二次根式的加减法(2)导学案
二次根式(2)导学案
鸡西市第十九中学学案
班级 姓名
学科 时间 学习 目标 重点 难点
数学
课题 2014 年
二次根式(1) 月 日
课型 人教版
新课
八年级下
1、掌握二次根式的基本性质： a 2 a 2、能利用上述性质对二次根式进行化简. 二次根式的性质 a 2 a ． 综合运用性质 a 2 a 进行化简和计算。
学习内容
【复习回顾】 （1）什么是二次根式，它有哪些性质？
2 有意义，则 x x5
（2）二次根式
。
（3）在实数范围内因式分解： x 2 6 x 2 ( 【自主探究】 1、计算：
42
)2=（x+
）(y-
)
0 .2 2
4 ( )2 5
20 2
观察其结果与根号内幂底数的关系， 归纳得到： 当 a 0时, a 2 2、计算：
归纳总结： a 2
5、填空： （1） 、 ( 2 x 1) 2 - ( 2 x 3 ) 2 ( x 2) =_________.
（2） 、 ( 4) 2 =
3
鸡西市第十九中学初三数学组
（3）a、b、c 为三角形的三条边，则 (a b c) 2 b a c ________.
6、 （选做）当 x>2，化简 ( x 2) 2 - (1 2 x ) 2 ．
已知 2＜x＜3，化简： ( x 2) 2 x 3
7、思考题：已知 a 2 b 2 4a 4 ，求 ab 的值。
8、把 2 x
1 的根号外的 2 x 适当变形后移入根号内，得（ ） x2
a0 a a a 0 0 a a0
九年级数学上册《二次根式的加减法》教案、教学设计
2.通过二次根式的学习，让学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，提高学生对数学价值的认识。
3.培养学生严谨、求实的科学态度，使学生形成良好的学习习惯和道德品质。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重启发式教学，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，提高学生的数学素养。在此基础上，结合以下教学内容，进行教学设计。
2.思维能力：九年级学生的抽象思维能力逐渐增强，但仍有部分学生依赖具体形象思维。在教学过程中，教师应注重培养学生的抽象思维能力，引导学生运用分类讨论等方法解决问题。
3.学习方法：学生在学习过程中，可能仍依赖模仿和记忆，缺乏主动探究和合作学习的能力。教师应引导学生转变学习方式，培养学生的自主学习能力和合作意识。
二、教学内容
1.二次根式的概念及性质
2.二次根式的书写与化简
3.二次根式的加减法运算
4.二次根式的实际应用
三、教学过程
1.导入：通过实际问题，引出二次根式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.基本概念：讲解二次根式的定义，让学生理解并掌握二次根式的性质。
3.书写与化简：教授二次根式的书写方法，引导学生进行二次根式的化简。
2.应用提高题：完成课本第46页第7-10题，这些题目将考察学生对二次根式加减法的掌握程度。学生需要运用所学的运算规则，解决实际问题，提高数学应用能力。
3.拓展思维题：选择课本第47页第11题作为拓展题目，鼓励学生通过小组讨论或独立思考，解决具有一定难度的二次根式问题。这类题目旨在培养学生的逻辑思维和创新能力，激发学生对数学学习的兴趣。
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组4-6人。针对以下问题进行讨论：
7.2 二次根式的加减法导学案
4、若 x= 6 + 5 ，y= 6 - 5 ，则（ x 18 0.5
1 3
4、一个长方形两边为 a+ b , a b ，求这个长方形的面积和周长。
六、课后作业： 1、课本 11 页习题 1、2、3 题。 2、若最简二次根式 x y 与 3x 2 y 的被开方式相同，则
1 2 1
x = y
3、若 x=
,则 x2-2x+1= 。
探究点二：同类二根式的加减法 法则：二次根式相加减，应先 后 例 2、计算： （1） 54 + 24 (2) 2 3
，然 。
9a +3
a 4
(3) 90 -2 20 +5
4 5
变式练习二： 1、计算： （1）2 3 -3 3 +6 3 （2）2 12 +3 48 -4 75
（3）2 6 。 。 叫做同类二次根式。
7.2《二次根式的加减法》导学案 初二数学备课组 时间：2011.02
一、学习目标: 1、了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式。 2、经历二次根式的加减法运算法则的形成过程，感悟类比思想。 3、会利用二次根式的加减运算法则进行计算。 二、学习重点、难点： 重点：同类二次根式的概念、识别。 会运用二次根式的加减运算法则进行计算。 难点：会运用二次根式的加减运算法则进行计算。 三、探究新知： 知识储备： 1、 计算： （1）3a+3a= （2）4ab-ab= 2、自主预习课本 P10-P11 内容，独立完成课本练习 1、2 题后与 小组同学交流（课前完成） 。 探究点一；同类二次根式 通过预习课本 P10-P11，回答下列问题： (1)最简二次根式的定义： (2)化简 27 、 48 (3) 例 1、下列根式中，与 3 是同类二次根式的是（ ）
16..3二次根式的加减法(教案)
3.培养学生的数学建模和数学应用能力，通过实际问题的引入，使学生能够将二次根式加减法应用于现实情境中，提高解决实际问题的能力。
在教学过程中，关注学生个体差异，引导学生主动参与、积极探究，培养学生独立思考、合作交流的良好习惯，全面提升学生的数学核心素养。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对二次根式加减法的概念和应用有了初步的理解，但同时也暴露出一些问题。在讲解理论知识时，我注意到部分学生对于如何合并同类二次根式感到困惑，尤其是在涉及到根号内含有不同数字的情况下。为了帮助学生克服这个难点，我采用了更多的例题进行演示，并强调了化简根式时的关键步骤。
教学内容将围绕以下例题和练习展开：
（1）计算下列各式的值：
$$ \sqrt{3} + \sqrt{5} $$
$$ \sqrt{12} - \sqrt{2} $$
$$ 2\sqrt{6} + 3\sqrt{6} $$
$$ 5\sqrt{3} - 3\sqrt{2} $$
（2）化简下列各式：
$$ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}} $$
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调同类二次根式的合并和含有不同根号的二次根式的化简这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和步骤讲解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式加减法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用纸片拼凑不同形状的图形，并计算其面积，从而演示二次根式加减法的基本原理。
二次根式的加减教案
二次根式的加减教案(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二次根式的加减教案二次根式的加减教案【1】二次根式的加减教案教材分析:本节内容出自九年级数学上册第二十一章第三节的第一课时，本节在研究最简二次根式和二次根式的乘除的基础上，来学习二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简。
本小节重点是二次根式的加减运算，教材从一个实际问题引出二次根式的加减运算，使学生感到研究二次根式的加减运算是解决实际问题的需要。
通过探索二次根式加减运算，并用其解决一些实际问题，来提高我们用数学解决实际问题的意识和能力。
另外，通过本小节学习为后面学生熟练进行二次根式的加减运算以及加、减、乘、除混合运算打下了铺垫。
学生分析:本节课的内容是知识的延续和创新，学生积极主动的投入讨论、交流、建构中，自主探索、动手操作、协作交流，全班学生具有较扎实的知识和创新能力，通过自学、小组讨论大部分学生能够达到教学目标，少部分学生有困难，基础差、自学能力差，因此要提供赏识性评价教学策略，给予个别关照、心理暗示以及适当的精神激励，克服自卑心理，让他们逐步树立自尊心与自信心，从而完成自己的学习任务。
设计理念:新课程有效课堂教学明确倡导，学生是学习的主人，在学生自学文本的基础上动手实践、自主探究、合作交流，来倡导新的学习观，让他们完成二次根式加减知识研究。
教师从过去知识的传授者转变为学生的自主性、探究性、合作性学习活动的设计者和组织者，与学生零距离接触共同探究。
在教学过程中教师设置开放的、面向实际的、富有挑战性的问题情境，使学生在尝试、探索、思考、交流与合作中培养分析、归纳、总结的能力，把“要我学”变成“我要学”，通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法，养成良好的学习习惯，掌握学习策略，并根据活动中示范和指导培养学生大胆阐述并讨论观点，说明所获讨论的有效性，并对推论进行评价。
人教八年级下册数学-二次根式的加减导学案
16.3 二次根式的加减第1课时 二次根式的加减一、学习目标1、能将二次根式化为最简二次根式并能判定哪些是二次根式可以合并；2、理解和掌握二次根式加减的方法；3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．二、学习重点、难点1、重点：二次根式化简为最简根式．2、难点：会判定是否是最简二次根式．三、学习过程（一）自学导航（课前预习）计算．（1）x x 32+；（2）222532x x x +-；（3）y x x 32++；（4）22223a a a +-（二）合作交流（小组互助）学生活动：计算下列各式．（1）（2）（3 = （4）由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？也可以．所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例1．计算 （1（2例2．计算（1（ 2））+ 归纳： 第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． （三）展示提升（质疑点拨） (1) )27131(12-- (2) )512()2048(-++(3) y y x y x x1241+-+ （4）)461(9322x x x x x x --例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（23-（）的值．（四）达标检测一、选择题1可以合并的（ ）A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④2．下列各式：①17）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个3．在下列各组根式中，可以合并的是( ) (A)3和18 (B)3和 (C)b a 2和2ab (D)1+a 和1-a4．下列各式的计算中，成立的是( ) (A)5252=+ (B)15354=- (C)y x y x +=+22 (D)52045=-5．若121,121+=-=b a 则)(a b b a ab -的值为( ) (A)2(B)－2 (C)2 (D)22 二、填空题1是同类次根式的有________．2．计算二次根式的最后结果是________．3．若最简二次根式123+x 与13-x 可以合并，则x ＝______．4．若最简二次根式b a +3与b a b 2+可以合并，则a ＝______，b ＝______．5．计算：（1）a a a a a a a 1084333273123-+- （2）5.0753128132-+--【素材积累】1、2019年，文野31岁那年，买房后第二年，完成了人生中最重要的一次转变。
《二次根式的加减法》导学案
21.3二次根式的加减法第一课时课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）1、同类二次根式：如果几个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.注意：同类二次根式与同类项是两个相类似的概念，前者是二次根式之间的关系，后者是单项式之间的关系.判断几个二次根式是不是同类二次根式的关键在于化简，化为最简二次根式后再看被开方数是否相同；而判断几个单项式是不是同类项，则只需看所含字母是否相同，再看相同字母的指数是否也相同.2、同类二次根式的合并法则：同类二次根式相加减，被开方数不变，把系数（最简二次根式外的因子叫做二次根式的系数）相加减，用字母表示为：()c b a c b c a +=+.合并时要注意两点：①不是同类二次根式的不能合并.如23+就不能合并；②系数为1或－1的二次根式，如3的系数为1，－3的系数为－1，运算时不要漏掉.3、二次根式的加减法运算法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.4、二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除及乘方这五种运算中含有两种或两种以上的运算，其运算顺序与实数的混合运算顺序、整式的混合运算顺序一样，也是先乘方、再乘除，最后算加减，如果有括号的仍然要先算括号里的（或先去掉括号）.名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）典例精析类型一：同类二次根式例1、下列二次根式中与35-是同类二次根式的是（ ） A ．18 B ．3.0 C ．30 D ．300【解题思路】解此题首先应将所给的选择项中的二次根式化简，然后再看化简的最简二次根式中哪个被开方数是3．∵2318=，10303.0=，3103007=，∴300与35-是同类二次根式．【解】选D ． 【方法归纳】同类二次根式的判断方法：先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同．例2、最简根式a b b a -+234与32+a 是同类根式，求a ，b 的值．【解题思路】本题考查同类二次根式的概念，两个最简根式互为同类根式，说明根指数与被开方数的相同.【解】∵a b b a -+234与32+a 为同类根式，∴22=-a b ，3234+=+a b a ，解方程组⎩⎨⎧+=+=-323422a b a a b 得⎩⎨⎧==1b a ，当0=a ，1=b 时，两根式都为3，符合题意．【方法归纳】这种类型的题目，求得字母的值后，要注意检查是否符合题意，这包括是否有意义，是否是最简根式等等．类型二：同类二次根式的合并例2、计算：【解题思路】题中每个二次根式都是最简二次根式，可直接判断同类二次根式再分别合并.【解】原式.【方法归纳】二次根式不管是否为同类二次根式都可以相乘除，但只有同类二次根式才能相加减，即二次根式加减法的前提条件是具备同类二次根式，本题中不是同类二次根式，不能再进行加减运算. 类型三：二次根式的加减运算例3、计算：【解题思路】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应按“先化简——再判断——最后合并”三步曲进行计算.【解】原式331102212⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3331225-=.【方法归纳】二次根式前面的系数要写成假分数的形式，不能写成带分数。
二次根式的加减导学案
二次根式的加减法导学案一、学习目标1、了解同类二次根式的定义。
2、能熟练进行二次根式的加减运算。
三、学习过程（一）复习回顾1、什么是同类项？2、如何进行整式的加减运算？3、计算：（1）2x-3x+5x （2）2223a b ba ab +-（二）提出问题1、什么是同类二次根式？2、判断是否同类二次根式时应注意什么？3、如何进行二次根式的加减运算？（三）自主学习自学课本第14—16页内容，完成下面的题目：1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：（1）2322与 （2）32与（3）205与 （4）1218与从中你得到： 。
2、自学课本例1，例2后，仿例计算：（1）8+18 （2）7+27+397⨯ （3）348-913+312通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应先将二次根式化为 ，再将被开方数相同的的二次根式进行 。
（四）合作交流，展示反馈小组交流结果后，再合作计算，看谁做的又对又快！限时6分钟 (1) )27131(12-- (2) )512()2048(-++(3) y y x y x x 1241+-+ （4）)461(9322x x x x x x --（五）精讲点拨1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。
2、二次根式的加减分三个步骤：①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式； ③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。
（六）拓展延伸1、如图所示，面积为48cm 2的正方形的四个角是面积为3cm 2的小正方形，现将这四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的高和底面边长分别是多少？2、已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0， 求（293x x +y 23x y ）-（x 21x -5x y x ）的值．（七）达标测试：1、选择题（1）二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④（2）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．A ．2x 与2yB ．3449a b 与5892a b C ．mn 与n D ．m n +与n m + 2、计算： （1）7238550+- （2）x x x x 1246932-+。
二次根式加减导学案
§11.7二次根式的加减（二）
学习目标：（1）练习应用二次根式加减法的法则进行解题;
（2）综合练习二次根式的加、减、乘、除四则运算，形成运算的基本技能；
（3）利用二次根式加减法解决一些实际问题. 锻炼将实际问题抽象为数学问题的能力。
学习重难点：（1）综合应用二次根式的加、减、乘、除四则运算，被开方式中含有字母、分母的二
次根式的化简。
（2）利用二次根式加减法解决一些实际问题. 一、课前学习：
1.有理数的混合运算顺序是 先乘方 再乘除，最后算加减；有括号时，先算小括号。
那么二次根式的混合运算顺序是 。
2.计算： （1）528+-; （2）10
1252403--
（3）23635
÷⨯ （4）b a 28（a<0）
3.看书60—
61页，你有哪些问题？试着完成例1.
例1 先看清是什么运算，再计算： （1） （2）)248
1
()32318(--+ （3）20
1
)12(450++-
二、课上探究：
例2计算：（1）)0(228>-b b
a
b
ab （2）)0(228223<+-y xy x x
例3.（1）要焊接一个如图所示的钢架,大约需要多少米钢材？
(2)三角形ABC 的面积是多少？
练习：计算：
（1） （）÷ （2）3)154276485(⨯+- （3）x x
x x 3)1
246
(÷-
三、小结：
四、检测：（1
）848523+- （2）0
(π1)+--327+
12
1。
九年级数学上册二次根式的加减导学案
九年级数学上册导学案（四） 杨成超● 二次根式的加减【教学目标】：1、掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用2、正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算【教学重难点】：正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算【自学指导】：➢ 学生看P8---P10思考以下问题： ① 什么叫同类二次根式？举例说明。
② 判断是否同类二次根式时应注意什么？ ③ 如何进行二次根式的加减运算？【自学检测】：.计算：(1)9654+ (2)(3)54540290+-（4）、 (5)、23 9x +6 x4 -2x 1x【师生共同探究，总结】：⏹ 同类二次根式的概念：几个二次根式都化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
⏹ 判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须满足以下两个条件：（1）它们都是最简二次根式；（2）它们的被开方数必须完全相同。
需要强调的是：同类二次根式与根号前面的数或式无关。
另外，对尚未化为最简二次根式的几个根式，被开方数不相同，并不能判定为不同类二次根式。
如：与-2，它们分别可化为6、-，故它们仍为同类二次根式。
⏹ 对二次根式进行加减运算。
其步骤是：（1）对每个二次根式化简，一般先化为最简二次根式；（2）对同类二次根式进行合并、整理即得结果。
⏹ 二次根式的加减运算结果应写成最简形式，这结果或是单个最简二次根式，或是几个不同类最简二次根式的和、差。
⏹ （1）不是同类二次根式的不能合并；（2）二次根号前的数是带分数的要化成假分数的形式； （3）合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似。
【作业与教学反思】：填空1若最简二次根式a a 241-+与是同类二次根式，则a 值为2、若最简二次根式1++y x 与13+-y x 是同类二次根式，则=-y x 。
3在8，12，18，27中,和3是同类二次根式的有________.4已知0≠ab ，且b a 3+与b a 3-互为倒数，则b a ,的关系是 。
《二次根式的加减法(第2课时)》教案(高效课堂)2022年人教版数学精品
16.3 二次根式的加减法（第2课时）教学目标1、知识与技能：(1)含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用。
(2)复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算。
2、过程与方法：(1)经历思考、探究过程、发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。
(2)体会解决问题能力，发展实践能力与创新意识。
3、情感态度与价值观：(1)积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲。
(2)形成合作交流、独立思考的学习习惯。
教学重点难点重点: 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用。
难点：含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用 教学过程 一、创设情境自学课本第14页的内容。
二、自主探究1、计算：(1)(2x+y)·zx (2)(2x 2y+3xy 2)÷xy2、计算：(1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(2x+1)2+(2x-1)2思考：如果把上面的x 、y 、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？3、计算： (1) 8(53)627- (2) (56)(56)+- (3) (2332)(2332)+- (4) 2(435)+例1 计算: (1) (83)6+⨯ (2) (4236)22-÷ 例2 计算： (1) (23)(25)+- (2) (53)(53)+- 三、尝试应用1、计算： (1) 2(53)+ (2) (8040)5+÷(3) (52)(53)++ (4) (74)(74)+- (5) 2(32)+ (6) 2(252)-2、已知x= 31+，y= 31-；求下列各式的值： (1)x 2+2xy+y 2(2)x 2-y 2四、课堂小结1、如何计算二次根式加减混合运算.2、计算结果中的二次根式必需是最简二次根式五、作业布置：习题16.3 第4,6、8题 六、课后反思：15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算：(1))1)(1(yx x y x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案： 四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22yx xy- (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． （二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． （三）情感与价值观要求 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀． 教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．（演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕． （演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．（投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把D CA BD CABDC A B∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．D C ABⅤ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题． （二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ） A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线E DC A B PC．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.四、随堂练习计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案： 四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22yx xy- (2)21-a （3）z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
课题：21.1 二次根式导学案(第2课时)
徐闻县和安中学 数学教研组 ◆九年级数学导学案 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！执笔：黄志强 校审：林朝清课题：21.1 二次根式导学案（第2课时）1、（a≥0）并利用它进行计算和化简．2、通过具体数据的解答，（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．_____________的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个_____________；3、2＝_____（a≥0）．二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：填空：=_______；=_______；=______；=________；；=_______． 结论※ 典型例题 例1 化简:（1（2例2,李明同学的解答过程是4==;张后同学的解答过程是4=-. 谁的解答正确?为什么?※ 动手试试（1=_________ （2= _________ （3=_________（4=_________（x≥1）（5_________三、总结提升 ※学习小结本节课要掌握：_________________________ ___________________________________________________________________________※ 知识拓展1、填空：当a≥0；当a<0时，，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？ （2－a ，则a 可以是什么数？ （3，则a 可以是什么数？2、当x>23、（2008年广州）如图6，实数a、b 在数轴上的位置，化简图6。
九年级数学导学案：2110二次根式的加减(二)
铜都双语学校高效课堂自主学习型数学日导学稿
班级 90 姓名编号 2110 学科长（签字）: 光敏日期:
比一比，看谁表现最好！拼一拼，力争人人过关！
课题：二次根式的加减（二）设计者：九年级数学组自研课（时段：晚自习时间：20分钟）
预习内容：课本第15页的内容。
旧知连接：1、二次根式的化简
2、二次根式加减法法则
检
=
=
=
一、学习目标（2分钟） 1、能较熟练的进行二次根式的加减法运算。
2、会用二次根式的加减法解决实际问题。
完成课本第16页练习的第2、3两小题于规范作业本上。
训练课（时段：晚自习，时间：20分钟）
“日日清巩固达标训练题”自评：师评：
基础题：
（1）（2）
（3（4）
发展题：，经过适当的剪切，可以
(结果精确到0.01cm
1.39
==)
提高题：已知：a,b=a+b的值。
培辅课（时段：大自习附培辅单）
1、今晚你需要培辅吗？（需要，不需要）
2、效果描述：
反思课
1、病题诊所：
2、精题入库：
【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功………今天你展示了吗！！！。
22.3.2二次根式的加减法 学案
22.3.2 二次根式的加减法（二）学案教学目标1.会运用二次根式的概念、性质、法则解决实际问题2.经历探究二次根式的应用过程，掌握其应用方法3.感受数学中的数感，体验过程性学习中的知识延伸和变化研讨过程一、回顾知识，复习检测计算：（1）123319483+-；（2）())512(2048-++；（3）x x x x 1246932-+ 二、复习引入二次根式的加减解题方法：第一步，先把二次根式化成 ；第二步，合并 .范例学习，拓展新知1、如图22.3-1所示的Rt △ABC 中，∠B=090，点P 从点B 开始沿BA 边以每秒1厘米的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以每秒2厘米的速度向点C 移动，请同学们探究：几秒后△PDQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）解：设x 秒钟后△PBQ 的面积为35平方厘米。
则有x BQ x BP 2,==_______35___________35___________35___________====x 所以35秒钟后△PBQ 的面积为35平方厘米。
___________________________________________====PQ 答：2．要焊接如图22.3-2所示的钢架，大约需要多少钢材？（精确到0.1m ）解：由勾股定理得)________(__________________________________________________________________________________________m BD AC BC AB ：BC AB ≈==+++=======所需要的钢材和长度为答：焊接一个如图所示的钢架，大约需要 m 的钢材。
评析：本题是勾股定理与二次根式的综合运用.三、随堂练习，加深理解1．张村有一个长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽是2倍，它的面积是1600㎡，鱼塘的宽是 m2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，那么这个等腰直角三角形的周长是 .（结果用二次根式）3．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长度应为（结果用最简二次根式表示）（ ） A 25 B 50 C 52 554．小刚想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 长方形木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线上又是钉上了一根木条，木条的长应为（结果用最简二次根式表示）（ ） A cm 10013 B 1300cm C 1310cm D cm 1355．设三角形三边是C a 、、b、c 周长是（1）如果C ，，c ，b a 求982724507===（2）如果b m ，m ，，c m ，，b a 求10916040===6．如图22.3-3在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB ，E 在AB 上，DE=AE=EB=a ，求平行四边形ABCD 的周长C.四、课堂总结，提高认识本节课主要掌握 布置作业：课本P 12习题22.3第3（1）（2）、5题课后反思：。
4.二次根式2
西乡一中2012---2013学年度第一学期 数学导学案 第 周第 课时 编写人： 审核人： 姓名： 学号： 组评： 师评：二次根式（2）使用说明1、依据学习目标。
课前认真预习，完成自主学习内容；2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题；3、当堂完成课堂检测题目；4、★的多少代表题目的难以程度。
★越多说明试题越难。
学习目标1. 了解无理式、有理式的概念，进一步熟悉根式的运算方法。
2. 能进行根式的运算和化简，会进行分母有理化。
体会用类比的思想研究二次根式，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂．学习重点：根式的化简与运算学习难点：根式的化简与运算 学习过程:一、自主学习【课前预习】阅读教材，搞清基本知识内容: ．1、回顾二次根式有什么性质和意义？2、什么叫分子（分母）有理化？3．根式化简的原则是什么？有哪些常用公式？【预习检测】（★）1、回顾上节内容，写出二次根式的性质和意义：（★★）2.分母（子）有理化把分母（子）中的 化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入 的概念．两个含有二次根式的代数式 ，如果它们的积不含有，我们就说这两个代数式互为有理化因式，一般地，，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是 有理化因式，化去 根号的过程；而分子有理化则是 都乘以 的有理化因式，化去 的根号的过程；常用公式： (1) =2a (2)33a =(3) 0a ≥，則 =nna (4) ,0ab ≥，則=nnb a(5) 0a ≥，則=mnm a (6) 0a ≥，則=n ma二、合作探究：首先独立思考探究，然后合作交流展示（★）1、将下列各根式化简= (2)=== （5= （★★）2、设x y ==(1) x y +＝ (2) xy ＝ (3) 22x y +＝三、课堂检测（★）1、将下列各根式化为最简根式（0a >）：（★★）2、计算：(1) (2)（★★） 3、比较两数的大小（12四、课后检测：（★★）1、1819(2(2＝________；（★★）22=，则a 的取值范围是________；（★★）3=________．（★★）4．已知：11,23x y ==的值． （★★★）5、（1）求值20042005⋅（2）已知x y ==22353x xy y -+的值五、学习小结与反思：学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与疑惑？。
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二次根式的加减法（2）导学案
课题12.3二次根式的加减法自主空间
学习目标使学生掌握二次根式的运算方法，明确运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算。
学习重难点教学重点正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算
教学难点二次根式的运算法则
教学流程
预
习
导
航1.二次根式的乘除法是怎样进行的？二次根式的加减法是怎样进行的？
.什么叫同类二次根式？举例说明。
.回顾整式的乘法公式：分别用符号表示
多项式乘法公式；
平方差公式；
完全平方公式；
合
作
探
究一、概念探究：
.怎样计算：？
小组讨论，全班交流。
类比：怎样计算？
2.怎样计算：？
回顾：= __________
3.呢？
课堂小结：在进行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式运算的运算律仍然适用。
二、例题分析：
例3、计算：
分析：观察二次根式的特点，类比多项式乘法
注意合并同类项与化简
例4.计算：合
作
探
究分析：类比平方差公式与完全平方公式，直接运用公式
结果要进行化简
三、展示交流
计算：
四、提炼总结
本节课学习了二次根式的运算，在进行运算时要注意什么？
二次根式四则混合运算的顺序和整式的四则混合运算的顺序是一样的，含相同二次根式的项要合并.
运算律同样适用于二次根式的运算
计算结果要最简.
当
堂
达
标1.计算的结果是
A: B: c: D:
计算的值是
A：4B：-4c : 2D：-2
若，是的小数部份，则
计算
当
堂
达
标
在Rt △ ABc 中，/ c=90 °, AB=,Ac= 求Rt △ ABc 的周长和面积.
先化简，后求值：
其中。