起见，记 x0 a, xn b，
i [ xi1 , xi ], Δxi xi xi1 , i 1, 2, L , n，
§1 定积分的概念
在很多数学和物理问题中，经常需要
求一类特殊和式的极限:
n
lim
T 0 i 1
f
(i ) xi ,
这类特殊极限问题导出了定积分的概念.
返回
三个典型问题 1. 设 y f ( x) , x [a, b], 求曲边梯形 A 的面积 S (A), 其中
A ( x, y) | x [a, b] , 0 y f ( x).
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以后将知道 f (x) 在[a, b] 上连续时, 利用 f (x) 在
[a, b] 上的一致连续性, 可证 f (x)在[a, b]上可积.
下面举例来加深理解用定义求定积分的方法.
例1 求 1 x2dx. 0
解 f ( x) x2 在 [0，1] 上连续，故
1
n
S
均匀分布时，即 x 为常数时, m (b a).
这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变” 的情况
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可以用简单的乘法进行计算. 而现在遇到的问题 是“非常值” 、“不均匀”、“有变化”的情形， 如何 来解决这些问题呢？ 以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题 合理地归为一类特殊和式的极限. 中心思想： 把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每 个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替
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代，虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的
时候，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面
积.
一分为二
y
y f x
Oa
S( A)
x1
bx
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一分为四
y
y f x
O a x1
S( A)
x2
x3
bx
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y 一分为八
y f x
S( A)
O a x1 x3
用T x0 , x1 ,L , xn或T =Δ0 , ,Δn来记这个分割.
2. 近似: 把小曲边梯形 Ai 近似看作矩形,即任取
i [ xi1 , xi ], 在 [ xi1 , xi ] 上把 f ( x)近似看作常数
f (i ).此时 Ai 的面积 Si 约为 f (i )Δxi ,所以
以可取特殊的分割(等分)和特殊的介点i

i
1. n
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y
y f x
Oa
S( A)
bx
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2. 已知质点运动的速度为v(t) , t [a,b]. 求从时刻 a 到时刻 b,质点运动的路程 s. 3. 已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为 ( x) , x [a,b] , 求线状物体的质量 m . 显然, 当 f ( x) c 为常值函数时，S( A) c(b a); 当 v(t ) v0 为匀速运动时, s v0(b a); 当质量为
分变量,a, b 分别为积分下限和上限.
由定义,曲边为 f ( x)的曲边梯形的面积为
b
S a f ( x)dx.
通过类似分析,速度 v(t) 质点运动的路程为
b
s a v(t)dt;
密度为 ( x) 线状物体的质量为
b
m a ( x)dx.
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关于定积分定义，应注意以下几点：
n
注1
表达式 J

lim
T 0 i 1
f (i )Δxi
不仅与 n 和 T
有
关,还与 {1, 2, L ,n } 有关, 因此定积分既不是数
列极限，也不是函数极限.
注2 并非每个函数在 [a,b] 上都可积.在近似过程
中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时,显然要求
f (x)在每个小区间 [xi–1, xi] 上变化不大, 这相当于 要求 f (x) 有某种程度上的连续性.
, n,
此时黎曼和的极限化为数列
Sn

n i i1
n
1
2

1 n
的极限.
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于是
S lim
n

i

1
2

1

n i 1
n
n
lim 1
n
i 12
n n 3 i 1

lim
n
n

1n2n
6n3

1

1 3
.
注 这里利用了连续函数的可积性.因为可积,所
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定义1 设 f 是定义在 [a, b] 上的函数，J R.
若 0， 0, 对任意分割
T : a0 x0 x1 L xn b,
及任意 i xi1 , xi , i 1, 2,L , n,
当 T maxxi 时,必有
i 1
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给定的 0, 能够找到 0, 使得当
T max Δxi 时, 对任意i [xi1, xi ] ,
都有
n
f (i )Δxi－S .
i 1
对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和 的极限.
总结以上分析，下面给出定积分定义.