2.5等比数列前n项和公式的推导及性质81794
2.5等比数列的前n项和(第1课时)
a1 (1- q 2n ) = 6560 ②
1- q
① ②
得
1+ qn
=
82
∴ q n = 81, 把q n = 81，代入①得，
a1 (1- 81) = 80 1- q
∴a1 = q -1
n ∈N * , 且q n = 81 >1 ∴q >1 ∴ a1 = q -1> 0
∴{an }是递增数列，
2.5 等比数列前n项和（1） 等比数列的前n项和公式
1.等比数列的概念： 如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比都等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.
2.等比数列通项公式： an = a1q n-1
3.等比数列的性质：
若{an }等比数列，且 m + n = p + q(m, n, p, q ∈ N * )
则am • an = a p • aq 当m+n = 2 p时，am • an = ap 2
等比数列的前n项和
若{an }等比数列，的公比为 q.
Sn = a1 + a2 + a3 +…+ an 由等比数列的定义，可 知an = a1q n-1
Sn = a1 + a1q + a1q 2 + …+ a1q n-1 ① 两边同时乘以 q, 得
a1 (1 - q 6 ) = 63
(1)由题意得
1-q 2
a1 + a1q = 30 a1 + a1q + a1q2 =155
解得
a1
=
1 2
解得
a1 = 5 或 q=5
a1 = 180 q=-5
2.5等比数列的前n项和 (课件)
小结作业
1. “错位相减法”不仅可以推导等比数 列求和公式，而且可以用来求一类特殊 数列的和.
2. Sn
a1(1 qn ) 1q
a是11 等aqnq比(q数 1)
列前n项和的两个基本公式,应用时一般
用前一个公式.
3.利用方程思想和等比数列前n项和公式， 可以求等比数列的首项、公比和项数 .
3.对于等差、等比数列的求和问题，可 直接套公式求解，对于某些非等差、等 比数列的求和问题，我们希望有一些求 和的方法，这又是一个需要探究的课题.
知识探究（一）：特殊数列的求和方法
思考1：如何求数列
1
1 2
,
4
1 2n
的各项之和？其和为多少？
3n2 n 2 1
2
2n
思考2：上述求和方法叫做分组求和法， 一般地，什么类型的数列可用分组求和 法求和？
由几个等差、等比数列合成的数列.
思考3：如何求数列
1 2
,
1 6
,
1 12
,
的各项之和？其和为多少？
n
n1
,n2 1 n
思考4：上述求和方法叫做裂项求和法， 一般地，什么类型的数列可用裂项求和 法求和？
每一项都能拆分为两项的差，累加后能 抵消若干项.
思考5：如何求数列2，4a，6a2，…，
2nan－1（a≠0） 的各项之和？其和为多
少？ 当a＝1时，Sn n(n 1)
当a≠1时， Sn
2(11
an a2
nan ) 1a
思考6：上述求和方法叫做错位相减法， 一般地，什么类型的数列可用错位相减 法求和？
由一个等差数列与一个等比数列对应项 的乘积组成的数列.
2.5等比数列前n项和
a1 − a n q = 1− q
an= a1qn-1
等比数列的前n项和公式为： 等比数列的前 项和公式为： 项和公式为
a1 (1 − q n ) (q ≠ 1) Sn = 1 − q na (q = 1) 1 a1 − an q (q ≠ 1) (1) 或 S n = 1 − q (2) na (q = 1) 1
由题意可知，这个商场从今年起，平均每年的销售量组成一个等比数列， 解：由题意可知，这个商场从今年起，平均每年的销售量组成一个等比数列， 记为
a1 (1 − q n ) ∵ a1 = 5, q = 1 + 10 % = 1.1, S n = S n = 30000 n 1− q 于是得到 5000 (1 − 1 . 1 )
S
n
=
{
na 1 ,
a1 − a n q , 1− q
2、对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。 、对含字母的题目一般要分别考虑 两种情况。 和 两种情况 3、求和方法： 求和方法： 错位相减法 4、两种思想： 、两种思想： 分类讨论的思想( =1和 分类讨论的思想(q=1和q≠1) 方程思想(知三求二) 方程思想(知三求二)
变式1 判断正误： 变式1 判断正误：
①
1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ + ( −2)
n −1
1 × (1 − 2 ) = 1− 2
n
× × ×
②
1× (1 − 2 n ) 1 + 2 + 2 2 + 23 + ⋯ + 2 n = 1− 2
③
1+ a + a +⋯+ a
2.5等比数列前n项和公式的推导及性质
2 2 2 2 2S64 S64 (2 2 那么这些麦粒的总质量就是
2 3 4
2 3 4 63 克，64 如果1000 粒麦粒重为 40
)
(1 27300 2多亿吨。根据统计资料显 2 2 … 2 )
63
S64 2
64
1
1.84 10
注:以上 m, n, p, q 均为自然数
引入：印度国际象棋发明者的故事
（西 萨）
引入新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 2 , 2 , , 2 .
它是以１为首项公比是２的等比数列， 麦粒的总数为:
2
3
63
S64 1 2 2 2
2
……
5000 1.1 台
2
n1
台
n 1
5 5 1.1 5 1.1 5 1.1
• 1．数列{2n－1}的前99项和为( ) • A．2100－1 B．1－ 2100 • C．299－1 D．1－299
1×1－299 99 解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝ ＝2 －1. 1－2
1 n 答案： 3(4 －1)
解析： 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝2n－ 1.易知等比数列{an}的公比 q＝2，首项 a1＝1， ∴an＝2n－1，于是 an2＝4n－1， 1 n 2 2 2 n－1 ∴a1 ＋a2 ＋„＋an ＝1＋4＋4 ＋„＋4 ＝ (4 －1)
2
3
Sn =
a1 ( 1 – q n )
1–q
(q 1)
(一) 用等比定理推导 因为 所以
2.5等比数列前n项和公式的推导及性质.ppt
• 1．数列{2n－1}的前99项和为( )
• A．2100－1 2100
B．1－
• C．299－1
D．1－299
解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×11－－2299＝299－1.
答案：C
• 2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96 ，Sn＝189，则n的值为( )
• A．4
B．5
• C．6
知三求二
已知 a1 、an、 q时
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
(q
1)
na1
(q 1)
Sn
a1 anq
1 q
(q
1)
na1
(q 1)
等比数列前n项和公式 你了解多少？
(1) 等比数列前n项和公式： 利用“错位相减法”推
{ { Sn=
na1
a1(1 qn )
(q=1)
(q=1)
导
Sn=
na1
(2)a1
27, a9
1 ,q 243
0
解：(1)因为
a1
1 ,q 2
1 2
所以当n 8时
1
1
1
8
Sn
2 2 1 1
255 256
(2)
由a1
27, a9
12 243
,可得
:
1 243
27 q8
又由q 0,可得：
1
q
3
27
1
1
8
于是当n 8时
Sn
3 1640
a1 anq
1-q
1-q
(q=1)
(q=1)
(2) 等比数列前n项和公式的应用：
等比数列前n项和公式的推导及性质
公式评价：简洁明了，易于理解和 记忆，对于等比数列的求和问题具 有重要意义
对未来研究的展望与建议
探索等比数列前n项和公式 的应用领域
拓展等比数列前n项和公式 的推导方法
深入研究等比数列前n项和 公式的推导及性质
建立等比数列前n项和公式 的数学模型
感谢您的观看
汇报人：
第一章
引言
第二章
介绍等比数列的概念
等比数列的定义：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的一种数列。
等比数列的通项公式：an=a1*q^(n-1)，其中an是第n项，a1是第一项，q是公比。
等比数列的分类：根据公比q的不同，等比数列可以分为常数列（q=1）、递增数列 （q>1）、递减数列（0<q<1）和摆动数列（q<-1或q>1）。 等比数列的应用：等比数列在数学、物理、化学、生物、经济等领域都有广泛的应用， 如等比级数求和、等比序列的生成、遗传学中的基因突变等。
● 两种推导方法各有特点，错位相减法适用于等比数列的首项不为0的情况，而递推式法适用于等比数列的 首项为0的情况。两种方法在推导过程中也存在联系，可以相互补充和印证。
等比数列前n项和公式的性 质
第四章
公式的形式与特点
等比数列前n项和 公式的一般形式
公式中的参数说 明
公式的推导过程 及证明
公式的应用举例 及注意事项
● 错位相减法：通过错位相减的方式，将等比数列前n项和公式转化为等差数列求和的形式，进而 推推式的方式逐步推导出前n项和公式。 两种推导方法各 有特点，错位相减法适用于等比数列的首项不为0的情况，而递推式法适用于等比数列的首项为0 的情况。两种方法在推导过程中也存在联系，可以相互补充和印证。
等比数列的前n项和的公式
等比数列的前n项和的公式（最新版）目录1.等比数列的定义和性质2.等比数列前 n 项和的公式推导3.公式的应用和实例正文1.等比数列的定义和性质等比数列是指一个数列，其中每一项与它前面的项的比相等。
这个比称为公比，用 r 表示。
等比数列的通项公式为 an=a1*r^(n-1)，其中 a1 是首项，an 是第 n 项。
2.等比数列前 n 项和的公式推导等比数列前 n 项和的公式为 S_n=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中 S_n 表示前 n 项和，a1 是首项，r 是公比，n 是项数。
这个公式的推导过程如下：首先，等比数列的前两项和可以表示为 S_2=a1*(1+r)，前三项和可以表示为 S_3=a1*(1+r+r^2)，以此类推，前 n 项和可以表示为S_n=a1*(1+r+r^2+...+r^(n-1))。
然后，我们把等比数列的前 n 项和的公式转化为一个等差数列的求和公式。
通过错位相减法，我们可以得到：S_n=a1*(1+r+r^2+...+r^(n-1))=a1*r*(1+r+r^2+...+r^(n-2))=a1*r*((1+r)+r*(1+r+r^2+...+r^(n-3)))=a1*r*((1+r)+r*(1+r+r^2+...+r^(n-3))+r^2*(1+r+r^2+...+r^(n-4))) =a1*r*(1+r+r^2+...+r^(n-2)+r^3*(1+r+r^2+...+r^(n-3)))继续这个过程，直到得到：S_n=a1*(1+r+r^2+...+r^(n-1))=a1*(1+r+r^2+...+r^(n-1))*(1-r)/(1-r)=a1*(1-r^n)/(1-r)所以，等比数列前 n 项和的公式为 S_n=a1*(1-r^n)/(1-r)。
3.公式的应用和实例等比数列前 n 项和的公式在实际问题中有广泛的应用，例如在金融、物理、生物等领域。
以下是一个简单的实例：假设一个等比数列的首项 a1 为 100，公比 r 为 2，求前 10 项的和。
第二章 2.5 等比数列的前n项和
法二：设数列 的公比为q， 法二：设数列{an}的公比为 ， 的公比为 ∵S2＝7，S6＝91， ， ，
n＋1 ＋ 1 2 1 1 1 两式相减得2Tn＝22＋23＋24＋…＋ n＋1－ n＋2 2 2 1 1 － 23×(1－2n－1) n＋1 3 n＋1 ＋ ＋ 1 1 ＝2＋ － n＋2 ＝4－ n＋1－ n＋2 ， 1 2 2 2 1－2 － ＋ ＋ 3 1 n＋1 3 n＋3 故Tn＝2－2n－ n＋1 ＝2－ n＋1 . 2 2
2an 证明∵ 解：(1)证明∵an＋1＝ 证明 ， an＋1 ∴ an＋1 1 1 an＋1 1 1 1 ＝ 2a ＝2＋2·a .
n n
1 1 ∴ －1＝2(a －1)． ＝ ． an＋1 n 2 1 1 又a1＝3，∴a －1＝2. ＝ 1 1 1 1 数列{ ∴数列 a －1}是以2为首项，2为公比的等比数列． 是以 为首项， 为公比的等比数列． n
2．5 等比 数列 的前 n项 和
预习全程设计 案例全程导航
训练全程跟踪
求和公式及基本方法 知识点 等比数列前 n 项和公式 推 导 等 比数 列 前 n 项和的方 法 基本内容
na1(q＝1) ＝ ) Sn＝a 1 (1 − q n ) a 1 (1 − ＝
Hale Waihona Puke 1− qqn ) (q≠1) ≠ ) 1− q
由于b＞ 且 ≠ ， 由于 ＞0且b≠1， ∴当n≥2时，{an}是以 为公比的等比数列． ≥ 时 是以b为公比的等比数列． 是以 为公比的等比数列 a2 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，a ＝b， ＋， － ， ， 1 b(b－1) ( － ) ＝－1. 即 ＝b，解得 ＝－ ，解得r＝－ b＋r ＋
1 1 1 1 (2)由(1)知a －1＝ · n－1＝ n， 由 知 ＝ 22 2 n 1 1 n n 即a ＝2n＋1，∴a ＝2n＋n. ， n n 1 2 3 n 设 Tn＝ ＋ 2＋ 3＋…＋ n 2 2 2 2 n－1 － 1 1 2 n 则2Tn＝22＋23＋…＋ 2n ＋ n＋1 2 ① －②得 1 1 1 1 n T ＝ ＋ ＋…＋ n－ n＋1 2 n 2 22 2 2 ① ②
2.5等比数列前n项和的性质
Sn n 1 1
作业、1.P61 A组.4(2) 1 1 1 1 2.求和： 2 4 4 6 68 2n (2n 1)
1 1 1 1 [例2]求S n 的值. 1 1 2 1 2 3 1 2 n
1 1 1 2 解： an 2( ) 设 n n1 1 2 n n( n 1)
当 x≠±1 时，
2 2n 1 4 1 1 Sn＝x ＋2＋ 2＋x ＋2＋ 4＋…＋x ＋2＋ 2n x x x
＝(x ＋x ＋…＋x
－
2
4
2n
1 1 1 )＋ 2＋ 4＋…＋ 2n＋2n x x x
－
x2x2n－1 x 21－x 2n ＝ 2 ＋ ＋2n － x －1 1－x 2 x2n－1x2n 2＋1 ＝ ＋2n. x2nx2－1
求下列数列的前n项和Sn：
1 1 1 1 (1)1 ， 2 ， 3 ，…，( n n ) ，…； 2 4 8 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (2) 2 ， 3 4 ， 5 6 ，…， 2 n 1 2 n ，…； 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 (3)1，1＋ ，1＋ ，…，1＋ ＋ ＋…＋ n 1 ，…． 2 2 4 2 4 2
1 1 1 练习 ：求S n (1 1) ( 4) ( 2 7) ( n1 3n 2)的值 1 a a a
1 1 1 S 解： n (1 a a 2 a n1 ) (1 4 7 3n 2)
1 1 1 1 解 (1)S n = 1 2 3 … ( n n ) 2 4 8 2 1 1 1 1 = (1＋ 2＋ 3＋…＋n) ＋ ( … n ) 2 4 8 2 1 1 n(n +1) 2 (1 2 n ) = 1 2 1 2 n( n 1) 1 = 1＋ n 2 2
等比数列前n项和公式推导过程（实用）
等比数列前n项和公式推导过程（实用）等比数列是数学中一个重要的知识点，那么你知道等比数列的求和公式及其推导过程吗?下面是由编辑为大家整理的“等比数列前n项和公式推导过程(实用)”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
等比数列前n项和公式公式中a1为数列首项，q为等比数列的公比，Sn为前n项和。
等比数列前n项和公式推导过程等比数列前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
推导如下：因为an=a1q^(n-1)所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)(1)-(2)注意(1)式的第一项不变。
把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。
把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。
以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n-1项。
(2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。
于是得到(1-q)Sn=a1(1-q^n)即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
拓展阅读：等比数列的性质①在等比数列{an}{an}中，若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N∗)m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N∗)，则am⋅an=ap⋅aq=a2kam⋅an=ap⋅aq=ak2；②若数列{an}{an}，{bn}{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0){λan}(λ≠0)，{1an}{1an}，{a2n}{an2}，{an⋅bn}{an⋅bn}，{anbn}{anbn}仍然是等比数列;③在等比数列{an}{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an+k，an+2k，an+3k，⋯an，an+k，an+2k，an+3k，⋯为等比数列，公比为qkqk;④q≠1q≠1的等比数列的前2n2n项，S偶=a2⋅[1−(q2)n]1−q2S 偶=a2⋅[1−(q2)n]1−q2，S奇=a1⋅[1−(q2)n]1−q2S奇=a1⋅[1−(q2)n]1−q2，则S偶S奇=qS偶S奇=q;⑤等比数列的单调性，取决于两个参数a1a1和qq的取值，an=a1⋅qn−1an=a1⋅qn−1。
等比数列前n项和公式是什么
等比数列前n项和公式是什么
等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
等比数列前n项和公式
1等比数列前n项和公式
设数列{a×q^(n-1)}是首项为a,公比为q的等比数列。
即a, aq, aq², aq³, ...aq^(n-1). (n=1,2,3,4...)
其前n项和为Sn
当q=1时，Sn=na. (n=1,2,3,....)
当q≠1时，Sn=a[(q^n)-1]/(q-1) (n=1,2,3,...)
2等比数列性质
①若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq；
②在等比数列中，当q≠-1，或q=-1且k为奇数时，依次每k 项之和仍成等比数列。
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
(5) 等比数列前n项之和。
等比数列前n项和公式的性质及推导
等比数列前n项和公式是什么等比数列前n项和公式：当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q);当q=1时，Sn=na1(其中，a1为首项，an为第n项，d为公差，q为等比)。
除此之外，Sn为前n项和。
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
注：q=1时，an为常数列(n为下标)。
等比数列通式若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
如果等比通项公式为an=a1*qn-1，当q=1时，求和公式为Sn=n*a1;当q≠1时，求和公式为Sn=a1(1-qn)/(1-q)。
由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)×qn，它的指数函数y=ax有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
等差数列的各种公式:等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d(1)前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)以上n均属于正整数.等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar，所以Ar为Am，An的等差中项，且为数列的平均数等比数列的性质(1)若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq;(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
(3)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{c^an}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为c^q1，q1q2，q1/q2。
推导过程等比数列前n项和公式：Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。
等比数列前n项和
2S64 2 22 23 263 264
S64 264 1 ＝18,446,744,073,709,551,615
这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产 的小麦的总和！
对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?
Sn a1 a2 a3 an
＝10×(1＋2＋4)＝70. 方法二：∵S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30， ∴S30－S20＝S30－30＝30－10102，
即 S30＝70.
• [题后感悟] 等比数列前n项和的常用性质：
• 等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)， 则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，… 构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项 的和与以后依次m项的和构成等比数列．
• 已知等比数列{an}中，前10项和S10＝ 10，前20项和S20＝30，求S30.
[解题过程] 方法一：设公比为 q，则
a111－－qq10＝10 a111－－qq20＝30
①
② ①得
1＋q10＝3，∴q10＝2，
②
∴S30＝a111－－qq30＝a111－－qq10(1＋q10＋q20)
1 q
1 2
例2、在等比数列an中，求满足下列条件的 量 :
(1)a1 a3 2, 求sn
(2)q
2, n
5, a1
1 2
.求a
n
和sn
(3)a1 1,an 512,sn 314.求q和n
说明： 解： ( 3(当代 当12)as因 解 )将 qq55入 q 3为 2得 a4a1q11aa时 a1： 2n1１1２1n1q， 时即 1.n1221.并作 在 在 41a,数，,an1a且 q五 为 利a2q311(列1Sn2q1要2个0n第 用n5为 n551根变一 公 1q,,212常 2a1s据量 ,要 式a514n所 )1数112q(具 1a1素 ， 21以 .列 q解 体 q,,81来 2一aqnS2),1题2得 考 n定n15， 1,52意a虑 要 ， ： 122n[2q，1， 11q,。 注qS3n((n选4中 ， 意1111得 ))3择n2代 ，所 q1] 2： 的 适(只入 以 1当 取2知SS)的值nn三n(公， 1可1n)式应求ana111。把二aqn它，q2n可得
2.5等比数列前n项和
,
(q
1)
na1,(q 1)
请自习P56例1然后完成P581,P61A2
P61A3
P61A1
1.等比数列{an}中,已知a1 3, an 96, Sn 189 ,
求公比q和n. q 2,n 6
1 (1)n
2.数列an (1)n1的前n项和为Sn 2
(1)- (2) 得：
( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n ,
Sn
a1 a1qn 1 q
(q≠1)
当q=1时，Sn=?
错位相减法
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
,
(q
1)
na1,(q 1)
又an a1qn1
或Sn
a1 anq 1q
为qn .(q=-1时Sn可能为0）
a 2 b2 ab
2、等比数列 {an } 中Sn a, S2n b, 则S3n a
3.正项等比数列{an}的前项和为Sn,已知S4=1,S8=3,
(1)等比数列的公比 q=__4__2____; (2)a17+a18+a19+a20=___1_6____.
4
3
2
8 7 6
OK 5
4
3
2
1 1
由于每个格子里的麦粒数都是前一个 格子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子,各 个格子里的麦粒数依次是：
1, 2, 22 , 23 , , 263
于是发明者要求的麦粒总数就是：
1 2 22 23 263 = ? 即 S 1 2 22 23 263 ①
2.5等比数列前n项和性质
填 表
数 前 n 项 和 公 式 推导方法 列 等 差 数 列 等 比 数 列
nn 1 na1 d 2
倒序相加
na1 a n Sn 2
a1 1 q n q 1 Sn 1 q
a1 a n q 1 q
错位相减
【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑
a1 a2 …… an
(2 1) (2 2 1) …… (2 n 1)
2 2 2 …… 2 n n
2 (1 2 n ) 1 2 n 1
n
2
n2
探究1：
1. 等比数列通项an与前n项和Sn的关系？ {an}是等比数列
Sn Aq B
3. 在等比数列中，若项数为2n(n∈N *)， S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和， S偶 则 q. S奇
补充:
在等比数列 an 中， (1) a1 a2 a10 2, a11 a12 a30 12 求 a31 a32 a60 的值。112
n
其中A 0, q 1, A B 0.
练习1：
若等比数列{an}中，Sn＝m· 3n＋1，则
-1 实数m＝__________.
探究2：
an 的 前n项 和, 已 知Sn 是 等 比数 列
且S10 5, S20 15.
(1).求S30 ;
35
( 2).问S10, S20 S10 , S30 S20
是否成等比数列?
结论： 是等比数列a 的前 n 项和， Sn n 说法一： Sn≠0，数列．
说法二： ①当q=－1且k为偶数时，
§2.5等比数列的前n项和
§2.5等比数列的前n 项和知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
教学重点等比数列的前n 项和公式推导教学难点灵活应用公式解决有关问题过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
Ⅰ.课题导入[创设情境][提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”Ⅱ.讲授新课[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。
下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式。
1、 等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.公式的推导方法(只讲一种)2.性质： ,n n bp a S +=当且仅当_____________________对应数列是等比数列。
3.片段和一定成等比吗？【基本问题】题型一：知三求二求值问题（注意相除消元法计算）例1. 在等比数列{}n a 中，96,2,189===n n a q S 求n a ,1例2：在等比数列{}n a 中，263,2763==S S 求n a练习:1求数列)0(1132≠+++++-a a a a a n 的前n 项和。
2.设等比数列{}n a 的公比q ，前n 项和为n S ，求44a s .题型二：前n 项和的性质运用。
（等间隔、片段和）例1：在等比数列{}n a 中，6...,320642=++++=a a a a q 求20s例2：在等比数列{}n a 中，,60,482==n n s s 求n s 3题型三：求和方法及其重要运用（递推关系求通项公式）例1：求和：)0()12(53112≠-++++=-x x n x x S n n例2：求和（1+1）+（2+21）+（3+221）+（4+321）+….+(n+421)=___________.例3：已知数列{}n a 中，n n n a a a 2,111+==+，求n a 。
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= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
Sn
=
a1 ( 1 – 1 –q
q
n
)
(q 1)
证法三：
(一) 用等比定理推导
用等比定理：
因为
所以
当 q = 1 时 Sn = n a1
等比数列的前n项和公式
已知 a1 、n、 q时
知三求二
已知 a1 、an、 q时
Sn
a1
(1 q 1 q
a1 anq 1 q
注意：
1.使用公式求和时，需注意对q 1和q 1
的情况加以讨论；
2.推导公式的方法：错位相减法。
等比数列的前n项和表述为：
{ Sn
na1,
( q=1).
a1 1 qn a1 anq , (q≠1).
1 q
1 q
证法二：
借助Sn-an =Sn-1
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1 = a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
n
)
(q
1)
na1
(q 1)
Sn
a1 anq
1 q
(qBiblioteka 1)na1(q 1)
等比数列前n项和公式 你了解多少？
(1) 等比数列前n项和公式： 利用“错位相减法”推
{ { Sn=
na1
a1(1 qn )
(q=1)
(q=1)
导
Sn=
na1
a1 anq
1-q
1-q
(q=1)
(q=1)
(2) 等比数列前n项和公式的应用：
细节决定成败 态度决定一切
复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列:
an+1 an
=q
(定值)
a a q (2) 通项公式:
n-1
n= 1•
(a1 0, q 0).
(3)a, G, b 成等比数列
G 2 ab, (ab 0)
(4) 重要性质:
an= am•qn-m m+n=p+q an•am = ap•aq
2 30 - 1 = 1073741823
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 L 26的这3. 方种法求,和就(1)
2S64 即2S64
2(1
2 22
2 22
23
L
23
L
263
是错26位3 )相.
2减64法. !
(2)
2S64 S64 (2 2那2如么果这213些00麦02粒粒4 麦的粒L总重质为量246就30克是，264 )
1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提； ２.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。
(3) 两个等比数列前n项和公式中任知其三可以求其二：
例1、求下列等比数列前8项的和
(1) 1 , 1 , 1 , 2 48
(2)a1
27, a9
1 ,q 243
0
解：(1)因为
a1
1 ,q 2
1 2
所以当n 8时
1
1
1
8
Sn
2 2 1 1
255 256
(2)
由a1
27, a9
12 243
,可得
:
1 243
27 q8
又由q 0,可得：
1
q
3
27
1
1
8
于是当n 8时
Sn
3 1640
1 ( 1)
81
3
例2、在等比数列an中，求满足下列条件的 量 :
(1)a1 a3 2, 求sn
答案：C
• 2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96 ，Sn＝189，则n的值为( )
(2)q
2, n
5, a1
1 2
.求a
n
和sn
(3)a1 1,an 512 ,sn 341 .求q和n
当q 1时，S 1 (1) 说明： 解 (3： ) (当将 代 12as因 解 )qq55入 a3为 2得 14aq11aa时 a1： 2n1１1２n11q，即 1.n,21.并作 在 在 4a1a,数an1a且 qn五 为 利2q311(列12q1要2个0n第 用n5为 n551根 变一 公 1q,,212常 25a1s据量 ,要 式14an所 1)1数12q具(a2素 ， 111以 .列 ,解 体,q81q来 2一Saqn2,1题2)得 n考 定n15，1,52意a虑 要 ， ： 12n22q，1，q,。 注 [11qS3nn选((中 ， 4意1得 311择12，))所 q1n代 2： 的 适(]只以 当 取 入 2知S)的值nn三S公， 1n可n式应 求a1。把二a1n1它，2aqnnq 可得
(1 273020多2 亿2吨3。根2据4 统…计资料26显3)
示，全世界小麦的年产量约为
S64
264
1 168亿4吨46，7就4是40说7全37世0界9都55要1615 1000多年才能生产这么多小麦，
1.国84王无1论01如9 何是不能实现发明 者的要求的。
如何求等比数列的Sn:
错位相减法
Sn a1 a2 a3 an1 an
例3.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年 的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今 起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保 留到个位)？
分析：第1年产量为 5000台 第2年产量为 5000×(1+10%)=5000×1.1台
第3年产量为5000×(1+10%) ×(1+10%)
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 ① qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn ②
①—② ，得
(1 q)Sn a1 0 0 a1qn
(1 q)Sn a1 a1qn
显然，当q=1时，
Sn na1
q 1时 :
Sn
a1 a1qn 1 q
…… 50001.12台 第n年产量为 5000 1.1n1台
则n年内的总产量为：
5 51.1 51.12 51.1n1
• 1．数列{2n－1}的前99项和为( )
• A．2100－1 2100
B．1－
• C．299－1
D．1－299
解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×11－－2299＝299－1.
注:以上 m, n, p, q 均为自然数
引入：印度国际象棋发明者的故事 （西 萨）
引入新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23,L , 263.
它是以１为首项公比是２的等比数列，
麦粒的总数为:
S64 1 2 22 23 L 263.